Từ bất đẳng thức trên ta rút ra miền bị chặn đối với A từ đó tìm đợc Max A và Min A 4/ Dïngph¬ng ph¸p h×nh häc: Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức y= Px ta có thể dùng đồ t[r]
(1)Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ PhầnI:Một số vấn đề chung 1)lý chọn đề tài : a/ C¬ së lý luËn: Việc giải toán, việc giải vấn đề sống có vấn đề giống hai việc đó đuợc tiến hành cách khoa học ThËt vËy to¸n häc lµ mét m«n häc cã tÝnh chÊt rÊt quan träng viÖc ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn kü n¨ng, t s¸ng t¹o, kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, tÝnh cÈn thËn, kiªn tr×, tÝnh chÝnh x¸c, n¨ng lùc s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng t l«gÝc cho häc sinh Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc ë bËc trung häc c¬ së c¸c bµi to¸n cùc trÞ gi÷ vai trß v« cïng quan träng, nã rÌn cho häc sinh cã kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, t s¸ng tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt việc phát triển lực t và linh ho¹t gi¶i to¸n b/ C¬ së thùc tiÔn: Lµ mét gi¸o viªn gi¶ng dËy m«n to¸n líp , qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp chuÈn bÞ thi hÕt bËc häc THCS , thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT vµ båi dỡng học sinh giỏi nhiều năm qua tôi nhận thấy: “Các bài toán tìm cực trị “ thờng gặp nhiều, đặc biệt các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nó lại là phần kến thức khó học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua có số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết không cao Các em lúng túng gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải đó vấn đề này SGK toán THCS lại đề cập ít, không sâu Các tài liệu tham khảo không nhiều mµ chØ chung chung kh«ng cã ph¬ng ph¸p cô thÓ Để giúp các em vợt qua trở ngại này nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rút kinh nghiệm và sâu nghiên cứu đề tài : “ Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị” §Ó ph©n d¹ng vµ t×m ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi to¸n t×m cùc trÞ Nh»m trang bÞ cho c¸c em häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p vµ kü n¨ng c¬ b¶n gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ (2) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ 2)Mục đích nghiên cứu : a/ §èi víi gi¸o viªn 1/Xây dựng đợc sở lý thuyết, các phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số vµ h×nh häc 2/Xây dựng đợc hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với đối tợng học sinh, có phơng pháp giải dạng 3/TÝch cùc t×m tßi, sö dông c¸ch gi¶i ng¾n ,chÝnh x¸c 4/ Kh¾c phôc sai lÇm cña häc sinh qu¸ tr×nh lµm to¸n b/ §èi víi häc sinh 1/Hiểu đợc các dạng toán cực trị đại số và hình học 2/Nắm đợc phơng pháp giải toán.Vận dụng tốt các phơng pháp giải toán để làm bµi tËp 3/Phát huy khả độc lập suy nghĩ và t sáng tạo việc giải toán 3) §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu: a/ §èi tîng: Häc sinh líp , b/ Ph¹m vi : C¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ 4) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: a/ Nghiªn cøu lý luËn: - Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài - T×m hiÓu c¸c d¹ng to¸n vÒ cùc trÞ - §a c¸c c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n cho ng¾n gän vµ dÓ hiÓu nhÊt - §a c¸c c¬ së lý luËn cho mçi d¹ng bµi d¹ng to¸n nµy b/ Nghiªn cøu thùc tÕ: - Khảo sát kỹ giải bài toán cực trị các lớp giảng dạy, và các lớp đại diÖn cho c¸c khèi (3) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ - Dự trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi d ỡng học sinh giỏi - Thực hành tổ chức, kết hợp thực theo các cách dạy khác để so sánh đa cách giải vấn đề tối u - Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm đổi nội dung và phơng pháp giảng d¹y d¹ng to¸n "Cùc trÞ " (4) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ PhÇn II: Néi dung A/ c¬ së lý thuyÕt I/ Nguyªn t¾c chung vÒ cùc trÞ: a) Cho biểu thức A Ta chứng minh đợc A α ( α là số)và phơng trình A= α cho ta Ýt nhÊt mét gi¸ trÞ (hay mét bé gi¸ trÞ) cña biÕn cã mÆt A lµm nghiÖm th× ta kÕt luËn MinA= α Ngợc lại ta chứng minh đợc A β ( β là số) và phơng trình A= β cho ta Ýt nhÊt mét gi¸ trÞ (hay mét bé gi¸ trÞ) cña biÕn cã mÆt A lµm nghiÖm th× ta kÕt luËn MaxA= β b) Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc lµ bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét đại lợng hình học biến thiên m ; (m có thể là độ dài đoạn thẳng, độ lớn chu vi, diện tích,độ lớn góc .) Yêu cầu tìm đợc các giá trị m1,m2 cố định thoả mãn : m1 m m2 đồng thời rõ các vị trí hình học đại lợng biến thiên xét để đó m đạt giá trị nhỏ m hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt m2 §«i bµi to¸n chØ yªu cÇu t×m mét hai gi¸ trÞ m hoÆc m2 II/ Mét sè kiÕn thøc thêng dïng 1/ các tính chất bất đẳng thức: 1.1) a > b ⇔ b < a 1.2) TÝnh chÊt b¾c cÇu: a > b ; b > c ⇒a> c 1.3) Tính chất đơn điệu phép cộng : a > b ⇒ a+ c> b+c 1.4) Cộng vế hai bất đẳng thức cùng chiều: a > b ; c > d ⇒ a+ c> b+d * Chú ý: Không đợc trừ vế hai bất đẳng thức cùng chiều (5) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ 1.5) Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều: a > b ; c < d ⇒ a − c> b −d 1.6) Tính chất đơn điệu phép nhân: a) a > b ; c > ⇒ ac > bc b) a > b ; c < ⇒ ac < bc 1.7) Nhân vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm : a > b , c > d , ⇒ ac > bd 1.8) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế bất đẳng thức : +¿ n n Z ¿ ta cã : a > b > ⇒ a > b n n a > b ⇔ a > b víi n lÎ; |a|>|b|⇔ an >b n víi n ch½n; n 1.9) So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò nguyªn d¬ng: +¿ m , n Z ¿ ; m > n th×: m n a = ⇒a =a m n a > ⇒a > a m n < a < ⇒a <a 1.10) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức hai vế cùng dấu: 1 a > b , ab > ⇒ a < b 2) Một số bất đẳng thức thờng dùng: a) a2 ; -a2 DÊu “=” x¶y a = b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả: Cho n sè kh«ng ©m a1,a2, ,an Ta cã: a1+a2+ +an n n ❑ √ a1 a2 .a n DÊu “=” a1=a2= =an * HÖ qu¶: -Nếu tổng n số dơng không đổi thì tích chúng lớn các số đó -Nếu tích n số dơng không đổi thì tổng chúng nhỏ các số đó c) Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Cho 2n sè : a1,a2, ,an ; b1,b2,, ,bn a + a + .