CHUONG 1 VECTO

CHỦ ĐỀ VECTƠ  Bài 01 ĐỊNH NGHĨA Khái niệm vectơ Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Định nghĩa Vectơ đoạn thẳng có hướng Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B uuu r kí hiệu AB đọc “ vectơ uuu r AB “ Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB đánh dấu mũi tên đầu nút B r r r r Vectơ kí hiệu a, b, x, y, khơng cần rõ điểm đầu điểm cuối Vectơ phương, vectơ hướng Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng uuur uuu r hai vectơ AB AC phương Hai vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu uuu r điểm cuối vectơ Độ dài AB kí hiệu uuur AB , uuu r AB = AB Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị r r Hai vectơ a b gọi chúng r r hướng có độ dài, kí rhiệu a = b Chú ý Khi cho trước vectơ a điểm O, ta ln tìm uur r điểm A cho OA = a Vectơ – khơng Ta biết vectơ có điểm đầu điểm cuối hoàn toàn xác định biết điểm đầu điểm cuối Bây với điểm A ta quy ước có vectơ đặc biệt mà điểm đầu điểm cuối A Vectơ kí uuu r hiệu la AA gọi vectơ – không CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu Vectơ có điểm đầu là: uuur DE D, điểm cuối uuu r E kí hiệu uuur A DE B C ED D DE Câu Cho tam giác ABC , xác định vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A B C D Câu Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác? A B C D 12 Vấn đề HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu Mệnh đề sau đúng? A Có vectơ phương với vectơ B Có hai vectơ có phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ D Khơng có vectơ phương với vectơ Câu Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khi đó: uuu r A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB uuur phương với AC uuur B Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng với M , MA uuu r phương với AB uuur C Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng với M , MA uuu r phương với AB uuu r uuur D Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng AB = AC Câu Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng? uuuu r uur uuur uuur uuu r uuur A MN CB B AB MB C MA MB uuur uur D AN CA Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác uuu r vectơ khơng, phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác là: A B C D Vấn đề HAI VECTƠ BẰNG NHAU uuur Câu Với DE (khác vectơ khơng) độ dài đoạn ED gọi uuu r uuu r A Phương ED B Hướng ED uuu r C Giá ED D Độ dài uuu r ED Câu Mệnh đề sau sai? uuu r r A AA = B vectơ uuu r AB > r r hướng với C D phương với vectơ Câu 10 Hai vectơ gọi A Giá chúng trùng độ dài chúng B Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác D Chúng hướng độ dài chúng Câu 12 Cho tứ giác ABCD Điều kiện điều kiện cần uuu r uuu r đủ để AB = CD ? A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành C AD BC có trung điểm D AB = CD uuu r uuu r Câu 13 Từ mệnh đề AB = CD , ta suy uuu r uuu r uuu r uuu r A AB hướng CD B AB phương CD uuu r uuu r AB = CD C D ABCD hình bình hành Hỏi khẳng định sai? Câu 14 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? uuu r uuur uur uuur uur uuu r uur uuu r A AB = DC B OB = DO C OA = OC D CB = DA Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P , Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳng định sau sai? uuu r uuuu r QP = MN uuuu r uuu r MN = QP A B Câu 16 Cho hình vng đúng? uuur uuu r A AC = BD C ABCD D Khẳng định sau uuu r uuu r AB = CD B uuu r uuu r AB = BC uuuu r uuur MN = AC uuur uuur MQ = NP uuu r uuur AB, AC C D hướng O Câu 17 Gọi giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề sau đúng? uur uuu r uur uuu r A OA = OC B OB OD hướng uuur AC uuur uuu r AC = BD uuu r BD M, N C hướng D Câu 18 Gọi trung điểm cạnh ABC tam giác Đẳng thức sau đúng? uuur uuur MA = MB uuu r uuur AB = AC uuuu r a AM = uuur uuur MB = MC A B Câu 20 Cho hình thoi sau đúng? A B Câu 21 Cho lục giác sau sai? A uuu r uuu r AB = ED B uuu r uuur AB = AF a uuuu r AM = a ABCD uuu r BD = a uuu r