De thi HSG Toan va huong dan cham 20112012 PGDCT

[r]

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN 9

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề thị thức (Học sinh chép đề vào giấy thi)

Bài 1: (4 điểm)

a) Chứng minh x4 + 6x3 + 11x2 + 6x chia hết cho 24 với x nguyên b) Tìm hệ số a,b để đa thức x4ax2b chia hết cho đa thức x2 3x2

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng:

2

2

a b a b



b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

1 x y

x

 



Bài 3:(4 điểm) Giải phương trình : √x −2 + √y+1995 + √z −1996 = 12 (x+y+z)

Bài 4: (4 điểm)

a) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức:

2

2 2

2 BC AB AC  AM 

b) Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng:  tan

2

ABC AC

AB BC

 

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác kẻ MIBC; MJ CA; MKAB Tìm vị trí điểm M cho tổng (MI2+MJ2+MK2) nhỏ nhất.

-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012

Mơn thi : TỐN 9

Bài Đáp án Điểm

1a 1/ x4 + 6x3 + 11x2 + 6x = x ( x + )( x + )( x + ) tích số nguyên liên

tiếp nên chia hết cho 24 2đ

1b Chia đa thức x4 ax2 b

  cho x2 3x2 thương x23x a 7 dư 3a15x b  2a14

Ta có phép chia hết khi:

3 15 15

2 14 14

a a a

b a b a b

   

  

 

  

     

  

2đ

2a

+ Nếu a+b <0

2

2

a b a b



( hiển nhiên đúng) + Nếu a b 0 ta có:

2

2

a b a b



 

2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

4

2 2

2

0

a b a b

a ab b a b

a ab b a b

a ab b a b

 

 

 

    

 

   

  

 

    

   

  

Vậy:

2

2

a b a b



với a,b

2đ

2b 2

2 2

1

1 1

x x

y

x x x

 

  

  

2

1 x

  

Để y đạt giá trị nhỏ 2

1

x  đạt giá trị lớn nhất Muốn x2 + phải đạt giá trị nhỏ nhất

Vì x2 + 1 nên x2 + đạt giá trị nhỏ x2 + = 1 Tức x2 =  x = 0

Khi y = -1

Vậy giá trị nhỏ biểu thức y = -1

2đ

3

√x −2 + √y+1995 + √z −1996 = 12 (x+y+z) ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996

Phơng trình (1) x+y+z = x −2 + √y+1995 + √z −1996

⇔ √x −2−1¿2

¿ + √y

+1995−1¿2

¿ + √z −1996−1 ¿2 ¿ =



¿

√x −2=1

√y+1995=1

√z −1996=1 ¿{ {

¿



¿

x=3

y=−1994

z=1997 ¿{ {

¿

( TMĐK)

a)Vẽ đường cao AH, ta có

2 2

2 2

AB AH HB

AC AH HC

 

 

2 BC MB MC 

(AM trung tuyến)

     

2 2 2

2

2

2

AB AC AH HB HC

AM HM BM HM HM MC

    

     

2 2 2

2.AM 2.HM BM 2.BM HM HM HM 2.HM MC MC

       

2

2 2

2

2 BC

AM BM MC AM

    

(đpcm) b)Vẽ phân giác BD

ta có

 

2 ABC ABD

xét ABD có A900 nên tan

ABD AD

AB



(1) Mà BD phân giác

AD DC AD DC AC

AB BC AB BC AB BC



   

  (2)

Từ (1) (2) suy  tan

2

ABC AC

AB BC



 (đpcm)

2đ

2đ

5

Kẻ AHBC,MNAH

MJ2MK2 MJ2AJ2 MA2 MJ2MK2 NA2(Vì MANA)

Vì MI=NH nên :MI2MJ2 MK2 NH2MJ2MK2NH2NA2 Áp dụng bất đẳng thức:  

2

2

2 a b  a b

Ta  

2

2 2 1

2

MI MJ MK  NH NA  AH

Dấu xảy M trung điểm AH