+a Ta lu«n cã : ( ( b +b + .+ bn ) ( a1 b1 + + an bn ) ❑2 n ) 2 2 2 (6) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ a1 a a = = = n b1 b2 bn DÊu “=” x¶y d/Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: DÊu “=” x¶y a = |a|≥ 0 |a|+|b|≥|a+ b| DÊu “=” x¶y ab ; |a|≥|b| |a|−|b|≤|a − b| DÊu “=” x¶y ab 3/Bất đẳng thức hình học : a) NÕu tam gi¸c ABC cã gãc A = 90o th× AC BC ( DÊu “ = ’’ x¶y tam gi¸c ABC suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng hay A B ) b) Víi tam gi¸c ABC tuú ý ta lu«n cã: AB + BC AC DÊu “ = ” tam gi¸c ABC suy biÕn( B n»m gi÷a A vµ C ) c)Quan hÖ gi÷a c¹nh vµ gãc mét tam gi¸c Cho tam gi¸c ABC , nÕu gãc A gãc B ⇔ BC AC d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm là dây cung lớn và ngợc lại Với hai cung nhỏ đờng tròn, cung lớn căng dây lớn và ngợc lại III/ Mét sè ph¬ng ph¸p thêng ¸p dông: 1/ §a vÒ tam thøc bËc hai: Cho tam thøc bËc hai: ( Ta cã : P(x)=a V× ( x + 2ba ) x+ P(x) =ax2+bx+c b 2a ) b2 − ac 4a b =a x + a ( ) Δ 4a - víi mäi x nªn : Δ −b +Nếu a > thì P(x)đạt GTNN - a x= a Δ −b +nếu a < 0thì P(x)đạt GTLN - a x= a 2/ Dùng đánh giá bản: B×nh ph¬ng mét sè (hay mét biÓu thøc) lu«n kh«ng ©m VËy A2+ α α dÊu “=” A=0 -A2+ β β dÊu “=” A=0 3/ Dïng ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh bËc hai M« h×nh tæng qu¸t: XÐt A=P(x) (1) T×m Min A ; Max A ; ( Δ=b − · ac ) (7) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ Hàm P(x) có tập xác định khác φ ta biến đổi (1) dạng: α ( A ) x2+ β ( A ) x+ γ ( A ) =0 (2) đây A tham gia với t cách nh tham số Vì tập xác định P(x) khác rỗng nên pt(2) cÇn cã nghiÖm Từ đó Δ (A) = β (A) - α (A) γ (A) Từ bất đẳng thức trên ta rút miền bị chặn A từ đó tìm đợc Max A và Min A 4/ Dïngph¬ng ph¸p h×nh häc: Để tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức y= P(x) ta có thể dùng đồ thị y= P(x) hệ toạ độ đề các vuông góc xOy từ dáng điệu đờng cong ta có thể xác định đợc gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña y 5/ Dựa vào các bất đẳng thức để đánh giá: B/ C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i: Dạng 1: Cực trị đại số 1.T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ax2+bx+c (a ) VÝ dô : T×m GTLN cña biÓu thøc sau : A= -3x2- 4x -1 Gi¶i : 4 Ta cã A = -3 (x2 + x+ ) + A = -3 (x + )2+ ) 2 DÊu “=” x¶y x + = ⇔ x= − 3 VËy Max A = x= − VÝ dô : Cho B = (x - 2)2 +(x- 4)2 T×m GTNN cña B Gi¶i : Ta cã B = x2- 4x+ +x2 - 8x + 16 = 2x2 -12x + 20 = 2(x2 - 6x +9) + (v× -3 (x + )2 (8) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ = 2(x - 3)2 + 2 ( v× 2(x - 3)2 ) DÊu “=” x¶y x-3 = ⇔ x=3 VËy Min B = x=3 Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a)T×m GTNN cña biÓu thøc sau : C = (x + 1)2 + (x + 3)2 D = 2x2 - 8x - b)T×m GTLN cña biÓu thøc sau : A = -x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + Chó ý : Häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm tÝnh GTNN cña B ë VÝ dô B = (x - 2)2 +(x- 4)2 nh sau : (x - 2)2 (x- 4)2 ⇒ B Nhng thực chất x - và x - không đồng thời 2) Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối : VÝ dô : T×m GTNN cña biÓu thøc sau : A = |x − 2|+|x − 3| Gi¶i: *C¸ch : Ta cã A = |x − 2|+|3 − x| |x − 2+3 − x|=1 |X|+|Y |≥| X +Y | DÊu “=” x¶y (x-2)(3-x) V× (x-2)(x-3) ⇔ x≤3 VËy Min A = x ≤ *Cách : Dùng phơng pháp đánh giá : NÕu x < suy A = -x + - x + =- 2x + > - 2.2 = NÕu x suy A = x - - x + = NÕu x >3 suy A = x - + x - = 2x - > 2.3 - = Từ đó Min A = x ≤ Có thể dùng phơng pháp đồ thị hàm số : y = |x − 2|+|x − 3| ta tìm đợc Min y (9) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ VÝ dô : T×m GTNN cña hµm sè sau : y = |2 x+1|+|x+2| Gi¶i : 1 y = x + +|x +2|= x+ +( x+ +|x +2|) 1 x + +|x +2|=|x+ 2|+ − x − ≥ x +2− x − = Ta cã | | | 2| | || | | 2| | DÊu “=” x¶y -2 −1 x | |x + 12|≥ DÊu “=” x¶y x =- , vËy Min y = x =- VÝ dô : T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = |x +2|+|x +1|+|x −2|+|x −3| Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức | A|+|B|≥| A+ B| ta có : |2+ x|+|x − 3|=|− x −2|+|x −3|≥|− x −2+ x − 3|=5 (1) DÊu “=” x¶y -2 x |x +1|+|x − 2|=| x+1|+|− x +2|≥|x +1 − x +2|=3 (2) DÊu “=” x¶y -1 x Tõ (1) vµ (2) suy A VËy Min A = VÝ dô : DÊu “=” x¶y -1 -1 x x 2 T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = (3x - 1)2 - |3 x −1|+ Gi¶i : §Æt |3 x −1| = t ta cã : A = t2 - 4t + = (t - 2)2 + 1 DÊu “=” x¶y t = hay |3 x −1|=2 hay x = hoÆc x = - VËy Min A = x = hoÆc x = - Mét sè bµi tËp cïng d¹ng T×m GTNN cña biÓu2 thøc sau: A= B= 2003+ x ¿ 2002+ x ¿2 ¿ ¿ + √ ¿ √ ¿ |x − x +1|+| x2 − x −2| 3)Các bài toán cực trị dùng phơng pháp đánh giá : A2 + α≥α (10) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ -A2 + β ≤ β VÝ dô 1: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = x2 - 2x + y2 + 4y + Gi¶i : Ta cã A = (x - 1)2 +(y+2)2 DÊu “=” x¶y x =1 ; y= -2 VËy Min A = x =1 ; y= -2 VÝ dô 2: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: B = 2x2+y2 - 2xy - 2x +3 Gi¶i : Ta cã B = (x2-2x+1)+(x2-2xy+y2)+2 = (x-1)2+(x-y)2 +2 DÊu “=” x¶y x = y= VËy Min B = x = y= VÝ dô 3: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: C= x(x-3)(x-4)(x-7) Gi¶i : Ta cã C = (x2-7x)(x2-7x+12) = [(x2-7x +6)-6] [(x2-7x +6) +6] = (x2-7x +6)2- 36 −36 DÊu “=” x¶y x2-7x +6 = ⇔ x = hoÆc x = VËy Min C = -36 x = hoÆc x = VÝ dô 4: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = x2+xy+y2-3x-3y Gi¶i : Ta cã 4A = x2+4xy+4y2-12x-12y = (2x + y -3)2+3(y-1)2-12 −12 suy A −3 DÊu “=” x¶y x = y =1 VËy Min A = -3 x=y=1 (11) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ VÝ dô 5: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: B = m2- 4mn + 5n2 + 10 m - 22 n + 28 Gi¶i : Ta cã B = [m2- 2m (2n-5) + (2n - 5)2] +(n2 - 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5)2+(n-1)2+2 DÊu “=” x¶y m =-3 ; n = VËy Min B = m=-3 ; n = VÝ dô 