SKKN 2014 Nguyen Van Dung

Hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng nghiệp có được một cái nhìn toàn diện về việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, với mỗi dạng toá[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG - THẠCH THẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lĩnh vực/môn: Toán Tên tác giả: Nguyễn Văn Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán - Tin Năm học 2013 - 2014 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc —————————- SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên : Nguyễn Văn Dũng Ngày sinh : 02-11-1978 Nơi sinh : Lại Thượng - Thạch Thất - Hà Nội Trình độ chuyên môn : Thạc sĩ Môn giảng dạy : Toán học Đơn vị công tác : Trường THPT Hai Bà Trưng - Thạch Thất Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán - Tin Năm vào ngành : 2001 Ngoại ngữ : Tiếng anh B1 10 Khen thưởng :- SKKN xếp loại cấp ngành - lần chiến sĩ thi đua cấp sở - Giấy khen công đoàn ngành Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang Mục lục Phần thứ nhất: Đặt vấn đề Phần thứ hai: Nội dung đề tài Kiến thức 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức 1.2 Bất đẳng thức hệ và bất 1.3 Tính chất bất đẳng thức 1.4 Bất đẳng thức Cô-si 5 5 7 11 22 25 đẳng thức tương đương Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất 2.1 Một số ví dụ sở và hệ 2.2 Kỹ thuật ghép cặp bất đẳng thức Cô-si 2.3 Kỹ thuật Cô-si ngược dấu 2.4 Bài tập tự luyện đẳng thức Phần thứ ba: Thực nghiệm sư phạm 29 Phần thứ tư: Kết luận và đề xuất 30 Tài liệu tham khảo 31 Ý kiến đánh giá và xếp loại Hội đồng khoa học sở 32 Ý kiến đánh giá và xếp loại Hội đồng khoa học cấp trên 33 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ Tên đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lý chọn đề tài Việc dạy cho học sinh hiểu phương pháp giải bài tập là thành công, thành công là việc định hướng cho học sinh biết phán đoán phương pháp giải bài tập Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá Trong quá trình giảng dạy trường THPT, tôi nhận thấy bài toán bất đẳng thức là nội dung hấp dẫn toán sơ cấp Có nhiều phương pháp để giải và ta phải vào đặc thù loại bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Đối với học sinh bậc trung học loại toán chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em ngại nó lại thường sử dụng các kỳ thi HSG Hơn đa số các em khá giỏi lại có hứng thú với loại toán này, nó giúp các em khả phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả tổng hợp, khái quát vấn đề Bất đẳng thức Cô-si các em học sinh tiếp cận chương trình Toán lớp 10 (chương trình chuẩn học tiết), với thời lượng ít nên khả áp dụng học sinh yếu Mặt khác các bài toán dạng này thường gặp nhiều các kỳ thi Tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh và là các bài toán khó, nên đại đa số học sinh không làm Với tất các lý trên cùng với kinh nghiệm thân sau thời gian dạy đội tuyển học sinh giỏi và luyện thi đại học, tôi mạnh dạn viết đề tài "Hướng dẫn học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức" để trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách sử dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác • Thực nghiệm sư phạm: tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng • Phương pháp quan sát: quan sát học sinh học và làm bài trường THPT Hai Bà Trưng Phạm vi và thời gian thực đề tài Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Phạm vi: Nội dung đề tài đề cập đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Do đây là tài liệu có thể dùng để giảng dạy và bồi dưỡng chuyên đề cho các em học sinh khối 10, 11 các em học sinh khối 12 ôn thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng • Thời gian: Đề tài đã sử dụng năm hoc 2013-2014 và các năm học trước Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang Chương Kiến thức 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức Định nghĩa 1.1 Bất đẳng thức là mệnh đề chứa biến thuộc bốn dạng sau a > b; a<b (1.1) a ≥ b; a≤b (1.2) Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức dạng (1.1) là các bất đẳng thức ngặt, còn các bất đẳng thức dạng (1.2) là các bất đẳng thức không ngặt 1.2 Bất đẳng thức hệ và bất đẳng thức tương đương Định nghĩa 1.2 Nếu mệnh đề ”a > b ⇒ c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là hệ bất đẳng thức a > b và viết là: a > b ⇒ c > d Định nghĩa 1.3 Nếu bất đẳng thức a > b là hệ bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với và viết là a > b ⇔ c > d 1.3 Tính chất bất đẳng thức • Cộng hai vế bất đẳng thức với số a>b⇔a+c>b+c • Nhân hai vế