Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
11 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề Hàm số bậc hàm số bậc hai Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán hệ phương trình thường kì thi gần Chun đề gồm phần: • Chủ đề ơn lại kiến thức hàm số • Chủ đề hàm số y = ax • Chủ đề hàm số y = ax + b • Chủ đề hàm số y = ax2 Phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề hàm giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC HAI CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT Nhắc lại kiến thức hàm số y Nếu đại lượng trị x phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá ta xác định giá trị số tương ứng hàm số x giá trị tương ứng x y ( x; f (x)) thay đổi mà hàm Chẳng hạn y = f (x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp mặt phẳng tọa độ y y nhận giá trị không đổi y=2 gọi là hàm hằng, đồ thị hàm số đường thẳng vng góc với trục tung, cắt trục tung điểm có tung độ y = f (x) Cho hàm số thuộc ¡ gọi Đồ thị hàm số Khi y xác định với giá trị x thuộc ¡ Với x1, x2 : Nếu Nếu x1 < x2 x1 < x2 mà mà f ( x1) < f ( x2 ) f ( x1) > f ( x2 ) ta nói hàm số đồng biến ¡ ta nói hàm số nghịch biến , ¡ Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số Cho biết f (x) = ax5 + bx3 + cx - a,b, c f (- 3) = 208 ( Tính f (3) số) Lời giải Ta có f (- 3) = a(- 3)5 + b(- 3)3 + c(- 3) - ; f (3) = a.35 + b.33 + c.3 - Nên Vậy f( 3) + (3) = - 10 Do f (3) = - 10 - 208 = - 218 208 + f (3) = - 10 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013) sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Tìm m để hàm số bậc biến m2 − 2013m+ 2012 y= x − 2011 m2 − 2m+ hàm số nghịch Lời giải y= Để hàm số m − 2013m + 2012 x − 2011 m − 2m + ( m − 2m + = m − (1) ) nghịch biến m − 2013m + 2012 ∀m ⇔ m − 2013m + 2012 < ⇔ ( m − 1) ( m − 2012 ) < m − > m > m − 2012 < m < 2012 ⇔ ⇔ m − < m < m − 2012 > m > 2012 ⇒ < m < 2012 Vậy < m < 2012 hàm số nghịch biến Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) Chứng minh hàm số (*) đồng biến R với m Lời giải Ta có: 3m2 – 7m + = 5 m − m+ ÷ 3 49 60 = m − ÷ − + 36 36 11 = m − ÷ + > ∀m 36 Vây f(x) đồng biến R với m Ví dụ Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc nhất: a) y = − 4m x− b) y = x− m −4 2 Lời giải a) Để hàm số hàm số bậc thì: sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com − 4m ≠ ⇔ − 4m ≠ ⇔ m ≠ m≠ Vậy để hàm số hàm số bậc b) Để hàm số hàm số bậc m ≠ m ≠ -2 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ Y = AX2 Tóm tắt lý thuyết: Hàm số y = ax ( a ¹ 0) Đồ thị hàm số xác định với số thực y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ Trên tập hợp số thực, hàm số a0 , nghịch biến Ví dụ minh họa: Ví dụ Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(0;4), B(3;4),C (3;0) nhật OABC Hãy tìm hệ số a A, B,C cho đường thẳng có toạ độ y = ax thành hai phần, diện tích phần chứa điểm tích phần chứa điểm C chia hình chữ A gấp đôi diện Lời giải (h.2) Đường thẳng hình chữ nhật (3;3a) y = ax OABC phải cắt cạnh BC , gọi giao điểm E có toạ độ SOABC = OAOC = 