Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp Huyện, phòng GD-ĐT Đức Thọ năm 2013 - 2014

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a) A   10    10   x y2  b) B  xy  x  y  x2 x x  y  x  y  y2 y x  y  với xy > 0; x  y Bài 2: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y  2xy  7x  12  Bài 3: Giải phương trình 5x   5 x  x 6 a) x  b)   x    x 1   x  2013 10   x  2014  14 1 Bài 4: Cho ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC  ADC Tính BE theo m = AB  b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh BHM  BEC Tính AHM GB HD c) Tia AM cắt BC G Chứng minh  BC AH  HC 3 2 Bài 5: a) Cho x  y   x  y    x  y    xy > 1  x y b) Với a, b, c số thực dương Chứng minh a5 b5 c5 a  b  c3    a  ab  b b  bc  c c  ca  a Tìm GTLN M  Bài giải Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn Bài 1: a) Đặt x   10    10   x        1    x   Do A = x  y x x  y y b) B    x x  y y x  y Xét trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > y > x > ta B  Bài 2: Cách 1: y  2xy  7x  12    x  y    x  3 x   (x + 3)(x + 4) tích số nguyên liên tiếp nên số phương x    x  3 Dó  Từ ta tìm (x; y)  {(-3; 3); (-4; 4)}  x    x  4 Cách 2: y  2xy  7x  12   4y  8xy  28x  48   4y  49  4x  2y    1 2y    x  4 2y   1  x  3   2y   2y   4x   1 ta có     2y   4x  1  y  2y   4x   y  5x  5x  Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x  -1 Đặt x   a x  b  x 1  x 1   x  5x  x  x  x   x  5x   Ta có a  b  x   x   5   x   x 1  x 1    a    5 x    x  x    b  ab  a      x  3x      Do  Với      x  3x    5 x a   x  3x   a  b  b    x 3  x 1  b  x    x  1 x      x    5 x   x  x     x  2x   a    Với      x  2x     x  1   , vô nghiệm 5 x  x  2x   b   x 2  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2} 5x   5 x  Cách 2: x  x   5x  x x    x  1  x  5x  11x  13x      x 1   x 1   x  5x  11x  13x    x  3x  x  2x         Từ ta tìm tập nghiệm S = {1; 2} b)  x  2013 10   x  2014  14   x  2013  x  2014  Ta có x = 2013, x = 2014 nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm 7 Xét x < 2013  x  2014  1  x  2014   x  2014   x  2013  x  2014  0  x  2013   x  2013  x  2013 0  x  2013  Xét 2013 < x < 2014     1  x  2014  0  x  2014   x  2014  x  2014  x  2013  x  2014  x  2013  x  2014  x  2013  2014  x  5 Xét x > 2014  x  2014  1  x  2013   x  2013   x  2013  x  2014  Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014   BAC   900 (gt) EDC Bài 4: a) Xét EDC BAC có   chung C EC BC  EDC  BAC (g – g)   DC AC Xét BEC ADC có A E m M B H G D C  EC BC    DC AC  BEC  ADC (c – g - c) C   chung   ADC  Mặt khác AH = HD (gt) nên  BEC   450  ADC   1350  BEC   1350  AEB   450  AEB vuông cân A  ADH Do BE  m   CAB   900 (gt) AHB  AHB  CAB (g – g) b) Xét AHB CAB có   chung B AB BH BE BH BM BH   AB2  BH.BC  2AB2  2BH.BC  BE  2BH.BC     BC AB 2BC BE BC BE  BM BH   (Vì BE = 2BM) Xét BHM BEC có  BC BE  BHM  BEC (c – g - c) MBH  chung  0     BHM  BEC  135  AHM  45    BAC   900 (gt) AHC AH AB  AHC  BAC (g – g)  c) Xét AHC BAC có  (1)   HC AC C chung  Mặt khác AEB vuông cân A có AM trung tuyến AM phân giác hay AG đường GB AB phân giác ABC Suy (2) Từ (1) (2) ta có:  GC AC GB AH   GB.HC  AH.GC  GB.HC  AH  BC  GB   GB.HC  AH.BC  AH.GB GC HC GB HD   AH.GB  GB.HC  HD.BC (Vì HD = AH)  GB  AH  HC   HD.BC  BC AH  HC Bài 5: a) x  y3   x  y    x  y      x  y   x  xy  y    x  xy  y    x  2xy  y    x  y      x  xy  y   x  y     x  y       x  y    2x  2xy  2y2  2x  2y    2 2  x  y    x  y    x  1   y  1  2   x  y    x  y  2 Mà xy > x, y < Áp dụng BĐT CauChy ta có Vậy M    x   y    x     y   nên xy ≤ 1, 2  2 xy 1 xy    2 , GTLN M -2 Đạt x = y = -1 x y xy a3 2a  b   3a   2a  b   a  ab  b   a  b3  ab  a  b  2 a  ab  b  a  ab  b  ab   a  b   b) Cách 1: Ta có: Do a3 2a  b a5 2a  a b Chứng minh tương tự ta    a  ab  b a  ab  b a5 b5 c5 a  b  c3 a  b  c3  a b  b c  c a     a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 Mặt khác: Vai trò a, b, c nên giả sử a  b  c  a  b  c3  a b  b c  c a  a  a  b   b  b  c   c  c  a   a  a  b   b  b  a  a  c   c  c  a    a  b   a  b    a  c  b  c  b  c   a5 b5 c5 a  b  c3 Dấu “=” xảy a = b = c    a  ab  b b  bc  c c  ca  a Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có a5 b5 c5 a6 b6 c6      a  ab  b b  bc  c c  ca  a a  a b  ab b3  b c  bc c3  c a  ca Từ suy  a  b  c3  a  b3  c3  a b  ab  b c  bc  c a  ca 2 Mặt khác  a  b    a  ab  b  ab  a  b3  ab  a  b  tương tự b3  c3  bc  b  c  c3  a  ca  c  a  Suy  a  b3  c3   ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a    a  b3  c3   a  b3  c3  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  a  b  c3  a  b  c3   a  b3  c3  a b  ab  b c  bc  c a  ca Dự đoán: Mỗi câu đ theo thang điểm 10 câu đ theo thang điểm 20 ...  2014  0  x  2013   x  2013  x  2013 0  x  2013  Xét 2013 < x < 2014     1  x  2014  0  x  2014   x  2014  x  2014  x  2013  x  2014  x  2013  x  2014. .. x  2013 10   x  2014  14   x  2013  x  2014  Ta có x = 2013, x = 2014 nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm 7 Xét x < 2013  x  2014  1  x  2014   x  2014   x  2013. ..  x  2014  x  2013  2014  x  5 Xét x > 2014  x  2014  1  x  2013   x  2013   x  2013  x  2014  Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014   BAC   90 0 (gt) EDC Bài