DE THI HSG CAP HUYEN TOAN 8

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm... Híng dÉn chÊm Bài..[r]

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN VÀO VÒNG I ĐỘI TUYỂN HUYỆN YÊN ĐỊNH HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014-2015 Đề chính thức SỐ BÁO DANH MÔN THI : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này gồm:01 trang A 2a  a 7a    a  a  a  2a  Bài (4 điểm) Cho biểu thức a/ Rút gọn A b/ Tìm a để A  Bài (6 điểm) a/ Giải phương trình:  x  1 x  x  1  x   24 M b/ Tính giá trị của biểu thức: x  9y 6xy  x   x    y  1 x  y  5 với x , y thoả mãn điều kiện 2 c/ Tìm tất cả các số tự nhiên có chữ số abc biết rằng abc n  và cba  n   với n là số tự nhiên Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trên cạnh AC Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O a/ Chứng minh OAH ∽ OCB b/ Chứng minh rằng tổng BM.BH  CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC   Bài (2 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A B 90 , BC=n, AD=m Gọi H là HK n  HD m Tính hình chiếu của A trên cạnh BD, K là điểm trên đoạn thẳng HD cho góc AKC Bài (4 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4a  3a  3 b/ Cho x, y,z  và x  y  z 0 Chứng minh rằng x  y  z  Hết HỌ VÀ TÊN THÍ SINH Cán coi thi không giải thich gì thêm Híng dÉn chÊm Bài ý Bài A Nội dung ĐKXĐ : a  1;3 Điểm 0,5 Ta có: 2a  a 7a    a  a  a  2a   2a  1  a  1  a  a  3  7a    a  1  a  3  a  1  a  3  a  1  a  3 A  2,5đ 2a  3a    a  3a    7a  3  a  1  a  3 a2  a    a  1  a  3 4đ   0,5  a  1  a    a  1  a  3 0,5 a a 0,25 Vậy với a 2;3 thì b Với a 2;3 Ta có 1,5đ 0,5 A  A 1  a a a 1 a 0,25 0,5  a  1 a 0,25  0 a 0,25  a  30  a 3 0,25 Kết hợp với ĐKXĐ ta được a  và a  thì A<1 0,25 Bài a  x  1 x  x  1  x   24   x  x   x  x  Ta có:  24 Đặt t x  x  Phương trình trở thành 0,25 0,25  t  1  t  1 24  t  24  t 25 0,5  t 5   t  6đ 2đ Với t =  x  x  5   x    x   0 0,5  x 2   x   15   x  x     x    0 2  Với t = -5 pt vô nghiệm 0,25 Vậy nghiệm của pt là x  3;2 b 2 x  9y 6xy  x    x  9y  6xy   x  0 Ta có 0,25 0,25 0,5   x  3y   x  0 2đ  x  3y  0   x    A Khi đó giá trị của biểu thức Vậy c A  y 1   x 3 0,5   5   1   3  5 0,5  x 3y    x 3 0,25 4 Ta có: 0,5 abc 100a  10b  c n  cba 100c  10b  a  n    99  a  c  4n  2đ  4n  599 0,5 (1) 2 Lại có 100 n  999  101 n 1000 0,5  11 n 31  39 4n  119 (2) Từ (1)và (2) suy 4n  99  n 26 0,25 Suy  abc 26  675 0,25 Vậy abc 675 Bài a O Xét OHB và OAC có H   OHB OAC 900 A 0,75 M Góc O chung  OHB ∽ OAC  g.g  2đ 4đ OH OB   OA OC OH OA   OB OC B K C 0,5 Xét OHA và OBC có OH OA  OB OC và góc O chung 0,75  OHA ∽ OBC  c.g.c  Suy đpcm b Kẻ MK vuông góc với BC ( K  BC ) 0,25 Xét BKM và BHC có:   BKM BHC 900 và góc CBH chung  BKM ∽ BHC (g.g) 0,5 2đ  0,5 BK BM   BM.BH BK.BC  1 BH BC Chứng minh tương tự ta được : CM.CA CK.CB   0,25 Từ (1) và (2)  BM.BH  CM.CA BK.BC  CK.BC 0,25 BC. BK  CK  BC2 không đổi 0,25 Suy tổng BM.BH  CM.CA không phụ thuộc vị trí điểm M Bài Kẻ KI//AD với I thuộc AH 0,25 C B  KI / /BC (1) H  KI  AB I Suy I là trực tâm ABK  BI  AK (2) Vì KI//AD  2đ 2đ  A KI HK  AD HD KI n  m m K 0,25 D 0,25 0,25 0,25  KI n  KI BC  3 Từ (1) và (3) suy BCKI là hình bình hành 0,5  BI / /CK  Kết hợp với (2) suy CK  AK  AKC 90 0,25  Vậy AKC 90 Bài 4đ a 2đ Ta có : 4a  3a   a  1   3a  3a  0,5 a  1  a   = 0,5 a  1  3a  a  1  a  1 0,5 0,5  a  1  a  a   3a  3a   a  1  2a  1 b Ta có 4a  3a   a  1  2a  1 2 Với a   a  0   a  1  2a  1 0  4a  3a  0 với a  Dấu = xảy a = -1 hoặc (*) a 0,25 0,25 Vì x, y,z  nên áp dụng dạng (*) ta được 2đ 4x  3x  0 0,75 4y  3y  0 4z  3z  0 Suy Do  x  y3  z    x  y  z   0 0,5 x  y3  z3 0   x  y  z  3  x  y  z 1 Dấu = không thể xảy Nên x  y  z  Suy Đpcm Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa 0,25