uuur AB = AD uuur uuuu r BC = MN uuuu r uuu r MN = BC A B C ABC Câu 19 Cho tam giác cạnh BC Khẳng định sau đúng? C cạnh a C uuu r uuur BD = AC C uuu r uuu r OD = BC ABCDEF AB, AC D Gọi M trung điểm D uuuu r a AM = � = 60� BAD Đẳng thức uuu r uuur D BC = DA có tâm O Đẳng thức D uur uuu r OB = OE Câu 22 Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ uuu r OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C D Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur A HA = CD AD = CH B HA = CD AD = HC uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur C HA = CD AC = CH D HA = CD AD = HC uur uuu r OB = OD uuu r r Câu 24 Cho AB �0 điểm C Có điểm D uuu r uuu r AB = CD ? thỏa mãn A B C D Vô số uuu r r AB � C Câu 25 Cho điểm , có điểm uuu r uuu r thỏa mãn AB = CD A B C D Vơ số D  Bài 02 TÔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ Tổng hai vectơ r r Định nghĩa Cho hai vectơ a b Lấy điểm A tùy ý, vẽ uuu r r uuu r r uuur r AB = a BC = b Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a r r uuur r r r r r b Ta kí hiệu tổng hai vectơ a b a + b Vậy AC = a + b Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur AB + AD = AC Tính chất phép cộng vectơ r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r  a + b = b + a (tính chất giao hốn); r  r ( ar + b) + cr = ar +( b + cr ) (tính chất kết hợp);  r r r r r a + = 0+ a = a (tính chất vectơ – không) Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối r r a gọi Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng với r r vectơ đối vectơ a, kí hiệu - a uuu r Mỗi vectơ có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối AB uuu r uuu r - AB = BA uuur BA, nghĩa r r Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ b) Định nghĩa hiệu hai vectơ r r Định nghĩa Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu hai vectơ r a r b r r a+ - b , ( ) r r a - b r r r r a- b = a + - b ( ) vectơ kí hiệu Như Từ định nghĩa hiệu hai vectơ, suy với ba điểm uuu r uur uur tùy ý ta có AB = OB - OA O, A, B Chú ý 1) Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta ln có uuu r uuu r uuur AB + BC = AC (quy tắc ba điểm); uuu r uuur uur AB - AC = CB (quy tắc trừ) Thực chất hai quy tắc suy từ phép cộng vectơ Áp dụng a) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB uur uu r r IA + IB = G uuu r uuu r uuu r r GA +GB +GC = b) Điểm trọng tâm tam giác ABC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu Khẳng định sau đúng? uuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuu r A AB + AC = BC B MP + NM = NP uur uuu r uur uuu r uur uuu r C CA + BA = CB D AA + BB = AB r r r r Câu Cho a b vectơ khác với a vectơ đối r b Khẳng định sau sai? r r a, b r r a, b A Hai vectơ r r a, b phương B Hai vectơ độ dài D Hai vectơ ngược hướng C Hai vectơ r r a, b chung điểm đầu Câu Cho ba điểm phân biệt A, B, C Đẳng thức sau đúng? uur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A CA - BA = BC B AB + AC = BC uuu r uur uur uuu r uuu r uur C AB +CA = CB D AB - BC = CA uuu r uuu r Câu Cho AB = - CD Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r uuu r uuu r A AB CD hướng B AB CD độ dài uuu r uuur r B ABCD hình bình hành D AB + DC = uuuu r uuu r uuur uuur uuu r MN + PQ + RN + NP + QR uuuu r uuu r MN C PR Câu Tính tổng uuur uuur A MR B D MP Câu Cho hai điểm A B phân biệt Điều kiện để I trung điểm AB là: uur uu r uur uur uur uur A IA = IB B IA = IB C IA = - IB D AI = BI Câu Điều kiện điều kiện cần đủ để I trung điểm đoạn thẳng AB ? uur uur r uur uu r r uur uur A IA = IB B IA + IB = C IA - IB = D IA = IB Câu Cho D ABC cân A , đường cao AH Khẳng định sau sai? uuu r uuur AB = AC uuur uuu r HC = - HB uuu r uuu r AB = BC uuu r uuu r AB = CD A B Câu Cho hình vng đúng? uuu r uuur AB = AC uuu r uuur C D BC = 2HC ABCD Khẳng định sau uuur uuu r AC = BD uuur uur AD = CB A B C D Câu 10 Mệnh đề sau sai? uuur uuur r A Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = uuu