50 đề thi học sinh giỏi toán 8

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

1 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 51 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (6 điểm) Cho biểu thức: 2x − 2x −  21 + x − x  P= + − +1 ÷: 2  x − 12 x + 13 x − x − 20 x −  x + x − P a) Rút gọn x= b) Tính giá trị P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên P>0 để Câu (3 điểm) Giải phương trình: 15x  1  a) − = 12 + ÷ x + 3x −  x + 3x −  d) Tìm b) x 148 − x 169− x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 x− + = c) Câu (2 điểm) Giải Câu tốn cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm 5km / h đến B sớm 20 phút Tính khoảng AB cách vận tốc dự định người Câu (7 điểm) ABCD Cho hình chữ nhật Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P A MDB a) Tứ giác hình ? E F b) Gọi hình chiếu điểm M lân AB, AD Chứng minh EF / /AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật vào vị trí điểm MEAF khơng phụ thuộc P Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Giả sử CP ⊥ BD CP = 2,4cm, PD = PB 16 Tính cạnh hình chữ nhật ABCD 20092008 + 20112010 2010 Câu (2 điểm) a) Chứng minh rằng: chia hết cho x,y,z b) Cho số lớn Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 1+ xy 1+ x 1+ y HƯỚNG DẪN GIẢI −3 x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 2 Câu Điều kiện: 2x − P= 2x − a) Rút gọn  x=  x= ⇔  x= −  b) +) x = 1 −1 ⇒ .P = ; +) x = ⇒ .P = 2 P= c) 2x − = 1+ ∈ ¢ ⇒ x − 5∈ U(2) = { −2; −1;1;2} 2x − x− x − = −2 ⇒ x = x − = −1 ⇒ x = x − = 1⇒ x = x − = −2 ⇒ x = Kết luận: P= d) Với Câu x ∈ { 3;6;7} P nhận giá trị nguyên 2x − = 1+ 2x − x− Ta có: Để (tm) (ktm) (tm) (tm) 1> P>0 x> thì > 0⇒ x − 5> ⇔ x > x− P>0 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có: 15x  1  − = 12 + ÷ x + 3x −  x + 3x −  ⇔  15x  − = 12  +  DK : x ≠ −4;x ≠ ( x + 4) ( x − 1)  x + 3( x − 1)  ⇔ 3.15x − 3( x + 4) ( x − 1) = 3.12( x − 1) + 12( x + 4)  3x =  x = (TM ) ⇔ 3x ( x + 4) = ⇔  ⇔  x + =  x = −4 (KTM ) S = { 0} b) Ta có: 148 − x 169− x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19  148 − x   169 − x   186 − x   199 − x  ⇔ − 1÷+  − 2÷+  − 3÷+  − 4÷ =  25   23   21   19   1 1 ⇔ ( 123 − x)  + + + ÷ = ⇔ 123− x = ⇔ x = 123  25 23 21 19  S = { 123} x− + = c) x − ≥ 0∀x ⇒ x − + > x− + = x− + Ta có: nên Phương trình viết dạng: x − + = ⇔ x − = 5− ⇔ x − = x − = x = ⇔ ⇔  x − = −2 x = Vậy S = { 0;4} x(km) (x > 0) Câu Gọi khoảng cách A B Vận tốc dự định người xe gắn máy là: x 3x = (km / h) 10 3 3h20' = (h) Vận tốc người xe gắn máy tăng lên Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 5km / h là: 3x + 5(km / h) 10 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  3x   10 + 5÷.3 = x ⇔ x = 150(tm)   Theo đề Câu ta có phương trình: 150km Vậy khoảng cách A B 3.150 = 45(km / h) 10 Vận tốc dự định là: Câu a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ⇒ PO CAM đường trung bình tam giác ⇒ A M / /PO ⇒ AMDB hình thang · · AM / /BD OBA = MAE b) Do nên (đồng vị) · · AOB OBA = OAB Tam giác cân O nên Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF ∆A IE cân I nên · · IAE = IEA · · FEA = OAB, EF / /AC (1) Từ chứng minh : có đó: IP / /AC ∆MAC IP Mặt khác đường trung bình nên E,F,P Từ (1) (2) suy ba điểm thẳng hàng MF A D ∆MA F : ∆DBA(g.g) ⇒ = FA AB c) Không đổi PD PD PB = ⇒ = = k ⇒ PD = 9k,PB = 16k PB 16 16 d) Nếu CP PB ∆CBD : ∆DCP(g.g) ⇒ = CP ⊥ BD PD CP Nếu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( 2,4) CP = PB.PD hay Do đó: PD = 9k = 1,8(cm); Chứng minh Câu = 9.16k ⇒ k = 0,2 PB = 16k = 3,2(cm) BD = 5(cm) BC = BP.BD = 16 , đó: BC = 4cm, ( ) ( CD = 3cm ) 20092008 + 20112010 = 20092008 + + 20112010 − a) Ta có: Vì ( ) 20092008 + = ( 2009 + 1) 20092007 − = 2010.( ) 2010 2011 ( − = ( 2011− 1) 2011 2009 ) + = 2010.( .) Vì Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 1 b) + ≥ (1) 2 1+ xy 1+ x 1+ y chia hết cho 2010 (1) chia hết cho 2010 (2)  1   1  ⇔ − − ÷≥ ÷+  2  1+ x 1+ xy   1+ y 1+ xy  x(y − x) y(x − y) ⇔ + ≥0 1+ x2 ( 1+ xy ) 1+ y2 (1+ xy) ( ) ( ( y − x) ( xy − 1) ) ⇔ Vì ⇒ ( 1+ x ) ( 1+ y ) (1+ xy) 2 ≥0 (2) x ≥ 1;y ≥ 1⇒ xy ≥ 1⇒ xy − 1≥ BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x= y (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 52 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (6 điểm) y2 − 2y + = a) Giải phương trình: x + 2x + 1 1 + + + ≥0 x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 b) Giải bất phương trình: Câu (5 điểm) P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m 2.1 ) Cho đa thức P(x) 2x + m a) Tìm để chia hết cho Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com m b) Với vừa tìm câu a, tìm số dư chia P(x) cho 3x − phân tích thừa số bậc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 2.2) Cho đa thức P(1) = 1;P(2) = 4;P(3) = 16;P(5) = 25 P(6);P(7)? Biết Tính Câu (2 điểm) a,b,c∈ 0;1 a + b + c = Cho Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 Câu (7 điểm) Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD ) Gọi E, F hình chiếu B,D lên AC; H, K hình chiếu C AB AC DFBE a) Tứ giác hình ? Vì ? ∆CHK : ∆BCA b) Chứng minh: AC = AB.AH + AD.AK c) Chứng minh: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) Ta có: y2 − 2y + = ⇔ y2 − 2y + x2 + 2x + = x + 2x + ( )( ) 2 ⇔ ( y − 1) + 2 ( x + 1) + 3 =     ⇔ ( x + 1) ( y − 1) + 3( y − 1) + 2( x + 1) + = 2 2 ⇔ ( x + 1) ( y − 1) + 3( y − 1) + 2( x + 1) = Vì ( x + 1) 2 2 ≥ 0;( y − 1) ≥ 2 x + = x = −1 ⇒ ⇔  y − = y = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 + + + ≥0 x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 1 1 ⇔ + + + ≥ 0( x ≠ 1;2;3;4;5;6) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 4) ( x − 5) ( x − 5) ( x − 6) b) 1 1 1 1 − + − + − + − ≥0 x− x− x− x− x− x− x− x− 1 −4 ⇔ − ≥ 0⇔ ≥ ⇔ ( x − 2) ( x − 6) < x− x− ( x − 2) ( x − 6) ⇔  x − >  x − <  < x < ⇔  ⇔  x − <  x ∈∅    x − > Kết hợp với điều kiện ta có 2< x < x ≠ 3;4;5 Câu 2.1) a) P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m = 6x3 + 9x2 − 16x2 − 24x + 8x + 12 + m − 12 = 3x2 ( 2x + 3) − 8x ( 2x + 3) + 4( 2x + 3) + m − 12 ( ) = ( 2x + 3) 3x2 − 8x + + m − 12 Để P(x)M ( 2x + 3) b) Với m − 12 = ⇔ m = 12 m = 12;P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + 12 = 6x3 − 4x2 − 3x2 + 2x − 18x + 12 ( ) = 2x2 ( 3x − 2) − x ( 3x − 2) − 6( 3x − 2) = ( 3x − 2) 2x2 − x − Phân tích P(x) tích thừa số bậc nhất: P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + 12 = ( 2x + 3) ( 3x − 2) ( x − 2) 2.2 ) Vì P(1) = 1;P(2) = 4;P(3) = 9;P(4) = 16;P(5) = 25 Mà P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ⇒ P(x) = ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) + x2 ⇒ P(6) = 5.4.3.2.1+ 62 = 156 ⇒ P(7) = 6.5.4.3.2 + 72 = 769 Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì a,b,c∈ 0;1 ⇒ ( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) ≥ Ta có: ( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) = 1− ( a + b + c) + ( ab + bc + ac) − abc( Vi a + b + c = 2) = −1+ ( ab + bc + ac) − abc ≥ ⇔ ab + bc + ac ≥ abc + 1≥ 1(Vi Lại có: ( a + b + c) abc ≥ 0) ⇒ −2( ab + bc + ac) ≤ −2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ac) ⇒ P = a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) − 2( ab + bc + ac) = − 2( ab + bc + ac) ≤ − = 2 Vậy Pmax = ⇔ ( a,b,c) hoán vị ( 0;1;1) Câu a) b) DF / /BE (vì vng góc với AC) ∆A FD = ∆CEB ⇒ DF = BE (Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ DFBE hình bình hành · BC / /AK ⇒ BCK = 900 · BC = 900 + BCH · A (góc ngồi ·HCK = 900 + BCH · · · ⇒ ABC = HCK ∆CHB) · · · CKD = ACD + DAC Có: · · · HBC = BAC + BCA mà Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ∆DKC) (góc ngồi · · · · BCA = DAC;BAC = DCA TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ ∆CKD : ∆CBH ⇒ CD CK AB CK = ⇒ = ⇒ ∆CHK : ∆BCA ( c.g.c) BC CH BC CH ∆AEB : ∆AHC ⇒ AB AE = ⇒ AE.AC = AB.AH ( 1) AC AH ∆AFD : ∆AKC ⇒ AF AD = ⇒ AF.AC = A D.AK ( 2) AK AC c) AE.A C + AF.AC = AB.AH + AD.AK(3) Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: ∆AFD = ∆CEB( cmt ) ⇒ AF = CE Mà ( 3) ⇔ AC.( AE + EC ) = AB.AH + AD.A K ⇔ A C = AB.AH + AD.A K (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 53 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (6 điểm) 1 1 + + = x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 a) Giải phương trình: b) Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A= + + ≥3 b+ c− a a+ c− b a+ b− c Câu (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho n5 + n3 + b) Tìm số nguyên n để chia hết cho Câu (3 điểm) a) Cho số dương 1 + + ≥9 a b c a,b,c có tổng Chứng minh rằng: a,b a + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 b) Cho dương 2011 2011 a +b Tính Câu (6 điểm) A BC Cho tam giác vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C 2000 vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a)OA.OB = OC.OH Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) · OHA có số đo khơng đổi BM.BH + CM.CA c) Tổng khơng đổi Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M Ta có: · BAD = ·AMC · DAC = ·ACM Mà (hai góc vị trí đồng vị) (hai góc vị trí so le trong) · · BAD = DAC nên ·AMC = ·ACM hay ∆ACM cân A, suy AM = AC = b Do AD / / CM nên AD BA c = = CM BM b + c CM < AM + AC = 2b ⇒ Mà Tương tự ta có: Cộng c AD 11 1 > ⇒ >  + ÷ b + c 2b la  b c  (1) 1 1 1 1 >  + ÷ (2); =  + ÷ (3) lb  c a  lc  a b  ( 1) ; ( ) ; ( 3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh a + ≥ 2a; b + ≥ 2b ⇒ a + b + ≥ 2a + 2b ⇒ a + b ≤ 2 Câu Ta có: Chứng minh với hai số dương Do đó: x, y 1 + ≥ x y x+ y   S = 2− + ≤1 ÷≤ − a +1+ b +1  a +1 b +1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy GTLN S 1, dạt a = b =1 (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 99 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (4 điểm) Cho biểu thức  ( a − 1) − a + a  a + 4a M = − : a − a + a − ( )   4a M a) Rút gọn M >0 a b) Tìm để a M c) Tìm giá trị để biểu thức đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: a) b) x +2 x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 x6 − x3 − = 2) Tìm 3) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm − x x − 2( x − m) − + = x−m x+m m2 − x a, b cho f ( x) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − Câu (4 điểm) 1) Cho x + y + z =1 x + y + z = Tính A = x 2015 + y 2015 + z 2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc người nghỉ hết 15 30km / h, sau phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? Câu (5 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho hình vng BC (M khác cho B, C ) ABCD có AC cắt BD Tia AM cắt đường thẳng CD O, M điểm thuộc cạnh N Trên cạnh AB lấy điểm E BE = CM a) Chứng minh ∆OEM b) Chứng minh : c) Từ C kẻ Cho số thực dương thức: ME / / BN CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) hàng Câu (2 điểm) P= vuông cân a, b, c thỏa mãn Chứng minh ba điểm a + b + c = 2016 O, M , H thẳng Tìm giá trị nhỏ biểu 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 điểm) a) Điều kiện: Ta có: a ≠ 0; a ≠  ( a − 1) − a + 4a  a + 4a M = − + : a3 − a −  4a  3a + ( a − 1)  ( a − 1) − 2a + a  4a = − +  2  a + a + ( a − 1) ( a + a + 1) a −  a ( a + ) ( a − 1) = − + a − 4a + a + a + ( a − 1) ( a + a + 1) 4a a2 + a3 − 3a + 3a − − + 2a − 4a + a + a + 4a = a +4 ( a − 1) ( a + a + 1) a − 4a 4a = = a −1 a + a + b) M > ⇔ 4a > ⇔ a > Kết hợp với điều kiện suy Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp M >0 a>0 a ≠1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Ta có: ( a − 2) ( a − 2) 1− a2 + Vì a + ) − ( a − 4a + ) ( a − 2) 4a ( M= = =1− a +4 a2 + a +4 ≥0 a với Dấu "=" xảy MaxM = Vậy Câu 1) a2 + nên ( a − 2) ≤1 với a a2 + =0⇔a=2 a = a) Ta có: x+2 x+ x +6 x+8 + = + 98 96 94 92  x+   x+   x+6   x+8  ⇔ + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷  98   96   94   92  1   ⇔ ( x + 100 )  + − − ÷=  98 96 94 92  Vì 1 1 + − − ≠0 98 96 94 92 Do đó: x + 100 = ⇔ x = −100 Vậy phương trình có nghiệm : b) x = −100 Ta có: x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − ) ( x + x + ) = ( *) 1  x − x +1=  x − ÷ + > 2  Do Nên x + x + = ( x + 1) + > ( *) ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x ∈ { −1;2} 2) ĐKXĐ: − x x − 2( x − m) − + = x−m x+m m2 − x2 x+m≠0 với x (1) x − m ≠ ⇔ x ≠ ±m Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ ( − x ) ( x + m ) + ( x − 2) ( x − m ) = − ( x − m ) ⇔ ( 2m − 1) x = m − ( *) 2m − = ⇔ m = +Nếu m≠ +Nếu - Xét ( *) ⇔ x = ta có: ( *) ⇔ x = ta có −3 m−2 2m − (vô nghiệm) x=m m−2 = m ⇔ m − = 2m − m 2m − ⇔ 1  ⇔ m − 2m + = ⇔ m − m + = ⇔  m − ÷ + = 2  2 (Không xảy vế trái ln dương) Xét x = −m m−2 = − m ⇔ m − = −2m + m 2m − ⇔ m = ⇔ m = ±1 ⇔ m= Vậy phương trình vơ nghiệm 3) Ta có: m = ±1 g ( x) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) f ( x) = ax + bx + 10 x − Vì Nên tồn đa thức chia hết cho đa thức q( x) cho g ( x ) = x2 + x − f ( x) = g ( x).q( x) ⇒ ax3 + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − ( 1) x = −2 ⇒ 2a − b + = ( ) ( 1) Thay vào Câu ( 2) ta có: a = −4 b = −2 x + y + z =1 ⇔ ( x + y + z) =1 1) Từ x + y3 + z3 = Mà Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ ( x + y + z ) − x3 − y − z = ⇔ ( x + y + z ) − z − ( x3 + y ) = ⇔ ( x + y + z − z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) z + z  − ( x + y ) ( x − xy + y ) =   ⇔ ( x + y ) ( x + y + z + xy + yz + xz + xz + yz + z + z − x + xy − y ) = ⇔ ( x + y ) ( 3z + xy + yz + xz ) = ⇔ ( x + y ) 3( y + z ) ( x + z ) = x + y = x = − y ⇔  y + z = ⇔  y = −z    x + z =  x = − z * * * Nếu Nếu Nếu x = − y ⇒ z = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = y = − z ⇒ x = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = x = − z ⇒ y = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = 2) Gọi x ( km ) độ dài quãng đường AB ĐK: Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: Quãng đường sau giờ: Quãng đường lại : x>0 x 30 30(km) (giờ) x − 30 ( km ) Thời gian qng đường lại: Theo ta có phương trình: 60km Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (giờ) x x − 30 =1+ + 30 40 ⇔ x = 30.5 + 3.( x − 30 ) ⇔ x = 60 Vậy quãng đường AB Câu x − 30 40 (thỏa mãn) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Vì Và Xét ABCD ∆OEB ∆OMC hình vng nên ta có : OB = OC µ =C µ = 450 B 1 BE = CM ( gt ) Suy ∆OEM = ∆OMC (c.g c ) ⇒ OE = OM Lại có: v =O ả O ả +O ả = BOC · O = 900 ¶ +O µ = EOM · ⇒O = 900 b) Từ giả thiết kết hợp với ABCD Mà Ta có: Mà AM BM = MN MC H' giao điểm · · 'B ME / / BN ⇒ OME = MH · OME = 450 ⇒ AB = CD ∆OEM (định lý Ta-let) AB = CD ⇒ AE = BM AM AE = ⇒ ME / / BN MN EB c) Gọi Từ hình vng OE = OM ⇒ ∆OEM hình vng + AB / / CD ⇒ AB / / CN ⇒ BE = CM ( gt ) ABCD tứ giác thay vào vuông cân O AB / / CD ( *) ( *) (theo Định lý Talet đảo) OM BN vuông cân O · ' B = 450 = C µ ⇒ MH ⇒ ∆OMC : ∆BMH ' ( g.g ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ OM MC = , BM MH kết hợp · · OMB = CMH ' (hai góc đối đỉnh) · · ' C = 450 ⇒ ∆OMB : ∆CMH '(c.g.c) ⇒ OBM = MH Vậy · ' C = BH · ' M + MH · ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN BH CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) ⇒ H ≡ H ' Mà Câu Ta có: O, M , H hay điểm thẳng hàng (đpcm) 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c P= Đặt 2015 + a = x 2016 + b = y 2017 + c = z b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c y+z z+x x+ y y x x z y z = + + = + + + + + x y z x y z x z y P= ≥2 Dấu y x z x y z +2 +2 =6 x y x z z y "=" xảy x=y=z (Co − si ) suy a = 673, b = 672, c = 671 P Vậy giá trị nhỏ biểu thức a = 673, b = 672, c = 671 (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 100 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Bài (4,5 