bất đẳng thức với số a > b ⇔ a.c > b.c (nếu c > 0) a > b ⇔ a.c < b.c (nếu c < 0) Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều  a>b ⇒a+c>b+d c>d • Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều  a>b>0 ⇒ a.c > b.d c>d>0 • Nâng lũy thừa bất đẳng thức a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 (n ∈ Z+ ) a > b > ⇒ a2n > b2n (n ∈ Z+ ) 1.4 Bất đẳng thức Cô-si Định lí 1.1 Nếu a, b là hai số không âm thì ta có a+b √ ≥ ab (1.3) Dấu bất đẳng thức (1.3) xẩy và a = b Định lí 1.2 Nếu a1 , a2 , , an là các số không âm thì ta có √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n (1.4) Dấu bất đẳng thức (1.4) xẩy và a1 = a2 = = an Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang Chương Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức 2.1 Một số ví dụ sở và hệ Bài toán 2.1 Cho a, b là các số dương, chứng minh 1 (a + b)( + ) ≥ a b (2.1) 1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b; và , ta có: a b √ a + b ≥ ab (2.1a) r 1 + ≥2 (2.1b) a b ab Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.1a), (2.1b) ta bất đẳng thức (2.1) Dấu xẩy và a = b Nhận xét 2.1 Từ bất đẳng thức (2.1) ta rút hai bất đẳng thức hệ quan trọng sau đây: 1 + ≥ (2.2) a b a+b 1 1 ≤ ( + ) (2.3) a+b a b Dấu các bất đẳng thức (2.2), (2.3) xẩy và a = b Bài toán 2.2 Cho a, b, c là các số dương, chứng minh 1 (a + b + c)( + + + ) ≥ a b c (2.4) 1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a, b, c và , , , ta có: a b c √ a + b + c ≥ abc (2.4a) r 1 1 + + ≥3 (2.4b) a b c abc Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.4a), (2.4b) ta bất đẳng thức (2.4) Dấu xẩy và a = b = c Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Nhận xét 2.2 Từ bất đẳng thức (2.4) ta rút hai bất đẳng thức hệ quan trọng sau đây: 1 + + ≥ (2.5) a b c a+b+c 1 1 ≤ ( + + ) (2.6) a+b+c a b c Dấu các bất đẳng thức (2.5), (2.6) xẩy và a = b = c Nhận xét 2.3 Một cách tổng quát ta có kết sau Cho a1 , a2 , , an là các số thực dương, đó 1 n2 + + + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an (2.7) Đẳng thức xẩy a1 = a2 = = an Nhận xét 2.4 Các bất đẳng thức (2.2), (2.3), (2.5), (2.6), (2.7) là bất đẳng thức bản, là sở để chứng minh số bất đẳng thức khác Sau đây là số ví dụ Bài toán 2.3 (Đại học khối A năm 2005) 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn + + = Chứng minh x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z (2.8) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta kết sau 1 1 = ≤ ( + )≤ 2x + y + z (x + y) + (x + z) x+y x+z tương tự ta có ≤ x + 2y + z và ≤ x + y + 2z 1 ( + + ) 16 x y z 1 ( + + ) 16 x y z 1 ( + + ) 16 x y z Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.8a), (2.8b), (2.8c) và sử dụng giả thiết (2.8a) (2.8b) (2.8c) 1 + + =4 x y z , ta điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức (2.8) xẩy và   x=y=z 1 ⇔x=y=z=  + + =4 x y z Nhận xét 2.5 Từ bài toán trên ta có bài toán mở rộng sau Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài toán 2.4 Cho n là số nguyên dương và a1 , a2 , , an là các số thực dương, thỏa 1 1 + + + = , k>0 Chứng minh điều kiện a1 a2 an k 1 + + m1 a1 + m2 a2 + + mn an m2 a1 + m3 a2 + + m1 an k ≤ mn a1 + m1 a2 + + mn−1 an m1 + m2 + + mn (2.9) Bài toán 2.5 Cho a, b, c là ba cạnh tam giác và p là chu vi Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p−a p−b p−c a b c (2.10) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.2), ta có 4 + ≥ = p−a p−b p−a+p−b c (2.10a) 1 4 + ≥ = p−b p−c p−b+p−c a (2.10b) Tương tự ta có và 1 4 + ≥ = p−c p−a p−c+p−a b (2.10c) Cộng vế với vế bất đẳng thức (2.10a),(2.10b), (2.10c) ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xẩy và a = b = c Bài toán 2.6 Cho a, b > và a + b = Chứng minh a2 b2 + ≥ a+1 b+1 (2.11) b2 1 a2 + = −1 + + a+1 b+1 a+1 b+1 (2.11a) Chứng minh Ta có Mặt khác áp dụng bất đẳng thức (2.2) ta có Ta có 1 4 + ≥ = a+1 b+1 a+b+2 (2.11b) Từ hai bất đẳng thức (2.11a), (2.11b) ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xẩy và a = b = Bài toán 2.7 (Bất đẳng thức Nesbit) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh a b c + + ≥ b+c c+a a+b Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức (2.12) Trang Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Chứng minh Ta có a b c a b c + + =( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 = (a + b + c)( + + ) − b+c c+a a+b (2.12a) Áp dụng bất đẳng thức (2.5), ta có 1 + + ≥ b+c c+a a+b 2(a + b + c) (2.12b) Từ hai bất đẳng thức (2.12a), (2.12b) ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xẩy và a = b = c Bài toán 2.8 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 