thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (6đ) Cho biểu thức : A = 2 2 2 2 2 x y x y y x 2xy y − − + a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1 ; y = -1 Bài 2 (4đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = - x 2 + x + 2 b) Giải phương trình : 2 2 x 4x 5 9y 6y 1 1 − + + − + = Bài 3 (2đ) Cho các số tự nhiên : a, b, n , biết rằng : (k n – a) chia hết cho (k – b) với mọi k nguyên dương, k ≠ b. Chứng minh : a = b n . Bài 4 (5đ) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một đường thẳng d cố định nằm ngoài (O) ; M là một điểm di động nằm trên đường thẳng d. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O).(A, B là các tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, dây cung AB cắt OH, OM tại I và K. Chứng minh rằng: a) OI.OH = OK.OB = R 2 ; b) Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d. Bài 5 (3đ) Các đường cao của tam giác ba góc nhọn ABC cắt nhau tại O, trên các đoạn OB, OC lấy 2 điểm B 1 và C 1 sao cho · · 1 1 AB C AC B 90= = o . Chứng minh rằng: AB 1 = AC 1 . HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2003 – 2004 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (6đ) Cho biểu thức: A = 2 x x 3x 3 2 x 2 : 1 x 9 x 3 x 3 x 3 + − + − − ÷ ÷ ÷ ÷ − + − − a) Rút gọn A b) Tìm x để A < 1 2 − c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2 (5đ) Giải các phương trình tìm các nghiệm nguyên x , y: a) 2xy – x + y = 2 b) y 2 = 1 + 2 9 x 4x − − Bài 3 (1,5đ) Số nào lớn hơn : (27112003!) 2 hay 27112003 27112003 ? ( n! = 1.2.3.4…n) Bài 4 (6đ) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, d và d’ là các đường thẳng vuông góc với AB lần lượt tại A và B. Trên d lấy một điểm M ≠ A. Đường thẳng qua O vuông góc với MO cắt d và d’ lần lượt tại K và N. a) Chứng minh rằng : ∆ MKN cân. b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của (O) c) Gọi H là tiếp điểm của (O) và MN ; I là giao điểm của MB và AN. Chứng minh: HI song song với BN. Bài 5 (1,5đ) Cho tứ giác lồi ABCD. Xét hai tứ giác lồi F 1 và F 2 mà mỗi tứ giác mới này có hai đỉnh đối diện là trung điểm các đường chéo và hai đỉnh kia là trung điểm các cạnh đối của tứ giác ABCD. Biết rằng diện tích của F 1 và F 2 bằng nhau. Chứng minh rằng : Một trong hai đường chéo của tứ giác ABCD chia diện tích của nó thành hai phần bằng nhau. HẾT 1 thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức A = 2 x 1 x 1 : . x x x x x x + + + + − a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để A ∈ ¢ Bài 2 : a) Tính giá trị của biểu thức A = 2 3 2 3 + + − b) Giải phương trình: 2 2 x 1 x 1 1 x + = + − Bài 3: Cho µ ABC(A 90 ) ∆ = o , đường cao AH, vẽ đường tròn (A ; AH). Từ B và C kẻ các tiếp tuyến tới đường tròn với các tiếp điểm tương ứng là E, F. a) Chứng minh : EF là tiếp tuyến của đường tròn đi qua qua A, B, C. b) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ H xuống EF ; CE cắt BF tại K. Chứng minh: K là trung điểm HI. Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, sao cho AB > AD và đỉnh C nằm trên đường phân giác của góc A . Chứng minh : AB + CD > AD + CB. Bài 5 : a) Với x > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2 x x 1 x 1 − + − b) Cho 2 số tự nhiên m và n. Biết m.n = 2003 2004 . Hỏi m + n có chia hết cho 2004 hay không? HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2005 – 2006 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : x 2 – 1 có căn bậc hai; A. x 1 ≥ B. x 1 ≤ C. 1 x 1 − ≤ ≤ D. x 1 ≤ hoặc x 1 ≥ Câu 2: Giá trị của biểu thức A = 2 1 1 2 ÷ − sẽ là: A. 1 + 2 B. 3 2 C 1+ 3 2 D. Khác Câu 3: Cho ∆ ABC vuông tại A, biết: AC = 2AB; AM là đường cao. Tỉ số MC MB sẽ là: A. 2 B. 3 C.4 D.5 E. Một kết quả khác Câu 4: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A = (x 2 + x + 2004)(x 2 + x + 2006) + 1 b) Giải phương trình: 3(x 2 – x + 1) = (x + x 1 − ) 2 Câu 5: Cho biểu thức: M = 2 a a 2a a 2(a 1) a