4.3 = 12 SOCE = 1 SOABC = 12 = 3 CE = 2.SOCE : OC = 2.4 : = 3a = Từ a= sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x y= Đường thẳng phải tìm y = x2 + 2x + - Ví dụ Cho hàm số x2 - 2x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ y , giá trị lớn y Lời giải y = (x + 1)2 - (x - 1)2 =| x + 1| - | x - 1| Lập bẳng xét dấu a) x - x +1 + - + x- - - + Với Với Với x£ - - 1< x < x³ y = (- x - 1) - (1- x) = - y = (x + 1) - (1- x) = 2x y = (x + 1) - (x - 1) = Đồ hàm số vẽ hình b) Trên đồ thị, ta thấy: y = - Û x £ - max y = Û x > Ví dụ Cho điểm cho A B ; A(1;4) B (3;1) Xác định đường thẳng y = ax nằm hai phía đường thẳng cách đường thẳng Lời giải Kí hiệu đường thẳng phải tìm Gọi AH đến đường thẳng BK d d khoảng cách từ A Đường thẳng qua sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 đến A B song song TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com với Ox cắt d điểm song song với Ta cú Ox ổ ữ Mỗ ;4ữ ỗ ữ ỗ ữ ốa ứ ng thng i qua ct d ti im B ổ1 ữ Nỗ ỗ ;1ữ ữ ỗ ốa ữ ứ AH = BK Û AM = NB - = 3a a Û a= Giải (1) ta (1) , đường thẳng d y= phải tìm x Chú ý: a) Nếu đề khơng có điều kiện “ y = ax giải A nằm hai phía đường thẳng - = 3a a ” thay cho (1) ta phải viết - 1= - a a Trường hợp cho kết phía đường thẳng y =- x Khi ngồi (1), ta phải a =- y=- thẳng B đường thẳng d' x thẳng , điểm A B nằm cách đường thẳng (đường hình 4) b) Nếu sử dụng cơng thức tính toạ độ trung điểm y = ax Ví dụ 21 qua điểm M M (2;2, 5) đoạn thẳng a= , ta tìm AB đường 2,5 = CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B Tóm tắt lý thuyết: Hàm số bậc hàm số cho công thức số thực xác định, Hàm số a¹ y = ax + b , a b y = ax + b (a ¹ 0) xác định với số thực sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 x TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com y = ax + b Trên tập hợp số thực, hàm số a0 , nghịch biến Đồ thị hàm số bậc đường thẳng cắt hai trục toạ độ Hàm số y = ax trường hợp đặc biệt hàm số y = ax + b b= Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai điểm đường thẳng y = ax + b A(x1;y1), B(x2;y2) qua A y - y1 y2 - y1 B = x1 ¹ x2, y1 ¹ y2 với Chứng minh x - x1 x2 - x1 Lời giải Đường thẳng y = ax + b qua A(x1; y1) nên y1 = ax1 + b , suy y - y1 = a(x - x1) Đường thẳng y = ax + b qua B (x2;y2) (1) nên y2 = ax2 + b y2 - y1 = a(x2 - x1) y - y1 Từ (1) (2) suy x - x1 = y2 - y1 y - y1 x2 - x1 y2 - y1 , suy ra: (2) = x - x1 x2 - x1 Ví dụ Cho đường thẳng y = mx + m - m ( tham số) (1) a) Chứng minh đường thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị m m b) Tính giá trị để đường thẳng (1) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích Lời giải a) Điều kiện để đường thẳng (1) qua điểm cố định m N (x0;y0) với là: sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com y0 = mx0 + m - = với Û (x0 + 1)m - (y0 + 1) = ïì x + = Û ïí Û ïï y0 + = ïỵ N (- 1; - 1) b) Gọi A x= qua điểm cố giao điểm đường thẳng (1) với trục tung Với , Gọi (1) y = m- B OA =| m - 1| giao điểm đường thẳng (1) với trục hoành Với 1- m m OB = (m - 1)2 =4Û |m| Với Với m2 + 2m + = Û (m + 1)2 = Û m = - N tạo với trục toạ độ tam giác có diện : m = 3+ 2 m = 3- 2 m=- ém2 - 2m + = 4m(2) ê êm2 - 2m + = - 4m(3) ê ë m2 - 6m + = Û (m - 3)2 = Có ba đường thẳng qua OAOB = Û OAOB =4 Û | m - 3|= 2 Û m = ± 2 tích y=0 Û Giải (3) ta có 1- m m nên Giải (2) ta có x=0 SAOB = Û Với m ìï x = - ï í ïï y0 = - ỵ Vậy đường thẳng định với , ta có đường thẳng , ta có đường thẳng , ta có đường thẳng sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 y = (3 + 2)x + (2 + 2) y = (3 - 2)x + (2 - 2) y =- x- TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 4: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Y = AX + B Tóm tắt lý thuyết: Xét hai đường thẳng y = aÂx + b (aÂạ 0) d v d theo th tự có phương trình y = ax + b (a 0) v Ta cú: d P d a = a d d trựng ct v b b¢ d¢ Û a = a¢ b = b¢ d a a d ^ d aa¢= - Xét đường thẳng y = ax + b trục Ox,T y = ax + b (a ¹ 0) tia Ax 900 < a < 1800 Đặt góc giao điểm đường thẳng y = ax + b điểm thuộc đường thẳng dương Ta gọi góc tạo đường thẳng AT A Gọi a tg(1800 - a) = - a hệ số góc đường thẳng y = ax + b 00 < a < 900 , Cho biết y = ax + b a trục Ox tga = a , ta tính có tung độ góc tạo bỏi tia , a a0 a¢< d¢ d¢ , ) nằm góc vng phần tư I III, ) nằm góc vng phần tư II IV, H (1;0) theo thứ tự Chú ý OAB d¢ Qua điểm d d d vng O H , kẻ đường thẳng vng góc với A B nằm , ta có A Ox , cắt HA =| a |= a, HB =| a¢|= - a B nên điều kiện để tam giác HA.HB = OH Û a(- a¢) = Û aa¢= - Chú ý: Ta biết hai đường thẳng hai đường thẳng sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 y = ax y = ax + b và y = a¢x y = a¢x + b¢ vng góc với vng góc với Do TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com m > ⇔ ∆ > ⇔ m + 8m > ⇔ m < −8 d ∩ Ox = A ⇒ A ( −2;0 ) d ∩ Oy = B ⇒ B ( 0;2m ) Ta có: C D nằm phía trục tung C có hồnh độ âm: x1 < 0; x2 > ⇒ x1 x2 < ⇔ −2m < ⇔ m > Gọi E F thứ tự hình chiếu C lên trục Ox CE = y1 = mx1 + 2m = m ( x1 + ) D lên trục Oy BF = yF − yB = y2 − yB = mx2 + 2m − 2m = mx2 Ta có: DF / / Ox CE / / Oy ∆ACE : ∆DBF ( g g ) ⇒ nên: m ( x1 + ) x +2 = ⇔ = ( mx2 x2 AC CE = = BD FB m > 0) ⇒ x2 = x1 + ⇒ x1 + x1 + = m m−4 x1 = ⇒ ⇒ ( m − ) ( 2m + ) = −18m m + x = ⇔ 2m − 4m + 18m − 16 = ⇔ m2 + 7m − = ⇔ m2 + 7m − = ⇔ ( m + ) ( m − 1) = m = −8 ⇔ m = (tm) (ktm) m =1 Vậy giá trị cần tìm Bài 41: ( ) ( A − m; m , B Tính Tính ) m ; m , C ( m; m ) , D ( −m; m ) S ∆OCD = m3 S ABCD = ( m − m ) ; sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 ( m+m ) ( 1> m > ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com S ABCD = 9.S∆OCD ⇔ ( m − m ) Do ( ) m + m = 9m ⇔ 10m m + m − m − = 1 m = t > ⇒ 10t + t − t − = ⇔ t − ÷( 10t + 6t + ) = ⇔ t = 2 Đặt m= Suy m= Kết luận, giá trị cần tìm Bài 42: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: x = ( m + 1) x − m − ⇔ x − ( m + 1) x + 2m + = 0(*) 2 Đường thẳng (d) cắt ( P) hai điểm ⇔ phương trình ( *) ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ ( m + 1) − 2m − ≥ ⇔ 2m − m ≥ ⇔ ≤ m ≤ 2 Với 0≤m≤2 ( d) cắt ( P) nghiệm hai điểm A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) x1 + x2 = ( m + 1) x1 x2 = 2m + A x1 ; x12 ÷, B x2 ; x22 ÷ ⇒ T = y1 + y2 − x1 x2 = = hai Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: Ta có: có 2 x1 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 2 ( ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( ) = ( m + 1) − 4m2 − = −2m2 + 4m = −2 m2 − 2m + + 2 = −2 ( m − 1) + 2 Vì ( m − 1) Đặt ≥ ∀m ∈ [ 0; 2] t = m − ⇒ m ∈ [ 0;2] ⇒ t ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 0;1] ⇒ T = − ( m − 1) = − 2t ≥ ∀t ∈ [ 0;1] sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Vậy m = MinT = ⇔ t = ⇔ ( m − 1) = ⇔ m = Bài 43: Vì đường thẳng (d ) : y = ax + b qua điểm A(−1;1) nên ta có: = −a + b ⇔ b = a + (1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): ax + b = x ⇔ x − ax − b = (2) Thay (1) vào (2) được: x = −1 x − ax − a − = ⇔ ( x + 1)( x − − a) = ⇔ x = a +1 Vì (d) tiếp xúc với parabol nghiệm kép ( P) : y = x điểm A(−1;1) nên phương trình (2) có x1 = x2 = −1 ⇔ −1 = a + ⇔ a = −2 ⇒ b = −2 + = −1 Vậy a = −2; b = −1 Bài 44: ( d) : y = a) Ta có x+6 x = ⇒ y = x = x+6 ⇔ x = −4 ⇒ y = Phương trình hồnh độ giao điểm A ( 6;9 ) , B ( −4; ) Vậy giao điểm b) Cách C c ; c ÷∈ ( P ) c ≠ 6, c ≠ −4 Gọi điểm cần tìm Ta có AB = 125 ; 1 AC = ( c − ) + c − ÷ = c − c − 12c + 117 4 16 2 ; 2 1 BC = ( c + ) + c − ÷ = c − c + 8c + 32 4 16 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com AB = AC + BC ABC Tam giác vuông C ⇔ 125 = c − c − 12c + 117 + c − c + 8c + 32 16 16 1 1 ⇔ c − c − 4c + 24 = ⇔ c − c + c − c − 4c + 8c − 12c + 24 = 8 4 1 ⇔ c ( c − ) + c ( c − ) − ( c − ) − 12 ( c − ) = 1 ⇔ ( c − ) c3 + c − 4c − 12 ÷ = 8 c − = ⇔ 1 c + c − 4c − 12 = 8 c = ( n ) ⇔ c = −4 ( l ) c = l ( ) C ( 2;1) Vậy điểm thỏa đề Cách 2: C c ; c ÷∈ ( P ) c ≠ 6, c ≠ −4 Gọi 13 M 1; ÷ 2 Ta gọi M trung điểm AB, suy 5 MC = AB = ∆ABC 2 Ta có vng C nên (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) 13 125 ( c − 1) + c − ÷ = 2 4 Suy 3 ⇔ c − c − 2c + 12 = ⇔ c − c + c − c − 2c + 4c − 6c + 12 = 16 16 8 ⇔ c ( c − ) + c ( c − ) − 2c ( c − ) − ( c − ) = 16 x = ( n) 1 ⇔ ( c − ) c + c − 2c − ÷ = ⇔ x = ( l ) 16 x = −4 l ( ) Vậy điểm C ( 2;1) điểm thỏa đề sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Bài 45: O ( 0; 0) 1) Đỉnh cổng đỉnh Parabol y = ax ( a< ) trùng với gốc tọa độ Gọi điểm biểu thị hai chân cổng đồ thị hàm số A , B ta có A , B đối xứng Oy A ; B; H qua trục tung cách đơn vị H giao điểm AB với ( nằm phía trục hồnh) 2 OH = OA - AH = Ta có A ( - 2; - 4) B( 2; - 4) ( ổ4ữ - ỗ ữ = 16 = ỗ ỗ ố2ữ ứ ) , suy H ( 0; - 4) từ suy - = a( - 2) Û - = 4a Û a=- Parabol ( a< ) qua điểm A nên ta có (thỏa mãn), điều phải chứng minh y = ax2 Nhận xét: Bài toán này, thực chất sử dụng tính chất hàm số, đặc biệt hàm số bậc hai dạng y = ax với a¹ , ngồi sử dụng cơng thức liên quan đến khoảng cách, độ dài,… Nhắc lại kiến thức phương pháp: y = ax2 với a< Parabol nhận gốc tọa độ làm đỉnh trục trung làm trục đối xứng, phần lõm hướng xuống dưới, • Đồ thị hàm số ta hình vẽ sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Các điểm khác gốc