3( + + ) a b c a + 2b b + 2c c + 2a (2.13) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.5) ta có: 1 + = + + ≥ a b a b b a + 2b (2.13a) Hoàn toàn tương tự ta có: + ≥ b c b + 2c (2.13b) + ≥ c a c + 2a (2.13c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.13a), (2.13b), (2.13c) ta bất đẳng thức (2.13) Đẳng thức xẩy và a = b = c Bài toán 2.9 (Đại học khối D năm 2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh p p √ √ + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥ 3 xy yz zx (2.14) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số 1, x, y ta được: + x3 + y ≥ 3xy p √ + x3 + y 3 Khi đó ≥√ (2.14a) xy xy Tương tự ta có các kết sau p √ + y3 + z3 ≥√ xy yz Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức (2.14b) Trang 10 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 √ √ + z + x3 ≥√ xy zx (2.14c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.14a),(2.14b),(2.14c) ta được: p p √ + x3 + y + y3 + z3 1 + z + x3 √ + + ≥ 3( √ + √ + √ ) (2.14d) xy yz zx xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta 1 √ + √ + √ ≥ xy yz zx (2.14e) Từ hai bất đẳng thức (2.14d) và (2.14e) ta suy bất đẳng thức (2.14) Đẳng thức xẩy và x = y = z = Bài toán 2.10 (Olympic 30-4 năm 2007) Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh 25y 4z x + + > y+z z+x x+y (2.15) Chứng minh Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y b+c−a a+c−b a+b−c Ta có: x = ,y = ,z = (a, b, c > 0) 2 Khi đó ta có: 25y 4z b + c − a 25(a + c − b) 4(a + b − c) x + + = + + y+z z+x x+y 2a 2b 2c b 25a c 2a 25c 2b =( + )+( + )+( + ) − 15 2ar 2b 2a c 2b c r r b 25a c 2a 25c 2b ≥2 +2 +2 − 15 2a 2b 2a c 2b c Hay 25y 4z x + + ≥ + 2.1 + 2.5 − 15 = y+z z+x x+y (2.16) Dấu bất đẳng thức (2.16) xẩy và b = 5a, c = 2a a+c−b Khi đó y = < (điều này trái giả thiết) Do đó dấu (2.16) không xẩy Vậy (2.15)được chứng minh 2.2 Kỹ thuật ghép cặp bất đẳng thức Cô-si Trong phần này giới thiệu kỹ thuật việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, đó chính là kỹ thuật ghép cặp phù hợp Chúng ta hình thành phương pháp qua ví dụ mở đầu sau đây Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 11 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài toán 2.11 Cho a là số thực thỏa điều kiện a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =a+ (2.17) a Nhận xét 2.6 Một số học sinh đã sử dụng bất đẳng thức Cô-si nên kết sau r 1 P = a + ≥ a = (2.17a) a a Từ đây khẳng định minP = Khẳng định trên là sai vì dấu bất đẳng thức (2.17a) xẩy và a = ⇔ a = 1, điều này là trái với giả thiết a ≥ a Sau đây là lời giải đúng cho bài toán 2.9 Lời giải Ta có a 8a P =a+ =( + )+ (2.17b) a a a Bây áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số và ta a r a a + ≥2 = (2.17c) a a Kết hợp (2.17b),(2.17c) và sử dụng giả thiết a ≥ 3, ta được: P =a+ Vậy minP = 8.3 10 ≥ + = a (2.18) a 10 , đạt = ⇔ a = 3 a Nhận xét 2.7 Qua bài toán trên ta thấy để áp dụng bất đẳng thức Cô-si để a giải toán ta cần phải tiến hành ghép cặp phù hợp , không phải a và mà phải là a và Một số câu hỏi đặt sau: a • Tại lại ghép • Số a với mà không phải là số khác? a a xác định nào? • Có cách ghép cặp nào khác không? Nhận xét 2.8 Khi sử dụng phương pháp ghép cặp việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta nên tiến hành theo các bước sau đây: • Giả sử dấu bất đẳng thức cần chứng minh xẩy các biến (đối xứng) • Kết hợp với điều kiện biên bài toán để xác định các đối số Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 12 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Với giá trị đối số tìm được, tính giá trị các biểu thức có mặt bất đẳng thức • Xác định số biểu thức cần ghép cặp với biểu thức có mặt bất đẳng thức • Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm lời giải Bài toán 2.12 Cho a, b là các số thực dương và thỏa điều kiện a + b = Chứng minh 1 a + b + + ≥ (2.19) a b Nhận xét 2.9 Ta có số nhận xét trước giải sau • Dấu giả thiết xẩy và a = b = • Ta không thể ghép a và • Để ý a = vì đó dấu xẩy a = a2 1 1 thì = 4, đó ta có 8a = hay a = a a 8a • Do để giải bài toán trên ta ghép cặp 8a với • Ta phải sử dụng Cô-si cho số 8a, 8a, 1 và 8b với a2 b2 để làm triệt tiêu biến a a2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: r 1 8a + 8a + ≥ 8a.8a = 12 a a r 1 và 8b + 8b + ≥ 8b.8b = 12 b b (2.19a) (2.19b) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.19a), (2.19b) ta [a + b + 1 + ] + 15(a + b) ≥ 24 a b Suy 1 + ≥ 24 − 15(a + b) = a b Đẳng thức xẩy và a = b = a+b+ Bài toán 2.13 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh ab bc ca + + ≥ a + b + c c a b (2.20) Nhận