r uuu r uuu r r B Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA +GB +GC = uur uuu r uur C Nếu ABCD hình bình hành CB +CD = CA D Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý đường thẳng uuu r uuu r uuur AB + BC = AC Câu 11 Gọi O tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? uur uur uuu r uur uuu r uuu r uur A OA - OB = CD B OB - OC = OD - OA uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r C AB - AD = DB D BC - BA = DC - DA uur uuu r Câu 12 Gọi O tâm hình vng ABCD Tính OB - OC uuu r uuu r uuu r uur uuu r A BC B DA C OD - OA D AB Câu 13 Cộng vectơ có độ dài giá Khẳng định sau đúng? r r A Cộng vectơ ta kết B Cộng vectơ đôi ngược hướng ta kết r C Cộng 121 vectơ ta kết D Cộng 25 vectơ ta vectơ có độ dài Câu 14 Cho tam giác ABC cạnh a Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uur uur uuu r A AB = BC = CA B CA = - AB uuu r uuu r uur AB = BC = CA = a uur uuu r uuu r uur uuu r AB = BC � CA = BC uuu r uuu r C D CA = - BC Câu 15 Cho tam giác ABC , với M trung điểm BC Mệnh đề sau đúng? uuuu r uuur uuu r r uuur uuur uuu r A AM + MB + BA = B MA + MB = AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuuu r C MA + MB = MC D AB + AC = AM Câu 16 Cho tam giác ABC , với M , N , P trung điểm BC, CA, AB Khẳng định sau sai? uuu r uuu r uuur r uuu r uuur uuu r r A AB + BC + AC = B AP + BM +CN = uuuu r uuu r uuur r uur uuur uuur C MN + NP + PM = D PB + MC = MP Câu 17 Cho ba điểm A, B, C Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uur r A AB + BC = AC B AB + BC +CA = uur uuu r C D AB - CA = BC Câu 18 Cho tam giác ABC có AB = AC đường cao AH Đẳng thức sau đúng? uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur r A AB + AC = AH B HA + HB + HC = uuu r uuur r uuu r uuur C HB + HC = D AB = AC Câu 19 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH Khẳng định sau sai? A uuur uuur uuur uuur AH + HB = AH + HC uuu r uuu r uuur uuu r B uuur uuu r uuur uuur AH - AB = AC - AH uuur uuu r uuur AH = AB - AH C BC - BA = HC - HA D M , N , P Câu 20 Cho trung điểm cạnh AB, BC, CA uuur uuu r tam giác ABC Hỏi vectơ MP + NP vectơ nào? uuu r uur uuuu r uuur uuu r A AP B PB C MN D MB + NB Câu 21 Cho đường tròn O hai tiếp tuyến song song với tiếp xúc với ( O) hai điểm A B Mệnh đề sau đúng? uur uur uuu r uur A OA =- OB B AB = - OB C OA = - OB D AB = - BA Câu 22 Cho đường tròn O hai tiếp tuyến MT , MT �( T T �là hai tiếp điểm) Khẳng định sau đúng? uuuu r uuuur MT = MT � B MT + MT � = TT � A C MT = MT � uuuu r uuur D OT = - OT � Câu 23 Cho bốn điểm A, B, C, D Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uuur uur uuu r uuu r uuu r uuu r A AB +CD = AD +CB B AB + BC +CD = DA uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uur C AB + BC = CD + DA D AB + AD = CD +CB Câu 24 Gọi O tâm hình vng ABCD Vectơ uur vectơ CA ? uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuur uur A BC + AB B - OA +OC C BA + DA D DC - CB Câu 25 Cho lục giác ABCDEF O tâm Đẳng thức sau đúng? uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur A OA +OC +OE = B BC + FE = AD uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r C OA +OC +OB = EB D AB +CD + EF = Câu 26 Cho O tâm hình bình hành ABCD Hỏi vectơ uuur ( AO - uuur DO ) vectơ nào? uuu r uuur uuur A B BC C DC D AC Câu 27 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đẳng thức sau sai? uur uur uuu r uuu r r uuur uuu r uuur A OA +OB +OC +OD = B AC = AB + AD uuu r BA uuu r uuu r uuur uuur BA + BC = DA + DC uuu r uuu r uuu r uur C D AB +CD = AB +CB Câu 28 Gọi O tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E , F trung điểm AB, BC Đẳng thức sau sai? uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A DO = EB - EO B OC = EB + EO uur uuu r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r uuur r C OA +OC +OD +OE +OF = D BE + BF - DO = Câu 29 Cho hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A GA +GC +GD = BD B GA +GC +GD = CD uuu r uuu r uuu r ur uuu r uuu r uuu r uuu r C GA +GC +GD = O D GA +GD +GC = CD Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định sau đúng? uuur uuu r uuu r uuur uuur r A AC = BD B AB + AC + AD = C uuu r uuur uuu r uuur AB - AD = AB + AD D uuu r uuu r uuur uuu r BC + BD = AC - AB Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uuur uuur uuur uuur uuur uuur r � MA + MB =- MC � MA + MB + MC = Vậy từ đẳng thức ( *) Chọn D � M ( *) trọng tâm tam giác uuu r ABC r uuu r r không thẳng hàng điểm M Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt GA = a, GB = b uuu r r r Hãy tìm m, n để có BC = ma + nb A m= 1, n = B m= - 1, n =- C m= 2, n = D m= - 2, n = - Lời giải Ta có uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r BC = BG +GC = BG - GA +GB = - GA - 2GB GA +GB + GC = ( ) Chọn B Câu 28 Cho ba điểm ( A, B, C thỏa mãn đẳng thức vectơ thức P = x + y A P = B P = uuu r ) uuur uuur uuur MA = x MB + yMC C Tính giá trị biểu P = - D P = uuur Lời giải Do AB AC không phương nên tồn số thực x, y cho uuuu r uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur AM = xAB + yAC, " M � AM = xAM + xMB + yAM + yMC uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur � ( 1- x - y) AM = xMB + yMC � ( x + y - 1) MA = xMB + yMC Theo ra, ta có Chọn B uuur uuur uuur MA = xMB + yMC Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD suy x + y - 1= � x + y = số thực k > Tìm tập uuur uuur uuur uuuu r MA + MB + MC + MD = k hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức A Một đoạn thẳng B Một đường thẳng C Một đường tròn D Một điểm Lời giải Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có uuu r uuur uuur � 2MI = MA + MC � � uuu r uuur uuuu r, "M � MI = MB + MD � � Do Vì uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r k MA + MB + MC + MD = k � 2MI + 2MI = k � MI = k � MI = ( *) I điểm cố định nên tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) đường tròn tâm I, bán kính k R= Chọn C Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD I giao điểm hai đường chéo Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn uuur uuur uuur uuuu r MA + MB = MC + MD AB A Trung trực đoạn thẳng đoạn thẳng AD C Đường tròn tâm I, bán kính B Trung trực AC D Đường tròn AB + BC tâm I , bán kính Lời giải Gọi E , F trung điểm AB, CD uuur uuur uuur �MA + MB = 2ME � �uuur uuuu r uuur , " M � � �MC + MD = 2MF uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur MA + MB = MC + MD � ME = MF � ME = MF ( *) Khi Do hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) � tập hợp điểm M trung trực đoạn thằng EF trung trực đoạn thẳng AD Chọn B Câu 31 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng E, F Vì thức uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA - MB AB I, A Đường tròn tâm đường kính B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng D Đường trung trực đoạn thẳng IA Lời giải Vì Do I trung điểm AB AB suy uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r AB MA + MB = MA - MB � MI = BA � MI = uuur uuur uuur MA + MB = MI ( *) Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) đường tròn tâm I , bán kính R= AB Chọn A Câu 32 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur uuur 2MA + MB = MA + 2MB thức A Đường trung trực đoạn thẳng B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB Lời giải Chọn điểm E thuộc đoạn uuu r uuu r r � 2EA + EB = AB AB cho EB = 2EA uur uur r F thuộc đoạn AB cho FA = 2FB � 2FB + FA = uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uur uuur uur 2MA + MB = MA + 2MB � 2ME + 2EA + ME + EB = 2MF + 2FB + MF + FA Chọn điểm Ta có uuur uuu r uuu r uuur uur uur uuur uuur � 3ME + EA + EB +44 FB 144 44244 443 = 3MF + 14FA 44424 43 � 3ME = 3MF � ME = MF r ( *) r Vì E , F hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF Gọi I trung điểm AB suy I trung điểm EF uuur uuur uuur uuur 2MA + MB = MA + 2MB Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đường