Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang

Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang gồm 5 câu bài tập tự luận với thời gian làm bài trong vòng 90 phút, đề kiểm tra sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/03/2012 Câu (4 điểm) a) Cho S    32  33  34   396  397  398  399 Chứng minh S chia hết cho 40 b) Rút gọn phân thức a  b3  c3  3abc a  b  a  c   b  c 2 Câu (4 điểm) a) Thực phép tính : 2  2  2  2 b) Cho a  b  c  0; a,b,c  Chứng minh đẳng thức 1 1 1  2    a b c a b c Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: 2x2  2x   4x   x   y 1  b) Giải hệ phương trình :  x  y   1 Câu (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I (I khác O) Vẽ đường kính CE a) Chứng minh ABDE hình thang cân b) Chứng minh AB2  CD2  BC  DA2  2R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F, cắt AC K Chứng A, B, K, F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Câu (3 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH.KM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1a      S  1      1       1   S  1     1     S  40 1      3  S   31  32  33  34  35  36  37   396  397  398  399 3 4 8 96 96 96 Vậy S chia hết cho 40 1b Tử thức =  a  b   3ab(a  b)  c3  3abc  a  b   c3  3ab.(a  b)  3abc   a  b  c   a  b   (a  b)c  c   3ab(a  b  c)   =   a  b  c  a   a  b  c  a  2ab  b  ac  bc  c2  3ab  b  c2  ab  bc  ca   Mẫu thức  a  2ab  b2  a  2ac  c2  b2  2bc  c2  2(a  b2  c2  ab  bc  ca) Kết  abc với a2  b2  c2  ab  bc  ca  2 Câu 2a Nhân số bị chia số chia với    2   2 42  2  2   2 42       1    1 2         3   3 2 2         3     Câu 2b Ta có: 1 1 1  1   a  b  c   a  b  c2   ab  ac  bc      1  cba  1     2    b2  c2 a b c  abc  a 1 1 1 1 1  2 2         a b c a b c a b c Câu 3a DK :4x    x  1 2x  2x   4x   4x  4x   4x   4x    4x    (thỏa) 4x   x0  4x     x   y   (1) Câu 3b   x  y   1(2) - Từ pt (2)  y   1  x   x  1 - Thế vào phương trình (1) ta có x    1  x   - x   2x  11   x  2x  (vì x  1 ) x  3 y   y  1 - Thế x= -3 vào pt (2) : y   1    y   2   - Vậy nghiệm hệ (-3 ; 3); (-3;-1) Câu A I F B D C K a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AE  AC Mà BD  AC (gt)  AE / /BD  ABDE hình thang Mà ABDE nội tiếp đường trịn (O) nên ABDE hình thang cân b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  DEC vng D  ED2  CD2  EC   2R   4R2 Mà AB = ED (vì ABDE hình thang cân)  AB2  CD2  4R2 Chứng minh tương tự  BC  DA2  4R2  AB2  CD2  BC  DA2  8R2  AB2  CD2  BC  DA2  2R c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC) Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy góc BAC = góc IAF  ABF cân A Mà AI đường cao , nên AI đường trung tuyến  IB  IF Chứng minh tương tự  IA  IK  ABKF hình bình hành Mà AK  BF nên ABKF hình thoi Câu A K H M B - Xét KAH KMB ta có: Góc AKH = góc MKB = 900 Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc)  KAH KMB đồng dạng  KH AK   KH.KM  AK.KB KB KM Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương Ta có: AK.KB  AK  KB AB2  AK.KB  AB (không đổi) Dấu “ = “ xảy  AK  KB Do KH.KM  Vậy giá trị lớn KH.KM AB ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 201 1- 2012 Câu 1a      S  1      1       1   S  1  ...     S  40 1      3  S   31  32  33  34  35  36  37   396  397  398  399 3 4 8 96 96 96 Vậy S chia hết cho 40 1b Tử thức =  a  b   3ab(a  b)  c3  3abc  a ...  y   1(2) - Từ pt (2)  y   1  x   x  1 - Thế vào phương trình (1) ta có x    1  x   - x   2x  11   x  2x  (vì x  1 ) x  3 y   y  1 - Thế x= -3 vào pt (2) :