De THi HSG CAP HUYEN

[r]

A

m+1 m-3 B

m+1

O PHÒNG GD&ĐT Quản ba

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút)

Câu Ý Nội dung Điểm Ghi

chú

1 a A

2

3 2 ( 6) ( 2) 2 (3 2)

       

A = (3 2)(3 2) 9 (2 2)2 1

    

0.5 0.5

2.0 b

B =    

2

2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011

  

Đặt x = 2008,

B =     

       

2

x x x 2x x

x x x x

    

    =

                  x x x x x

x x x x

    

    = x + = 2009

0.25 0.25 0.5

2 a

y = (m – 3)x + (m + 1)

Giả sử M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số, ta có:

y0 = mx0 – 3x0 + m+ thỏa mãn với giá trị m

0 0

( 1) (1 ) 0,

m x x y m

      

0

0 0

1

1

x x

x y y

  

 

   

   

  Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)

0.25 0.25

1.5

b

Ta có: Đồ thị đường thẳng cắt hai trục tọa độ m –  0 m3

SABO =1 1

2

m m

m



 



(m 1) 2m

   

Nếu m>  m2 +2m +1 = 2m -6  m2 = -7 ( loại)

Nếu m <  m2 +2m +1 = – 2m  m2 + 4m – =0

(m – 1)(m + +5) =  m = 1; m = -5

0.5

0.5

3 a Hai vế BĐT khơng âm nên bình phương hai vế ta có:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2 b2)(c2 d2)

  a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2  (a2 b2)(c2 d2)

   ac + bd (1)

Nếu ac + bd < BĐT c/m

Nếu ac + bd 0 (1)  ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2d2 + b2c2 – 2abcd   (ad – bc)2  ( đúng)

Dấu “=” xẩy  ad = bc  a c

b d

Áp dụng: xét vế trái VT = (x 1)2 22 (3 x)2 12 (x 1 3 x)2 (2 1)2

          

16

VT VT

    

0.5

0.5

0.25 0.25

H

N C

D

A B

M

Mà VP = 5, dấu xẩy 

2

x x

x x x

 

      

b.

Điều kiện: x

Q = ( 9) 25 25

3

x

x

x x

 

   

 

25

2 ( 3) 10

3

x Q

x

      



Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy 

25

3

3

x x

x

   

 (TM điều kiện)

0.75 0.25

1.0

4

Hình vẽ xác

Gọi H giao AM CN

Xét AMBvà CNB hai tam giác vng có:

AB = CB (Cạnh hình vuông) BM = BN (gt)

 AMB= CNB (c-g-c)

  (1)

BAM BCN

Xét AMBvà CMH có:

 

AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)  CHM ABM 900

  hay ACH 900

 H thuộc đường trịn có đường kính AC

(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)

Vậy AM, CN đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy H

0.2

0.5

0.5 0.3

1.5

5

Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c).

Ta có: MN = AM MN =ax

BC AB  c

c - x

MQ = BM.sin60 =

2

Suy diện tích MNPQ là: S = ax c - x  = a 3x c - x 

2c 2c

+ Ta có bất đẳng thức:

2

a + b a + b

ab ab (a > 0, b > 0)

2

 

   

 

Áp dụng, ta có:

2

x + c - x c

x(c - x) =

2

 

 

 

Dấu đẳng thức xảy khi: x = c - x x = c



Suy ra: S a c = ac

2c

 Vậy: Smax =ac

8 c x =

2 hay M trung

điểm cạnh AB

0.2 0.2 0.3

0.3 0.25 0.5 0.25 0.5

2.5

A

B C

M N

P Q

0