6: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: D = 4x2 + 2y2 - 4xy - 20x - 4y + 174 Gi¶i : Ta cã D = [(2x)2- 2.2x(y + 5) + (y+5)2] + (y2 -14y + 49) + 100 = (2x - y - 5)2 + (y-7)2 + 100 100 DÊu “=” x¶y x= ; y = VËy Min D = 100 x= ; y = Mét sè bµi tËp cïng d¹ng T×m GTNN cña c¸c biÓu thøcsau : A=x2+y2-6x-2y+17 B=-xy+x2+y2+2x+3y C=x2-2xy+2y2+2x-10y+17 4) C¸c bµi to¸n dùa vµo ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph¬ng trïnh bËc hai : VÝ dô 1: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A= x +2 x+3 x +2 Gi¶i : Viết biểu thức đã cho dạng: (A-1)x2-2x+(2A-3)=0 (1) ❑ Víi A th× pt (1) trë thµnh pt bËc hai cña x; pt(1) cã nghiÖm Δ ≥ hay 1-(2A-3)(A-1) ⇔ 2A2-5A+2 ⇔ ≤ A≤2 ⇔ (2 A − 3)( A − 1)−1 ≤ ⇔ (2A - 1)(A - 2) ; A=2 x=1 vµ A= x=-2 VËy max A = ; A = (Chó ý max A vµ A tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) (12) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ x+1 VÝ dô2: T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè: y= x + x+ Gi¶i: ViÕt hÖ thøc vÒ d¹ng : yx2+(y-1)x+(y-1) = (1) Khi y ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x Pt(1) cã nghiÖm Δ≥0 hay (y- 1)2- 4y(y- 1) ⇔ (3 y+ 1)( y −1) ⇔ y ( y −1)−( y −1) ⇔ − ≤ y ≤1 ; y=1 x= vµ y = - x = -2 VËy Min y = - vµ Max y = 2 x − xy+ y VÝ dô 3: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc sau: A= x 2+ xy + y Gi¶i: ViÕt hÖ thøc vÒ d¹ng (A-1) x2+y(A+1)x+y2(A-1) = (1) Khi A th× 2pt(1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x, pt (1) cã nghiÖm : A −1 ¿ ≥ A − 2¿ − ¿≤ 2 ¿ A +1 ¿ − y ¿ 2 ⇔y ¿ Δ= y ¿ ⇔ y (3 A −1)( A −3)≤0 ⇔ A ≤3 Ta cã A=3 x=-y vµ A= x=y VËy MaxA = vµ MinA = VÝ dô 4: T×m cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: x2y + 2xy- 4x + y= (1) cho y đạt giá trị lớn Gi¶i : ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng : yx 2+ 2(y-2)x + y = (2) Khi y ph¬ng tr×nh (2) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x ❑ Pt (2) cã nghiÖm Δ ≥ hay (y-2)2- y2 ⇔ − y ≥0 ⇔ y ≤1 dÊu “ =” x¶y (13) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ x = VËy max y = (x; y) = (1; 1) Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a)Tìm giá trị lớn y nó tồn x thoả mãn : 2x2 +5y2 +2xy -x - 2y - = b) Xác định tất các giá trị a cho nghiệm phơng trình sau là lớn nhÊt, nhá nhÊt : x4+ 2x2 +2ax + a2 + 2a +1 = x+1992¿ ¿ x ¿ c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = 5) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1: Cho x; y thay đổi cho x ≤ ; ≤ y ≤ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : A=(3 - x)(4 - y)(2x + 3y) Gi¶i : Do x ≤ ; y≤ ⇒3 − x ≥0 ; 4- y ; 2x+3y Ta cã : 6A = (6 - 2x)(12- 3y)(2x+3y) lµ tÝch cña sè kh«ng ©m nªn - 2x +12 - 3y +2x+3y =18 không đổi 6A lớn số : 18 - 2x ; 12- 3y ; 2x + 3y b»ng nhau, - 2x =12-3y = 2x+3y = =6 hay x= ; y=2 đó 6A= 6.6.6 = 36.6 suy A=36 Vậy Max A = 36 x= ; y = a2 b2 c2 + + VÝ dô 2: Cho a, b, c > ; a + b + c = T×m GTNN cña: P= b+c a+ c a+b Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a2 b+ c a2 b +c + ≥2 = a (1) DÊu “=” x¶y 2a = b + c b+c