Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hậu Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẬU GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu (2,5 điểm) Tính giá trị biểu thức A  x x   y2  y     6x  9x  y  1 biết x2  16y2  7xy  xy  x  Câu (5,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình 1   x y b) Tìm số tự nhiên n cho A  n2  2n  số phương Câu (4,5 điểm) a b2 c2   abc b c a x  y  2(1  xy) b) Giải hệ phương trình  xy  x  y   a) Cho a, b,c  chứng minh Câu (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn  O;R  a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC  M  B;C  Trên tia đối tia MB lấy MD = MC Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S  MA  MB  MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a 9b 16   bca ca b a  bc ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 2017-2018 Câu ĐKXĐ: y  1;x  0;x  Ta có A   x  3 x  3 y  1 y     x  3 y   x(x  3) x  x  3  y  1 x   x   x  4y  y  Từ giả thiết x2  16y2  7xy  xy  x    x  4y    x     Do A   Câu a) Với x, y  ta có  1   x y xy   2x  2y  xy   x  y    2(y  2)   (x  2)(y  2)  xy Lập bảng xét ước ta có nghiệm  x;y   2;1 ; 1; 2  ; 3;6  ;  4;4  ; 6;3 b) Đặt n2  2n   a   a  n  1 a  n  1  với a nguyên dương a  n   a   a  n   n  Vì a  n   a  n  nên  Câu a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: Tương tự ta có:  b2  c  2b c ; a2  b  2a b c2  a  2c a a2 b2 c2 a b2 c2  b   c   a  2a  2b  2c     a  b  c b c a b c a Dấu “ =” xảy a = b = c b) Từ phương trình xy  x  y     xy  x  y  Thay vào phương trình thứ ta được: x  y  2(x  y  3)  x  y  2x  2y    x  3y  Thay vào phương trình thứ hai ta 3y2  8y    3y    y    Với y   x  Với y   x  4   Vậy hệ có nghiệm  x;y   0;2 ;  4;      Câu A O B C H M D 3R AH 3.AO 3R  R a) Kẻ đường cao AH Ta có AH  ; AB   sin B sin 60 2 b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD  BAC  600 MCD cân có CMD  600 nên CMD tam giác c) Ta có MCD nên MC = MD = CD Xét AMC BDC có AC=BC; MC=CD; ACM  BCD  600  BCM Nên AMC  BDC (c.g.c)  MA  BD Do đó: S  MA  MB  MC = MA  MB  MD  MA  BD  2MA lớn Vậy S lớn MA đường kính đường trịn (O) hay M điểm cung nhỏ BC Câu b  c  a  x 2a  y  z   Đặt c  a  b  y  2b  z  x a  b  c  z 2c  z  y   Ta có S y  z 9(z  x) 16(x  y)  y 9x z 16x 9z 16y              2.3  2.4  2.3.4   19 2x 2y 2z 2x y x z y z  8 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a  ;b  ;c  ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 201 7- 2018 Câu ĐKXĐ: y  1;x  0;x  Ta có A   x  3 x  3 y  1 y    ... 2c  z  y   Ta có S y  z 9( z  x) 16(x  y)  y 9x z 16x 9z 16y              2.3  2.4  2.3.4   19 2x 2y 2z 2x y x z y z  8 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a  ;b  ;c  ...  1 y     x  3 y   x(x  3) x  x  3  y  1 x   x   x  4y  y  Từ giả thi? ??t x2  16y2  7xy  xy  x    x  4y    x     Do A   Câu a) Với x, y  ta có  1