Từ giả thiết lập được mối liên hệ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm, hiệu của hai vectơ chung gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung [r]
(1)CHƯƠNG 1: VECTƠ A PHẦN 1: VECTƠ DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ Phương pháp Ta dùng: Quy tắc điềm: AB AO OB (phép cộng) AB OB OA (phép trừ) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AC AB AD Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kì thì: IA IB 0 MA MB 2MI Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, với M là điểm bất kì thì: GA GB GC 0 MA MB MC 3MG Tính chất các hình đặc biệt Bài tập Bài 1: Cho điểm A, B, C, D, E, F và G Chứng minh rằng: AD CB a) AB CD AD BC b) AC BD AC BD c) AB CD CD DA 0 d) AB BC EF AF BC ED e) AC BD CF AE BF CD f) AD BE DC CE CB AB g) AC DE EA CB ED h) AB CD EF GA CB ED GF i) AB CD AB AF CD CB EF ED 0 j) (2) Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M là điểm tùy ý CMR: OB a) AB OA OC OB b) BD BA BA 0 c) BC BD OB BA d) CO DB e) AB BC OD OC f) DA DB DC 0 g) DA DB h) MA MC MB MD Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N là trung điểm AD và BC CMR: NA 0 a) AD MB b) AM AN AB AD Bài 4: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi M, N, P là trung điểm AB, AC, BC a) CMR: GM GN GP 0 b) Với O là điểm bất kì CMR: OA OB OC OM ON OP Bài 5: Cho ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ IQ PS 0 Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng B qua A, B’ là điểm đối xứng C qua đối xứng A qua C Với điểm O bất kì CMR: B, C’ là điểm OA OB OC OA ' OB ' OC ' Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, trực tâm H, vẽ đường kính AD a) CMR: BH DC b) CMR: HB HC HD c) Gọi H’ là điểm đối xứng H qua O CMR: HA HB HC HH ' Bài 8: Cho điểm A, B, C, D Gọi E, F là trung điểm AB và CD Chứng minh: a) Nếu AB CD thì AC BD AC BD AD BC 2 EF b) GA GB GC GD c) Gọi G là trung điểm EF Chứng minh: d) M là điểm bất kì Chứng minh: MA MB MC MD 4 MG Bài 9: Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J là trung điểm BC và CD Chứng minh: (3) 2( AB AI JA DA) 3DB Bài 10: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến I là trung điểm AM a) Chứng minh: IA IB IC 0 b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC 4OI Bài 11: Cho ABC có M là trung điểm BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH 2OM b) HA HB HC 2HO c) OA OB OC OH d) OH 3OG Bài 12: Cho hai tam giác ABC và ABC có các trọng tâm là G và G a) Chứng minh AA BB CC 3GG b) Từ đó suy điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM AB AC 3 Bài 14: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, D là trung điểm BC, N là điểm thuộc AC cho CN 2 NA K là trung điểm MN Chứng minh: 1 AK AB AC a) 1 KD AB AC b) Bài 15: Cho hình thang OABC M, N là trung điểm OB và OC Chứng minh rằng: 1 AM OB OA BN OC OB MN OC OB 2 a) b) c) Bài 16: Cho ABC Gọi M, N là trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: 4 AB CM BN AC CM BN MN BN CM 3 3 3 a) b) c) Bài 17: Cho ABC có trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng B qua G 1 AH AC AB CH AB AC 3 a) Chứng minh: và MH AC AB 6 b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh: Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có M, N trên cạnh AB, CD cho 3AM AB và (4) 11 AG AB BC 2CN CD Gọi G là trọng tâm tam giác BMN CMR: 18 AM AB Bài 19: Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, P trên đoạn AB, BC, CA cho: , BN BC , CP CA CMR: AN BP CM 0 Bài 20: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, CD 1 2 OP OA BP BN 3 và P là điểm thỏa