Tuyển tập 30 đề thi HSG cấp huyện Toán 9 THCS 2019 (có đáp án chi tiết)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”; Gmail: sinhnhatlocgmail.com;ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 30Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)(Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa Năm học 2018 – 2019)ĐỀ BÀI Câu 1 (4,0 điểm).1) Tìm giá trị của thỏa mãn . Biết .2) Cho số thực thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức .Câu 2 (4,0 điểm).1) Giải phương trình: .2) Giải phương trình: .Câu 3 (4,0 điểm).1) Cho đường thẳng (d): (k là tham số).a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của k.b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2.2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .Câu 4 (6,0điểm). 1) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB và vẽ tia By vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho và tia Cz cắt By tại D . Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E.a) Kẻ OH vuông góc với CD. Chứng minh .b) Kẻ HK vuông góc với AB. Chứng minh .2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC. Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O). Chứng minh rằng: MA = MT.Câu 5 (2,0điểm). Ba số thay đổi thỏa mãn điều kiện . Hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .– Hết –HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 30(Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa Năm học 2018 – 2019)CâuNội dungĐiểm1(4,0đ)1) Điều kiện: Ta có: .1,5Ta có: ()Do nên . Suy ra () .Kết hợp , ta có .1,02) Ta có: 1,52(4,0đ)1) pt: (1). ĐKXĐ: 0,25(1) (vì (2)0,5+) Nếu (2) (chọn)0,5+) Nếu (2) pt nghiệm đúng 0,5Vậy nghiệm của pt : 0,252) Giải pt : () 2,0ĐKXĐ : 0,5() (chọn) hoặc (loại)1,0Vậy phương trình có nghiệm : 0,53(4,0đ)1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k là: . Vậy (d) đi qua điểm cố định M(0; 3) .1,01b) Vì (d) luôn đi qua điểm M(0 ;3) Gọi là giao điểm của (d) với trực Ox 0,250,25Kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d).Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường cao OH : 0,25Vậy .0,252) Ta có (1)0,5+) không là nghiệm của (1)+) Chia cả hai vế của (1) cho , ta có: 0,5Với nên 0,5Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên 0,54(6,0đ) 1a) Ta có OC phân giác Cmtt : OD phân giác .Mà và kề bù nên Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có : 2,01b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật.Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông HAB ta có: (1)Mặt khác: nên suy ra (vì (2)Từ (1) và (2) suy ra: 2,0 2) Giả sử OA cắt EF tại K.Ta có: .Xét vuông tại T, ta có: 0,5Xét vuông tại K, ta có: Suy ra: 1,0Trong vuông tại C, ta có: Do đó (đpcm).0,55(2,0đ)Từ gt suy ra : . Ta biến đổi biểu thức M như sau: Vì . Dấu xảy ra . Vậy 2,0(Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho số điểm tương đương) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 29Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)(Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019)ĐỀ BÀICâu 1 (4.0 điểm)1.Cho biểu thức a. Rút gọn Mb. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm)1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm)1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên.2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạngb. Chứng minh I là trung điểm của AHc. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và xd. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổiCâu 5 (2.0 điểm)Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+yHết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 29(Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019).CâuNội dungĐiểm11. (3,0 điểm)a. ĐKXĐ: x ; M= b, M= = Để M nguyên => Ư(3) ( Vì ĐKXĐ)=> x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ)Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm) Ta có: Tương tự: 0,5 1,5 0,250,50,50,25 0,50,50,50,521.(2,0 điểm)Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2y2( x 1) – x( x1) – y( x1) +1 = 0 (1)Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x1 ta được 2y2 –x –y + = 0(2)Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên nguyên nên x1 Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y 1 = 0 => y = 1; y = Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = Vậy (x,y) 2.