trung trực đoạn thẳng AB Chọn A Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA + MC hợp điểm M thỏa mãn A Đường trung trực đoạn BC đường kính BC G Tìm tập B Đường tròn a C Đường tròn tâm G, bán kính D Đường trung trực đoạn thẳng AG Lời giải Gọi I , J trung điểm AB, AC Khi uuur uuur uuur � �MA + MB = 2MI �uuur uuur uuur � MA + MC = MJ � � Theo ra, ta có uuur uuur uuur uuur uuu r uuur MA + MB = MA + MC � MI = MJ � MI = MJ uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA + MC Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đường trung trực đoạn thẳng IJ , đường trung trực đoạn thẳng BC IJ đường trung bình tam giác ABC Chọn A Câu 34 Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp uuur uuur uuur uuur uuur 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA điểm M thỏa mãn đẳng thức đường tròn cố định có bán kính R Tính bán kính a r= A Lời giải Gọi Ta có G C a r= D theo a a r= G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuur uuu r uur uuu r uu r uuu r uur 2MA + 3MB + 4MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC Chọn điểm Mà B a r= R I ( cho ) ( ) ( ) uur uur uur uur uur r uur uu r uur r � IA + IB + IC + IC - IA = 2IA + 3IB + 4IC = ( ) uur uur uur uur ABC � IA + IB + IC = 3IG uur uur uur r uur uur uur r uur uur IG + IC - IA = � 9IG + AI + IC = � 9IG = CA ( *) trọng tâm tam giác Khi Do uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uur uu r uur uuu r 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA � 9MI + 2IA + 3IB + 4IC = AB � 9MI = AB Vì I điểm cố định thỏa mãn ( *) nên tập hợp điểm I, r= M AB a = 9 cần tìm đường tròn tâm bán kính Chọn B ABC Câu 35 Cho tam giác Có điểm M thỏa uuur uuur uuur MA + MB + MC = ? A B C D Vô số G Lời giải Gọi trọng tâm tam giác ABC nên G cố uuu r uuu r uuu r r định GA +GB +GC = uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r MA + MB + MC = � GA +GB +GC - 3GM = � GM = � GM = Ta có Vậy có vơ số điểm M thỏa mãn, với tập hợp tròn tâm G bán kính Chọn D M đường  Bài 04 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục độ dài đại số trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ r đơn vị e r Ta kí hiệu trục ( O;e) b) Cho M r điểm tùy ý trục ( O;e) Khi có uuur r OM = ke k số cho M điểm trục cho c) Cho hai điểm uuur r A B Ta gọi số k tọa độ r trục ( O;e) Khi có số cho AB = ae Ta gọi số a độ dài đại số vectơ uuu r trục cho kí hiệu a = AB uuu r r Nhận xét Nếu AB hướng với e AB = AB, a ngược hướng với r e Nếu hai điểm A b AB = b- a Hệ trục tọa độ B ( ) r trục ( O;e) có tọa độ r r gốc tọa độ Trục Ox, r i ( O;i , j ) O vng góc với Điểm gốc ( trục r j tọa độ ( r O; j ) ( r O;i ) ) a r gồm hai trục ( O;i ) chung hai trục gọi gọi trục hồnh kí hiệu Oy Các r r i = j = gọi trục tung kí hiệu là vectơ đơn vị r r O;i , j uuu r AB AB =- AB a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ r O; j uuu r AB kí hiệu Ox Oy vectơ Hệ trục Oxy Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt mặt phẳng Oxy b) Tọa độ vectơ uur r r Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA = u gọi A1, A2 hình chiếu vng góc A lên Ox Oy Ta có uur uuur uuur OA = OA1 +OA2 Như r r r u = xi + y j uuur r uuur r cặp số ( x; y) để OA1 = xi , OA2 = y j Cặp số ( x; y) gọi r tọa độ vectơ u hệ tọa độ r r viết u = ( x; y) u( x; y) Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y r gọi tung độ vectơ u Như Oxy r r r r u = ( x; y) � u = xi + y j Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ x = x� r ur � u = u� �� � � �y = y� ur u� = ( x� ; y� ) r u = ( x; y) Nếu Như vậy, vectơ hồn tồn xác định biết tọa độ c) Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ uuur vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục Như vậy, cặp số ( x; y) tọa độ điểm M M ( x; y) uuur OM = ( x; y) Khi M = ( x; y) ta viết Số x y gọi hồnh độ, số gọi tung độ điểm M Hoành độ điểm M kí hiệu xM , tung độ điểm M kí hiệu yM uuur