mãn hệ thức: CMR: DẠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC Phương pháp: Bước 1: Ta biến đổi đẳng thức đã cho (bằng cách chèn điểm, hiệu hai vectơ cùng gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, ) dạng: AM u , đó A là điểm cố định, u cố định Bước 2: Muốn dựng điểm M ta lấy điểm A làm gốc, dựng vectơ vectơ u Khi đó điểm vectơ này chính là điểm M ►Chú ý: Thông thường , biểu thức: AM u là biểu thức đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, điểm chia đoạn theo tỉ lệ a k b , hình bình hành Ta dựa vào biểu thức này để dựng hình Để chứng minh I là trung điểm đoạn thẳng AB, ta chứng minh các hệ thức sau: IA BI IA IB 0 2IA AB 2MI MA MB (M tùy ý)\ (5) Để chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh các hệ thức sau: GA GB GC 0 2 AG AI (với I là trung điểm BC) 3MG MA MB MC (M tùy ý) AB DC AD BC Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm là: AA ' BB ' CC ' 0 AB k AC AM k thì: 1 k Nếu MB k MC Bài tập Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm M thỏa mãn các điều kiện sau: a) MA MB BA b) MA MB 0 c) MA 2MB 0 d) MA 3MB 0 e) 3MA MB 0 Bài 2: Cho tam giác ABC Xác định điểm M thỏa mãn các đẳng thức sau: a) MA MB MC 0 b) AM BM AB 0 c) MA MB CB d) MA MB 2MC 0 e) MA MB 2MC 0 f) 3MA MB MC 0 (6) g) 3MA 2MB MC 0 h) MA MA MC BC Bài 3: Cho tam giác ABC Xác định điểm K thỏa mãn các đẳng thức sau: a) KA KB KC 0 b) KA 3KB 3BC c) KA KB KC AB AC d) KA KB 2 BC CA e) KA KB 3KC AB AC Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC cho NC 2 NA a) Xác định điểm K cho: AB AC 12 AK 0 b) Xác định điểm D cho: AB AC 12 KD 0 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M, N, K cho: a) MA MB MC AD b) NC ND NA AB AD AC c) CMR: MN BA d) 3AK AB AC AD Bài 6: Cho các hình bình hành ABCD và ACEF EM BD a) Dựng các điểm M, N cho: và FN BD b) CMR: CA MN Bài 7: Gọi P là điểm xác định bởi: 5PA PB PC 0 và G là trọng tâm tam giác ABC a) CMR: GP 2 AB QA b) Với AP BG Q Hãy tính tỉ số: QP c) Gọi A’ là điểm đối xứng A qua B, B’ là điểm đối xứng B qua C, C’ là điểm đối xứng C qua A CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 8: Cho tam giác ABC (7) a) Xác định các điểm D, E cho: AD AB AC và BE BA BC b) CMR: C là trung điểm đoạn thẳng ED c) Gọi A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA và AB CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 9: Cho hình bình hành ABCD AM DB a) Hãy xác định điểm M, P cho: và MP AB b) CMR: P là trung điểm đoạn thẳng DP c) Gọi K là điểm thuộc miền hình bình hành ABCD CMR: tam giác ACK và tam giác BDK có cùng trọng tâm Bài10: Cho hai điểm A, B: 2 3 AE AB AF AB 5 a) Dựng các điểm E, F cho: và b) CMR: hai đoạn thẳng AB và EF có cùng trung điểm là I Bài 11: Cho O, A, B, C là điểm bất kì mặt phẳng Đặt OA u , OB v và OC w a) Hãy dựng Fsao cho: các điểm D, E, OD u v w , OE u v w và OF u v w b) CMR: A là trung điểm đoạn thẳng DE và C là trung điểm đoạn thẳng FD OD OE OF OA OB OC c) CMR: Bài 12: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR: tam giác ANP và tam giác CMQ có cùng trọng tâm Bài 13: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA CMR: tam giác MPR và tam giác NQS có cùng trọng tâm Bài 14: Cho tam giác ABCvà số thực k Gọi A’, B’, C’ xác định AA ' k AB , BB ' k BC và CC ' kCA CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 15: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý Trong trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K, P cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm M 2MA MB k MI a) b) MA MB MC k MJ MA MB MC 3MD k MK c) d) MA