a 1 a a 1 − − − − + + + − a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M c) Tìm giá trị của a để P(a) = 2 a M ∈ ¢ Câu 6: Cho ∆ ABC đều, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. a) CMR: ME + MF = AH. b) Gọi I là trung điểm AM. Tứ giác HEIF là hình gì?Vì sao? Câu 7: Cho ∆ ABC vuông tại A, kẻ phân giác AD. Chứng minh rằng: a) 1 1 2 AB AC AD + = b) 2 2 2 1 1 1 AB AC AD + ≥ . HẾT 2 thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1 : Giá trị của biểu thức : M = ( 3 5 3 5 − − + ) là : A. 2 B. 2 C. – 2 D. – 2 Câu 2 : Kết quả rút gọn biểu thức A = 2 (x 2) 8x 2 + − + là : A. 2x + 3 B. x C. 4 – x D. 4 – x và x Câu 3 : Tam giác ABC có số đo diện tích và chu vi bằng nhau thì bán kính đường tròn nội tiếp là : A. 1 B. 2 C. 3 D.4 Câu 4 : Góc nhọn x có tagx = 1 2 khi đó sinx là : A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 5: Cho biểu thức A(x) = 2 2 x 2 x 1 2x 3x − + − a) Tìm các giá trị của x để A(x) xác định. Rút gọn A(x). b) Chứng minh nếu x > 1 thì A(x).A(-x) < 0. Câu 6 : a) Giải phương trình : 2 2 2 x x 3x 3 − = − + b) Cho ax 3 = by 3 = cz 3 và 1 1 1 1 x y z + + = (x , y, z ≠ 0). Chứng minh : 2 2 2 3 3 3 3 ax by cz a b c. + + = + + Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn, kẻ đường cao BM. Chứng minh: 2 2 AC 2.AB . MC BC = Câu 8 : Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD, CD lần lượt lấy M, N sao cho : 2 1 DM DA, DN DC. 3 2 = = Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính AB. Câu 9 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c ≥ 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c . b c a + + HẾT 3 thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức : P = 3 3 2a 1 a 1 a a a a 1 1 a a 1 + + − − ÷ ÷ ÷ ÷ + + + − a) Rút gọn P. b) Xét dấu của biểu thức : P. 1 a− Bài 2 : Cho hàm số y = m.x – m + 6 a) Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Chứng minh rằng : Khi m thay đổi thì đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. c) Khi m = ( 15 12+ ) – ( 14 13+ ) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến? Bài 3 : Chứng minh rằng : 2 3 2 3 2. 2 2 3 2 2 3 + − + = + + − − Bài 4 : Cho ∆ ABC vuông tại A. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung tuyến AI. Các tia phân giác của các góc AIB và AIC cắt d lần lượt ở D và E. a) Chứng minh: BCED là hình thang ; b) Chứng minh: BC 2 = 4.BD.EC ; c) Một đường thẳng x di động qua trọng tâm G của tam giác cắt AB ở M, cắt bAC ở N. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 9 . AM AN BC + ≥ Bài 5 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: xy = 3(x + y). HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAN LỘC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 9 4 5 9 4 5 − − + b) B = a 1 1 a a(a 1) a. a − − + + + Bài 2 : Giải các phương trình sau : a) 10 11x 2006− = b) 3 x 4 1 x 2 x(1 x ) 2 x(1 x) 1 0 − − − − − − − = Bài 3 : Cho hình thang ABCD có đường cao AB = a, đáy nhỏ AD = a 2 ; đáy lớn BC =2a; AC cắt BD tại O. a) Chứng minh : AC và BD vuông góc với nhau ; b) Gọi M là điểm đi động trên AB. Xác định vị trí của điểm M để ∆ MCD có chu vi đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. Bài 4 : Cho ∆ AOB. Điểm M thuộc cạnh AB, kẻ MP, MQ lần lượt song song với OB, OA ( P OA, Q OB ∈ ∈ ) a) Chứng minh: OP OQ 1 OA OB + = b) Gọi I là giao điểm của AQ và BP. Chứng minh : Diện tích tứ giác OPIQ bằng diện tích tam giác AIB. Bài 5 : Cho x, y, z là các số thỏa mãn : xy + yz + zx = 2006. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 4 + y 4 + z 4 . HẾT 4 . · · 1 1 AB C AC B 90 = = o . Chứng minh rằng: AB 1 = AC 1 . HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2003 – 2004 Môn Toán 9 Thời gian làm bài. thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (6đ) Cho biểu thức : A. nhau. HẾT 1 thcs-hoangxuanhan-hatinh.edu.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức A = 2 x