Tính diện tích tam giác, đa giác Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu: Tổng số điểm: Tỉ lệ:.. Vận dụng Cấp độ thấp.[r]
(1)Cấp độ Chủ đề Nhận biết Phân tích đa thức thành nhân tử Giải phương trình Biết phân tích đa thức thành nhân tử Giải phương trình 0,75đ 7,5% Số câu Số điểm Tỉ lệ % Rút gọn phân thức tính giá trị biểu thức Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh tính chia hết Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tam giác đồng dạng Tính diện tích tam giác, đa giác Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu: Tổng số điểm: Tỉ lệ: Thông hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Biết phân tích đa thức thành nhân tử bậc cao 0,75đ 7,5% Cấp độ cao Biết phân tích đa thức thành nhân tử để cm là số chính phương 0,75đ 2,25đ 7,5% 22,5% Biết Rút gọn phân thức tính giá trị biểu thức 1 1đ 1đ 10% 10% 1đ 10% Biết Chứng Biết tìm hệ số để minh tính chia đa thức chia hết hết 1 1đ 1đ 10% 10% Vận dụng đươc các trường hợp đồng dạng tam giác để giải toán 1đ 10% Sử dụng công thức tính diện tích để chứng minh đẳng thức 1đ 10% 1,75đ 17.5% Biết tìm GTNN phân thức 0,75đ 7,5% 2,5đ 25% Biết sử dụng cô si để chướng minh 1đ 10% 3,75đ 37,5% Chỉ định lí talet tam giác 2đ 20% Cộng 2đ 20% 3đ 30% 1,75đ 17.5% 11 10,0đ 100% (2) PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) (Đề thi này gồm 01 trang) ĐỀ GIỚI THIỆU Câu 1: (1,5 điểm ) a) Phân tích đa thức x 2014 x 2013 x 2014 thành nhân tử b) Giải phương trình: x x 2013.2014 0 Câu 2: (2,0 điểm ) a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 2014 Tính giá trị biểu thức: 2014a 2bc ab 2c abc ab 2014 a 2014 bc b 2014 ac c P= 2014 b) Cho a1 , a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng 2013 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho Câu 3: (1,5 điểm ) x x 2014 A 2013 x a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( x khác 0) b) Tìm số tự nhiên n cho số A = n +2014 là số chính phương Câu 4: (2,0 điểm ) a) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x ax b chia hết cho đa thức x x b) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh tam giác và abc = 2014 a 2bc ab c abc 6042 Chứng minh :A = b c a a c b a b c Câu 5: (3,0điểm ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a) Chứng minh rằng: diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 b) Chứng minh AB + CD =MN c) Chứng tỏ bình phương diện tích tam giác AOD tích diện tích tam giác AOB với diện tích tam giác DOC Từ đó tính diện tích hình thang ABCD Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích) Hết -Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… (3) ( Cán coi thi không giải thích gì thêm ) PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐỀ GIỚI THIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài 150 phút Câu ý Nội dung Câu a Ta có x 2014 x 2013 x 2014 1,5đ 0,75đ x x 2014 x 2014 x 2014 Điểm 0,25 x x 1 x x 1 2014 x x 1 0,1 x x 1 x x 2014 0,15 0.25 x x 1 x x 2014 Kết luận x 2014 x 2013 x 2014 x x 2013.2014 0 b 0,75đ x 2014 x 2013x 2013.2014 0 0,1 0,15 0,1 0,15 x( x 2014) 2013( x 2014) 0 ( x 2014)( x 2013) 0 ( x 2014) 0 ( x 2013) 0 01 x 2014 x 2013 2013; 2014 Câu 2.0đ a 1,0đ Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2014a 2bc ab 2c abc ab 2014 a 2014 bc b 2014 ac c P= 2014a b c abc ab 2014a 2014 bc b 2014 ac c = Thay abc = 2014 vào P ta có: ( P = abc abca b c + + ab+ abca+ abc bc+ b+abc ac+ c+1 abca b c + + ac+ c+1 ab (1+ ac+ c) b (c +1+ac) = abc [ = abc (acac +c +1 +ac+1c+ + ac+cc+1 ) ac+ c+1 = abc ac+ c+1 = abc = 2014 ] ) 0,15 0,25 0,25 0,15 0.1 0,25 (4) b 1,0đ Dễ thấy a a a (a 1)(a 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 Xét hiệu B (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) (a13 a1 ) ( a23 a2 ) (a2013 a2013 ) Mà a1 , a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng 2013 Do B chia hết cho Câu a 2014 x x.2014 2014 1,5đ 0,75đ A = 2013.2014 x 2 0,25 chia hết cho 2014 0,25 3 0,25 0,25 2 x x.2014 2014 2013x 2 2013.2014 x = + 2013.2014 x ( x 2014)2 1 = 2013.2014 x 2014 2014 A = 2014 x - 2014 = hay x = 2014 b Giả sử 2014 + n2 là số chính phương thì 2014 + n2 = m2 (m N ) 0,75đ Từ đó suy m2 - n2 = 2014 (m + n) (m – n) = 2014 Như số m + n và m – n phải có ít số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là số chẵn 0,25 0,25 0,15 0.1 0,15 0,1 0,15 0,25 (m + n) (m – n) 2014 không chia hết cho Điều giả sử sai Câu 2,0đ a 1,0đ b 1,0đ Vậy không tồn số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương f(x) chia hết cho x x f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 3a b 27 (1) Tương tự ta có f(2) = 2a b (2) Trừ hai vế (1) cho (2) ta được: - 5a = 35 a Thay a = - vào (1) tìm b = a b c ) b c a a c b a b c Ta có A = a b c 2014( ) b c a a c b a b c A= abc( Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz xy ;b ;c 2 ; Từ đó suy a= yz xz x y A 2014( ) x y z Thay vào ta 0,1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,15 0,1 0,15 0,1 0,25 (5) 1 y x x z y z A 2014 ( ) ( ) ( ) 2 x y z x z y y x 2 x y Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ta có Từ đó suy A 1007(2 2) hay A 6042 Câu 3,0đ B A M 0,25 0,25 O N C D a Vì AB//CD ⇒ S DAB S CAB (có cùng chiều cao so với đáy 0,75đ AB) 0,25 S DAB S OAB S CAB S OAB => b 1,0đ Xét xét 0,25 S AOD S BOC OM DM = AB AD OM AM = Δ ADC OM//DC => DC AD Δ ABD OM//AB => (1), 0,25 (2) 0,1 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 OB S AOB OB S BOC S AOD OD , S DOC OD ⇒ ⇒ 0,25 0,15 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 c 1,0đ 0,25 1 + = AB CD MN S AOB S BOC S AOD S DOC 0,25 0,25 0,1 ⇒ S AOB S DOC S BOC S AOD S S BOC Chứng minh AOD ⇒ 0,25 S AOB S DOC (S AOD )2 Thay số 20132.20142 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2013.2014 0,15 Do đó SABCD = 20132 + 2.2013.2014 + 20142 = (2013 + 2014)2 = 40272 (đơn vị DT) 0,25 (6) Tổng 10 Ghi chú: Học sinh có thể làm cách khác kết đúng cho điểm tối đa x 2x x x3 x Bài Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A b) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tìm các giá trị nguyên đó A Bài : Giải các phương trình: a) x3 – 5x2 + 8x – = 1 4 1 0 x (x 1) x x b) 1 6 m n p Bài : a) Cho các số m, n, p thỏa mãn : 4 Tính giá trị biểu thức A = m + n + p b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 + 2y2 – 2x – 4y + = Bài : Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD) có các đường phân giác các góc A, B, C, D cắt O Gọi H, K là hình chiếu vuông góc O trên AB, DC m2 n p2 a) Chứng minh: AOD BOC 90 b) Chứng minh: AH.DK = BH.CK c) Gọi E là giao điểm các đường thẳng AD và BC, EH cắt CD F Chứng minh: CF = DK Bài : Cho các số dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 1 a b c P = a b c x2 x x x : 1 x 2x 3 x x Bài : Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -2 Bài : Giải các phương trình sau: x2 c) Tìm x để P < 1 x x x a) x + 3x – = b) c) | x | + | x – 1| = 2 Bài : a) Cho biểu thức M = x + xy + y – 3x – 3y + 2011 Với giá trị nào x và y thì M đạt giá trị nhỏ x2 y2 z2 b) Tính giá trị biểu thức: A = y z z x x y x y z 1 Biết các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : y z z x x y Bài : Cho tam giác ABC có AK là trung tuyến Từ điểm I trên cạnh BC kẻ đường thẳng a song song với AK cắt AB M, cắt AC N Chứng minh : a) AC AM = AB AN b) MI + NI = 2.AK Bài : Cho hình vuông ABCD Trên AB và AD lấy M, N cho AM = AN Kẻ AH vuông góc với MD Chứng minh : a) AHN DHC b) CH2 + HN2 + ND2 + DC2 = MC2 + NC2 (7) (8)