Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
11 Website:tailieumontoan.com 50 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CẤP QUẬN, HUYỆN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi tốn lớp huyện nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi lớp giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi toán lớp quận, huyện nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Phần Đề thi Phần Đáp án • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề 1: Trang ….56 2: Trang ….59 3: Trang ….63 4: Trang ….65 5: Trang ….70 6: Trang ….73 7: Trang ….78 8: Trang ….82 9: Trang ….85 10: _Trang ….88 11: _Trang ….91 12: _Trang ….95 13: _Trang ….99 14: _Trang ….102 15: _Trang ….106 16: _Trang ….109 17: _Trang ….113 18: _Trang ….115 19: _Trang ….119 20: _Trang ….123 21: _Trang ….128 22: _Trang ….131 23: _Trang ….135 24: _Trang ….138 25: _Trang ….142 26: _Trang ….145 27: _Trang ….149 28: _Trang ….153 29: _Trang ….157 30: _Trang ….162 31: _Trang ….166 32: _Trang ….170 33: _Trang ….173 34: _Trang ….179 35: _Trang ….181 36: _Trang ….184 37: _Trang ….186 38: _Trang ….190 39: _Trang ….193 40: _Trang ….197 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com • • • • • • • • • • Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề 41: _Trang 42: _Trang 43: _Trang 44: _Trang 45: _Trang 46: _Trang 47: _Trang 48: _Trang 49: _Trang 50: _Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC ….201 ….205 ….209 ….212 ….215 ….219 ….222 ….225 ….229 ….233 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TỐN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com P= x2 − x x+ x + − 2x + x Câu Cho biểu thức: a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P Q= c Xét biểu thức: Câu (4,5 điểm) x , P x + 2( x − 1) x −1 chứng tỏ < Q < 2014 a Khơng dùng máy tính so sánh : 2015 + 2015 2014 2014 + ≤0 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 c Giải phương trình: Câu (4,0 điểm) ( x= ) 5+ 2015 + = x+ x+ 17 − 38 + 14 − ( 3x a Với Tính giá trị biểu thức: B = b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho ) + 8x2 − 2015 M M (3x + 1) y đồng thời (3y + 1) x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF = cos A S ABC ABC AEF Tam giác đồng dạng với tam giác ; S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC b Chứng minh : c Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + HA HB HC + + ≥ BC AC AB d Chứng minh rằng: Câu (1,5 điểm) Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 36 x − y _Hết _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) HUYỆN THẠCH HÀ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu a) Tính giá trị đa thức 1 x = 9− + 9 − + 4 f(x) = (x4 − 3x + 1)2016 2.2016 2017 − − 2016 − b) So sánh c) Tính giá trị biểu thức: 2017 − + 20162 − sin2 x cos2 x sinx.cosx + + 1+ cotx 1+ tanx với 00 < x < 90 d) Biết số vơ tỉ, tìm số ngun a, b thỏa mãn: − = −9− 20 a+ b a− b Câu Giải phương trình sau: x−1 x− − = − x− x− a) x2 − 5x + = x − b) Câu a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 – = c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số a4 + b4 ≥ ab3 + a3b − a2b2 Câu a) Chứng minh b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + =2 a +b +1 b +c +1 c +a +1 Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) ∆ABC Câu Cho nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vng góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng _Hết _ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KINH MƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu ( 2,5 điểm ) 2008 2009 So sánh : + B= Cho biểu thức Câu (1,0 điểm ) 2009 2008 1 Chứng minh biểu thức : x= + 2008 + 2009 + + + 2010 P = ( x − x − 1) 2010 Chứng minh B > 86 có giá trị số tự nhiên với 10 + ( − 1) 6+2 − Câu ( 2,5 điểm ) Giải phương trình sau: 2x − + = x y = x + 4x + Tìm số nguyên x, y thỏa mãn Câu (3,0 điểm ) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vng góc với AK cắt CD I 1 + = 2 AM AK AB Chứng minh : Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vng góc với IK, ∈ ∈ OP + OQ + OR ∈ AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí O để nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu ( 1,0 điểm ) ≤ a , b, c ≤ a+b+c =3 Cho ba số a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≤ _Hết _ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) B= Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức : a Rút gọn biểu thức B b Tìm x để B > x= c Tính giá trị B : Câu (4,0 điểm) a Giải phương trình : b Chứng minh rằng: Câu (3,0điểm) x − 1− x + x − 1+ x + x x−x x −1 53 9− x − 1+ x − + −1+ x − x − = 10 số vô tỉ y = 2x +1 a Vẽ đồ thị hàm số: b Xác định tọa độ giao điểm đồ thị hàm số câu a với đồ thị hàm số y = 3x – Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M N cho OM = ON Qua M N vẽ dây CD EF song song với (C, E thuộc nửa đường tròn đường kính AB) a Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com OM = R b Cho , góc nhọn CD OA 600 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE Câu (2,0 điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác Câu (3,0 điểm) a b Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: abc a4 + b4 + c4 ≥ abc(a +b+c) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số cho Với n số nguyên lớn _Hết _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC abc = n2 − cba = (n − 2) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu (6 điểm) x − x 9− x x−3 x − 2 P = 1− : − − ÷ ÷ ÷ x + x − 2− x ÷ x − x + Cho Rút gọn P Tìm x để P > Với x > 4, x ≠ Tìm giá trị lớn P.(x + 1) Câu (4 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương Cho: a > 0, b > ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( a + b + 1) a2 + b2 + a+ b ( ) Câu (2 điểm) x + 2012 − y = 2012 2012 − x + y = 2012 Cho hệ phương trình: Chứng minh rằng: x = y Tìm nghiệm hệ phương trình Câu (5 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Cho hai đường tròn (O; R) (O ’; R’) tiếp xúc A(R > R ’) Vẽ dây ⊥ AM đường tròn (O) dây AN đường tròn (O’) cho AM AN Gọi ∈ BC tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) với B (O) C ∈ (O’) Chứng minh OM // O’N Chứng minh: Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giá trị lớn Câu (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc đường cao ma, mb, mc trung tuyến cạnh BC, CA, AB; R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: ma mb mc R + r + + ≤ hb hc r Tìm tất cặp số nguyên dương a,b cho: a + b chia hết cho a b – _Hết _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) x x − 2x − x + Cho P = x x−3 x−2 x x + 2x − x − + x x−3 x+2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu (4,0 điểm) 5− 3x − x − x − 3+ 3+ 2x Giải phương trình =4 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Câu (4,0 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Cho a = x + x b=y+ y c = xy + xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc Chứng minh với x > ta ln có 3(x2 - x2 ) < 2(x3 - x3 ) Câu (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc Về phía ngồi tứ giác ABCD, dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Câu (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm Tính độ dài BD, DC Câu (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN P = 1+ a4 + 1+ b4 _Hết _ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu 1.(5 điểm) a6 − 2a5 + a − a5 + a) Tính giá trị biểu thức Q = a 25 16 = = x+ y x+ z (x + z) (z − y)(2x + y + z) Biết b) Cho số nguyên a, b, c Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ≠ thoả mãn: 1 1 + + = a b c abc TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x +1 = ⇔ x = ⇔ x = (TMĐK (*) ) x +1 = ⇔ x = ⇔ x = Vậy b) x=0 M (khơng TMĐK (*) loại ) nhận giá trị nguyên x = + 2 − + + 18 − − 18 − = (4 − ) = − = − Có + + − = + = ( + 1) = +1 x = + 2 − − − = + 2 − − = + − − x = + ( − 1) − = + − − = + − x = ( + 1) − = Với x =1 +1 − = +1− = P = 3.12013 + 5.12011 + 2006 = + + 2006 = 2014 Ta có x =1 P = 2014 Vậy với Câu a) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) ( x + 5) = 24 ( )( ) ⇔ x + x + 18 x + x + 20 = 24 (1) x + x + 19 = y phương trình (1) trở thành : Đặt ( y + 1) ( y − 1) − 24 = ⇔ y − 25 = ⇔ ( y − 5) ( y + ) = ( )( ) ⇔ x + x + 24 x + x + 14 = ⇔ ( x + ) ( x + ) ( x + x + 24 ) = ( ) ⇔ ( x + ) ( x + ) x + x + 24 = Chứng tỏ x + x + 24 > x = −2; x = −7 Vậy nghiệm phương trình : x − x − = −( x − x + 1) = −( x − 1) < b) Ta có 2x − x − = x − 2x + ⇔ x = Phương trình trở thành : Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Vậy nghiệm phương trình : Câu x =1 a) (1,0 điểm) x4 y + x2 y + M = x + ÷ y + ÷ = x y + + + 2 = y x x y x2 y (x = ) y2 +1 x2 y2 xy + Ta có: 2 x2 y2 + = ÷ = xy + ÷ xy xy 15 = xy + ÷+ xy 16 xy 16 xy xy + 1 1 ≥ xy = = 16 xy 16 xy * Ta có: (1) 1 15 15 x + y ⇒ xy ≤ ⇒ ≥4 ⇒ ≥ = ⇒ ≥ xy ≤ = xy 16 xy 16 16 xy 2 * (2) 15 15 17 ⇒ xy + ÷ = xy + ≥ + = ÷+ xy 16 xy 16 xy 4 Từ (1) (2) Vậy 17 289 M = xy + ÷ ≥ ÷ = xy 16 xy = xy = 16 xy ⇔ ⇔ 4⇔x= y= x= y x = y x, y > Dấu “=” xảy (Vì ) 289 MinM = x= y= 16 Vậy b) (1,0 điểm) 11 1 1 ⇒ ≤ + ÷ + ≥ a, b > a+b 4 a b a b a+b Áp dụng BĐT (với ) Ta có: 1 1 1 = ≤ + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + y + z x + y + z ≤ 1 1 1 1 + + + + ≤ ÷ ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z ) x + y x + z x + y y + z ≤ 1 1 + + ÷ 16 x + y x + z y + z Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Tương