r r M = ( x; y) � OM = xi + y j uuuur uuuur Chú ý rằng, MM ^ Ox, MM ^ Oy x = OM 1, y = OM d) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng A ( xA ; yA ) uuu r B ( xB ; yB ) Ta có AB = ( xB - xA ; yB - yA ) r r r r r u+ v, u- v, ku Cho hai điểm Tọa độ vectơ Ta có cơng thức sau: Cho r r u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) Khi r r u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 ) ; r r u - v = ( u1 - u2 ;v1 - v2 ) ; r ku = ( ku1;ku2 ) , k ��    r r r r Nhận xét Hai vectơ u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) với v �0 phương có số k cho u1 = kv1 u2 = kv2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I ( xI ; yI ) đoạn thẳng AB xA + xB y + yB , yI = A 2 b) Cho tam giác ABC có A ( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Khi tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) tam giác ABC tính theo cơng xI = thức xG = xA + xB + xC y + yB + yC , yG = A 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TỌA ĐỘ VECTƠ Câu Khẳng định sau đúng? r r a = ( - 5;0) , b = ( - 4;0) hướng u r vectơ đối d = ( - 7;3) r r u = ( 4;2) , v = ( 8;3) C phương r r a = ( 6;3) , b = ( 2;1) A B r c= ( 7;3) D ngược hướng Lời giải Ta có A Câu Cho r r u+ v r r u = ( 3;- 2) , v = ( 1;6) r a = ( - 4;4) A phương r r C u- v phương r r r 5r a = ( - 5;0) = ( - 4;0) = b �� � a, b 4 r b= ( 6;- 24) hướng Chọn Chọn khẳng định đúng? ngược hướng B r r u, v cùng hướng D r r r 2u + v, v Lời giải Ta có 4 � �� �r r u+v - 4 Xét tỉ số A Xét tỉ số r r u + v = ( 4;4) - � �� �r r u, v r r u- v = ( 2;- 8) và r a = ( - 4;4) không phương Loại B - = = 3> �� �r r - 24 u- v Xét tỉ số C rr A ( 0;1) ( O;i ; j ) Câu Cho (1;- 1) C (- 1;1) r r r r i = ( 1;0) , j = ( 0;1) �� � i + j = ( 1;1) có r r a = ( 3;- 4) , b = ( - 1;2) 4;6) Câu Cho r r a = ( - 1;2) , b = ( 5;- 7) A ( 6;- 9) B ( 4;- 5) r r a- b = ( - 1Lời giải Ta có r r r Câu Cho u = 2i phương Lời giải Ta có Để là: j Chọn D r r a + b C ( 4;- 6) D ( + 2) = ( 2;- 2) Chọn B Tìm tọa độ r v = i + xj Xác định x r r a = ( - 5;0) , b = ( 4; x) Tìm x C x = r r r a = ( x;2) , b = ( - 5;1) , c = ( x;7) B Lời giải Ta có C x = C Chọn B x = 15 D x biết r u r v x=2 để hai vectơ Tìm 5;- 14) cho D r r v = k.u � x = - 3;- 8) r r a- b 1 x= B C r r r r � u = 2i - j �� � u = ( 2; - 1) � �r r r r � v = i + xj �� � v = ; x ( ) � � Câu Cho phương A x = - B x = Lời giải Chọn C (1;1) C ( - 6;9) D ( 5;2- ( - 7) ) = ( - 6;9) Chọn C r r phương Câu Cho A x = - 15 D x =- x =- r v r r i+j Tìm tọa độ B ( 2;- 2) r r a + b = ( 3+( - 1) ;Lời giải Ta có r u tọa độ hướng Chọn B Lời giải Ta A r b= ( 6;- 24) Câu Trong hệ trục tọa độ A ( - không phương Loại r r a, b x = - r r r c = 2a+ 3b D x = �x = 2x - 15 �� �� �� � x = 15 � � ( x;7) = 2( x;2) + 3( - 5;1) = 2.2+ 3.1 � Chọn r r r r r a = ( 2;- 4) , b = ( - 5;3) Câu Cho Tìm tọa độ u = 2a- b r r r r u= ( 7;- 7) u = ( 9;- 11) u = ( 9;- 5) u = ( - 1;5) A B C D r Lời giải Ta có u = 2( 2;- 4) - ( - 5;3) = ( 9;- 11) Chọn B r r r a = ( 2;1) , b( 3;4) , c = ( 7;2) Câu 10 Cho ba vectơ Giá trị k, h r r r c = k.a + hb là: A C k = 2,5; h = - 1,3 B D k = 4,4; h = - 0,6 Lời giải Chọn C Ta có để k = 4,6; h = - 5,1 k = 3,4; h =- 0,2 r k.a = ( 2k; k) � r � = 2k + 3h � k = 4,4 r � r �� �� r �� c = k.a + hb � � � � � = k + 4h h = - 0,6 hb = ( 3h;4h) � � � � Vấn đề TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, C �Ox Khẳng định sau đúng? uuu r A AB có tung độ khác B A, B có tung độ khác C C có hồnh độ khác D xA + xC - xB = OABC Lời giải Ta có Chọn C Câu 12 Trong hình bình hành hệ A ( - 5;- 2) , B( - 5;3) , C ( 3;3) , D ( 3;- 2) uuu r uuu r AB , CD A hướng C I ( - 1;1) tọa Oxy, độ uuu r uuu r �� � AB = OC = ( xC ;0) cho bốn điểm Khẳng định sau đúng? ABCD hình uur uur uuu r trung điểm AC D OA +OB = OC uuu r uuur uuur AB = ( 0;5) , DC = ( 0;5) , AD = ( 8;0) B chữ nhật Lời giải Ta có uuu r uuur AB.AD = 0�� � AB ^ AD uuu r uuur AB = DC �� � ABCD ( 