Đề thi HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013 gồm 5 câu bài tập tự luận với thời gian làm bài trong vòng 150 phút, đề kiểm tra sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới.
PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao bài) Bài (5 điểm) a a : Cho biểu thức: A = 1 a a a a a , với a ≥ a Rút gon biểu thức A Thính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Bài (4 điểm) Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x y 3( x y ) Giải hệ phương trình: x y 1 Bài (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Cho tam giác ABC vuông A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AB, P điểm cạnh BC; điểm N, L thuộc AP cho CN ┴ AP AL = CN Chứng minh góc MCN góc MAL Chứng minh ∆LMN vng cân Diện tích ∆ ABC gấp lần diện tích ∆MNL, tính góc CAP Bài (2 điểm) Cho a b ab = Chứng minh: a2 b2 4 a b Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ ký giá thị Họ tên chữ ký giám thị KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS PHÒNG GD&ĐT Hướng dẫn chấm mơn tốn Nội dung Câu Câu 1 (3,0đ) 5,0 điểm Với điều kiện a Ta có: Điểm a a : A = 1 1 a a a a a 1 a = a a 1 a : a 1 a ( a )( a ) = = 1,0 a 1 a 1 a : a 1 (a 1)(1 a ) 1,0 a (a 1)(1 a ) (a 1)( a 1) 1 a 2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2 Thì A = + ( 2009 1) 2009 1,0 1,0 1,0 Câu (2,0đ) Ta có 4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2 + x = nghiệm phương trình (1) + Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được: x x (1) ( x 6)( x 9) = 28 Đặt t = x 0,5 x (1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = t 2 t 13 Với t = -2 ta có x = - x2 + 2x + = PT vô nghiệm x Với t = -2 ta có x = - 13 x2 +13x + = 0. x = - 13 137 x Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = - 13 137 0,5 0,5 0,5 (2,0 đ) Hệ phương trình: x y 3( x y ) ( x y )( x xy y 3) x y 1 x y 1 Hệ tương đương với tuyển hai hệ phương trình sau: 0,5 x xy y x y (I) (II) x y 1 x y 1 2 0,5 * Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( ; ) 0,25 * Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x2 +x -2 = Phương trình có hai nghiệm: x = -1 x = - Từ ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1) 0,5 1 Kết luận: Hệ cho có nghiêm (x;y) l à: ( ; ); (1; - 2); (2; -1) 2 Câu 1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} Xét trường hợp: + x = => (y - x3)2= => y = + x = => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = => (y - x3)2= => y = y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vậy nghiệm phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8) 2(2,0đ) Ta có ∆AMB ∆ANC vng cân nên MA = MB NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC DC AC 1 DB AB DN DC => DN ≤ DM ∆CDN ∆BDM nên DM DB 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 0,5 Theo tính chất phan giác ta có Câu 5,0điểm Nếu I trung điểm củaMN AD≤ AI AM+AN= 2AI Khi 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) 1(1,0đ) 0,5 0,5 Đặt ACP = a => ACN = 900 - a MCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM 2(2,0đ) Do ∆ABC vuông A mà AM trung tuyến nên AM = CM AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên) Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN AML = CMN =>LMN = 900 - AML + CMN = 900 Vậy tam giác ∆LMN vuông cân M (2,0đ) Do ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên: S∆LMN = MN2 S∆ABC = AC2 AC Gọi Q trung điểm AC QM = QN = AC = MN 0,5 0,5 1,0 1,0 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ suy MN = => QMN = 600 QNA = 600 - 450 = 15 Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150 Câu a b (a b) 2ab 12 Ta có: a b 2,0 điểm a b a b a b 2 1,0 1,0 Áp dụng bất đảng thức Côsi : a b 12 12 a b 4 a b a b 1,0 1,0 ... ; ); (1; - 2); (2; -1 ) 2 Câu 1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x 6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2 ≤ x ≤2 x Z => x {-1 ; -2 ; 1; 0; 1; 2} Xét trường hợp: + x = => (y - x3)2=... hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x2 +x -2 = Phương trình có hai nghiệm: x = -1 x = - Từ ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1 ) 0,5 1 Kết luận:... + x = => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = => (y - x3)2= => y = y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vậy nghiệm