tự: 1 1 ≤ + + ÷ x + y + 3z 16 x + z x + y y + z 1 1 ≤ + + ÷ x + y + z 16 y + z x + y x + z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 + + ≤ + + ÷ x + y + z x + y + z x + y + z 16 x + y x + z y + z ≤ 4 1 + + ÷ = = 16 x + y x + z y + z Câu B D I O C H E P A F Q BPQ H BA đường cao tam giác suy thuộc OE ∆BEF AB = AE AF B BA ⊥ EF Nối , vuông ; nên AE AB AE AB AE AB ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1 AB AF OA AQ AB AF 2 1) BA Vậy ∆AEO : ∆ABQ (c.g.c) Suy ·ABQ = ·AEO mà ·ABQ = P µ (góc có ·AEO = P µ cạnh tương ứng vng góc) nên , mà hai góc đồng vị PH //OE ∆AEO PE = PA H Trong có (giả thiết); suy trung điểm OA 2) Ta có: P = sin α + cos α = ( sin α ) + ( co s α ) 3 P = ( sin α + cos α ) sin α − sin α cos α + cos α P = ( sin α + cos α ) − 3sin α cos α = − 3sin α cos α Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ( sin α + cos α ) ≥ 4sin α cos α ⇔ ≥ 4sin α cos α ⇔ sin α cos α ≤ P = − 3sin α cos α ≥ − Suy ra: Pmin = Do đó: ⇔ khi: = 4 sin α = cos α ⇔ sin α = cos α ∆ACB ∆ADB nội tiếp đường tròn ·ACB = ·ADB = 90° ⇒ ADBC nên α góc ( O) có AB đường kính hình chữ nhật CD = AB = AE AF Ta có: (vì sin α = ⇔ tgα = ⇒ α = 45° cos α nhọn) Khi CD vng góc với AB 3) Ta có ⇒ CD = AB = AE AF = ( EC.EB ) ( DF BF ) = ( EC.DF ) ( EB.BF ) = EC.DF AB.EF ⇒ AB = CE.DF EF CD = CE.DF EF Vậy BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE = = ⇒ = = ⇒ = BF FA.EF AF BF AF DF BF BF DF Ta có: Câu Giả sử n + n3 + ( ( ) n + n3 + > n = n số phương ⇒ n + n3 + = n + k ) 2 = n + 2kn + k (k ∈ ¥ * ) ⇒ n3 − 2kn = k − ⇒ n ( n − 2k ) = k − ≥ Mà k − 1Mn ⇒ k = n2 ≤ k − k = ⇒ k = ⇒ n2 ( n − 2) = ⇒ n = 2 Nếu 24 + 23 + = 52 Thử lại ( thỏa mãn) 2 k ≠ ⇒ k > k −1 ≥ n ⇒ k > n Khi ⇒ n − 2k < Vậy Câu n=2 mâu thuẫn với điều kiện n ( n − 2k ) = k − ≥ Đề số 49 p ≤ q Khơng tính tổng quát, giả sử Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Trường hợp 1: p=2 ⇒ p ( p + 3) = ( + 3) = 2.5 = 10 ⇒ 10 + q ( q + 3) = n ( n + 3) ⇔ 10 = n + 3n − q − 3q = ( n − q ) + ( 3n − 3q ) ⇔ 10 = ( n − q ) ( n + q ) + ( n − q ) ⇔ 10 = ( n − q ) ( n + q + 3) Vì p ( p + 3) + q ( q + 3) = n ( n + ) mà p ; q n ; số nguyên dương ⇒ n > q ≥ ⇒ n+q +3> 2+2+3= Mà 10 = 1.10 = 2.5 n + q + = 10 n + q = n = ⇒ ⇔ ⇔ n − q =1 n − q =1 q = So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương p=3 Trường hợp 2: ( p; q; n ) cần tìm ( 2;3; ) ⇒ p ( p + 3) = ( + 3) = 3.6 = 18 ⇒ 18 + q ( q + 3) = n ( n + 3) ⇔ 18 = n + 3n − q − 3q = ( n2 − q ) + ( 3n − 3q ) ⇔ 18 = ( n − q ) ( n + q ) + ( n − q ) ⇔ 18 = ( n − q ) ( n + q + 3) Vì p ( p + 3) + q ( q + 3) = n ( n + ) mà p ; q n ; số nguyên dương ⇒ n > q ≥ ⇒ n + q +3 > 3+3+3 = Mà 18 = 1.18 = 2.9 = 3.6 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com n + q + = 18 n + q = 15 n = ⇒ ⇔ ⇔ n − q =1 n−q =1 q = So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương p>3 Trường hợp 3: ( p; q; n ) Ta chứng minh với số nguyên cần tìm a ( 3; 7;8 ) khơng chia hết cho tích a ( a + 3) chia dư Thật vậy: a :3 ⇒ a = 3k + ⇒ a + = 3k + Nếu dư ⇒ a ( a + 3) = ( 3k + 1) ( 3k + ) = 9k + 15k + : Nếu a :3 dư dư ⇒ a = 3k + ⇒ a + = 3k + ⇒ a ( a + 3) = ( 3k + ) ( 3k + ) = k + 21k + 10 : dư Trở lại tốn chính: q ≥ p > 3⇒ p Œ 3; q Œ Vì ⇒ p ( p + 3) + q ( q + 3) : Mà n ( n + 3) : dư (nếu dư nŒ 3) n ( n + 3) M3 nM3 ⇒ p ( p + 3) + q ( q + ) ≠ n ( n + 3) ( p; q; n ) Suy khơng có ba số ngun dương tốn a b c Câu Vì , , ba nghiệm phương trình thỏa mãn yêu cầu x3 − x + x − = Khi phân tích đa thức x3 − x + x − thừa số ta được: 2x − 9x + x −1 = ( x − a ) ( x − b) ( x − c ) ⇔ ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) = x3 − Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp x + 3x − 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ⇔ x − ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) x − abc = x − x + 3x − 2 a + b + c = ⇔ ab + bc + ca = abc = ⇒ a + b + c = ( a + b + c) Tính 2 a 2b + b c + c a 2 57 9 − ( ab + bc + ca ) = ÷ − 2.3 = 2 : a 2b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − ( ab ×bc + bc ×ca + ca ×ab ) ⇔ a 2b2 + b 2c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) 9 ⇒ a 2b + b c + c a = 32 − × × = 2 Tính a + b3 + c : a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc ⇒ a + b3 + c = 57 417 − ÷+ × = 2 Vậy: a+b+c = ab + bc + ca = abc = 57 2 a +b +c = a 2b + b c + c a = a + b3 + c = 417 Khi ta có: a − b5 b5 − c c − a S= + + a −b b−c c−a Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ⇔ S = ( a + a 3b + a 2b + ab3 + b ) + ( b + b3c + b 2c + bc + c ) + ( c + c a + c a + ca + a ) ⇔ S = 2a + 2b + 2c + a 3b + b3a + b3c + c3b + a 3c + c 3a + a 2b + b 2c + c a ⇔ S = ( a + b + c + 2a b2 + 2b c + 2c a ) + ( a + a 3b + a 3c ) + ( b + b3 a + b3c ) + ( c + c 3a + c3b ) − ( a 2b + b c + c a ) ⇔ S = ( a + b + c ) + a ( a + b + c ) + b3 ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) ⇔ S = ( a + b + c ) + ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) − ( a b + b c + c a ) 2 57 417 3465 S = ữ + ì − = Câu Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp AIFH AFHE Dễ dàng chứng minh tứ giác nội tiếp tứ giác nội tiếp ⇒ A F H E I điểm , , , , thuộc đường tròn ⇒ AIFE tứ giác nội tiếp ⇒ GI GA = GF GE ( 1) Dễ dàng chứng minh tứ giác Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp BFEC nội tiếp ⇒ GF GE = GB.GC ( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ( 1) ( 2) GI GA = GB.GC ⇒ BCAI Từ suy ra: tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh) GH ⊥ AM Chứng minh Gọi ( O) đường tròn ngoại tiếp Vì tứ giác A′I ⊥ AG Mà BCAI HI ⊥ AG tứ giác nội tiếp (giả thiết) BHCA ' ( O) AA ' Kẻ đường kính ⇒ I ∈ ( O ) ⇒ ·AIA′ = 90° ⇒ A′I ⊥ AI hay ⇒ A′I ≡ HI ⇒ A′ I H , , thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh giác ⇒M ∆ABC A' H qua trung điểm M BC (tứ hình bình hành) I H , , thẳng hàng ∆AGM H AD ⊥ AM MI ⊥ AG AD MI Xét có: , cắt ⇒H AGM trực tâm tam giác ⇒ GH ⊥ AM Suy điều phải chứng minh Câu Trường hợp 1: Nếu tồn ba số 1 0; 3 a b c , , thuộc nửa khoảng 1 + + ≥ = ( a + b + c ) > a + b2 + c 2 a b c ta có Khi bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 a> b> c> a+b+c = 3> a+ + ⇒ a < 3 3 3 Trường hợp 2: ; ; ta có tương b< tự c< ; Vậy 1 7 a; b; c ∈ ; ÷ 3 3 1 7 ∀x ∈ ; ÷ − x ≥ − x + 3 3 x2 Ta chứng minh (*) Thật (*) ⇔ − x ≥ −4 x + x ⇔ x − x + x − ≤ ⇔ ( x − 1) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (x − x − 1) ≤ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com 1 7 ∀x ∈ ; ÷ 3 3 với 1 − a ≥ −4 a + − b ≥ −4b + − c ≥ −4c + 2 a b c Vậy ; ; 1 + + − a − b − c ≥ −4 ( a + b + c ) + 12 = a b2 c2 Từ suy ⇔ ( x − 1) ⇒ ( ( x − 1) ) −2 ≤ 1 + + ≥ a + b2 + c 2 a b c (đpcm) a = b = c =1 = Dấu “ ” xảy Câu Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài O Xét điểm có màu vàng mặt phẳng Vẽ đường tròn ( O, ) Lấy điểm P ( O) OAPB OP Dựng hình thoi có cạnh có đường chéo OA = OB = AB = AC = BC = Dễ thấy B Theo giả thiết, A, phải tô khác màu vàng khác màu O P Do phải tơ vàng Từ suy tất điểm ( ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay số thực dương O ) có Đề số 50 Phần trắc nghiệm Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Đáp án D Phần tự luận Câu A C D A = − 11 − + 11 a) Tính Nhận xét A < Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com A2 = ( − 11 − + 11 ) = − 11 + + 11 − (6− )( 11 + 11 ) = 12 − 36 − 11 = 12 − 2.5 = A=− Suy (vì A < 0) 2x + x x−4 P = − x − ÷ ÷ ÷ x −2 x x +1 x − x +1 b) Rút gọn = ( )( x +1 - ( ) ) x +1 x − x +1 x − x +1 2x + − x ( )( ( )( ) x −2 ÷= ÷ x −2 x +2 ( ( với x ≥ 0; x ≠ x − x +1 )( ) x +1 x − x +1 ( ) x − x −2 ) ) x +1 x −2 = x −2 x < P 4−x < 0⇔ x − ( ) x < ⇔ ⇔x 0, z > Chứng minh Ta có: ỉ1 1 ỉx y ÷ ỉx z ổz y ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ = + + ÷ + + + + ÷ ( x + y + z) ỗỗỗ + + ữ ữ ç ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ èz x ữ ứ ỗ ốx y z ứ ốy x ữ ứ ỗ ốy z ữ ứ x + y2 x + z z2 + y2 =3+ + + xy xz zy Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com = 3+ + xy = 3+2 +2 +2 + ( x - y) æ1 x + y + z ≥ 3 xyz ( x - y) xy xy (Vì với x > 0, y > 0, z > Cách 2: Sử dụng ( x - y) + 2xy ( z - x ) + 2xz ( z - y) + 2yz ³ 0; ta có + zx + ( z - x) zx ( z - x) zx ³ 0; + yz ( z - y) yz ( z - y) yz 1 1 + + ³ 33 x y z xyz ³ ³ ) suy 1ư ÷³ ( x + y + z) ççç + + ÷ ÷ ÷ èx y z ø …… + Áp dụng kết toán ta có ỉHD HE HF ÷ ưỉ AD BE CF ữ HD HE HF ỗ ỗ + + + + ữ ữ + + =1 ỗ ỗ çAD BE CF ÷ çHD HE HF ÷ è øè ø AD BE CF Mà (cmt) AD BE CF + + ³ HD HF HF Do Câu x≥ y≥0 Điều kiện: ; ⇔ ( 2x −1 + (1) Thay vào (2) y ) =9 ⇔ 2x −1 + y =3 ⇔ 2x −1 = − y (*) y + − y + − 2( y − 2) − = ⇔ ( y + − 4) − ( y + − 3) − 2( y − 2) = y + − 16 y +1− y −4 − − =0 y +1 + y +2 ⇔ 3y +1 + ⇔ (y-4) − − y + + y + + Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ÷=0 y +2÷ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com y − 4=0 2 ⇔ = + (3) y + + y +1 + y+2 Với y = ta có x = Với y≥0 ta có 3y +1 + ≤ 2 + y +1 + ≤ Từ (*) suy y suy nghiệm Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp y+2 > Vậy phương trình (3) vơ TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Phần Đề thi Phần Đáp án • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề Đề. .. ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 21 (Đề thi có trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LÊ CHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: ... KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi