50 đề thi Học sinh giỏi Toán lớp 8 (có đáp án)

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ĐỀ 1 Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 8 5 + 2 11 chia hết cho 17 b) 19 19 + 69 19 chia hết cho 44 Bài 2: a) Rút gọn biểu thức: 2 3 2 6 4 18 9 x x x x x + − − − + b) Cho 1 1 1 0( , , 0)x y z x y z + + = ≠ . Tính 2 2 2 yz xz xy x y z + + Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK. Bài 4 (1đ). Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M = 4x 2 + 4x + 5 ĐÁP ÁN Bài 1 : (3đ) a) (1,5đ) Ta có: 8 5 + 2 11 = (2 3 ) 5 + 2 11 = 2 15 + 2 11 =2 11 (2 4 + 1)=2 11 .17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17. b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức: a n + b n = (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b 2 - …- ab n-2 + b n-1 ) với mọi n lẽ. Ta có: 19 19 + 69 19 = (19 + 69)(19 18 – 19 17 .69 +…+ 69 18 ) = 88(19 18 – 19 17 .69 + …+ 69 18 ) chia hết cho 44. Bài 2 : (3đ) a) (1,5đ) Ta có: x 2 + x – 6 = x 2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2). x 3 – 4x 2 – 18 x + 9 = x 3 – 7x 2 + 3x 2 - 21x + 3x + 9 =(x 3 + 3x 2 ) – (7x 2 +21x) +(3x+9) =x 2 (x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x 2 –7x +3) => 2 3 2 6 4 18 9 x x x x x + − − − + = 2 2 (x+3)(x-2) ( 2) (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 x − = Với điều kiện x ≠ -1 ; x 2 -7x + 3 ≠ 0 b) (1,5đ) Vì Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 3 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 . x y z z x y z x y z x x y x y y   + + = ⇒ = − +  ÷       ⇒ = − + ⇒ = − + + +  ÷  ÷     3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 . . 3. x y z x y x y x y z xyz   ⇒ + + = − + ⇒ + + =  ÷   Do đó : xyz( 3 1 x + 3 1 y + 3 1 z )= 3 3 3 3 2 2 2 3 3 xyz xyz xyz yz zx xy x y z x y z ⇔ + + = ⇔ + + = Bài 3 : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM . Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. Thật vậy xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân tại C => µ µ 1 B E= vì góc C 1 là góc ngoài của tam giác BCE => µ µ µ µ µ 1 1 1 1 1 2 C B E B C= + ⇒ = mà AC // BM (ta vẽ) => µ · µ · 1 1 1 2 C CBM B CBM= ⇒ = nên BO là tia phân giác của · CBM . Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB Mà : · · ,BAC BMC là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng. Ta lại có : ¶ · µ ¶ 1 1 ( ); 2 M BMC cmt A M= = ¶ ¶ 1 2 M A⇒ = mà ¶ µ 1 2 A K= (hai góc đồng vị) => ¶ ¶ 1 1 K M CKM= ⇒ ∆ cân tại C => CK = CM. Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Ta có M= 4x 2 + 4x + 5 =[(2x) 2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1) 2 + 4. Vì (2x + 1) 2 ≥ 0 =>(2x + 1) 2 + 4 ≥ 4  M ≥ 4 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2 A B D M E C K Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = - 1 2 ĐỀ 2 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: 1 2 8 a a . a thoã mãn 2 điều kiện a và b sau: a) ( ) 2 87 1 2 3 a a a = a a b) ( ) 3 4 5 6 7 8 7 8 a a a a a a a= Câu 2 . Chứng minh rằng: ( x m + x n + 1 ) chia hết cho x 2 + x + 1. khi và chỉ khi ( mn – 2)  3. áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x 7 + x 2 + 1. Câu 3 . Giải phương trình:         +++ 2007.2006.2005 1 4.3.2 1 3.2.1 1 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007). Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x 2 - 2xy + 6y 2 – 12x + 2y + 45. ĐÁP ÁN Câu 1 . Ta có a 1 a 2 a 3 = (a 7 a 8 ) 2 (1) a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 ) 3 (2). Từ (1) và (2) => 3122 87 ≤≤ aa => ( a 7 a 8 ) 3 = a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8  ( a 7 a 8 ) 3 – a 7 a 8 = a 4 a 5 a 6 00.  ( a 7 a 8 – 1) a 7 a 8 ( a 7 a 8 + 1) = 4 . 25 . a 4 a 5 a 6 do ( a 7 a 8 – 1) ; a 7 a 8 ; ( a 7 a 8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: a) . a 7 a 8 = 24 => a 1 a 2 a 3 . . . a 8 là số 57613824. b) . a 7 a 8 – 1 = 24 => a 7 a 8 = 25 => số đó là 62515625 c) . a 7 a 8 = 26 => không thoả mãn câu 2 . Đặt m = 3k + r với 20 ≤≤ r n = 3t + s với 20 ≤≤ s  x m + x n + 1 = x 3k+r + x 3t+s + 1 = x 3k x r – x r + x 3t x s – x s + x r + x s + 1. = x r ( x 3k –1) + x s ( x 3t –1) + x r + x s +1 ta thấy: ( x 3k – 1)  ( x 2 + x + 1) và ( x 3t –1 )  ( x 2 + x + 1) vậy: ( x m + x n + 1)  ( x 2 + x + 1) <=> ( x r + x s + 1)  ( x 2 + x + 1) với 2;0 ≤≤ sr Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 3 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 <=> r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n = 3t + 1 r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n = 3t + 2 <=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2)  3 Điều phải chứng minh. áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12  3.  ( x 7 + x 2 + 1)  ( x 2 + x + 1)  ( x 7 + x 2 + 1) : ( x 2 + x + 1) = x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 Câu 3 . Giải PT: ( ) 2007.20063.22.1 2007.2006.2005 1 . 4.3.2 1 3.2.1 1 +++=       +++  x Nhân 2 vế với 6 ta được: ( ) ( ) ( )( ) [ ] 200520082007.2006143.2032.12 2007.2006.2005 2 4.3.2 2 3.2`.1 2 3 −++−+−=       +++  x ( ) 2007.2006.20052008.2007.20063.2.14.3.23.2.12 2007.2006 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 3 −++−+=       −+−+−   x 651.100.5 669.1004.1003 2008.2007.2006.2 2007.2006 1 2.1 1 3 =⇔=       −⇔ xx Câu 4 .a) Do AE// BC => OC OA OB OE = A B BF// AD OD OB OA FO = MặT khác AB// CD ta lại có D A 1 B 1 OD OB OC OA = nên OA OF OB OE = => EF // AB b). ABCA 1 và ABB 1 D là hình bình hành => A 1 C = DB 1 = AB Vì EF // AB // CD nên DC AB AB EF = => AB 2 = EF.CD. c) Ta có: S 1 = 2 1 AH.OB; S 2 = 2 1 CK.OD; S 3 = 2 1 AH.OD; S 4 = 2 1 OK.OD. => CK AH OBCK OBAH S S == . 2 1 . 2 1 4 1 ; CKAH ODCK ODAH S S . . 2 1 . 2 1 2 3 == => 2 3 4 1 S S S S = => S 1 .S 2 = S 3 .S 4 Câu 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45 = x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 4≥ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 4 O K E H F Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 ĐỀ 3 Câu 1: a. Rút gọn biểu thức: A= (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1) ( 2 256 + 1) + 1 b. Nếu x 2 =y 2 + z 2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y) 2 Câu 2: a. Cho 0 =++ c z b y a x (1) và 2=++ z c y b x a (2) Tính giá trị của biểu thức A= 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + b. Biết a + b + c = 0 Tính : B = 222222222 bac ca acb bc cba ab −+ + −+ + −+ Câu 3: Tìm x , biết : 3 1988 19 1997 10 2006 1· = − + − + − xxx (1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ∈ đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a.BM ⊥ EF b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy. Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= (a+ b+ c) ( cba 111 ++ ). ĐÁP ÁN Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (2 2 +1) + 1 = (2 2 -1)(2 2 +1) (2 256 +1) = (2 4 -1) (2 4 + 1) (2 256 +1) = [(2 256 ) 2 –1] + 1 = 2 512 b, . ( 1 điểm) Ta có: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) 2 –16z 2 = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 z 2 (*) Vì x 2 =y 2 + z 2 ⇒ (*) = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 (x 2 –y 2 ) = (3x –5y) 2 Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0 Từ (2) ⇒ ⇒=         +++++ 02 2 2 2 2 2 2 yz bc xz ac xy ab c z b y a x 424 2 2 2 2 2 2 =         ++ −=++ xyz bcxacyabz c z b y a x Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 5 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a 2 + b 2 –c 2 = - 2ab Tương tự b 2 + c 2 – a 2 = - 2bc; c 2 +a 2 -b 2 = -2ac ⇒ B = 2 3 222 −= − + − + − ca ca bc