MB 3MC MD k MP DẠNG 3: BIỂU DIỄN VECTƠ - CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – ĐỒNG QUY (8) Phương pháp: Tính vectơ theo các vectơ không cùng phương: ta sử dụng theo hướng sau: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển vectơ phương pháp xen điểm, hiệu hai vectơ chung gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm Từ giả thiết lập mối liên hệ các đối tượng, từ đó khai triển biểu thức này phương pháp xen điểm, hiệu hai vectơ chung gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm Chứng minh điểm thẳng hàng: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB k AC (1) Để nhận (1) ta lựa chọn hướng sau: - Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ AB - Xác định (tính) và AC thông qua tổ hợp trung gian AB k DC Để chứng minh AB // DC ta cần chứng minh: Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi D là điểm đối xứng B qua G, M là trung điểm BC Hãy biểu diễn các vectơ: a) CD, AD theo AB, AC b) MD theo AB, AC Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi I là điểm trên cạnh BC cho: 2CI 3BI và J là điểm trên BC kéo dài cho: JB 2 JC a) Tính: AI , AJ theo AB và AC AG AJ AI b) Tính theo và Bài 3: Cho tam giác ABC có M, D là trung điểm AB, BC và N là điểm trên cạnh 1 AN NC AC cho: Gọi K là trung điểm MN Hãy tính AK , KD theo AB , AC Bài 4: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB, AC lấy điểm D và E cho: AD 2 DB , (9) CE 3EA Gọi M, I là trung điểm DE và BC Tính: AM , MI theo AB và AC AB , Bài 5:Cho tam giác ABCcó hai đường trung tuyến BN, CP Hãy biểu thị các vectơ BC , CA theo các vectơ BN , CP Bài 6: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BP Gọi G’ là điểm đối xứng với G qua P AG ' CG ' AB a) Tính , theo và AC b) CM: AC AB 6 MG ' Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài cho: IB 3IC a) Tính AI theo AB và AC JA 2 JC và KB 3KA b) Gọi J,K là cácđiểm thuộc cạnh AC, AB cho Tính JK theo AB và AC BC c) Tính theo AI và JK Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, CD 1 OP OA và P là điểm thỏa mãn hệ thức: a) CMR: AP AC 0 b) CMR: điểm B, P, N thẳng hàng c) CMR: đường thẳng AC, BD, MN đồng quy Bài 9: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi là trung điểm AB, BC M, N lần lượt Lấy hai điểm I, J cho: IA 3IC 0 và JA JB JC 0 a) CMR: M, N, J thẳng hàng b) CMR: J là trung điểm BI AE k AB Xác định k để C, E, J thẳng hàng c) Gọi E là điểm thuộc AB cho: Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O và E, F xác định các hệ thức sau: 1 1 AE AB CF CD k 0 k k , a) CMR: OE và OF là vectơ đối b) CMR: O, E, F thẳng hàng và O là trung điểm EF c) CMR: tứ giác AECF là hình bình hành 2AD AB , Bài 11: Cho tam giác ABC, các điểm D, E, G xác định hệ thức: (10) AE 2CE và 2GD GC a) CM: BE // CD b) Gọi M là trung điểm cạnh BC CMR: A, G, M thẳng hàng Bài hình bình hành ABCD và điểm E, F thỏa mãn các hệ thức: 2CE EB 0 , 12: Cho 3DF BD 0 a) CM: điểm A, E, F thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M để hệ thức sau thỏa mãn: AM 3AF 0 Bài 13: Cho tam giác ABC BE AB a) Dựng , BF 3 AC , các điểm E, F, G thỏa mãn các hệ thức: BG BE BF b) CM: điểm G nằm trên đường thẳng BC Bài 14: Cho tam giác ABC 2 AE AB a) Dựng các điểm E, F, M, N cho các đẳng thức sau thỏa mãn: , 1 BF AB EM BC FN BC , và b) Các điểm A, M, N có thẳng hàng không? Tại sao? Bài 15: Cho tam giác ABC và điểm I, F xác định bởi: IA 3IC 0 và FA FB 3FC 0 CMR: điểm I, F, B thẳng hàng Bài 16: Cho tam giác ABC BE AB AC a) Dựng các điểm E, D cho: và AD 3 AB AC b) CMR: các điểm A, D, E thẳng hàng Bài 17: Cho