(2,0 điểm)ĐK: Vì nên Suy ra : (tm)Vậy pt có nghiệm : 0,5 0,75 0,5 0,25 0,250,50,50,50,2531. (2,0 điểm)Ta có Vậy A là số chính phươngMặt khác = 22. = ADo A nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm)Điều kiện: Theo gt ta có Đặt , khi đó : Suy ra hoặc Nếu thì (thỏa mãn)Nếu thì (thỏa mãn)Vậy : 0,5 0,50,50,250,250,250,250,250,750,754 a. (2,0 điểm) Chứng minh  Ta có MA = MB ( Tc tiếp tuyến)OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB=> OM vuông góc với AB tại J nên OM AC => =>  (g.g)b.(1,5 điểm) Trong có HIBM nên (1)  => (2)Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được => I là trung điểm của AHc.(0,75 điểm) vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = OJB vuông ở J nên BJ2 = OB2 – OJ2 = => BJ = với x > R ABC vuông ở A nên AC2 = BC2 – AB2 = => AC = Lại có BC . AH = AB . AC => AH = = với x > Rd.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) ≤ R 2R 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với x > RDấu = xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 x = R Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2,0 1,50,750,755(2,0 điểm)Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 và xy(xy)2 = (x+y)2 (1)Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b)Ta có: (1) Suy ra: b1 > 0 và Lại có: (theo bđt cô si) Do đó: Mà a > 0 nên Dấu “=” xảy ra khi Khi đó: (Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi .0.250.25 0.250.250.250.250.250.25Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 28Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A.b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với .Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm)a)Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 28Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018.CâuÝTóm tắt cách giảiĐiểm1(4điểm)a2,0đ 0,250,50.250,50,5b1,0đ Ta có 0,250,50,25c1,0đBiến đổi ta được: Chứng minh được với mọi 0,250,250,250,252(4 điểm)a2đ Ta có: Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0,50,50,50,5b2đTa có: (1)Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được: (2) PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nguyên nên x – 1 •x – 1 = 1  x = 0•x – 1 = 1  x = 2Thay x = 0 vào PT(2) ta được: ; Thay x = 2 vào PT(2) ta được: ; Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên .0,250,250,50,250,250,53(4 điểm)a2đTa có a5 a = a( a4 1) = a( a2 1)( a2 + 1) = a( a2 1)( a2 4 + 5) = a( a2 1)( a2 4) + 5 a(a2 1) = a(a 1)(a + 1)(a 2) (a +2) + 5 a( a 1)( a+ 1)Vì a 2; a 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a 2) (a 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 ()Mặt khác 5a(a 1)( a+ 1) chia hết cho 5 ()Từ () và () suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5 Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 50,250,250,50,250,250,5b2đTa có: (vì d 0) Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên là số hữu tỉ.Vậy là số hữu tỉ0,50,250,250,250,250,54(5điểm) a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .Suy ra = Từ suy ra b) Tương tự câu a, Từ đó suy ra Suy ra c) Từ Tương tự: ; . Do đó: + + = •Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) ()Áp dụng () ta chứng minh được: Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.0,50,50,50,5110,250,250,250,255(1 điểm) Kẻ tại F, tại G. Theo giả thiết Mà và Suy ra Do đó 0,250,250,250,256(2 điểm)Áp dụng BĐT côsi ta có (Vì x + y + z =1)Chứng minh tương tự: Mà Do đó A Vậy GTLN của A = khi x = y = z = 0,250,250,250,250,50,5Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐMÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 27Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017ĐỀ BÀIBài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.a)Rút gọn biểu thức P.b)Tìm x để .c)So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a)Tìm thỏa mãn: b)Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: chia hết cho 3.Bài 3: (4,0 điểm) a)Giải phương trình sau: b)Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.a)Chứng minh: CM vuông góc với EF. b)Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.c)Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCDBài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 27Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017.CâuÝNội dungĐiểmBài 15,0đa2 đĐiều kiện : x 0, x 1. 