xét 2.10 Ta có số nhận xét trước giải sau Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 13 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Vai trò a, b, c bất đẳng thức nên dự đoán dấu xẩy a = b = c • Khi a = b = c thì • Ta ghép cặp bc ca ab = = = a = b = c c a b ab bc và để xuất b, tương tự cho các cặp còn lại c a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ab bc + ≥ 2b c a (2.20a) bc ca + ≥ 2c a b (2.20b) ca ab + ≥ 2a b c (2.20c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.20a), (2.20b), (2.20c) và rút gọn ta điều phải chứng minh Bài toán 2.14 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 27 a+b+c+ + + ≥ (2.21) a b c Nhận xét 2.11 Ta có số nhận xét trước giải sau • Dấu giả thiết xẩy và a = b = c = • Ta không thể ghép a và • Để ý a = vì đó dấu xẩy a = a2 1 1 thì = 4, đó ta có 8a = hay a = a a 8a • Do để giải bài toán trên ta ghép cặp 8a với • Ta phải sử dụng Cô-si cho số 8a, 8a, 1 và 8b với , 8c với a b c để làm triệt tiêu biến a a2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: r 1 8a + 8a + ≥ 8a.8a = 12 a a r 1 8b + 8b + ≥ 8b.8b = 12 b b Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức (2.21a) (2.21b) Trang 14 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 r 1 8c + 8c + ≥ 8c.8c = 12 c c (2.21c) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.21a), (2.21b), (2.21c) ta [a + b + c + 1 + + ] + 15(a + b + c) ≥ 36 a b c Suy 1 27 (đpcm) + + ≥ 36 − 15(a + b + c) = a b c Đẳng thức xẩy và a = b = c = a+b+c+ Từ hai bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau đây Bài toán 2.15 (Bài toán tổng quát) n Cho a1 , a2 , , an là các số thực dương thỏa điều kiện a1 + a2 + + an = Chứng minh 1 9n a1 + a2 + + an + + + + ≥ (2.22) a1 a2 an Bài toán 2.16 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh a3 + b + c ≥ √ (2.23) Nhận xét 2.12 Ta có số nhận xét trước giải sau • Dấu giả thiết xẩy và a = b = c = √ • Ta phải sử dụng Cô-si cho số a3 , b3 , √ để làm xuất tích ab giả thiết 3 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có √ a3 + b3 + √ ≥ ab 3 (2.23a) √ b3 + c3 + √ ≥ bc 3 (2.23b) √ c3 + a3 + √ ≥ ca 3 (2.23c) Cộng vế với vế bất đẳng thức (2.23a), (2.23b), (2.23c) ta có √ 2(a3 + b3 + c3 ) + √ ≥ 3(ab + bc + ca) Suy a3 + b3 + c3 ≥ √ (đpcm) Đẳng thức xẩy và a = b = c = √ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 15 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài toán 2.17 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = 3abc Chứng minh 1 + + ≥ (2.24) a b c Nhận xét 2.13 Ta có số nhận xét trước giải sau • Nếu a = b = c thì từ giả thiết bài toán ta có a = b = c = • Ta nên viết lại giả thiết để vế là số sau 1 + + = ab bc ca 1 • Bây ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số , , 1, 1, để xuất a b tích ab Chứng minh Ta có a + b + c = 3abc ⇔ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số 1 + + = ab bc ca (2.24a) 1 , , 1, 1, 1, ta a5 b 5 + + + + ≥ a5 b ab Hay ≥ − b5 ab (2.24b) b5 + ≥ − c bc (2.24c) c5 + ≥ − a ca (2.24d) a5 + Hoàn toàn tương tự ta có các kết Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.24b),(2.24c),(2.24d) và sử dụng giả thiết (2.24a) ta có bất đẳng thức (2.24) Dấu bất đẳng thức (2.24) xẩy và a = b = c = Bài toán 2.18 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b (2.25) Nhận xét 2.14 Ta có số nhận xét trước giải sau • Bất đẳng thức đã cho là đối xứng với a, b, c nên dấu xẩy a = b = c • Khi a = b = c thì ta có a2 b2 c2 a = = = = b+c c+a a+b Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 16 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Để xuất hạng tử b+c ? a2 a thì ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho và b+c Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a2 b+c và ta b+c s a2 b+c a2 b + c + ≥2 = a b+c b+c (2.25a) Hoàn toàn tương tự ta có các kết sau b2 c+a + ≥ b c+a (2.25b) c2 c+a + ≥ c c+a (2.25c) Bây cộng vế với vế bất đẳng thức (2.25a), (2.25b), (2.25c) và rút gọn ta bất đẳng thức (2.25) Dấu bất đẳng thức (2.25) xẩy và a = b = c Nhận xét 2.15 Ta có bài toán tổng quát cho bài toán trên sau Bài toán 2.19 (Bài toán tổng quát) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh bn cn an−1 + bn−1 + cn−1 an + + ≥ (2.26) b+c c+a a+b Bài toán 2.20 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = Chứng minh b3 c3 a3 + + ≥ (2.27) (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) Nhận xét 2.16 Ta có số nhận xét trước giải sau • Từ giả thiết cho a = b = c thì suy a = b = c = • Khi a = b = c = thì số hạng a3 b3 c3 , , (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) a3 và số nào (a + 1)(b + 1) để tích (a + 1)(b + 1) và khử lũy thừa a • Như ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho • Chọn hạng tử a+1 b+1 a3 , để ghép với 8 (a + 1)(b + 1) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 17 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a3 a+1 b+1 , , ta 8 (a + 1)(b + 1) a3 a+1 b+1 3a + + ≥ (a + 1)(b + 1) 8 Hay a3 5a b ≥ − − (a + 1)(b + 1) 8 (2.27a) Hoàn toàn tương tự ta có các kết 5b c b3 ≥ − − (b + 1)(c + 1) 8 (2.27b) c3 5c a ≥ − − (c + 1)(a + 1) 8 (2.27c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.27a), (2.27b), (2.27c) ta a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c) − (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) (2.27d) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ta có a + b + c ≥ (2.27e) Từ (2.27d), (2.27e) ta suy điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức (2.27) xẩy a = b = c = Bài toán 2.21 Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa điều kiện ab+bc+cd+da = Chứng minh b3 c3 d3 a3 + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c (2.28) Nhận xét 2.17 Ta có số nhận xét trước giải sau • Từ giả thiết cho a = b = c = d thì ta có a = b = c = d = a3 b3 c3 d3 thì hạng tử , , , b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c và 12 • Khi a = b = c = d = • Để khử mũ a ta cần phải áp dụng Cô-si cho số, số chọn phải làm triệt tiêu mẫu số các phân số Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 18 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số b+c+d a3 , , ta b+c+d 18 12 a3 b+c+d a + + ≥ b+c+d 18 12 Hay a3 1 ≥ (9a − b − c − d) − b+c+d 18 12 (2.28a) Hoàn toàn tương tự ta có 1 b3 ≥ (9b − c − d − a) − c+d+a 18 12 (2.28b) c3 1 ≥ (9c − d − a − b) − d+a+b 18 12 (2.28c) d3 1 ≥ (9d − a − b − c) − a+b+c 18 12 (2.28d) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.28a), (2.28b), (2.28c), (2.28d) ta b3 c3 d3 1 a3 + + + ≥ (a + b + c + d) − b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 3 (2.28e) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ab + bc + cd + da = ta có p a + b + c + d = (a + c)(b + d) ≥ (a + c)(b + d) = (2.28f) Từ (2.28e), (2.28f) ta suy điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức (2.28) xẩy và a = b = c = d = Bài toán 2.22 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b + c (2.29) Nhận xét 2.18 Ta có số nhận xét trước giải sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này có a, b có vai trò đối xứng, nên dự đoán minP đạt a = b • Giả sử a = b = x > 0, c = y > đó giả thiết trở thành 2x + y = • Ta có P = (a2 + x2 ) + (b2 + x2 ) + (c3 + y + y ) − 2(x2 + y ) hay P ≥ [2x(a + b) + 3y c] − 2(x2 + y ) (theo Cô-si) • Để sử dụng giả thiết a + b + c = thì 2x = 3y Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 19 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Do đó x, y xác định từ hệ phương trình √  19 − 37    x= 2x + y = √ 12 ⇒ 2x = 3y   y = 37 − √ √ 19 − 37 37 − Chứng minh Đặt x = , ⇒ 2x = 3y 12 Ta có P = (a2 + x2 ) + (b2 + x2 ) + (c3 + y + y ) − 2(x2 + y ) ≥ [2x(a + b) + 3y c] − 2(x2 + y ) = 2x(a + b + c) − 2(x2 + y ) √ 541 − 37 37 = 6x − 2(x2 + y ) = 108 √ 541 − 37 37 Vậy minP = 108 √ √ 19 − 37 37 − Đạt a = b = x = ;c = y = 12 (2.30) Bài toán 2.23 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b2 + c3 = 325 Chứng minh a2 + b + c ≥ 2807 27 (2.31) Nhận xét 2.19 Ta có số nhận xét trước giải sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng • Giả sử dấu đạt a = x > 0, b = y > 0, c = z > đó giả thiết 325 trở thành x + y + z = • Theo Cô-si ta có a2 + x2 ≥ 2ax ⇒ a2 ≥ 2ax − x2 3b2 y y b + b + y ≥ 3b y ⇒ b = − 2 4c z z c4 + c4 + c4 + z ≥ 4c3 z ⇒ c4 ≥ − 3 3 3 y3 z4 • Khi đó P = a2 + b3 + c4 ≥ (2xa + yb2 + zc3 ) − x2 − − 3 • Để sử dụng giả thiết a + b2 + c3 = 3y 4z 325 thì 2x = = Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 20 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Do đó x, y, z xác định từ hệ phương trình   325    x=2  a+b +c = ⇒ y= 4z 3y     2x = = z=3 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a2 + ≥ 4a ⇒ a2 ≥ 4a − (2.31a) 8 b3 + b3 + ( )3 ≥ 8b2 ⇒ b3 ≥ 4b2 − ( )3 3 (2.31b) c4 + c4 + c4 + 81 ≥ 12c3 ⇒ c4 ≥ 4c3 − 27 (2.31c) Từ (2.31a), (2.31b), (2.31c) ta suy a2 + b3 + c4 ≥ 4(a + b+ c3 ) − − ( )3 − 27 Hay 2807 (đpcm) 27 Đẳng thức xẩy và a = 2; b = , c = 3 a2 + b + c ≥ Bài toán 2.24 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện 4a + 3b + 4c = 22 Chứng minh 25 + + ≥ (2.32) a+b+c+ 3a b c Nhận xét 2.20 Ta có số nhận xét trước giải sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng • Giả sử dấu đạt a = x > 0, b = y > 0, c = z > đó giả thiết