tọa độ nằm parabol phía trục hồnh • Định lý Py-ta-go: “Trong tam giác vng có tổng bình phương hai cạnh góc vng bình phương cạnh huyền) Tam giác D OAH vuông H , áp dụng định lý Py-ta-go ta có AH + HO = OA Û OH = OA - AH Û OH = OA - AH Û OH = ( 2 ỉư 4÷ - ỗ ữ ỗ ữ = 16 = ỗ è2ø ) • Một điểm nằm trục tung khoảng cách điểm với gốc tọa độ giá trị tuyệt đối tung điểm điểm Điểm H nằm trục tung nằm phía trục hoành nên OH = yH =- yH H Ta có điểm H có tung độ âm hoành độ nằm trục hoành nên yH < Û - yH = Û yH =- 4Þ H ( 0; - 4) suy A ( 2; - 4) B( - 2; 4) • Một điểm thuộc đồ thị hàm số thay giá trị hồnh độ tung độ điểm vào hàm số ta phương trình Điểm A ( 2; - 4) y=- thuộc đồ thị hàm số y = ax nên ta có thay x= vào hàm số ta phương trình - = a.2 Û 4a=- Û a=- (điều phải chứng minh) 2) Gọi giao điểm cảu đường biểu diễn chiều cao xe tải với Parabol ( P) C C; D D ( nằm hai phía trục tung) CD Ta có song song với AB Ox K giao điểm CD Oy Khoảng cách DC AB 2,5 đơn vị nên suy OK = 4- 2,5= 1,5 ta có phương trình đường thẳng CD sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 y= - TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ìï ïï x = - - ïï c - x2 = Û í ï ïï ïï xD = P ( ) ỵ Phương trình hồnh độ giao điểm CD Parabol Khi CD = Tại độ cao 2,5 m chiều rộng cổng chiều rộng xe tải nên xe tải qua cổng 6m lớn 2,4m Nhận xét: Vì chiều cao xe tải thấp chiều cao cổng, để biết xe tải qua cổng hay không ta phải xét xem, độ cao cổng với chiều cao xe chiều rộng cổng bao nhiêu, chiều rộng lớn chiều rộng xe tải xe tải qua, nhỏ chiều rộng xe tải khơng qua, tốn xử lý lý thuyết nên ta chấp nhận có qua Nhắc lại kiến thức phương pháp: • Khoảng cách hai điểm nằm đường vng góc với hai đường thẳng song song khoảng cách hai đường thẳng song song Ta có khoảng cách CD AB chiều cao xe tải nên 2,5 HK = 2,5 Û OH - OK = 2,5 Û 4- OK = 2,5 Û OK = 4- 2,5= 1,5 suy K ( 0; - 1,5) • Đường thẳng song song với trục hoành qua điểm tập hợp điểm có tung độ tung độ điểm K ( 0;- 1,5) Ta có CD POx CD qua điểm nên ta có hàm số biểu thị đường thẳng CD y =- 1,5 =- • Phương trình hồnh độ giao điểm/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng CD với parabol ïìï ïï xC =3 - x2 =- Û x2 = Û ïí Û 2 ïï ïï xD = ïỵ ïìï ïï xC =2 ïí ïï ïï xD = ïỵ • Khoảng cách hai điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành giá trị tuyệt đối hiệu hai hoành độ hai điểm Ta có C D thuộc CD POx nên CD = xC - xD = =- 6= 6 • Đối với tốn trên, độ cao cổng với chiều cao xe chiều rộng cổng bao nhiêu, chiều rộng lớn chiều rộng sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com xe tải xe tải qua, nhỏ chiều rộng xe tải khơng qua, tốn xử lý lý thuyết nên ta chấp nhận có qua Ta có > 2,4 tức chiều rộng cổng độ cao 2,5 lớn chiều rộng xe tải nên xe tải qua cổng Bài 46 Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình ⇔ x − x + 2m − = (1) nghiệm phân biệt x = x − m +1 ; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai ⇔ ∆ ' > ⇔ − 2m > ⇔ m < Vì (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm (d) (P) nên x1; x2 nghiệm