1) hình bình hành ( 2) � ABCD ( 1) ( 2) �� hình chữ nhật Chọn B Câu 13 Trong hệ tọa độ A ( 3;- 2) , B( 7;1) , C ( 0;1) , D ( - 8;- 5) Khẳng định uuu r uuu r A AB, CD hai vectơ đối Oxy, cho bốn điểm sau đúng? B uuu r uuu r AB, CD ngược hướng C uuu r uuu r AB, CD D A, B, C, D thẳng hàng uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB = ( 4;3) , CD = ( - 8;- 6) =- 2AB �� � AB, CD hướng Lời giải Ta có hướng ngược Chọn B Câu 14 Trong hệ tọa độ định sau đúng? A A, B, C uuu r uuur AB, AC C hướng Oxy, thẳng hàng cho B A ( - 1;5) , B( 5;5) , C ( - 1;11) uuu r uuur AB, AC phương không phương Lời giải Ta có phương Chọn C Câu 15 Trong D uuu r uuur uuu r uuur AB = ( 6;0) , AC = ( 0;6) �� � AB, AC hệ tọa A ( 2;1) , B ( 2;- 1) , C ( - 2;- 3) , D ( - 2;- 1) độ Khẳng Oxy, uuu r uuur AB, AC không cho bốn điểm Xét ba mệnh đề: ( I ) ABCD hình thoi ( II ) ABCD hình bình hành ( III ) AC cắt BD M ( 0;- 1) Chọn khẳng định A Chỉ ( I ) đúng B C Chỉ ( II ) ( III ) Lời giải Ta có hành ( II ) Chỉ D Cả ba uuur uuur uuu r uuur AB=DC AB = ( 0;- 2) , DC = ( 0;- 2) ��� � � ABCD �( III ) AC ( 0;- 1) �� uuur uuu r uuur uuu r AC = ( - 4;- 4) , BD = ( - 4;0) �� � AC.BD = 16 �0�� � AC, BD hình bình Trung điểm góc Chọn C Câu 16 Trong hệ tọa độ Oxy, không cho vuông bốn điểm A ( - 1;1) , B ( 0;2) , C ( 3;1) , D ( 0;- 2) A AB P DC Lời giải Ta có Khẳng định sau sai? B AC = BD C AD = BC D AD P BC uuu r uuur AB = ( 1;1) , DC = ( 3;3) uuur �AC = ( 4;0) � AC = � � �� � AC = BD = �uuu r � BD = 0; � BD = � ( ) � uuur �AD = ( 1;- 3) � AD = 10 � � �� � AD = BC �uuu r � BC = 3; � BC = 10 � ( ) � uuur uuu r DC = ( 3;3) = 3AB �� � AB P DC Chọn D Câu 17 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( - 1;1) , B ( 1;3) , C ( Khẳng định sau sai? uuu r uuur A AB = 2AC B A, B,C thẳng hàng 2;0) C uuu r uuu r BA = BC Lời giải Ta có uuu r uur r BA + 2CA = uuu r uuur uuu r uuur AB = ( 2;2) , AC = ( - 1;- 1) AB = - 2AC D Câu 18 Trong hệ tọa độ uuu r Tìm tọa độ vectơ AB A ( - 5;- 3) Lời giải Ta có Lời giải Ta có cho ba điểm B ( 1;1) uuu r uuur uur AB - AC = CB = ( 1;1) Câu 19 Trong hệ tọa độ uuu r vectơ AB ? A ( 15;10) Oxy, uuur AC ? Oxy, C ( - 1;2) B ( 2;10) A ( 2;- 3) , B ( 4;7) C ( 3;2) Lời giải Ta có Câu 21 Trong hệ tọa độ 3;4) D ( 50;16) Chọn C � + - 3+ 7� � I =� ; � � �= ( 3;2) � �2 � A ( - Tìm tọa độ C ( 5;6) uuu r AB = ( 5;6) A ( 3;5) , B( 1;2) , C ( 5;2) D ( 4;0) A ( 5;2) , B( 10;8) Câu 20 Trong hệ tọa độ Oxy, cho trung điểm I đoạn thẳng AB A ( 6;4) A ( 1;3) , B ( - 1;2) , C ( - 2;1) Chọn B cho B ( 2;4) Chọn A D ( 8;- Chọn C cho tam giác Oxy, Tìm tọa độ trọng tâm B ( 4;0) Tìm tọa độ C ( G ) ABC tam giác 2;3 21) có ABC ? D ( 3;3) � � 3+1+ 5+ 2+ 2� G =� ; = ( 3;3) � � � � � � Lời giải Ta có tọa độ Câu 22 Trong hệ A ( 1;1) , B( 2;- 1) , C ( 4;3) , D ( 3;5) tọa độ Oxy, Khẳng định sau đúng? A Tứ giác ABCD hình bình hành trọng tâm tam giác BCD C uuu r uuu r AB = CD Lời giải Ta có bình hành Chọn A Chọn D cho bốn điểm D B uuu r uuur AC, AD uuu r uuur AB = ( 1;- 2) , DC = ( 1;- 2) �� � � 5� G� 2; � � � � � � 3� phương Tứ giác ABCD hình Câu 23 Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( 3;- 4) Gọi M 1, M hình chiếu vng góc M Ox,Oy Khẳng định đúng? A C OM =- uuuur uuuur OM - OM = ( - 3;- 4) B D OM = uuuur uuuur OM +OM = ( 3;- 4) Lời giải Ta có M = ( 3;0) , M = ( 0;- 4) A Sai OM = B Sai OM = - uuuur uuuur uuuuuur OM - OM = M M = ( 3;4) C Sai Chọn D Câu 24 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có gốc O làm tâm hình vng cạnh song song với trục tọa độ Khẳng định đúng? A C Lời uur uur OA +OB = AB B D uur uur uuur OA - OB, DC hướng xA =- xC , yA = yC xB = - xC , yB = - yC uur uur uuu r uur uur uur uuu r OA +OB = CO +OB = CB = AB giải Ta có (do OA = CO ) Chọn A Câu 25 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2;1) , B( 0;- 3) , C ( 3;1) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành A ( 5;5) Lời giải B ( 5;- 2) D ( x; y) , ABCD