điểm) Cho biểu thức : 6x +   Q= + − ÷: ( x + )  x +1 x +1 x − x +1 a) Tìm điều kiện xác định Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Q, rút gọn Q TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Tìm x Q= c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4,5 điểm) a) Giải phương trình : 2x + 2x + x2 + x − − =1− 2x + 2x + ( x + 1) ( x + ) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: c) Tìm giá trị x, y x3 − x − x + nguyên dương cho : x = y + y + 13 Bài (4,0 điểm) a) Cho abc ≠ ±1 b) Cho số tự nhiên ab + bc + ca + = = b c a n > Chứng minh a=b=c Chứng minh 2n = 10a + b ( a, b ∈ ¥ ,0 < b < 10 ) tích ab chia hết cho Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH DA HD HE HF + + = AD BE CF b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P , Q, I , K EF , FD, DE trung điểm đoạn thẳng Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK BC , CA, AB , đồng quy điểm Bài (1,0 điểm) Cho tam giác tam giác rằng: ABC ABC cân A có AB = AC = b; BC = a có độ dài cạnh bên tam giác Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Đường phân giác ABC BD Chứng minh TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 b − = b a ( a + b) Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) ĐK: x ≠ −1; x ≠ −2 x2 − x + + 6x + − 2x − ( x + ) ( x + 1) Q= = = x +1 x + ( x + 1) ( x + ) ( x − x + 1) x − x + b)  x = −1 1 = ⇔ x − x + = ⇔ x + x − = ⇔ ( ) ( ) x = x2 − x +  So sánh với điều kiện suy c) Q Q= ; x − x +1 1 3  > 0; x − x + =  x − ÷ + ≥ > 2 4  Vì ⇔ x − x +1 Vậy GTLN Q Q= x≠ Câu a) ĐK: GTLN ⇔ x − x + = đạt GTLN x=2 Q= đạt x= ⇔ x = ( tm ) Q= Lúc −1 −7 ;x ≠ 2 ( x + 3) ( x + ) − ( x + 5) ( x + 1) = ( x + ) ( x + 1) − x + x − ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) x + 20 x + 21 − x − 12 x − x + 16 x + − x − x + ⇔ = ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) x + 16 −2 x + x + 16 ⇔ = ( x + ) ( x + 1) ( 2x + 7) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ x + 16 = −2 x + x + 16 ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) =  x = (tm) ⇔ −1 x = ( ktm)  Vậy phương trình có nghiệm b) Ta có x=0 x3 − x − x + = ( x − x ) − ( x − ) = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − ) ( x − 1) ( x + 1) c) Ta có: x = y + y + 13 ⇔ x = ( y + 1) + 12 ⇔ ( x + y + 1) ( x − y − 1) = 12 Do x + y + − ( x − y − 1) = y + x + y +1 x − y −1 số chẵn và y = Vậy nên x + y + > x − y − Do hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp : ⇔x=4 x, y ∈ ¥ * x + y +1= ( x; y ) = ( 4;1) x − y −1 = Câu ab + bc + ca + 1 1 = = ⇒a+ =b+ =c+ b c a b c a a) Từ Do đó: a −b = 1 b−c 1 c−a 1 a−b − = ;b − c = − = ;c − a = − = c b bc a c ac b a ab ( a − b) ( b − c) ( c − a) = ( a − b) ( b − c ) ( c − a ) a 2b c Suy : ⇔ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( a 2b 2c − 1) = ⇒ ( a − b) ( b − c) ( c − a) = Suy a=b=c b) Ta có: (do abc ≠ ±1 2n = 10a + b ⇒ bM2 ⇒ abM2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ) (1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta chứng minh abM (2) Thật , từ đẳng thức Đặt Nếu n = 4k + r ( k , r ∈ ¥ ,0 ≤ r ≤ 3) r =0 Suy ( 1) ta có: − = ( 16 − 1) M 10 ⇒ n n r r có chữ số tận b 2n = 16k 2r k tận 2r b = ⇒ 10a = − = ( 16 − 1) M ⇒ aM ⇒ abM r Từ 2n = 10a + b ⇒ 2n ( 2) n suy r r k abM Câu ∆BDH : ∆ADC ( g g ) ⇒ a) Chỉ S HBC S ABC b) Ta có: Tương tự Do đó: HD.BC HD = = AD.BC AD HE S HAC HF S HAB = ; = BE S ABC CF S ABC HD HE HF S HBC + S HAC + S HAB S ABC + + = = =1 AD BE CF S ABC S ABC c) Chứng minh Tương tự: BD DH = ⇒ BD.DC = DH DA AD DC · DEC = ·ABC ∆AEF : ∆ABC ( c.g c ) ⇒ ·AEF = ·ABC Do đó: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ·AEF = DEC · TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà ·AEF + HEF · · · = DEC + HED = 900 ⇒ EH nên · · HEF = HED phân giác ngồi góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) Do ∆BEC vuông E, M trung điểm BC nên ứng với cạnh huyền), Tương tự: Do đó: ⇒ MQ ∆EMF EF (trung tuyến FM = BC cân M, mà Q trung điểm đường trung trực EM = BC hay MQ EF nên MQ ⊥ EF đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh tam giác DEF nên ba đường thẳng NI PK MQ, NI , PK đường trung trực đồng quy điểm Câu Vẽ BH đường cao tam giác Tam giác tuyến ⇒ AH = Tam giác BAD cân B ( BA = BD ) ABC có BH đường cao nên đường trung AD ABC có BD đường phân giác, ta có: DA AB b DA DC DA + DC AC b b2 = = ⇒ = = = = ⇒ DA = DC BC a b a a+b a +b a +b a+b Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tam giác HAB vuông H, theo định lý Pytago ta có: AD AB = BH + AH ⇒ BH = b − 2 Tam giác HBC 2 (1) vuông H, theo định lý Pytago, ta có: BC = BH + HC ⇒ BH = BC − ( AC − AH ) 2 2 2 AD   = a − b − ÷   AD ⇒ BH = a − b + b AD − (2) 2 Từ (1) (2) ta có: AD AD 2 b − = a − b + b AD − ⇒ b − a = b AD − b 4 −ab a −b b 1 b ⇒ ( b + a) ( b − a) = ⇒ = ⇒ − = a+b ab b a ( a + b) ( a + b) Vậy toán dược chứng minh Câu Do a, b > + b ≥ 2b với b nên: a ab ab2 ab = a − ≥ a − = a − + b2 + b2 2b Tương tự ta có: Mà a +b+c =3 b bc c ca ≥b− ; ≥c− 2 1+ c 1+ a nên a b c ab + bc + ca + + ≥3− 2 1+ b 1+ c 1+ a (1) a + b + c = ⇒ ( a + b + c) = Cũng từ ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = Mà a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ac Suy nên a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ab + bc + ca ) ≤ ⇔ ab + bc + ca ≤ ( ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ ( 1) , ( ) suy a b c 3 + + ≥ 3− = 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 ( dpcm ) ⇔ a = b = c =1 Đẳng thức xảy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) _HẾT _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... =6 86 84 82  x − 214   x − 132   x − 54  ⇔ − 1÷+  − 2÷+  − 3÷ =  86   84   82  x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82  1 1 ⇔ ( x − 300)  + + ÷ ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300  86 84 ... 4x − 4y = 8 ( x − 4) ( y − 4) = 1 .8 = 2.4 x,y,z Từ ta tìm giá trị là: ( x;y;z ) ∈ { ( 5;12;13) ;( 12;5;13) ;( 6 ;8; 10) ; ( 8; 6;10) } (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 58 ĐỀ THI CHỌN HSG... + 5) + 15 ( =(a =(a =(a )( ) = a2 + 8a + a2 + 8a + 15 + 15 ) ( ) + 8a + 22 a2 + 8a + 120 ) + 8a + 12) ( a + 8a + 10) = ( a + 2) ( a + 6) ( a + 8a + 10) 2 + 8a + 11 − 12 2 Câu Giả sử : ( x − a)