trở thành 4x + 3y + 4z = 22 • Theo Cô-si ta có r 2 a a 1 + ≥2 = ⇒ ≥ − 2a + 3a 3x 3z 3x 3x 3a 3x 3x s 2b 2b 2b + ≥2 = ⇒ ≥− + b y b y y b y y r 3c 3c 3c + ≥2 = ⇒ ≥− + c z c z z c z z Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 21 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Khi đó V T ≥ a + b + c + (− = (1 − 2b 3c a + ) + (− + ) + (− + ) 3x 3x y y z z + + )a + (1 − )b + (1 − )c + 3x2 y2 z2 3x y z 1− 1− 2 y 3x = z = 4 1− • Để sử dụng giả thiết 4a + 3b + 4c = 22 thì • Do đó x, y, z xác định từ hệ phương trình    4a + 3b + 4c = 22 1− 1− −  y 3x = z2  = 4   x=2 y=2 ⇒  z=3 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a 1 + ≥ ⇒ ≥− a+ 3a 3 3a 3 (2.32a) b b + ≥ ⇒ ≥ − + b b (2.32b) c c + ≥ ⇒ ≥ − + c c (2.32c) Từ (2.32a), (2.32b), (2.32c) ta có a+b+c+ 2 14 4a + 3b + 4c 14 25 + + ≥ a+ b+ c+ = + = (đpcm.) 3a b c 3 3 Đẳng thức xẩy và a = 1, b = 2, c = 2.3 Kỹ thuật Cô-si ngược dấu Đây là kỹ thuật đặc biệt việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta hình dung phương pháp qua số bài toán sau đây Bài toán 2.25 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh a b c + + ≥ (2.33) 2 1+b 1+c 1+a Nhận xét 2.21 Ta có số nhận xét sau trước giải • Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số vì đó bất đẳng thức đổi chiều • Do tính đối xứng các biến a, b, c nên đẳng thức xẩy a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 22 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 • Sử dụng phân tích số a ab2 = a − và đánh giá Cô-si cho mẫu số phân + b2 + b2 ab2 ta bất đẳng thức cùng chiều + b2 Chứng minh Ta viết lại vế trái bất đẳng thức (2.33) sau V T = (a + b + c) − ( ab2 bc2 ca2 + + ) + b + c + a2 (2.33a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ab2 ab ab2 = ≤ + b2 2b (2.33b) bc2 bc bc2 = ≤ 1+c 2c (2.33c) ca2 ca ca2 ≤ = + a2 2a (2.33d) Từ các bất đẳng thức (2.33b), (2.33c), (2.33d) ta suy ab2 bc2 ca2 ab + bc + a + + ≤ + b + c + a2 Khi đó V T = (a + b + c) − ( ab2 bc2 ca2 ab + bc + a + + ) ≥ (a + b + c) − ≥ (đpcm) 2 1+b 1+c 1+a 2 (Do (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2 ) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3.) Đẳng thức xẩy và a = b = c = Bài toán 2.26 Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Chứng minh a b c d + + + ≥ 2 2 + b c + c d + d a + a2 b (2.34) Nhận xét 2.22 Ta có số nhận xét sau trước giải • Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho vế trái vì đó không sử dụng giả thiết bài toán • Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si mẫu số phân số vì đó bất đẳng thức đổi chiều a ab2 c = a − và sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho + b2 c + b2 c mẫu số thì ta giữ chiều bất đẳng thức • Ta sử dụng phân tích • Đẳng thức xẩy và a = b = c = d = Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 23 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có √ a ab2 c ab2 c ab c =a− ≥a− √ =a− + b2 c + b2 c 2b c √ b(a + ac) b a.a.c ≥a− ≥a− (2.34a) Hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức sau b c(b + bd) ≥b− 1+c d (2.34b) c d(c + ca) ≥c− 1+d a (2.34c) d a(d + db) ≥d− 1+d a (2.34d) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.34a), (2.34b), (2.34c), (2.34d), ta a b c d + + + ≥ (a + b + c + d) − (ab + bc + cd + da) 2 2 1+b c 1+c d 1+d a 1+a b − (abc + bcd + cda + dab) (2.34e) Từ bất đẳng thức Cô-si ta dễ dàng suy các bất đẳng thức sau ab + bc + cd + da ≤ (a + b + c + d)2 = 4 abc + bcd + cda + dab ≤ (2.34f) (a + b + c + d)3 = 16 (2.34g) Từ các bất đẳng thức (2.34e), (2.34f), (2.34g) ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xẩy và a = b = c = d = Bài toán 2.27 Cho a, b, c là các số dương thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh a+1 b+1 c+1 + + ≥ (2.35) b +1 c +1 a +1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a+1 (a + 1)b2 (a + 1)b2 ab + b = a + − ≥ a + − =a+1− 2 b +1 b +1 2b (2.35a) Tương tự ta có b+1 bc + c ≥b+1− c +1 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức (2.35b) Trang 24 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 c+1 ca + a ≥c+1− a +1 (2.35c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.35a), (2.35b), (2.35c) ta a+1 b+1 c+1 a + b + c ab + bc + ca + + ≥3+ − b +1 c +1 a +1 2 (2.35d) Mặt khác ta có (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2 ) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca ≤ (2.35e) Từ bất đẳng thức (2.35d), (2.35e) ta có bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xẩy và a = b = c = 2.4 Bài tập tự luyện Hãy sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh các bất đẳng thức đây Bài tập 