uuur uuu r �� � AD = BC �� �( x - 2; y - 1) = ( 3;4) Gọi C ( 5;- 4) D ( - hình bình 1;- 4) hành �x - = �x = �� �� �� �� � � � � �y- 1= �y = D ( 5;5) Vậy Chọn A Câu 26 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;1) , B( 3;2) , C ( 6;5) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành A ( 4;3) B ( 3;4) D ( x; y) , giải Gọi uuur uuu r �� � AD = BC �� �( x - 1; y- 1) = ( 3;3) Lời �x - 1= � x=4 �� �� �� �� � � � � y = � �y = C ( 4;4) ABCD D ( 8;6) hình bình hành Vậy D ( 4;4) Chọn C Câu 27 Cho ba điểm trung điểm MP ? A B M ,N,K - thỏa C tọa độ vectơ A ( 2;- 8) Lời giải Gọi uuuu r MN ? Tìm uuuu r uuur MP �� � MN = MP điểm Oxy, Lời giải Ta có N trung Câu 28 Trong hệ tọa độ B( 9;7) , C ( 11;- 1) uuuu r uuur MN = kMP M ,N để D - N Chọn A cho tam giác ABC có trung điểm B ( 1;- 4) k C ( 10;6) AB, AC Tìm D ( 5;3) uuuu r uuu r MN = BC = ( 2;- 8) = ( 1;- 4) 2 Ta có Chọn B Câu 29 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC M ( 2;3) , N ( 0;- 4) , P ( - 1;6) BC,CA, AB có trung điểm cạnh Tìm tọa độ đỉnh A ? A ( 1;5) Lời giải B ( - 3;- 1) C ( - 2;- 7) D ( 1;- 10) Gọi A ( x; y) Ta có uur uuuu r PA = MN �� �( x +1; y- 6) = ( - 2;- 7) �x +1=- �x = - �� �� �� �� � � � � �y- =- �y = - Vậy A ( - 3;- 1) Chọn B Câu 30 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác A ( 6;1) , B( - 3;5) trọng tâm A ( 6;- 3) Lời giải B ( - G ( - 1;1) 6;3) Gọi C ( x; y) Tìm tọa độ đỉnh C ( Ta 6;- 3) có ? D ( G có C ABC 3;6) trọng tâm �6+( - 3) + x � =- � � �x = - �� �� �� �� � � � �y = - 1+ 5+ y � � � = � � Vậy C ( - 6;- 3) Chọn C Câu 31 Trong hệ tọa độ A ( 1;1) , B ( - 2;- 2) , C ( - 7;- 7) Oxy, ABC cho tam giác Khẳng định sau đúng? G ( 2;2) A trọng tâm tam giác điểm A C C A hai điểm B hướng ABC C B D uuu r uuur AB = ( - 3;- 3) , AC = ( 6;6) uuur B hai uuu r uuur AB, AC A ( - 1;- 7) trọng tâm gốc B ( 2;- 2) O Tìm tọa độ đỉnh C ( - 3;- 5) uuu r Lời giải Ta có AC = - 2AB Vậy A hai điểm B C Chọn C Câu 32 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác A ( - 2;2) , B ( 3;5) có ABC C ? D ( 1;7) có Lời giải C ( x; y) Gọi Ta O có trọng tâm - 2+ 3+ x � � =0 � �x =- � �� �� �� �� � � � � 2+ 5+ y � �y = - =0 � � � C ( - 1;- 7) Vậy Chọn A Câu 33 Trong hệ tọa độ uur uu r r đỉểm I cho IA + 2IB = A ( 1;2) B Oxy, � 2� � 1; � � � � � � 5� cho C A ( 1;2) , B ( - 2;3) Tìm tọa độ � 8� � - 1; � � � � � � 3� D ( 2;- 2) I ( x; y) giải Gọi uur uur r IA + 2IB = 0�� �( 1- x;2- y) + 2( - 2- x;3- y) = ( 0;0) Lời Ta có A ( 2;5) , B( 1;1) , C ( 3;3) Tìm tọa x =- � � 1- x - 4- 2x = � � � �� �� �� �� � � 2- y + 6- 2y = y= � � � � 8� � I� - 1; � � � � � 3� Chọn C Vậy Câu 34 Trong hệ tọa độ Oxy, cho uuu r uuu r uuur độ đỉểm E cho AE = 3AB - 2AC A ( 3;- 3) B ( - 3;3) C ( - D ( - 2;- 3) E ( x; y) uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uur AE = 3AB - 2AC �� � AE - AB = AB - AC �� � BE = 2CB Lời giải Gọi Ta có 3;- 3) ( ) � x =- �x - 1= - �� �� � � � �y - 1= - �y = - ( x - 1; y- 1) = 2( - 2;- 2) ��� � � Vậy E ( - 3;- 3) Chọn C Câu 35 Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 2;- 3) , B( 3;4) Tìm tọa độ điểm M trục hoành cho A, B, M thẳng hàng A M ( 1;0) B Lời giải Điểm Ta có Để uuu r AB = ( 1;7) A, B, M M ( 4;0) C � 1� M� - ;- � � � � � � 3� D M �Ox � M ( m;0) uuuu r AM = ( m- 2;3) thẳng hàng � m- 17 = � m= 7 Chọn D � 17 � M� ;0� � � � � �7 � ... r uuur AB, AC C không phương hướng Câu 15 Trong hệ tọa độ A ( 2 ;1) , B ( 2;- 1) , C ( - 2;- 3) , D ( - 2;- 1) thẳng hàng A ( - 1 ;5) , B( 5; 5) , C ( - 1; 11) Khẳng phương D Oxy, cho uuu r uuur... 0 ;1) B r c= ( 7;3) (1; - 1) C tọa độ (- 1; 1) r r i+j là: D (1; 1) Câu Cho A ( - 4;6) Câu Cho r r a = ( 3;- 4) , b = ( - 1; 2) B ( 2;- 2) r r a = ( - 1; 2) , b = ( 5; - 7) A ( 6;- 9) r - 5) ... ( - 5; - 3) B ( 1; 1) Câu 19 Trong hệ tọa độ uuu r vectơ AB ? A ( 15 ; 10 ) Oxy, uuur AC ? B ( 2;4) uuu r uur r BA + 2CA = cho ba điểm C ( - Oxy, 2;0) A ( 1; 3) , B ( - 1; 2) , C ( - 2 ;1) 1; 2)