0,50,50,50,5 b 2,0đVới x 0, x 1. Ta có: Vì nên (tm)Vậy P = khi x = 4 0,5 1,00,250,25 c 1,0đVì Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0Vậy P2 2P0.250,250,250,25Bài 24,0đA2 đ Vì x, y Z nên x 1 Ư(1) = +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 y – 2 = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)+) Nếu x – 1 = 1 x = 0 Khi đó 2y2 y = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)Vậy 0,50,250,50,50,25b2đa) Từ giả thiết Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 Vậy với a, b, c Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thứcx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.0,50,50,50,250,25Bài 34,0đa2đĐkxđ: Vì với 10x – 20 Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 0,250,5 0,5 0,50,25b2đx2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. x + y + 1 = 4 khi x = 5; y = 0 x + y + 1 = 1 khi x = 2; y = 0Vậy Amin = 4 khi x= 5; y = 0 Amax = 1 khi x = 2; y = 00,50,50,50,5Bài 46,0 đa2đ Ta có: (cùng phụ với )Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) CE = CF ECF cân tại CMà CM là đường trung tuyến nên CM EF(1.01,0B2 đ Vì EDC = FBC ED = FB NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên CM = AM M thuộc đường trung trực của AC.Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).0,50.50.5 0.5c2đ Đặt DE = x (x > 0)  BF = x SACFE = SACF + SAEF = SACFE = 3.SABCD Do x > 0; a > 0  3a + x > 0 x = 2a A là trung điểm của DE AE = aVì AE BC nên N là trung điểm của AB.Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 0.50.250.50,50.25.Bài 51,0đ Vì a, b, c > 0 nên .Tương tự: (1) Ta có: Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô si ta có: Tương tự: Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +btức là a = b = c (vô lý). (2) Từ (1) (2) ta có đpcm.0,5 0,5Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 26Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12012017Năm học 2016 2017ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức: A = : a) Rút gọn biểu thức A.b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + ; y = 3 Câu 2: (3,5 điểm).a) Cho hàm số bậc nhất : y = mx + m – 1() (m là tham số)Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số () tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác có diện tích bằng 2. b) Giải phương trình: Câu 3: (3,5 điểm). a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320 b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn .Chứng minh rằng: Câu 4: (5,0 điểm). Cho đường tròn (O;R), đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi I là trung điểm HC.a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA.b) Chứng minh: MH vuông góc với IA.c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định.Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác ABC đều.Câu 6. (2,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 26Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12012017Năm học 2016 2017.CâuNội dungĐiểmCâu 14,0 đa. (2,0đ)a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x yA = : = . = . = . = Vậy A = 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đb.(2,0đ)b) Với x = 3 + Và y = 3 ta có : x >y>0, do đó: A = Mà A2 = Vậy : A = 0,5đ1,0đ0,5đCâu 23,5 đa.(2,0đ)Vì () là hàm số bậc nhất nên m 0 (1)Để đồ thị của () tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m 1 (2)Gọi A là giao điểm của đường thẳng () với trục tung => A(0; m1) nên độ dài OA = |m1|Gọi B là giao điểm của () với trục hoành=> B( ; 0) nên độ dài OB = | SABC = 2 OA.OB = 2 = OA.OB = 4 (m 1)2 = 4|m|Với m > 0 => (m 1)2 = 4m m2 2m + 1 = 4m m2 6m + 1 = 0 (m 3)2 = 8 (Thỏa mãn đk) Với m < 0 => m2 2m + 1 = 4m m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0 m = 1(Thỏa mãn đk)Vậy m 0,25đ0,25đ0,25đ0,5đ0,5đ0,25đb.(1,5đ)ĐK: . Nhận thấy: không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta có: Đặt , thay vào ta có: Đối chiếu ĐK của t Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 40,25đ0,5đ0,5đ0,25đCâu 33,5 đa.(1,5đ)Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3 y)2 + (x3)2 = 320=> (x3)2 320 => mà x nguyên nên ta có các trường hợp:+ Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại)+ Nếu x = 1 hoặc x = 1 thì y không nguyên (loại)+ Nếu x = 2=> y= 8 hoặc y = 24+ Nếu x = 2 => y= 24 hoặc y = 8Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;8);(2;24);(2; 24);(2;8)0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đb.(2,0đ) Ta có : Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; 2017 + c = z (x,y,z > 0) VT = Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 6710,5đ0,5đ0,5đ0,5đCâu 45,0 đa.