hình bình hành ABCD AF 3AD BE AB a) Dựng các điểm E, F cho: , b) Dựng điểm G cho tứ giác AEGF là hình bình hành c) Chứng tỏ điểm: A, C, G thẳng hàng Bài 18: Cho tam giác DEF EH ED 3EF a) Dựng điểm H cho: b) CM: điểm H nằm trên đường thẳng DF Bài 19: Cho tam giác ABC có M là trung điểm trung tuyến AD, N là điểm thỏa mãn hệ (11) thức: 3AN AC a) CM: điểm B, M, N thẳng hàng 2 2 AI AB AJ AC b) Trên BC lấy điểm I cho: , trên AC lấy điểm J cho: CM: điểm I, M, J thẳng hàng Bài 20:Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm AB và E là điểm thỏa mãn hệ thức: 3IE ID CM: điểm A, C, E thẳng hàng Bài 21: Cho tam giác ABC a) Dựng các điểm K, L cho: KA KB KC 0 và LB 3LC 0 b) CMR: điểm A, K, L thẳng hàng Bài tamgiácABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N, P là điểm thỏa mãn hệ thức: 22: Cho NA NC 0 , PB PC 0 CMR: điểm M, N, P thẳng hàng 3MA MB 0 , Bài 23: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định bởi: NB NC 0 CMR: MN qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 24: Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm cạnh BC và E là điểm xác định 2 AE AC bởi: CMR: điểm D, E, I thẳng hàng Bài 25: Cho tam giác ABC 3 3 AD AB DE BC 2 a) Dựng các điểm D, E thỏa mãn các hệ thức: , b) CM: điểm A, C, E thẳng hàng MA ND Bài 26: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là hai điểm di động trên AB, CD cho: MB NC và I, J là trung điểm AD, BC IJ AB a) Tính theo và DC b) CM: trung điểm P MN nằm trên đường thẳng IJ MA MB , BC 3BN và Bài 27: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn: AP 3 AC AN MP AB a) Tính , theo và DC 16 AI AN b) CMR: điểm M, I, P thẳng hàng, với điểm I thỏa mãn: Bài 28: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hai điểm M, N trên cạnh AB, CD thỏa mãn: 3AM AB , 2CN CD (12) a) Tính: AN theo AB và AC 11 AG BA BC 18 b) Gọi G là trọng tâm tam giác BMN CMR: c) Gọi I là điểm thỏa mãn: 11BI 6 BC CMR: A, I, G thẳng hàng MA MB MC MD 4 AB d) Tìm điểm M thỏa mãn: Bài 29: Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J là trung điểm AB, CD Dựng các 1 1 DE DI BF BJ 4 điểm E, F thỏa mãn: và CMR: EF // CE Bài 30: Cho tam giác ABC, điểm và D, E, F tự xác M là trung cạnh AB theo thứ định các hệ thức sau: 3DB DC 0 , EA 3EB EC 0 và 5AF AC 0 a) CMR: EM // BC b) CMR: điểm A, D, E thẳng hàng c) CMR: đường thẳng: AD, BC, MF đồng quy DẠNG 4: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ – QŨY TÍCH ĐIỂM VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Quỹ tích điểm: Sử dụng các phương pháp biến đổi để đưa các trường hợp sau: MA MB TH1: Nếu với A, B cho trước (cố định) thì M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB MC k AB TH2: Nếu với A, B, C cho trước (cố định) thì điểm M thuộc đường tròn tâm C bán kính R k AB MA k MB với A, B, C cho trước (cố định) thì: TH3: Nếu - Với k thì điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC - Với k thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC - Với k thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC (13) Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo Chứng minh: AC BA AD ; AB AD AC a) AB AD CB CD thì ABCD là hình chữ nhật b) Nếu AB AC ; AB AC và AB BH Bài 2: Cho ABC cạnh a và đường cao AH Tính Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AC AD Bài 4: Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài các vectơ HA,HB, HC AB AD , AB AC Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài các vectơ , AB AD Bài 6: Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm Msao cho: a) MA MB MA MB b) MA MB MA MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Bài 7: Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M cho: MA MB MC MB MC MA BC MA MB a) b) MA MB MB MC c) d) MA MB MC MA MB MC HD: a) Trung trực IG (I là trung điểm BC, G là trọng tâm ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA Bài 8: Cho ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA IB IC 0 b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN 2 MA MB MC luôn qua điểm cố định c) Tìm tập hợp các điểm H cho: HA 2HB HC HA HB KA KB KC 3 KB KC d) Tìm tập hợp các điểm K cho: Bài 9: Cho ABC (14) IA IB IC a) Xác định điểm I cho: DB DC 0 b) Xác định điểm D cho: c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng MA MB MC MA MB MC d) Tìm tập hợp các điểm M cho: Bài 10: Cho tam giác ABC ,M là điểm tùy ý mặt phẳng a) CMR: v 3MA 5MB 2MC không đổi 3MA MB MC MB MC b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: B PHẦN 2: TỌA ĐỘ Tóm tắt lí thuyết Hệ trục toạ độ Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với Vectơ đơn vị trên Ox, Oy i là , j O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung u ( x ; y ) u x i y j Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: M ( x ; y ) OM x i y j Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: a ( x ; y ), b ( x; y), k R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) : Tính chất: Cho x x a b y y 1) a 2) b ( x x ; y y ) 3) ka (kx; ky ) b a 4) cùng phương với 0 k R: x kx vaø y ky x y y (nếu x 0, y 0) x (15) 5) AB ( x B x A ; yB y A ) 6) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: 7) Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xI xG 8) Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: MA k MB ) ( M chia đoạn AB theo tỉ số k x A xB y yB ; yI A 2 x A xB xC xM Bài tập 1 a 2i j ; b i j ; c 3i ; d j a) 1 3 a i j ; b i j ; c i j ; d j ; e 3i 2 b) Bài 2: Viết dạng u xi yj biết toạ độ vectơ u là: a) u (2; 3); u ( 1; 4); u (2; 0); u (0; 1) a (1; 2), b (0;3) Tìm toạ độ các vectơ sau: Bài 3: Cho x a b ; y a b ; z a 3b a) 1 u 3a 2b; v 2 b; w 4a b b) 1 a (2; 0), b 1; , c (4; 6) 2 Bài 4: Cho a) Tìm toạ độ vectơ d 2a 3b 5c b) Tìm số m, n cho: ma b nc 0 c theo a ,b c) Biểu diễn vectơ y A yB yC x A kx B y kyB ; yM A 1 k 1 k Bài 1: Viết tọa độ các vectơ sau: b) u (1;3); u (4; 1); u (1; 0); u (0;0) ; yG (16) Bài 5: Cho hai điểm A(3; 5), B(1; 0) a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Bài 6: Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Bài 7: Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM 2 AB AC AN BN CN d) Tìm tọa độ điểm N cho: Bài 8: Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh là A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Bài 9: Cho điểm A( 1,1) , B (2;1) , C ( 1; 3) a) CMR: tồn tam giác ABC b) Tính chu vi tam giác c) Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác d) Xác định điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành e) Tìm điểm M thuộc trục Ox cho M cách A, B f) Tìm điểm N thuộc trục Oy cho N cách B, C Bài 10: Cho tam giác ABC có A(4;1) , B (2; 4) và C (2; 2) a) Tính chu vi tam giác b) Xác định điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành c) Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác d) Xác định tọa độ trực tâm H tam giác (17) e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 11: Cho A(1;3) , B(2;5) và C (4; 1) a) Tìm chu vi tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm các đoạn thẳng AB, AC c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành e) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (18)