bc ab ab Câu 3: . ( 1,25 điểm) (1) ⇔ 0 1988 2007 1997 2007 2006 2007· = − + − + − xxx ⇒ x= 2007 A Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM; B H là giao điểm của EF và BM ⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg) ⇒ Góc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E M K b. ( 1,25 điểm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE H Tương tự: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE là các đường cao của ∆BEF ⇒ đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: D F C P = 1 +       ++       ++       ++=+++++++ b c c b a c c a a b b a b c a c c b a b c a b a 311 Mặt khác 2≥+ x y y x với mọi x, y dương. ⇒ P / 3+2+2+2 =9 Vậy P min = 9 khi a=b=c. ĐỀ 4 Bài 1 (3đ): 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 + 7x + 12 b) a 10 + a 5 + 1 2) Giải phương trình: 2 4 6 8 98 96 94 92 x x x x+ + + + + = + Bài 2 (2đ): Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2 2 3 3 2 1 x x P x + + = − có giá trị nguyên Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) ABM∆ đồng dạng ACN∆ b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 6 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC. Bài 4 (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2007 20072 x xx A +− = , ( x khác 0) ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ): 1) a) x 2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ) b) a 10 + a 5 + 1 = (a 10 + a 9 + a 8 ) - (a 9 + a 8 + a 7 ) + (a 7 + a 6 + a 5 ) - (a 6 + a 5 + a 4 ) + (a 5 + a 4 + a 3 ) - (a 3 + a 2 + a ) + (a 2 + a + 1 ) = (a 2 + a + 1 )( a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + + a 3 - a+ 1 ) (1đ) 2) 92 8 94 6 96 4 98 2 + + + = + + + xxxx ⇔ ( 98 2 + x +1) + ( 96 4 + x + 1) = ( 94 6 + x + 1) + ( 92 8 + x + 1) (0,5đ) ⇔ ( x + 100 )( 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1 ) = 0 (0,25đ) Vì: 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1 ≠ 0 Do đó : x + 100 = 0 ⇔ x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài 2 (2đ): P = 12 5 2 12 5)24()2( 12 332 22 − ++= − +−+− = − ++ x x x xxx x xx (0,5đ) x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên thì 12 5 − x phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ) => * 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = { } 2;3;0;1 − thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5đ) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 7 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Bài 3 (4đ): 1) a) chứng minh ∆ ABM đồng dạng ∆ CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AN AM AC AB = ⇒ ∆ AMN đồng dạng ∆ ABC ⇒ ∠ AMN = ∠ ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ) ∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mà ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: ∠ CHA = ∠ CAH nên ∆ CAH cân tại C do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài 4 (1đ): A = 2 22 2007 20072007.22007 x xx +− = 2 22 2007 20072007.2 x xx +− + 2 2 2007 2006 x x = 2007 2006 2007 2006 2007 )2007( 2 2 ≥+ − x x A min = 2007 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ) ĐỀ 5 Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A =         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xx xx x a, Tìm điều kiện của x để A xác định . b, Rút gọn biểu thức A . c, Tìm giá trị của x để A > O Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau : 12 15 2 1 14 22 + +− −=+ + +− x xx x xx Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S. 1, Chứng minh ∆ AQR và ∆ APS là các tam giác cân. 2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 3, Chứng minh P là trực tâm ∆ SQR. 4, MN là trung trực của AC. Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 8 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Câu 4 ( 1 điểm): Cho biểu thức A = 12 332 2 + ++ x xx . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Câu 5 ( 1 điểm) a, Chứng minh rằng ( ) ( ) 3 3 333 .3 zyxxyyxzyx ++−+=++ b, Cho .0 111 =++ zyx Tính 222 z xy y xz x yz A ++= ĐÁP ÁN Câu 1 a, x # 2 , x # -2 , x # 0 b , A = 2 6 : 2 1 2 2 4 2 +       + + − + − xxx x x = ( ) ( )( ) 2 6 : 22 222 ++− −++− xxx xxx = ( )( ) x x xx − = + +− − 2 1 6 2 . 22 6 c, Để A > 0 thì 0 2 1 > − x 202 <⇔>−⇔ xx Câu 2 . ĐKXĐ : 2 1 ;1 −≠−≠ xx PT 01 12 15 1 1 14 22 =+ + +− ++ + +− ⇔ x xx x xx 0 12 23 1 23 22 = + +− + + +− ⇔ x xx x xx ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 02321023230 12 1 1 1 23 22 =+−−⇔=++−⇔=       + + + +−⇔ xxxxxx xx xx ⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ . Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =       − 3 2 ;2;1 Câu 3: 1, ∆ ADQ = ∆ ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên ∆ AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tợng tự ta có: ∆ ARP= ∆ ADS do đó AP = AS và ∆ APS là tam giác cân tại A. 2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN ⊥ SP và AM ⊥ RQ. Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 9 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Mặt khác : PAMPAN ∠=∠ = 45 0 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 3, Theo giả thiết: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nên QA và RC là hai đờng cao của ∆ SQR. Vậy P là trực tâm của ∆ SQR. 4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 2 1 QR. Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = 2 1 QR. ⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC 5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. Câu 4 . Ta có ĐKXĐ x ≠ -1/2 A = (x + 1) + 12 2 + x vì x ∈ Z nên để A nguyên thì 12 2 + x nguyên Hay 2x+1 là ớc của 2 . Vậy : 2x+1 = 2 ⇒ x=1/2 ( loại ) 2x+1 = 1 ⇒ x = 0 2x+1 = -1 ⇒ x = -1 2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( loại ) KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên Câu 5. a, , Chứng minh ( ) ( ) 3 3 333 .3 zyxxyyxzyx ++−+=++ Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh. b, Ta có 0 =++ cba thì ( ) ( ) ( ) abcccabccbaabbacba 333 333 3 333 =+−−−=++−+=++ (vì 0 =++ cba nên cba −=+ ) Theo giả thiết .0 111 =++ zyx ⇒ . 3111 333 xyz zyx =++ khi đó 3 3111 333333222 =×=         ++=++=++= xyz xyz zyx xyz z xyz y xyz x xyz z xy y xz x yz A ===================== ĐỀ 6 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : M =         + − +− − 1 1 1 1 224 2 xxx x         + − + 2 4 4 1 1 x x x a) Rút gọn Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 10 [...]... 8 1 8 4 1 1 1 1 = = ( x 6) ( x 2) 8 x 6 x 2 8 x 2 8 x 20 = 0 ( x 10 ) ( x + 2 ) = 0 x = 10 tho món iu kin phng trỡnh x = 2 Phng trỡnh cú nghim : x = 10; x = -2 Bi 3.(2im) ( 2 2 2x + 1 + x2 + 2 x2 2 x + 2 x 2x + 1 M= = x2 + 2 x2 + 2 (x M= 2 ) + 2 ( x 1) x2 + 2 x 1 M ln nht khi ( 2 ) ( x 1) = 1 2 x2 + 2 2 x +2 Gv: Nguyn Vn Tỳ 2 ) nh nht 18 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8. .. ymax= Bi 3: 1 1 = Khi x= 2004 2004t 80 16 2 im a, Nhõn c 2 v ca phng trỡnh vi 2.3.4 ta c: Gv: Nguyn Vn Tỳ 15 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11.10.9 .8 V trỏI l 4 s nguyờn liờn tip khỏc 0 nờn cỏc tha s phI cựng du ( + )hoc du ( - ) Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11 10 9 8 (1) V (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x... NC bit BC = 18 cm b) Tớnh AC bit MC - MA = 3cm c) Chng minh AP BN CM =1 PB NC MA P N Bi 1: a) x2+2x -8 = (x-2)(x+4) 0 x 2 v x - 4 TX = { x / x Q; x 2; x 4} b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) = 0 khi x=2; x= 1 x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0 x2+ 2x- 8 0 Vy M = 0 thỡ x = 1 Gv: Nguyn Vn Tỳ 23 (0,5) 0,2 1,0 0,2 M= 0 Thỡ 0,5 0,3 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 ( x 2)( x... BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 khụng i b, Nhõn (1) vi (2) ta cú: AC ID OA OA = IC BD OB OB AC OA 2 = BD OB 2 m IC = ID ( theo gi thit) suy ra: C, Theo cụng thc tớnh din tớch tam giỏc vuụng ta cú; SAOB = 1 OA.OB m SAOB = 2 Suy ra: OA.OB = 8a 2 3 8a 2 3 ( gi thit) 16a 2 Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = 3 OA OB = 16a 2 3 a2 + a( CA + DB ) + CA DB = M CA DB = a ( theo cõu a) a(CA +DB) = 2 16a 2... Gv: Nguyn Vn Tỳ 11 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 vuụng gúc nờn hỡnh EGFK l hỡnh thoi b) Ta cú : KAF = ACF = 450 , gúc F chung AF KF = AF 2 = KF CF CF AF d) T giỏc EGFK l hỡnh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE AKI ~ CAF (g.g) Chu vi tam giỏc EKC bng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Khụng i) Bi 5 : Bin i : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy ra B 24 ================================... Vỡ a + b + c = nờn: a 2 + b2 + c 2 4 2 4 1 Du = xy ra khi a = b = c = 2 ========================= 10 Cõu 1 (1,5) Gv: Nguyn Vn Tỳ 19 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Rỳt gn biu thc : A = 1 1 1 1 + + +.+ (3n + 2)(3n + 5) 2.5 5 .8 8.11 Cõu 2 (1,5) Tỡm cỏc s a, b, c sao cho : a thc x4 + ax + b chia ht cho (x2 - 4) Cõu 3 (2) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc 7 cú giỏ tr nguyờn x x +1 2 Cõu...Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 b) Tỡm giỏ tr bộ nht ca M Bi 2 : (2 im) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr nguyờn A= 4 x 3 3 x 2 + 2 x 83 x 3 Bi 3 : 2 im Gii phng trỡnh : a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) x 2 + x 3 + 2 x 8 = 9 Bi 4 : (3) Cho hỡnh vuụng ABCD Gi E l 1 im trờn cnh BC Qua E k tia Ax vuụng gúc vi AE Ax... Vn Tỳ 24 0,2 Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 B C N NB AB = NC AC AB BC AC AB 4 = = = Nờn Theo gi thit ta cú 4 7 5 AC 5 AN l phõn giỏc ca A Nờn 0,3 0,2 NB 4 BC 9 5.BC = = NC = = 10(cm) NC 5 NC 5 9 MC BC = b) BM l phõn giỏc ca B nờn MA BA 0,5 0,3 AB BC AC BC 7 = = = 4 7 5 BA 4 MC 7 MC MA 3 3.11 = = ac = = 11(cm) Nờn MA 4 MA + MC 11 3 Theo gi thit ta cú: 0,2 0,5 c) Vỡ AN,BM,CP l 3 ng... 4/ x 3 , ta cú: 3x 2 = 14 x = Vy phng trỡnh trờn cú nghim l x = - 4 3 16 3 Cõu 6: ( 2,5 ) v x= 2 D C I 2 Gv: Nguyn Vn Tỳ F Trng THCS Thanh M 2 H 26 0 15 150 2 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 F F A B Dng tam giỏc cõn BIC nh tam giỏc AFB cú gúc ỏy 150 ả Suy ra : B2 = 600 (1) Ta cú VAFB =VBIC (theo cỏch v) nờn: FB = IB (2) T (1) v (2) suy ra : VFIB u à ng thng CI ct FB ti H Ta cú: I 2 = 300 ( gúc ngoi... Chng minh Theo gi thit : a2+b2+c2 = ab+ac+bc Ta cú : a2+b2+c2 ab-ac-bc = 0 Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 im) (a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0 iu ny xy ra khi v ch khi a-b = b-c = a-c = 0 Tc l : a=b=c (1 im) Bi 5 (2 im) C Gi E l trung im ca AP F l trung im ca BP K M 1 2 1 FM = BP =FP 2 Ta cú : KE= AP = EP Gv: Nguyn Vn Tỳ P E 28 F Trng THCS Thanh M Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 A D B T giỏc . Mỹ 2 A B D M E C K Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = - 1 2 ĐỀ 2 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: 1 2 8 a a . a thoã mãn 2 điều kiện a và b sau: a) ( ) 2 87 1 2 3 a a a. a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8  ( a 7 a 8 ) 3 – a 7 a 8 = a 4 a 5 a 6 00.  ( a 7 a 8 – 1) a 7 a 8 ( a 7 a 8 + 1) = 4 . 25 . a 4 a 5 a 6 do ( a 7 a 8 – 1) ; a 7 a 8 ; ( a 7 a 8 + 1) là 3 số tự nhiên. + 45. ĐÁP ÁN Câu 1 . Ta có a 1 a 2 a 3 = (a 7 a 8 ) 2 (1) a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 ) 3 (2). Từ (1) và (2) => 3122 87 ≤≤ aa => ( a 7 a 8 ) 3 = a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8  (