2.1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 1 (a + )(b + )(c + ) ≥ b c a Bài tập 2.2 Cho a, b, c, d là các số thực không âm Chứng minh b c a a + + + ≥ b+c c+d d+a a+b Bài tập 2.3 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = Chứng minh b3 c3 a3 + + ≥ (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) (a + 1)(b + 1) Bài tập 2.4 Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh 1 27 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c)2 Bài tập 2.5 Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a Bài tập 2.6 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c + d = Chứng minh 1 1 + + + ≥ a2 + b2 + c2 + 12 d2 + Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 25 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài tập 2.7 (Đề thi vào 10 THPT chuyên KHTN 2000) Cho x, y > thỏa điều kiện x + y = Chứng minh (x2 + 1 289 )(y + ) ≥ y x 16 Bài tập 2.8 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác ABC Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.9 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác ABC Chứng minh b c a + + ≥ b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.10 Cho x, y, z > 0, Chứng minh (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 + + ≥ 4(x + y + z) z x y Bài tập 2.11 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh √ √ √ a2 + + b2 + + c2 + ≤ 2(a + b + c) Bài tập 2.12 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh a3 b c + + ≥ ab + bc + ca b c a Bài tập 2.13 Cho x, y > và thỏa điều kiện xy = Chứng minh x4 x y + ≤ +y y + x2 Bài tập 2.14 Cho x, y, z > Chứng minh x6 2y 2z 1 2x + + ≤ + + 4 4 +y y +z z +x x y z Bài tập 2.15 Cho x, y là hai số thực khác không Chứng minh 4x2 y x2 y + + ≥ (x2 + y )2 y x2 Bài tập 2.16 Cho a, b, c > thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a b c √ + √ + √ ≥ a + b + c c a b Bài tập 2.17 Cho x, y, z > Chứng minh √ √ √ y+z z+x x+y 4(x + y + z) + + ≥p x y z (y + z)(z + x)(x + y) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 26 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài tập 2.18 (Cao đẳng khối D-2010.) Cho x, y > và thỏa điều kiện 3x + y ≤ Chứng minh 1 + √ ≥ x xy Bài tập 2.19 (Đại học khối A-2007.) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Bài tập 2.20 (Đại học khối B-2007.) Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức y z x P = x( + ) + y( + ) + z( + ) yz zx xy Bài tập 2.21 (Đại học khối B-2005.) Chứng minh với x thuộc R, ta có: ( 12 x 15 20 ) + ( )x + ( )x ≥ 3x + 4x + 5x Bài tập 2.22 Cho x, y, z > và thỏa điều kiện x + y + z ≤ Chứng minh r r r √ 1 x2 + + y + + z + ≥ 82 x y z Bài tập 2.23 Cho x, y, z > và thỏa điều kiện xyz = Chứng minh x4 y y4z z4x + + ≥ 2 x +1 y +1 z +1 Bài tập 2.24 Cho x, y, z > và thỏa điều kiện xyz = Chứng minh x+y+z ≥ 1+x 1+y 1+z + + 1+y 1+z 1+x Bài tập 2.25 Cho a, b, c, d > Chứng minh a−d d−b b−c c−a + + + ≥ b+d c+b c+a d+a Bài tập 2.26 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = Chứng minh 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) Bài tập 2.27 Cho a, b, c > Chứng minh 36 + + ≥ a b c a+b+c Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 27 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài tập 2.28 Cho a, b, c, d > Chứng minh 1 16 64 + + + ≥ a b c d a+b+c+d Bài tập 2.29 Cho a, b, c > Chứng minh 3 + + ≥ 4( + + ) a b c a+b b+c c+a Bài tập 2.30 Cho a, b, c > Chứng minh a + 3c c + 3a 4b + + ≥ a+b b+c c+a Bài tập 2.31 Cho a, b, c là độ dài bai cạnh tam giác có chu vi là p Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p−a p−b p−c a b c Bài tập 2.32 Cho a, b, c > thỏa điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh 2a2 a b c + + ≥ abc + bc 2b + ca 2c + ab Bài tập 2.33 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện a4 + b4 + c4 = 48 Chứng minh ab2 + bc2 + ca2 ≤ 24 Bài tập 2.34 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh a6 b6 c6 + + ≥ b c c a2 a2 b Bài tập 2.35 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh √ √ √ √ 3 3 a9 + + b9 + + c9 + ≥ 3 Bài tập 2.36 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện + + = Chứng minh a b c a + b + c ≥ 36 Bài tập 2.37 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh 4a 9b 16c + + ≥ 26 b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.38 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ 1 ( + + ) − (a + b + c) ≥ a b c Bài tập 2.39 Cho a, b, c > và thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ a b c 3 + + ≥ b + c c + a2 a2 + b 2 Bài tập 2.40 Cho a, b, c, d > và thỏa điều kiện a3 + b3 + c3 + d3 = Chứng minh √ a2 b2 c2 d2 434 + + + ≥ b + c + d