Đang tải... (xem toàn văn)
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
(1)UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ THI MÔN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P =
1 2
1
3
x x x
x x
x x x
a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P <
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình: x27x6 x 5 30.
b Cho hai số dương a b Chứng minh a b 1 a b
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên n cho A = n2+ n + số phương b Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.
a Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B
b Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho AMC ANB 900 Chứng minh AM = AN. c Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C'
Chứng minh cos2 A cos2B cos2C 1 S' S
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y số dương thỏa mãn 34 35
x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3
5
A x y
x y
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1
Câu a: (2,0 điểm)
- Tìm ĐKXĐ: x0,x1 - Ta có
3
2
3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
3 3
( 2)( 1)
3
( 2)( 1)
( 2)( 1)
( 2)( 1)
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
0,5 0,5
0,5
0,5
Câu b: (2,0 điểm)
- Ta có: P < 1
1 0( 0)
1 x x
x do x
x x
- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x P <
0,5
1,0 0,5
Câu a: (2,0 điểm)
Giải phương trình: x27x6 x 5 30. - ĐKXĐ x 5
- Ta có
2
2
7 30
8 16
4
x x x
x x x x
x x
(3)2
- Vì 2 2
4 0;
x x nên
2
4
5
5
x x
x x x
(thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm phương trình cho x =
1,0
0,5 0,25
Câu b: (2,0 điểm)
Cho hai số dương a b Chứng minh a b 1 a b
- Ta có
a b 1 2 a b
a b b a
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
2
a b a b
b a b a
- Do a b 1 a b
0,75
0,75
0,5
3
Câu a: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n cho A = n2+ n + số phương - Để A số phương A = n2+ n + = a2(a N)
- Ta có: n2+ n + =a2
2
2
4 24
2 23
2 2 23
n n a
a n
a n a n
- Vì a, n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a + 2n + > 2a – 2n -1 Do
(4)2 23 2 1
4 24 20
6 a n a n a n a n
- Vậy n =
0,5
Câu b: (2,0 điểm)
Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12
- Xét phép chia xy cho Nếu xy khơng chia hết cho
2
2 2 1(mod3) 1(mod3)
1(mod3) 1(mod3)
2(mod3) x
y x y
z x y
(Vơ lí)
Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy khơng chia hết cho
TH1:
2
2 2 1(mod 4) 1(mod 4)
1(mod 4) 1(mod 4)
2(mod 4) x
y x y
z x y
(vơ lí )
TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư -1 Khơng tính tổng quát giả sử
1,0
(5)2
2 2 1(mod 4) 2(mod 4)
1(mod8) 4(mod8)
5(mod8) x
y x y
z x y
( vơ lí)
- Vậy xy chia hết cho (2)
- Từ (1) (2): Vậy xy chia hết cho 12
0,5
4 B C
A
A'
B'
C
N M
Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'Bcó
Góc A chung ' ' 900 B C
Suy ra: ΔAC'C ΔAB'B
2,0
Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.
- Xét AMCvuông M đường cao MB' '.
AM AB AC
- Xét ANBvuông N đường cao NC'
(6)2 '. AN AC AB
- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN
0,5
Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos2 A cos2B cos2C 1 S' S
- Chỉ AB C' ' ' cos2 ABC
S AB A
S AB
- Tương tự BA C' ' cos2 ABC
S B
S
2 ' ' cos CA B
ABC
S C
S
- Do đó:
2 2 ' ' ' ' ' '
' ' ' cos cos cos
'
AB C BA C CA B ABC
ABC A B C ABC
S S S
A B C
S
S S S
S S
0,5
0,5
0,5 0,5
5
Cho x, y số dương thỏa mãn 34 35 x y
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A x y
x y
- Ta có:
2
5
1
2
A x y
x y
x y
x y
x y
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 2 2.5 2
5
x x
x x
8 2 8.7 4
7
x x
x x
0,5
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
Khoá Học Nâng Cao HSG