(1,5đ)Vì A thuộc đường tròn đường kính BC nên Xét vuông BAC và vuông AHC có = tan (Vì HC = 2IC) (Vì AM = 2AB) Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có (Cùng phụ ) ( cgc)0,5đ0,5đ0,5đb.(1,5đ)Gọi giao điểm của MH với AI là D Vì ( câu a) ( 2 góc tương ứng)Mà: nên tại D 0,5đ0,5đ 0,5đc.(2,0đ)Gọi E là trung điểm của MC. Nối AE cắt BC ở N N là trọng tâm của tam giác AMC Vì K là trọng tâm của tam giác MBC Nên K là giao điểm của BE và MO và (Định lí Ta Lét đảo) (1)Vì BE là đường trung bình của tam giác AMCNên BEAC mà nên (2)Từ (1) và (2) NK tại K (3)Vì N là trọng tâm của AMC nên BN = không đổi N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)Từ (3) và (4) K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định. 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đCâu 52,0 đĐặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s; Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z (với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC. Khi đó: SABC =s = ax = by = cz s = SIAB + SIAC + SIBC = r(a + b + c) = (a + b + c) (do r = 1)Suy ra: x = > 2 (theo BĐT tam giác). Tương tự y > 2; z > 2Lại có: Do x, y, z nguyên dương và lớn hơn 2. Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = . Vậy ABC đều0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,5đCâu 62,0 đÁp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có:1 = (a + b + c) + d 2. 1 = a + b + c + d 4(a + b + c).d 1.(a + b + c) 4(a + b + c)(a + b + c).d => a + b + c 4(a + b + c)2.d 0 (1)Lại áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm (a + b) và c ta có:(a + b) + c 2. (a+b+c)2 4 (a+b).c > 0 (2)Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được: a + b + c 4 (a + b + c)2.d 16 (a + b).c.dTa có A = = (3) (Vì (a+b)2 4ab. Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a + b + c + d = 1Suy ra: . Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 25Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc Năm học 2016 2017ĐỀ BÀIBài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn Pb. Tìm x để P < 0Bài 2: (4,0 điểm)a. Giải phương trình: . b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng Bài 3: (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A= n +n+6 là số chính phươngb. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh A = xy chia hết cho 12Bài 4: (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA, BB, CC. a. Chứng minh b. Trên BB lấy M, trên CC lấy N sao cho . Chứng minh rằng AM = AN.c. Gọi S, S lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác ABC. Chứng minh rằng Bài 5: (2,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 25Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc Năm học 2016 2017.BàiNội dung cần đạtĐiểm1(4đ) Cho biểu thức P = a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn Pb.Tìm x để P < 0Câu a:(2 điểm) Tìm được ĐKXĐ: x Ta có 0,50,50,50,5Câu b:( 2 điểm) Ta có: P < 0 Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với thì P < 0.0,51,00,52(4đ)Câu a:(2đ) Giải phương trình: . ĐKXĐ . Ta có Vì nên ( thỏa mãn ĐKXĐ) Nghiệm của phương trình đã cho là x=40,251,00,50,25Câu b: (2đ) Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng Ta có Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương Do đó 0,750,750,53(4đ)Câu a:(2đ) Tìm số tự nhiên n sao cho A= n + n + 6 là số chính phương Để A là số chính phương thì A= n +n+6 =a2 ( a ) Ta có: n + n + 6 = a2 Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 2a +2n +1 > 2a – 2n 1. Do đó Vậy n = 50,250,50,50,250,5Câu b:(2đ)Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Xét phép chia của xy cho3Nếu xy không chia hết cho 3 thì ( Vô lí)Vậy xy chia hết cho 3 (1) Xét phép chia của xy cho 4Nếu xy không chia hết cho 4 thì TH1: (vô lí )TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc 1. Không mất tính tổng quát giả sử ( vô lí) Vậy xy chia hết cho 4 (2) Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 121,00,50,54 Câu a( 2 điểm): Chứng minh AC’C AB’B Xét AC’C và AB’B có: Góc A chung Góc B = góc C = 900 Suy ra: AC’C AB’B2 điểmCâu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN. Xét vuông tại M đường cao MB Xét vuông tại N đường cao NC Theo câu a ta có AB.AC = AC.AB Do đó: AM = AN0,50,50,50,5Câu c: ( 2đ) Chứng minh Chỉ ra được Tương tự Do đó: 0,50,50,50,55(2đ) Bài 5 (2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được Vì nên Dấu = xảy ra khi A đạt giá trị nhỏ nhất là khi 0,50,50,250,50,25Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