c + d + a3 d + a3 + b a3 + b + c 3 ——————————— Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 28 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 PHẦN THỨ BA: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng tính hiệu phương pháp “Sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức” Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thực nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm thực nghiệm) và 20 em học sinh lớp 10A2 (nhóm đối chứng) năm học 2013 - 2014 trường THPT Hai Bà Trưng – Thạch Thất Chọn học sinh hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Đề kiểm tra thực nghiệm Bài Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 1 (a + )(b + )(c + ) ≥ b c a Bài Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác ABC Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c b+c−a c+a−b a+b−c Kết thực nghiệm Điểm Lớp 10A1 Lớp 10A2 0 0 0 0 8 10 Số bài 20 20 Điểm TB 7,85 5,75 Dựa trên kết thực nghiệm thấy kết nhóm thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao nhóm thực nghiệm vượt trội so với nhóm đối chứng ——————————– Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 29 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài này đời là kết quá trình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo bất đẳng thức Đó còn là động viên, góp ý các bạn đồng nghiệp tổ Toán-Tin, Trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất Hy vọng đề tài này giúp các em học sinh cùng các bạn đồng nghiệp có cái nhìn toàn diện việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, với dạng toán tôi đã đưa phương pháp giải cụ thể và sau phần có bài tập tự luyện giúp bạn đọc có thể tự rèn luyện kỹ giải các dạng toán tương đương Mặc dù đã có đầu tư thời gian và công sức thân đề tài, xong trình độ chuyên môn còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều nên phần thiếu sót là không thể tránh khỏi Tôi mong nhận góp ý và bảo chân thành từ các bạn đọc nói chung và các bạn đồng nghiệp nói riêng Để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán nói chung và môn Đại số nói riêng là với học sinh trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất, tôi xin mạnh dạn đưa số ý kiến đề xuất sau: • Đối với nhà trường: Tổ chức các buổi hội thảo chuyên đề nội dung, phương pháp để phục vụ cho công tác giảng dạy môn, tổ chức các buổi ngoại khoá các phương pháp học tập mới, phương pháp tự học từ đó giúp các em học sinh chủ động, sáng tạo học tập • Đối với giáo viên: Cần thường xuyên nghiên cứu và tham gia các lớp bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ tích cực học hỏi từ các bạn đồng nghiệp để có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Tích cực tìm hiểu mức độ tiếp thu đối tượng học sinh, từ đó có điều chỉnh phù hợp công tác giảng dạy • Đối với học sinh: Cần tích cực học tập, không ngại khó và luôn phải phấn đấu Ngoài học trên lớp các em có thể tổ chức các buổi học nhóm Cần phải tìm hiểu các phương pháp tự học, từ đó thiết phải hình thành thói quen tự học, rèn tính chủ động học tập Cần phải tích cực làm và tham khảo các dạng bài tập khác nhau, tìm tòi các hướng giải khác với bài tập cụ thể XÁC NHẬN Hà nội, ngày 26 tháng năm 2014 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm mình viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Văn Dũng Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 30 Tài liệu tham khảo [1] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng - Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm [2] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng - Toán học 11, NXB Đại học Sư phạm [3] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Kim Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng bất đẳng thức Cô-si, NXB Đại học quốc gia Hà nội [4] Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức - Định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục [5] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [6] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [7] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10, NXB Giáo Dục [8] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức [9] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài (2006), Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục [10] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Việt Nam 31 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ ,Ngày .tháng .năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 32 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN ,Ngày .tháng .năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 33