50 đề THI học SINH GIỎI TOÁN 9

Đề Số 1 Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150) Câu 1: Giải phơng trình. xx x 1 36 = 3 + 2 2 xx Câu 2: Cho hệ phơng trình: x - 3y - 3 = 0 x 2 + y 2 - 2x - 2y - 9 = 0 Gọi (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. Hãy tìm giá trị của biểu thức. M = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 . Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số EF PQ không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC. Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức. 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (Thời gian làm bài: 150) Câu 1: Cho biểu thức. (x + 200620062006 22 =+++ )yy()x Hãy tính tổng: S = x + y Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 0 1 22 22 + + yx yyxx Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất. Câu 3: 1 Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phơng. Câu 4: Cho hai đờng tròn (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đờng tròn này nằm trong đờng tròn (C 3 ) và tiếp xúc với (C 3 ) tơng ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C 1 ) và (C 2 ) cắt (C 3 ) tại P. PM cắt đờng tròn (C 1 ) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai B. PN cắt đờng tròn (C 2 ) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C 2 ) tại điểm thứ hai C. a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy. Câu 5: Giải phơng trình. x 2 + 3x + 1 = (x+3) 1 2 +x Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá Môn: Toán ***** Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? 5 13 5 13 5 y = + + + + + Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 1 1 1 1 n n n n n n a b c a b c + + = + + Bài 3: Giải hệ phơng trình: 2 2 1 9 1 1 x y x y + = + = Bài 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = = Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất Bài 5: Tìm m để phơng trình (x 2 -1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , 2 x 3 , x 4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4 1 1 1 1 1 x x x x + + + = Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 2 1 2 y x= a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên: x 3 y 3 2y 2 3y 1 = 0 Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B. Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I 1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc 2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài 9: Cho tam giác ABC có à 0 90A , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2 đ ) Rút gọn A a a a a 211 21 211 21 + ++ + Với a = 4 3 Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x 2 + 4x = 19-3y 2 b) Giải hệ phơng trình x 3 =7x +3y y 3 = 7y+3x Bài III (3 đ ) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx Bài IV (6 đ ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao điểm của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D. Bài V (3 đ ) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc. 3 đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút ngời ra đề : lê thị hơng lê thị tâm Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A = 23 1 12102 3 )2)(34(2 3)6(6 + + + xxxxxxx xxx điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1 Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình 48 2 +x = 4x - 3 + 35 2 +x Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x 3 y 3 + z 3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phơng trình x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = x (y - z) 2 + z (x - y) 2 + y( z-x) 2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN của biểu thức = 2221616 2 10 2 10 )1()( 4 1 )( 2 1 yxyx x y y x ++++ Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA. chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0). Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 4 Tr ờngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= ( ) yx yyxx yx yx yyxx yx + + 2 )( 1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A và A Câu 2: ( 5 Điểm) 1, Giải phơng trình: x 2 + 4x + 5 = 2 32 +x 2, Cho 1 a 2 và 1 b 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 33 2 )( ba ba + + Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai: (m-2)x 2 -2(m-1)x +m = 0 Hãy xác định giá trị m để số đo của đờng cao ứng với cạnh huyền của tam giác là: 5 2 2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đờng thẳng ( ) . Đờng tròn (o) tiếp xúc với đờng thẳng ( ) tại A. Hãy dựng đờng tròn (o) tiếp xúc với đờng tròn (o) và tiếp xúc với đờng thẳng ( ) tại B. Câu 4: (5 điểm) Cho hai đờng tròn (o 1 ) và (o 2 ) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o 1 ) và (o 2 ) tại C và D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o 1 ) và (o 2 ) tại M và N. Các đ- ờng thẳng BC và BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng: 1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD 2, Tam giác EPQ là tam giác cân. Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 bảng b 5 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Rút gọn A= + + + + a a a aa 1 1 1 1 22 1 22 1 2 2 với a > 0 và a 1 Bài 2: Phân tích đa thức B = x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 thành nhân tử Bài 3: Tìm m để phơng trình 0 4 15 22 =+ mxx có hai nghiệm và nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia. Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên ( ) ( ) =+ +=+ 2122 112 mmyx mymx Bài 5: Giải phơng trình 55 2 =++ xx Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d với Ox, Oy. Xác định m để S ABO bằng 4. Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đờng tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đờng phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm. Bài 9: Cho đờng tròn tâm O, tiếp tuyến đờng tròn tại B, C cắt nhau ở A, BAC = 60 0 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lợt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp. Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia. Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9 - Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9 - Bài 7 : Bất đẳng thức Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9. Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS thanh hoá Môn thi : Toán 6 ( Thời gian làm bài : 150 phút) Bài I (3,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là nghiệm dơng của phơng trình : 4x 2 + 2 x- 2 = 0 Bài II ( 6,0 điểm): 1) Giả sử phơng trình : x 2 +ax+b = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 và phơng trình :x 2 +cx +d = 0 có hai nghiệm x 3 , x 4 .Chứng minh rằng : 2(x 1 +x 3 ) (x 1 +x 4 ) (x 2 +x 3 ) (x 2 +x 4 ) = 2(b-d) 2 - (a 2 -c 2 )(b-d)+(a+c) 2 (b+d) 2) Chứng minh rằng nếu phơng trình : ax 4 +bx 3 +cx 2 -2bx+4a=0 (a 0) có hai nghiệm x 1 ,x 2 thoả mãn x 1 x 2 =1 thì 5a 2 =2b 2 +ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA,BB,CC lần lợt là các đờng cao. H là trực tâm 1) Chứng minh rằng: 2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m Bài IV (4,0 điểm): Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta nối với các đỉnh của hình bình hành đó . Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác đợc tạo bởi hai trong các đờng thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phơng trình : x 2 +x+1 = py có nghiệm nguyên x,y. Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trờng THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: A= 322 1 322 1 + ++ Bài 2: (5,0đ) Cho parabol(P): y= 4 1 x 2 7 24 1 1 aaa a ++ + 6 ''' ++ HC CH HB BH HA AH m HA AH = ' a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R). Trên cung AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC. a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba cố định. b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC. c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R. Bài 4: (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều. Điểm A cách đều các điểm A, B, C. a. Chứng minh rằng chân đờng cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ trùng với tam của đáy ABC b. Chứng minh rằng mặt bên BCCB của lăng trụ là hình chữ nhật. Bài 5: (5,0 đ) a.Giải phơng trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0 b.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2x 2 +7xy + 6y 2 = 60 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs Trờng thpt trần phú Môn : Toán Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phơng trình : x 2 + y 2 = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 13 2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. 8 2x- 1 x 2 + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 : (3 điểm) Cho Phơng trình : x 2 2 .(m - 1) x + m 3 = 0 1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m. 2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau. Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d R. Hãy chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 Bài 4: (4 điểm) Cho đờng tròn nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi: AB. AC = 2DB . DC. Bài 5: ( 4 điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC, SB SC. Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x. a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x. b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất Sở GD&ĐT Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc 3 o0o đề xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Môn Toán o0o Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) 2 x x 2 x x 1 1 2 2 1 4 A 1 1 2 2 1 4 + = + + , với x < 0. Câu 2: (2 điểm) Giải phơng trình sau biết phơng trình có 2 nghiệm đối nhau: x 4 4x 3 + 3x 2 + 8x 10 = 0. Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 , biết rằng: x 2 + y 2 xy = 4. Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 7x 2 + 13y 2 = 1820. Câu 5: (3 điểm) 9 Cho ABC cân nội tiếp trong đờng tròn (O; R) có AB = AC = R 2 . a) Tính BC theo R? b) Cho M là điểm di động trên cung ằ AC nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AM.AD là hằng số. c) Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đ- ờng cố định khi M di động trên cung ằ AC nhỏ. Hết Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức ( ) a a aaaa A a + ++ = 2 : 1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 22 1 1 1 1 yx B Bài 3 : Cho phơng trình 2 1 )1( 4 2 = xm x (m là tham số ) a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m R b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm 21 , xx thoả mãn biểu thức 2 212 2 1 xxxx + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này Bài 4 : Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt đợc là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao? Bài 5 : Giải phơng trình 5168143 =++++ xxxx Bài 6 : Cho parabol(P) : y= 2 4 1 x và đờng thẳng (d) : y= mx 2m 1 a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định )(PA 10 [...]... Ot vuông góc với mặt phẳng (P) -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của hai ngời coi thi: Số 1: Số 2: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Sở GD&ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Hoằng Hoá 2 Bài 1 (2 điểm) Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 + + + + 5+ 9 9 + 13 2001 + 2005 P = 1+ 5 Bài 2 (2 điểm) Cho ba số dơng x; y; z thoả... của các đoạn HB, HC c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 2 + 2 2 1 + xy với x 1, y 1 1+ x 1+ y Ngời ra đề Nguyễn Thị Tuyết đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9 Sở GD & ĐT Thanh hoá Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006 Trờng THPT Quảng Xơng 1 (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5 điểm) 1 x x 1 + x x P= +... giải toán đại số Lê Hồng Đức chủ biên) x+ y + x y =4 2 x + y 2 = 128 Giải hệ phơng trình Bài 5(2đ) (Đề thi vào 10 THPT Chu Văn An 2003) 2 1/ Giải phơng trình 2 1 1 + = 15 x x +1 2/ Giải phơng trình x 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x + 2 x 3 Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 TPHCM 199 4 199 5) x2 y= 4 và điểm I(0;-2), gọi (d) Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P) 2 2 là đờng thẳng đi qua... giao điểm của AM và (O) Chứng minh rằng : AM.AP = AO2-OC2 c Tìm quỹ tích các điểm M và P Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: P= Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian 150 3 1 4 4 5 3 4 3 x x + x 1 x + x x 1 x x + x x2 + x 1 4 3 a\ Rút gọn biểu thức P b\ Chứng minh rằng: 0 . trên một (0). Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 4 Tr ờngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức. đề phát triển Đại số 9 - Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9 - Bài 7 : Bất đẳng thức Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9. Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh. Đề Số 1 Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150) Câu 1: Giải phơng trình. xx x 1 36 = 3 + 2 2 xx Câu 2: Cho hệ phơng trình: x - 3y - 3 = 0 x 2 + y 2 - 2x - 2y - 9