1

a A

x P x

1) Cho đường thẳng (d): y=kx+ 3 (k là tham số)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của k

b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2

2y x+ + + =x y 1 x + 2y +xy

Câu 4 (6,0điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB và vẽ tia By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax Vẽ tia Cz sao cho OCz· =OCA· và tia Cz cắt By tại D (AC<BD) Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E

a) Kẻ OH vuông góc với CD Chứng minh 2 2

OC HD=OD HC b) Kẻ HK vuông góc với AB Chứng minh

2 2

HB = KB = EB 2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O) Chứng minh rằng: MA = MT

Câu 5 (2,0điểm) Ba số thay đổi x y z, , > 1 thỏa mãn điều kiện x+ + =y z xyz Hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M y 22 z 22 x 22

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 30

(Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019)

(2) ⇔ x− + + 1 3 x− − = ⇔ 1 2 5 2 x− = ⇔ = 1 4 x 5 (chọn) 0,5 +) Nếu 0 ≤ x− < ⇔ ≤ < 1 2 1 x 5

1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k

1b) Vì (d) luôn đi qua điểm M(0 ;3) ⇒OM = 3

Gọi N x y( ; 1 1 )là giao điểm của (d) với trực Ox N 3; 0 ON 3

Kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d)

Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường

cao OH :

2 2

+) x= 1 không là nghiệm của (1)

+) Chia cả hai vế của (1) cho x− 1, ta có: 2 1

1a) Ta có ∆AOC= ∆HOC ch( −gn) ⇒·AOC=COH· ⇒OC phân giác ·AOH

Cmtt : OD phân giác HOB· Mà ·AOHvà ·HOB kề bù nên · 0

90

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có :

1b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông HAB ta có:

2

2

.

C

O A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

−

+ +

2 3

2 2

3 :

1

1

x x

x x

x x

x x

x M

a Rút gọn M

b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên

2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + +b c abc =4

Tính giá trị của biểu thức:

1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì

A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên

2 Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:

a Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng

b Chứng minh I là trung điểm của AH

-Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 29

(Đề thi HSG Toán 9 –H Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019)

−

x x

b, M=

1

2 +

0,5

0,5 0,25

Câu Nội dung Điểm

9 6 2

2x− − x− = x2 − x+

x x

x

4 5 4 7 9 6 2 2

4 7

−

−

=

− +

−

−

9 6 2 2

1 4

− +

−

−

x x

1

>

− +

− +

1 )

1 ( 2

1 1

4

33 3

2 10

9

9 5 10 4 10

1 5 10 9

1 10

n n

=

+ +

−

=

+

+ +

+ +

Vậy A là số chính phương

4

33 2 3

n

= 22 2

1 7

uv

+ =

0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung Điểm

=> OM là trung trực của đoạn AB

=> OM vuông góc với AB tại J nên OM // AC

=> M OˆB= A CˆH => ∆MOB∼∆ACH (g.g)

b.(1,5 điểm) Trong ∆CMBcó HI//BM nên

CB

CH BM

Câu Nội dung Điểm

x

R OM

x

R x R x

x R

=> AC =

x

R2

2 Lại có BC AH = AB AC

=> AH =

BC

AC AB.

2

2 2

R x x

R

− với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3)

<=> 2 2

2

2 2

R x x

R

− ≤ R <=> 2R 2 2 2

x R

x − ≤

<=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0

<=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀x > R

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2

Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2

−

=

b

b a

Lại có: 1 1 11 ( 1) 11 2 2 ( 1). 11 2 4

2

= +

−

−

≥ +

− +

−

=

− + +

=

b b

(theo bđt cô si)

2 2

2 2 2

4

y

x xy

y x

(Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi x=2+ 2;y=2− 2

0.25

0.25 0.25 0.25

0.25

0.25 0.25 0.25 -Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a+ + + =b c d 0 Chứng minh rằng: M = (ab−cd bc)( −da ca)( −bd) là số hữu tỉ