phương trình (1) y1 = x1 − m + y = x2 − m + , Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x = 4, x1x = 2m-2 Thay y1,y2 vào x1x ( y1 +y ) + 48 = có x1x ( 2x1 +2x -2m+2 ) + 48 = ⇒ (2m - 2)(10 - 2m) + 48 = ⇔ m - 6m - = ⇔ m=-1(thỏa mãn m 0, với m ≠ − kết luận b) Giải PT (1) hai nghiệm: x1 = − x2 = m − Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3| |yA − yB| = ⇔ m2−2m−3 = m2−2m−3 = −2 ⇔m= 1± m = 1± Bài 48 Phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 bx c = Ta có a; b; c cạnh tam giác vuông nên a > 0; b > 0; c > sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Ta thấy a.(c) < nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu, chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Theo định lý Viet ta có: b −c x1 + x = ; x1.x = a a b2 x12 + x 22 = (x1 + x ) − 2x1.x = a Ta có x12 + x 22 = b2 + a2 Co−Sy 2c a < b2 + a + c2 a2 + 2c a 2a = a2 =2 (do a2 = b2 + c2 định lý Pitago) Bài 49 a) Khi m =1 x − 3x = 3x + , hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm PT: ⇔ x − 12 x − = , có ∆ ' = 36 + = 38 Vậy hoành độ giao điểm là: − 38 + 38 , 2 x − (2m2 + 1) x + m − = x + b) Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm PT: ⇔ x − 4(m + 2) x + m − = PT (1) có: (2) Có: m (1) ∆ ' = 4( m + 2) − 2( m − 2) , để (P) cắt (D) hai điểm phân biệt ∆' > (2) ⇔ 2(m + 2) − ( m − 2) > ⇔ 2m + 8m2 − m + 10 > 1 1 39 ⇔ 2m + m + m − 2.m + + 10 − > ⇔ 2m + m + m − ÷ + >0 4 2 2 , với m Gọi Để x1 , x2 hoành độ giao điểm (P) (D) ta có: x1 ≥ x2 ≥ x1 + x2 ≥ x1 x2 ≥ Vậy giá trị m , từ (3) (4) suy ra: cần tìm là: m≥2 x1 + x2 = 2(m + 2) (3) m−2 (4) x1 x2 = m≥2 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Bài 50 + Pt hoành độ giao điểm (P) (d) x − ( m + 3) x + m + = (1) + (P) cắt (d) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( ) ⇔ ∆ / > ⇔ ( m + 3) − m +3 > ⇔ m + > ⇔ m > −1(*) + Khi theo giả thiết Vi-ét ta có x + x = 2(m + 3) 2 x1 x2 = m + xx 57 x1 + x2 − = x1 + x2 (1) (2) (3) Thế pt (1), (2) vào (3) ta có 4.4( m + 3) − 4( m + 3) − 57.2(m + 3) = 0; ( m ≠ −3) ( n) m = ⇔ 2m − 3m − 35 = ⇔ m = −3,5 (l ) + Kết luận: giá trị cần tìm m = Bài 51 y B K y =x C A H O y= x+ x S(∆OAB) = S(∆OAC) + S(∆OBC) S(∆OAC) = AH.OC = (cm2) S(∆OBC) = BK.OC = (cm2) S(∆OAB) = (cm2) Bài 52 a) Để hàm số hàm số bậc nghịch biến thì: m – < suy m < b) Khi đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (1 ; 1) ta có : (m – 3).1 + + m = ⇒ m =1 c) Đồ thị cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Để đồ thị cắt trục tọa độ: Cắt Ox A(xA; 0) cắt Oy B(0 ; yB) điều ≠ kiện m Thay tọa độ điểm A ta có: (m – 3)xA + + m = sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 ⇒ xA = −(2 + m) m−3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Thay tọa độ điểm B ta có: yB = + m (có thể tính OA, OB theo xA yB) Ta có tam giác OAB vng O nên diện tích S = 1 OA.OB = x A × yB = 2 ⇒ x A × yB = ⇒ −(2 + m) −(2 + m) −(2 + m) ×2 + m = ⇒ ×(2 + m) = ⇒ =6 m−3 m−3 m−3 TH1: −(2 + m)2 = ⇒ −(2 + m) = ( m − 3) ⇔ m + 10m − 14 = m−3 ∆ ' = 52 − ( −14) = 39 > ⇒ m1;2 = −5 ± 39 TH2: −(2 + m) = −6 ⇒ −(2 + m) = −6 ( m − 3) ⇔ m − 2m + 22 = m−3 ∆ ' = (−1) − 22 = −21 < ⇒ m ∈∅ Vậy giá trị tìm : m1;2 = −5 ± 39 Bài 53 a/ Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): ax2 = 2x a2 ( a > 0) Lý luận (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Δ’ = a3 > ⇔ Δ’ = (1a)(1 + a + a2) > a < ( + a + a2 > 0, a ) K luận < a < Theo Đlý Viet ta có S = x1 + x2 = 2/a ; P = x1 x2 = a < a < nên x1 > ; x2 > x1 > ; x2 > 0,nên hai điểm A; B nằm bên phải trục tung M= b/ 4 + = + x1 + x2 x1 x2 a a 1 M = 2a + ≥ 2a = 2 a a Vậy GTNN M 2 2a = a ⇔ a= 2 Bài 54 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com y = x − + 2x + + ax 1) Ta có 2 − x − 2x − + ax ; ⇔ y = 2 − x + 2x + + ax ; x − + 2x + + ax ; (a − 3)x + 1; ⇔ y = (a + 1)x + 3; (a + 3)x − 1; x3 2) + Vì đồ thị qua điểm B(1; 6) nên ta có: = − + 2.1 + + a.1 ⇔a=2 Vậy a = đồ thị qua điểm B(1; 6) +Với a = − x + 1; y = 3x + 3; 5x − 1; x m2 = (m = v m = -3) (P) (d) cắt điểm có tung độ 2/ Từ câu => (P) (d) cắt hai điểm phân biệt m≠0 Khi giao điểm thứ gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ điểm A có ( x = m; y = m2) Khoảng cách hai giao điểm : AO = (1) Đặt t = m ; (t ≥ 0) (1) ⇔ t2 + t − = Với t1 = m2 = , Vậy với m=± m=± m2 + m4 = ⇔ m4 + m − = (t1 = ( nhận ) v t2 = - ( loại)) ( nhận) (P) cắt (d) hai điểm có khoảng cách Bài 57 a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với Với x = −1 + ⇒ y = − + 2 x = −1 − ⇒ y = − − 2 Vậy giao điểm ( −1 + )( 2; −3 + 2 ; −1 − 2; −3 − 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm d (P): sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 ) − x = 2mx − ⇔ x + 2mx − = (*) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt Áp dụng Viét ta có: x1 + x2 = −2m x1 x2 = −1 ⇒| x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m2 + = m + Khi ta có y1 = 2mx1 − ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − 1) − (2mx2 − 1) | y = mx − 2 ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − − 2mx2 + 1)(2mx1 − + 2mx2 − 1) |=| 4m( x1 − x2 )[m( x1 + x2 ) − 1] | =| 4m(2m + 1)( x1 − x2 ) |= m(2m + 1) | x1 − x2 |= | m | (2m + 1)2 m + Ta có | y12 − y22 |= ⇔ 64m (2 m + 1) ( m + 1) = 45 ⇔ 64(4m + m + 1)( m + m ) = 45 m +m =t ≥0 Đặt 0) m4 + m2 = Suy m=± Vậy 64t (4t + 1) = 45 ⇔ 256t + 64t − 45 = ⇔ t = có phương trình 16 (vì t ≥ ⇔ 16m4 + 16m − = ⇔ m = ± 16 2 sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... nhật (3;3a) y = ax OABC phải cắt cạnh BC , gọi giao điểm E có toạ độ SOABC = OAOC = 4.3 = 12 SOCE = 1 SOABC = 12 = 3 CE = 2.SOCE : OC = 2.4 : = 3a = Từ a= sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038... Đường thẳng qua sưu tầm tổng hợp zalo 039.373.2038 đến A B song song TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com với Ox cắt d điểm song song vi Ta cú Ox ổ ữ Mỗ ;4ữ ç ÷ ç ÷ èa ø Đường thẳng qua... Định năm học 2019-2020) y = ( m − 1) x + Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng đường thẳng y = x + m + (với m ≠ ±1 ) hai đường thẳng song song Bài 19: (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước