Chương 1: Vectơ

CHƯƠNG I: VECTƠ I. CÁC ĐỊNH NGHĨA: 1. Vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có định hướng, vectơ AB ký hiệu uuur AB . A là điểm đầu . B là điểm cuối . Giá là đường thẳng AB . Chiều từ A đến B gọi là hướng uuur AB . Độ dài của uuur AB là độ đoạn thẳng AB . Ký hiệu là AB uuur hay AB 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: - Hai vectơ được gọi là cùng phương khi chúng song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng. A B M N C D Q P uuur AB cùng hướng với CD uuur MN uuur ngược hướng PQ uuur 3. Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau : . Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài uuur AB , CD uuur cùng hướng . uuur AB = CD uuur ⇔ AB CD= uuur uuur . Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. uuur AB , CD uuur ngược hướng . uuur AB = - CD uuur ⇔ AB CD= uuur uuur 4. Vectơ không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không AA BB MM 0= = = uuur uur uuur r II. TỔNG CỦA HAI VECTƠ: 1. Định nghĩa: cho a,b r r Dựng AB a,BC b= = uuur r uur thì AC a b= + uuur r r 2. Các tính chất của cộng vectơ: . Tính chất cộng giao hoán : a b b a+ = + r r r r . Tính chất kết hợp : ( ) ( ) a b c a b c+ + = + + r r r r r r . Tính chất của vectơ không : a 0 0 a a+ = + = r r r r r 3. Các quy tắc cần nhớ: A B . Quy tắc 3 điểm: Nối ba điểm bất kỳ A , B , C ta có: AB BC AC+ = uuur uur uuur . Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành ta có: AB AD AC+ = uuur uuur uuur 4. Ghi nhớ: - Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA MB 0+ = uuur uuur r - Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r III. HIỆU CỦA HAI VECTƠ: 1. Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a r và b r kí hiệu a r - b r là tổng của a b b a+ = + r r r r và vectơ đối của ( ) a b a b− = + − r r r r 2. Quy tắc hiệu của hai vectơ: - Dựng OA a;OB b= = uuur r uuur r khi đó ta có BA a b= − uur r r IV. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ: 1. Định nghĩa: Tích của vextơ a r với số thực k là một vectơ kí hiệu ka r được xác định như sau : + Nếu k ≥ 0 thì vectơ ka r cùng hướng với vectơ a r + Nếu k < 0 thì vectơ ka r ngược hướng với vectơ a r + Độ dài vectơ ka r bằng k . a r 2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số: Với hai vectơ bất kỳ a,b r r và mọi số thực k, l ta có : + ( ) ( ) k a k a= r r l l + ( ) k a ka a+ = + r r r l l + ( ) k a b ka kb+ = + r r r r + ( ) k a b ka kb− = − r r r r + ka 0 k 0= ⇔ = r r hoặc a 0= r r 3. Ghi nhớ: . I là trung điểm đoạn thẳng AB và M là điểm bất kỳ ta có : MA MB 2MI+ = uuur uuur uur . G là trọng tâm ∆ ABC và M là điểm bất kỳ ta có : MA MB MC 3MG+ + = uuur uuur uuur uuur 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương: . Vectơ b r cùng phương với vectơ a r ( ) a 0≠ r r khi và chỉ khi có số k sao cho b ka= r r . Ứng dụng : Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB kAC= uuur uuur 5. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương: Định lý: Cho hai vectơ không cùng phương a r và b r . Khi đó mọi vectơ c r đều có thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ a r và b r nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho c ma nb= + r r r V. HỆ TRỤC TOẠ ĐÔ: 1. Các phép toán của vectơ: Cho ( ) ( ) 1 2 1 2 a a ,a ;b b ,b= = r r và số thực k . ( ) 1 1 2 2 a b a b ;a b+ = + + r r . ( ) 1 2 ka ka ;ka= r . ( ) 1 1 2 2 a b a b ;a b− = − − r r . 1 1 2 2 a b a b a b =  = ⇔  =  r r . a r cùng phương với b r ( ) 1 2 1 2 1 2 a a b ,b 0 b b ⇔ = ≠ 2. Tọa độ của vectơ: Cho hai điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) ta có : ( ) B A B A AB x x ;y y= − − uuur 3. Khoảng cách hai điểm: ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − Ngày 1/12/2007 5. Toạ độ trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của ∆ABC ta có: A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3 − +  =    − +  =   6. Toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC: Nếu I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ta có: 2 2 2 2 AI BI AI CI  =   =   7. Tìm toạ độ trực tâm ∆ ABC: Gọi H là trực tâm ∆ABC ta có : AH.BC 0 BH.AC 0  =   =   uuur uur uur uuur VI. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ 0 0 đến 180 0 ) 1. Định nghĩa: Với mỗi góc α (0 0 ≤ α≤ 180 0 ) ta xác định điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao cho · MOxα= . Giả sử điểm M có toạ độ (x; y), khi đó: - Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α kí hiệu là sinα. - Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của góc α kí hiệu là cosα. - Tỉ số ( ) y x 0 x ≠ của điểm M gọi là tan của góc α kí hiệu là tanα. - Tỉ số ( ) x y 0 y ≠ của điểm M gọi là côtang của góc α kí hiệu là cotα. 2. Định lý về góc phụ: + Hai góc phụ nhau khi tổng của chúng bằng 90 0 . Vậy một góc là α thì góc kia là 90 0 - α. + Định lý: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. - sinα = cos(90 0 - α) - cosα = sin(90 0 - α) - tanα = cot(90 0 - α) - cotα = tan(90 0 - α) 3. Định lý về góc bù: + Hai góc được gọi là bù nhau khi tổng của chúng bằng 180 0 Vậy một góc là α thì góc kia là 180 0 - α + Định lý: Hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn cosin, tang và cotang của chúng đối nhau - sin(180 0 - α) = sinα - cos(180 0 - α) = - cosα - tan(180 0 - α) = - tanα (α ≠ 90 0 ) - cot(180 0 - α) = - cotα (0 0 < α < 180 0 ) . CHƯƠNG I: VECTƠ I. CÁC ĐỊNH NGHĨA: 1. Vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có định hướng, vectơ AB ký hiệu uuur AB . A là điểm đầu . B là điểm cuối với vectơ a r + Nếu k < 0 thì vectơ ka r ngược hướng với vectơ a r + Độ dài vectơ ka r bằng k . a r 2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số: Với hai vectơ bất kỳ a,b r r và mọi số. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương: Định lý: Cho hai vectơ không cùng phương a r và b r . Khi đó mọi vectơ c r đều có thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ a r