ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN TOÁN NĂM 2013 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH
Trang 1SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2
10 1
2 12
x x
y y
y
b) Giải phương trình: cos 2x cos 4x2 6 2sin 3x
Câu 2:(2.5 điểm)
a) Tính giới hạn dãy số: lim n4 n2 1 3n6 1
b) Cho dãy số u n xác định như sau:
1
1 1
2013
1 ( 1) 2013
n n
u
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số u n ?
Câu 3:(2.5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC
và BD Biết SD vuông góc với AC
a) Tính SD
b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai đường thẳng SD và AC
Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x4 ax3bx2cx d 0
a) Với d 2013, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt b) Với d 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh 2 2 2 4
3
a b c
Trang 2
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
1
a) ĐK: y 0 Đặt a x 1;b 1
y
Ta có hệ phương trình trở thành
( )
13
VN
TH1: 2 ( ; ) 1;1
a
x y b
TH2: 3 ( ; ) 2;1
a
x y b
1,5 điểm
0,25 0,75
0,25
0,25
b)cos 2x cos 4x2 6 2sin3x
4sin xsin 3x 6 2sin 3x
1,5 điểm
Trang 3a) lim n4 n2 1 3n6 1 lim n4 n2 1 n2 ( 3n6 1 n2 )
Ta có:
2 4
1 1
2
3
1
Do đó 4 2 3 6 1
2
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25 0,25
b) u n 0, n N*
Do đó: 2 1
1 2013
u u
3 2
1 2013
u u
1
1 2013
n n
u u
Suy ra:
1
1
1 1
n
n
u u
1
1 1 2013 2013
2012
n
n n u
1
1 1
1 1 1 2014 2013 2013
2012
n
n
n n
u
Mặt khác lim 1 2013 1
n
Vậy limu n 1
1,5 điểm
0,25
0,5
0,25
0,25 0,25
Trang 4
O
S
T
M N
P
K
Q
J
2,5 điểm
0,25
a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a
Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD
Ta có: DT=AC=a 3
Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT 120 0 ST a 7
Xét tam giác vuông SDT có DT=a 3, ST a 7 SD 2a
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P
Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần
lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ
Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP
dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)=1( ) 1( )
2 NJ MK MN 2 MK PQ MP 1
2 NJ MK NP
(do NJ=PQ)
Ta có:
3 3
a
2
3
a
a
( 3 )
Suy ra: dt(NPQKJ)=12(a x 3) 2 (a 3 x) 3 x 2(3a 2 3 )x x
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 5a) d= -2013
Đặt f x( )x4 ax3 bx2 cx 2013 liên tục trên R
Ta có: f 0 2013 0
Mặt khác lim ( )x f x , nên tồn tại 2 số 0; 0 sao cho
( ) 0; ( ) 0
f f Do đó f(0) ( ) 0; (0) ( ) 0f f f
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( ,0)
và (0, )
1.0 điểm
0,25
0,5 0,25
b) d=1: Gọi x0 là nghiệm của phương trình (x 0 0)
1 0
Ta có:
2
Suy ra:
2 2
0
2 2 2
2
0 2 0
1
1
x
t x
x
với 02 2
0
1 2
t x
x
Mặt khác: 2 4 2
3 4 4 0 ( 2)(3 2) 0
1 3
t
t (đúng do t 2)
Vậy 2 2 2 4
3
a b c
Dấu bằng xảy ra khi 2
3
a b c (ứng với x 0 1)
2, 2
a c b (ứng vớix 0 1)
1.0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
