Đang tải... (xem toàn văn)
B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).. c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố địnhA. Cán bộ coi thi [r]
(1)Trang 1/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang)
Thí sinh làm (trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm bài vào đề thi.
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu Cho phương trình x2mx 4 Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép
A 4; B 4 C 4 D 16
Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y 5 x
5
y x
A.70 o B 30 o C 90 o D 45 o
Câu Cho
3
10 3
6 5
x
Giá trị biểu thức
2018
4
x x
A 2018
B 2018
2 C 0 D 1
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) B( 2018;1). Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình
A.
2018 x
y B
2018 x
y C y2018 x D y 2018 x
Câu Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x4 , khẳng định ? A P 2 với
2
x B P 2 với x1
C P 2 2x1 với x1 D. P 2 2x1 với 1 2 x
Câu Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M, biết M cách trục tung, trục hoành đường thẳng y 2 x Hoành độ điểm M
A 2 B 2 C 1
2 D
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M2018; 2018 đến đường thẳng
2 y x
A 2 B 2. C 4 D 1
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 10
A m;m -
Khi m thay đổi khẳng định
dưới ?
A Điểm A thuộc đường thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định D. Điểm A thuộc đường thẳng y x 10.
Câu Cho tam giác ABC cóAB3 cm AC, 4 cm BC5 cm Kẻ đường cao AH, gọi I K, lần
lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI
A. 1, cm B. 2 cm. C. 1, 45 cm D 2 cm.
(2)Trang 2/3 Câu 10 Cho AB dây cung đường tròn O; cm AOB150 o Độ dài đoạn thẳng
AB
A. cm B. 2 cm C 1 cm D 2 cm
Câu 11. Cho hai đường tròn I 3; O; 6 tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia vng góc với cắt hai đường trịn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC
A 6 B 12 C 18 D 20
Câu 12 Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi x y, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức 12 12
x y
A 4 B C
2 D
1
Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn O R; đường kính AC dây cung BDR
Gọi , , , x y z t khoảng cách từ điểm O tới AB CD BC DA, , , Giá trị biểu thức xyzt
A 2 2R2 B 2R2 C 2
2 R D
2
R
Câu 14. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; cm) nội tiếp đường tròn O; cm Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC
A 8 cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm
Câu 15 Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
A 5 B 4 C 3 D.6
Câu 16 Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ?
A.
400 m B.
450 m C
225 m D.
550 m B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu (3,0 điểm)
a) Cho 2 2
2018
a bc b ca với a b c, , đơi khác khác khơng Tính giá trị
của biểu thức 2
c a b
b) Tìm tất số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c 91
b ca
Câu (3,5 điểm)
a) Giải phương trình 2
2 2
x x x x
b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A B, đến bờ sông 118 m 487 m(tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A
đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét)
(3)Trang 3/3 Cho đường trịn O điểm A nằm ngồi O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với O ( ,B C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E AD ( AE) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N
a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M E N I, , , thuộc đường tròn T
b) Chứng minh hai đường tròn O T tiếp xúc
c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu (1,5 điểm)
Chứng minh a b c 32a b 32b c 32c a
a ab b bc c ca
với a b c, , độ dài ba cạnh
một tam giác
- HẾT -
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………
(4)Trang 4/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang)
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
A C B C B,D A,B B A
Câu 9 10 11 12 13 14 15 16
D B C A C A A B
B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 3,0 điểm
a) Cho 2 2
2018
a bc b ca với a b c, , đôi khác khác khơng
Tính giá trị biểu thức 2
c a b
b) Tìm tất số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c 91 b ca
Điểm
a)
1.5 điểm
Ta có
2
a b a b
a b c b c a
bc ab ab ca c b a c
0,25
Suy 2
0 2018.(1)
ab bc ca bc a bc abca bc 0,5
2
0 (2)
ab bc ca ab c a b abcc a b 0,5
Từ (1) (2) ta 2
2018
c ab 0,25
b) 1,5 điểm
Đặt
;
bqa cq a q ta a 1 q q291 13.7. 0,25
Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta
2
1
1; 9; 81
9
1 91
a a
a b c
q q q 0,25 7
7; 21; 63
1 13
a a
a b c
q q q 0,25 13 13
13; 26; 52
1
a a
a b c
q q q 0,25
Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử q xx 3;y y
Khi 2 2
a 1 q q 91a x xyy 91y x2xyy2 19
0,25
Ta có
2
2 2
2 91 6;
ax a
c a ty x xy y x y
y y
và a25;b30;c36
Vậy có số a b c; ; thỏa mãn1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21; 63 , 63; 21; ;
0,25
Câu 3,5 điểm
a) Giải phương trình 2
2 2
x x x x
b) Hai vị trí A B cách 615m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từA B, đến bờ sông 118m 487m(tham khảo hình vẽ đây) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà
(5)Trang 5/3 a)
1.5 điểm
2 2
2 2 2 2
x x x x x x x x 0,25
2
2
2 1( )
2 2
x x L
x x
0,25
0,25
2
2 2
x x x x
0,25
1
1
x x
0,25
0,25
b) 2,0 điểm
Gọi C D, hình chiếu A B, lên bờ sông Đặt CEx0 x 492
Ta có CD 6152 487 118 2 492 0,25
Quãng đường di chuyển người AEEB 2
2 2
118 492 487
x x
0,25
Ta có với a b c d, , , a2b2 c2d2 a c 2 b d2 (1) 0,25
Thật 2 2 2 2 2 2
2
1 a b c d a b c d a c b d
2 2
(2)
a b c d ac bd
Nếu ac bd 0 (2) ln Nếu ac bd 0bình phương hai vế ta 0,25 (2) trở thành 2
0
adbc Dấu đẳng thức sảy ad bc 0,25
Áp dụng (1) 2 2
492 487 118 608089 779,8
AEEB x x m 0,25
Dấu đẳng thức xảy 487x118 492 x x 96m 0,25
Vậy quãng đường nhỏ 780 m 0,25
Câu
4,0 điểm Cho đường tròn với O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC,
O (B C, tiếp điểm), cát tuyến thay đổi qua A cắt O D
( )
E ADAE Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N
a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD, chứng minh bốn điểm
, , ,
M E N I thuộc đường tròn T
(6)Trang 6/3 a)
1,5 điểm
Ta có ABOACO180o nên tứ giác ABON nội tiếp
0,25
Gọi J giao điểm AD với đường tròn ABOC.Suy DMA đồng dạng DNJ
0,25
Suy DM DN DA DJ 0,25
Mà ;
2
DA DI DJ DE 0,25
Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN 0,25
Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm 0,25
b)
1,5 điểm Dễ thấy MN OAthì O T tiếp xúc E
0,25 Khi MN không vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến
O E
0,25
Ta có O J K, , thẳng hàng 0,25
Trong tam giác OEK KJ KO: KE2 (1) ( Định lý hình chiếu) 0,25 Trên đường trịn ABOC ta có KJ KO KN KM (2) 0,25
Từ (1) (2) suy
KE KN KM nên KE tiếp xúc T 0,25
c)
1,0 điểm Ta có OEDODETIE
0,25
Nên IT OD Gọi WOAIT 0,25
Vì I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) 0,25
Khi MN OA WIT 0,25
Câu 1,5 điểm
Chứng minh a b c 32a b 32b c 32c a
a ab b bc c ca
với a b c, , độ dài ba
cạnh tam giác
Giả sử a b c t đặt atx b; ty c; tz x y z 0,25
Ta chứng minh
2 2 2
3 3
9
t x y t y z t z x
t x y z
t x xy t y yz t z zx
2
3 3
9
x y y z z x
x xy y yz z zx
0,25
4 4 4
9
1 1
x x y y y z z z x
x x y y y z z z x z x x y y z
(7)Trang 7/3
2 2
5 5
9
x y y
x x y y z z
0,25
Vì a b c, , ba cạnh tam giác nên , , 0;1
2 a b c x y z
0,25
Ta có:
2
2
18 3
x
x x x
x x
1 0;
2
x
2
2
5
18 3
y
y y y
y y
1 0;
2
y
2
2
18 3
z
z z z
z z
1 0;
2
z
0,25
Suy 5x 12 5y 12 5y 12 18x y z
x x y y z z
2
5 5
9
x y y
x x y y z z
0,25