đề thi hsg toán 8

Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này. thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2[r]

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN TỐN 8

(Đề có trang) Thời gian làm 150 phút Bài (3 điểm)

a)Phân tích đa thức a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  ) thành nhân tử b)Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: a+b+c¿2=a2+b2+c2

¿

Tính giá trị biểu thức: P= a

a2

+2 bc+ b2 b2

+2 ac+ c2 c2

+2 ab

c)Cho x + y + z = Chứng minh : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). Bài (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n18 n 41 hai số phương.

b) Cho a, b > thỏa mãn a b 1  Chứng minh

2

1 25

a b

b a

   

   

   

    .

Bài (1 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác BCE DCF Tính số đo góc EAF

Bài (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’, BB’, CC’ H trực tâm a) Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2

b) Chứng minh

1

HB HC HA HB HC HA AB AC BC AC  BC AB 

c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N Chứng minh H trung điểm MN

Bài (1 điểm)

Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng có tính chất chia hình vng

thành hai tứ giác có tỉ số diện tích

3 Chứng minh có 505 đường thẳng 2018 đường thẳng đồng quy

Hết

-Giám thị số 1 Giám thị số 2

UBND HUYỆN VĨNH BẢO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN 8

(Đề có trang)

Bài 1 Lời giải sơ lược Điểmchi

tiết Cộng Bài 1

( 3 điểm)

a) a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  )=a b c2(  ) b a c2(  )c a b2(  ) =a b c2(  ) b2(a b ) ( b c ) c a b2(  )

=(a2  b b c2)(  ) ( c2 b a b2)(  )=(a b a b b c )(  (  ) ( b c b c a b )(  )(  ) =(a b b c )(  ) ( a b b c   )=(a b b c a c )(  )(  )

0,25 0,25 0,25 0,25

1,0

b) (a+b+c)2=

a2

+b2+c2⇔ab+ac+bc=0

a2 a2

+2 bc=

a2 a2−ab−ac

+bc=

a2 (a − b)(a −c)

Tương tự:

2

2 2 ( )( )

b b

b  ac  b a b c  ;

(c − a)c −b c2

c2

+2 ac= c2

¿ ¿

2 2

2 2

2 2

2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

1

( )( )( )

a b c

P

a bc b ac c ab

a b c

a b a c a b b c a c b c a b a c b c

a b a c b c

  

  

  

     

  

 

  

0,25

0,25

0,25 0,25

1,0

c) Vì x + y + z = nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3

 3xyz = x3 + y3 + z3 Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.

Vì : 3xyz(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)

Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2

0,25 0,25

0,25 0,25

1,0

Bài 3 a) Để n18 n 41 hai số phương

18

n p

   vàn 41q p q2 , N

       

2 18 41 59 59

p q n n p q p q

          

Nhưng 59 số nguyên tố, nên:

1 30

59 29

p q p

p q q

  

 



 

  

 

0,25 0,25 0,25

Từ n18p2302900 suy n882

Thay vào n 41, ta 882 41 841 29   q2.

Vậy với n882 n18 n 41 hai số phương. 0,25

b) Có:  

2 2 2 2 2

0 2

a b   a b  ab  a b  ab(*) (Dấu đẳng thức xảy a = b)

Áp dụng (*), có:

2

1 25

a a

b b

   

   

   

   

2

1 25

b b

a a

   

   

   

   

Suy ra:

2

1 25 1

a b a b

b a b a

 

       

       

               

 

2

1 25 1

a b a b

b a a b

 

     

             

      

2

1 25 1

a b 5

b a a b

     

            

     ( Vì a+b = 1)

Với a, b dương, chứng minh

1

4

aba b  (Vì a+b = 1)

(Dấu đẳng thức xảy a = b)

Ta được:

2

1 25

a b 5.4

b a

   

     

   

   

2

1 25

a b

b a

   

       

    Dấu đẳng thức xảy ra:

1 a b

2

  

0,25

0,25

0,25

0,25

1,0

Bài 3

Chứng minh ABE ECF

Chứng minh ABEFCE c g c(   ) =>AE=EF

Tương tự AF=EF =>AE=EE=AF

=>Tam giác AEF

0,25 0,25 0,25

0,25

=> EAF 60o Bài 4

(3 điểm)

a)Chứng minh BHC'đồng dạng vớiBAB' =>

' '

BH BC

AB BB =>BH BB 'BC BA' (1) Chứng minhBHA'đồng dạng vớiBCB'

' '

BH BA

BC BB =>BH BB 'BC BA ' (2) Từ (1) (2) =>BC BA BA BC'  '

Tương tựCB CA CA BC'  '

=>BC BA CB CA BA BC CA BC'  '  '  ' (BA CA BC' ') BC2

0,25

0,25 0,25 0,25

1,0

b) Có

' '

BH BC

AB BB =>

'

'

BHC ABC S BH CH BC CH

AB AC BB AC S Tương tự

AHB ABC S AH BH

CB CA S

AHC ABC S AH CH CB AB S

=>

1

ABC ABC S HB HC HA HB HC HA

AB AC AC BCBC AB S  https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

0,25

0,25 0,5

1,0

c) Chứng minh AHM đồng dạng với CDH (g-g) =>

HM AH

HD CD (3)

Chứng minh AHN đồng dạng với BDH (g-g) =>

AH HN

BD HD (4) Mà CD=BD (gt) (5) Từ (3), (4), (5) =>

HM HN

HD HD=> HM=HN =>H trung điểm MN

0,25 0,25

0,25 0,25

Bài 5 (1 điểm)

Gọi E, F, P, Q trung điểm AB, CD, BC AD Lấy điêrm I, G EF K, H PQ thỏa mãn:

2

IF

IE HP GF KQ

HQ GE KP

   

Xét d đường thẳng cho cắt hai AD, BC, EFlần lượt M, N, G’ Ta có

( )

2 2 '

'

( )

3 '

2 ABMN

CDNM

AB BM AN

S EG

G G CD CM DN

S G F



      



hay d qua G

Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề qua điểm G, H, I, K

Do có 2018 đường thẳng qua điểm G, H, I, K, theo nguyên lý Dirichlet phải tồn

       

2018 505

4 đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy

0,25

0,25

0,25

0,25