Câu 4: (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng: ∆ AEF ∆ ABC và AEF cos2

Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho

BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính ·BPE

Câu 6: (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 28

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

2đ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= − 1

2

⇔ 2y2(x− 1) (−x x− 1) (−y x− 1)+ 1 = 0 (1) Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1) Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được:

−

−

x y x

• x – 1 = -1 x = 0

• x – 1 = 1 x = 2 Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2y2 −y− 1 = 0 ⇔ y= 1;

a

2đ

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1)

= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)

Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 (*)

Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5

Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

0,25

0,25

0,5 0,25 0,25 0,5

Vậy M = (ab−cd bc)( −da ca)( −bd) là số hữu tỉ

0,25 0,25 0,25 0,5

AB= AF

AC ⇒ ∆AEF: ∆ABC c g c( )

* Từ ∆AEF: ∆ABC suy ra

2 2 cos

AEF ABC

S

HA HC

AB BC = S Do đó:

.

• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*)

Áp dụng (*) ta chứng minh được: HA HB HC 3

BC+ AC+ AB ≥ Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều

0,25 0,25

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 27

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017

:2

1

:2

.1

21

b

2,0đ

Với x ≥ 0, x ≠ 1 Ta có:

27

71

7 khi x = 4

0,5

1,0 0,25 0,25

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 ⇔x = 0 Vậy P2 ≤ 2P

⇔y = 1 (t/m) hoặc y = 1

2

− ∉Z (loại) +) Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1

⇔y = 1 (t/m) hoặc y = 1

0,5

0,5

Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,5

0,5 0,5 0,5

a

2đ

M

F E

C

B A

D

N

Ta có: ·ECD=BCF· (cùng phụ với ·ECB) Chứng minh được: ∆EDC = ∆FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ CE = CF

⇒ ∆ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥EF

⇒ a2 = NB.DE (đpcm)

* ∆CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

EF2

CM =

∆AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

EF2

AM =

⇒ CM = AM ⇒ M thuộc đường trung trực của AC

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

⇒ B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của

1(a x)x2

⇒ N là trung điểm của AB

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.5

0.25

0.5

0,5 0.25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

2 2

1 ).

1 1

y x y

x xy y

x y

+

+ +

+

xy xy

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=2016

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác

B và C) Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B Gọi I là trung điểm HC

a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA

b) Chứng minh: MH vuông góc với IA

c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương Chứng minh tam giác ABC đều

Câu 6 (2,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (a b c a)( b)

abcd

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 26

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017

1 (

) y x (

2 xy

2 y x

1 ).

y

1 x

1 (

y

x −−−−

=

) y x (

) y x (

) y x ( 2 )

y x (

xy

y x

xy xy

−−−−

=

2

) y x ( xy

xy 2 y x

xy xy

xy xy

4 ) 5 ( 3 2 ) 5 3 ( ) 5 3 (

] 5 3 (

) 5 3 [(

xy 2 y x

) xy

2 2

2 2

a

(2,0đ)

Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠0 (1)

Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m ≠1 (2)

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung

=> A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1|

Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành

0,25đ

Với m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m

⇔ m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = - 1 (Thỏa mãn đk)

=> (x3)2 ≤ 320 => x < 3 mà x nguyên nên ta có các trường hợp:

+ Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại)

+ Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y không nguyên (loại)

BAC = Xét ∆ vuông BAC và ∆ vuông AHC có AB AH

Gọi giao điểm của MH với AI là D

Vì AHM∆ ∆CIA ( câu a) ⇒HMA· =IAC· ( 2 góc tương ứng)

Gọi E là trung điểm của MC Nối AE cắt BC ở N

⇒ N là trọng tâm của tam giác AMC ⇒ AN 2

NE =

Vì K là trọng tâm của tam giác MBC

K N

D

I H

⇒ N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)

Từ (3) và (4) ⇒ K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định

Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z

(với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp

∆ABC Khi đó: SABC =s = 1

a

+ + > 2 (theo BĐT tam giác)

+ ≥

(3) (Vì (a+b)2≥4ab Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

1 2

3 9 3

−

−

− +

+

−

− +

− +

x

x x

x x

x

x x

b Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 +y2 =z2

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'

a Chứng minh ∆AC'C ∆AB'B:

b Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho · · 0

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 25

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017

1 2

3 9 3

−

−

− +

+

−

− +

− +

x

x x

x x

x

x x

a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P < 0

Câu a:(2 điểm)

1 0( 1 0) 1

1

x x

x x

Câu a:(2đ)

( ) ( )

2

2

2 2

4 0

5 3 0

4 0

5 3 0 4

x

x

x x x

a n a n

0,5 0,25

0,5

Câu b:(2đ)

Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 +y2 =z2Chứng minh A = xy chia hết cho 12

- Xét phép chia của xy cho3

Nếu xy không chia hết cho 3 thì

2 2

2 2 2

1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3)

2(mod 3)

x

y

x y

Vậy xy chia hết cho 3 (1)

- Xét phép chia của xy cho 4

Nếu xy không chia hết cho 4 thì

TH1:

2 2

2 2 2

1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4)

2(mod 4)

x y x y

TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1

hoặc -1 Không mất tính tổng quát giả sử

2 2

2 2 2

1(mod 4) 2(mod 4) 1(mod 8) 4(mod 8)

5(mod 8)

x

y

x y

Câu a( 2 điểm): Chứng minh ∆AC’C ∆AB’B

Câu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN

- Xét ∆AMC vuông tại M đường cao MB'

2 '.

AM =AB AC

- Xét ∆ANB vuông tại N đường cao NC'

2 '.

cos

AB C ABC

2 2 2 ' ' ' ' ' '

' ' '

cos cos cos

' 1

35

x x

x y

0,5

0,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB

có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM

> R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N Đường thẳng

MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P

a Chứng minh MNCO là hình thang cân

b MB cắt CH tại I Chứng minh KI son song với AB

c Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH, AE Chứng minh PG vuông góc với QF

Bài 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

-Hết -

Họ tên thí sinh SBD:

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 24

(Đề thi HSG Toán 9 –TP Bắc Giang – Năm học 2016 – 2017)

2 2

0,25 0,5

x x

x

≤ ≤

 + − = ⇔ − = − ⇔ 

-*Nếux− = 1 0 ⇒x= 1 ta có 1 +y2 = y2 + 1 đúng với mọi y nguyên

Vậy ngiệm của PT là (1;y∈Z)

*Nêu x4 + +x3 x2 + + =x 1 y2 ⇒ 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x+ = 4 (2 )y 2

Ta có

2 2

( 2 2 2)3

B A

-Ta có MO//NB MO; =NB⇒MNBO là hình bình hành.Ta có

MAO

∆ =∆NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên

NO=MC vậy MNBO là hình thang cân

0,5 c/

2đ

-Chưng minh FQIO là hình bình hành⇒QF//IO

-Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP

0,75 0,75 0,5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

10 1 A

10 1 B

2 2

2016 2 2016 Q

Bài 3: (3,5 điểm)

1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình

(m 4 x− ) (+ m 3 y 1− ) = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

2) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng : 1 a b c 2

< + + <

+ + +

Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kỳ

trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K Gọi E là giao điểm của AM và OK

1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N Chứng minh: IN = IO

3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH

Chứng minh: EF//AB

Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy

trên cung nhỏ AB» (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A

và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O)

- HẾT -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 23

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Xuyên Mộc, ngày 10/01/2017-Năm học 2016 - 2017

Bài 1:(3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng các số A=62015+1 và B=62016−1đều là bội của 7

2) So sánh

2016 2017

10 1 A

10 1 B

2 2

2016 2 2016 Q

Vì

2 2

2 4

y y

Bài 3: (3,5 điểm)

1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m 4 x− ) (+ m 3 y 1− ) = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

2) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng : 1 a b c 2

+ m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x = − =1 1 0,25x2 +m ≠ 3; m ≠ 4 thì (d) cắt Ox tại A 1 , 0

Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH

Dựa vào ∆OAB vuông tại O chỉ ra được

0,5 0,25

Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kỳ

trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K Gọi E là giao điểm của AM và OK

1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N Chứng minh: IN = IO