b+c √ T¬ng tù : b a+c + ≥b a+c (2) DÊu “=” x¶y 2b = a + c (14) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ c a+b + ≥c a+b (3) DÊu “=” x¶y 2c = b + a Céng vÕ theo vÕ cña ba B§T cïng chiÒu (1), (2), (3) ta cã : a+b+ c a+b+ c ≥ a+b+c = hay P 2 1 VËy Min P = a = b = c = P+ DÊu “=” x¶y a = b = c = 1 VÝ dô 3: Cho a, b, c lµ sè d¬ng, t×m gi¸ trÞ nho nhÊt cña : P =(a + b + c)( a + b + c ) Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng a, b, c ta có a +b + c √ abc (1) 1 + + a b c c √ abc (2) Nh©n theo vÕ (1), (2) ta cã P dÊu “=” x¶y a = b = VËy Min P = a = b = c Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho sè d¬ng tho¶ m·n: a + b + c = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 1 S = ab+1 + ac+1 + bc+1 b) Cho x lµ sè d¬ng tho¶ m·n: < x < T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña : x(1- x) c) Cho x > y > T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = y +1 ¿ (x − y )¿ x ( x − y )( y +1)+ ¿ 6) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki : VÝ dô 1: Cho c¸c sè x, y , z tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: x2 + y2 = z2 + t = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc: M =xz +yt Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki Cho: a1 = x ; b1 = z ; a2 = y ; b2 = t (15) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ Ta cã : ( xz + yt )2 ( x + y ) ( z2 + t ) = ⇒ M ≤ 1 √2 ⇒ −1 ≤ M ≤ suy Min M = -1 x = y = 1 , z = t = - √2 vµ Max M = x = y = z = t = √2 VÝ dô 2: Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 2x2 +3y2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 2x + 3y Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho : a1 = √ x ; b1 = √ ; a2 = √ y ; b2 = √3 Ta cã : ( a1b1 + a2b2 )2 Theo gi¶ thiÕt ( a12 + a22 )( b12 +b22 ) hay ( 2x +3y )2 2x2 +3y2 VËy -5 M ≤ suy nªn ( 2x + 3y )2 = M2 2x ¿ +3y2)( + ) 25 Min M = - x = y = -1 Max M = x = y = VÝ dô : Cho a, b ,c tho¶ m·n a + b + c = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : M = √ a+1 + √ b+ + √ c +1 Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho : a1 = a2 = a3 = b1 = √ a+1 ; b2 = √ b+ ; b3 = √ c +1 Ta cã (a1b1 + a2b2+ a3b3 )2 Hay M (a12 + a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32) (4a + 4b + 4c +3 ) = 21 Suy M √ 21 VËy max M = √ 21 a = b = c = Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho a2 + b2 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña : a+ b b) Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1 (16) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ §Æt M = u( x - y ) + v( x + y ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña M c) Cho 3x + 5y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x2 + y2 7) Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: a x Ví dụ : Cho a , b, x, y là các số dơng; x , y thay đổi cho b + y =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x + y Gi¶i : √a áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho a1 = √ x √y Ta cã ( a21 + a22 )( b12 + b22 ) a Hay ( x b + y √b ; a2 = √ y ; b1= √ x ( a1b1 + a2b2 )2 ( √ a + √ b )2 Nªn x + y )( x + y ) ( √ a + √ b )2 Suy x + y đạt giá trị nhỏ ( √ a + √ b )2 DÊu “ =” √a x = Hay x = a + √ ab √b y = √ a+ √ b = √a+ ❑√b x+ y ; y = b + √ ab VËy Min P = x + y = ( √ a + √ b )2 Khi x = a + √ ab ; y = b + √ ab VÝ dô 2: Cho x , y , z > tho¶ m·n x + y + z = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: P = 1+ x 1+ y 1+ z x y z Gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta cã + x = x + x + y + z T¬ng tù : 1+y 4.4 4.4 √ xy z ; ❑ √ x2 yz ❑ 1+z Nh©n theo vÕ :(1 + x ) ( + y ) ( + z ) 64 xyz (1+ x)(1+ y )(1+ z) Từ đó P = xyz ; b2 = 64 DÊu “ =’’ x¶y x = y = z = VËy Min P = 64 4 √ xyz ❑ (17) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ VÝ dô : Cho x , y , z lµ sè d¬ng ; x + y + z = x+ y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : M = xyz Gi¶i : Ta cã = (x + y ) + z √( x + y )z ⇒ x+y ⇒ ⇒1 ( x + y) z 4.(x + y )2 z = 4(x2 + y2).z + 8xyz 16 xyz ( v× x2 + y2 x+ y xyz 16 1 DÊu “ = ” x = y = ; z = 2xy ) VËy Min M = 16 VÝ dô 4: Cho a , b , c , d lµ sè d¬ng cã tÝch abcd = CMR : a2 + b2 + c2 + d +ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 Gi¶i: Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có: a2 + b2 + c2 + d +ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 abcd ¿ ¿ = 10 ❑ √¿ 10 Từ đó đặt M = a2 +b2 +c2 +d2 +ab +ac +ad +bc +bd +cd Th× Min M = 10 a = b = c = d = Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : P = 6x + 4y biÕt x , y > vµ x + y = 10 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A = 3x +3y biÕt x + y = x2 + y2 x− y c) Cho x > y vµ xy = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = d) Cho x +2y = TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x2 +2y2 D¹ng 2: Cùc trÞ h×nh häc 1)D¹ng cùc trÞ vÒ t×m diÖn tÝch A Ví dụ : Cho tam giác ABC M là điểm thay đổi trên BC Qua M kÎ ME song song với AB , MF song song với AC.Tìm vị trí M để diện tích AEMF đạt giá trị lớn E nhÊt Gi¶i: F B M C (18) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ S AEMF SABC Ta cã AF MC S AEF = S ABC AF AE =2 AB AC (1) AE MB AF AE = ⇒ + =1 AC BC AB AC AF AE Nªn ta cã AB AC AF AE DÊu “ =” x¶y AB = AC = V× AB = BC ; Hay M lµ trung ®iÓm cña BC (2) SABC DÊu “ =” x¶y M lµ trung ®iÓm cña BC Tõ (1) vµ (2) ⇒ SAEMF VËy Max SAEMF = SABC M lµ trung ®iÓm cña BC B VÝ dô 2: M F Cho tam gi¸c ABC ( gãc A = 90o ) M là điểm di động trên cạnh huyền BC H¹ ME AC , MF A AB C E Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn Gi¶i : DÔ thÊy ME // AB ; MF // AC Bµi to¸n lµ trêng hîp riªng cña bµi to¸n Suy diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn M là trung điểm BC VËy MaxSAEMF = SABC VÝ dô 3: Cho h×nh ch÷ nhËt MNPQ néi tiÕp tam gi¸c ABC cho M AB ; N AC ; P, Q BC Tìm vị trí M để SMNPQ đạt giá trị lớn Gi¶i : A Kẻ đờng cao AH tam giác ABC , AH cắt MN K Theo bµi to¸n ta cã : SMQHK S ABH (1) M N K B Q H P C (19) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ DÊu “ = ” MA = MB SNPHK S AHC (2) DÊu “ = ” NA = NC Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã : SMNPQ SABC Dấu “ = ” M là trung điểmcủa AB ( Khi đó N là trung điểm AC ) VËy Max SMNPQ = SABC Ví dụ 4: Cho điểm M thay đổi miền góc xOy Qua M hãy dựng cát tuyến cắt Ox A và Oy B, cho SAOB đạt giá trị nhỏ Gi¶i : Qua M kẻ ME // Oy ; MF // Ox, Ta có SMEOF cố định x Theo kÕt qu¶ bµi to¸n ta cã: A SAOB 2SMEOF DÊu “ = ” MA = MB E Vậy SAOB đạt giá trị nhỏ cát tuyến AB M nhËn M lµm trung ®iÓm O F B y Ta cã c¸ch dùng AB nh sau: - Qua M kÎ ME // Oy ( E Ox ) LÊy EA = EO ( A Ox ) - Dựng đờng thẳng AM cắt Oy B Ta có cát tuyến cần tìm Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đờng chéo AC Gọi E và F lần lợt là hình chiếu M lên AD và DC Tìm vị trí M để diện tích tam giác BEF là lớn nhÊt ; nhá nhÊt b) Cho tø gi¸c ABCD, trªn AB, BC, CD, DA lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm K, L, M, N cho: AK BL CM DN = = = =x Tìm x để diện tích tứ giác BKMN là nhỏ AB BC CD DA 2)Dạng bài toán tìm cực trị là đo độ dài đoạn thẳng tổng độ dài các A' ®o¹n th¼ng Ví dụ : Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đờng thẳng d.C Tìm trên d mét C' d A B (20) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ ®iÓm C cho chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt Gi¶i : §Æt chu vi tam gi¸c ABC lµ p, p = AC + BC + AB Do AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ BC + AC đạt giá trị nhỏ nhất.Gọi A/ là điểm đối xứng víi A qua d, A/B c¾t d ë C §iÓm C lµ ®iÓm cÇn t×m ThËt vËy lÊy C/ d , C/ C Ta cã AC/ +BC/ = BC/ +A/C/ > AC + BC = A/B (®pcm) VÝ dô :Cho ®iÓm A bªn gãc nhän xOy cho tríc Dùng tam gi¸c ABC cã chu vi nhỏ cho đỉnh B và C nằm trên hai cạnh góc xOy Gi¶i: Gọi A1 , A2 lần lợt là các điểm đối xứng A qua Ox vµ Oy A1A2 c¾t Ox vµ Oy lÇn lît ë B vµ C Ta cã chu vi Δ ABC nhá nhÊt ThËt vËy gi¶ sö B’ Ox ; C’ Oy ; B’ B ; C’ C Ta cã chu vi Δ AB’C’ = AB’ + B’C’ + C’A = = A1B’ + B’C’ + C’A2 > A1A2 = AB + BC + AC Hay chu vi Δ AB’C’ lín h¬n chu vi Δ ABC VËy chu vi Δ ABC nhá nhÊt VÝ dô 3: Cho Δ ABC , hãy xác định điểm M cho tổng các bán kính các đờng tròn ngoại tiÕp c¸c tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c BCM lµ nhá nhÊt Gi¶i: Gọi các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp Δ ABM và Δ ACM là R1 Và R2 Ta cã R1 + R2 AB AC + 2 A Dấu “ = ” AB và AC là đờng kính các đờng tròn đã cho Khi đó M là hình chiếu A trên BC B M C (21) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ VËy R1 + R2 nhá nhÊt M lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ( 0) §iÓm D thuéc cung BC kh«ng chøa A ; H¹ DE AB ; DF AC Tìm D để EF đạt giá trị lớn Gi¶i : Dễ thấy tứ giác AEDF nội tiếp đợc đờng tròn đờng kính AD Do góc A < 90o không đổi A suy số đo cung nhỏ EDF có số đo không đổi VËy EF lín nhÊt AD lín nhÊt O Suy AD là đờng kính đờng tròn tâm O F B C E VÝ dô D Cho đờng tròn ( 0) đờng kính AB Một điểm P chạy trên đờng tròn Hạ PH AB Gäi R1 , R2 , R3 là bán kính các đờng tròn nội tiếp các tam giác APB ,APH ,BPH Xác định P trên đờng tròn để R1 + R2 + R3 lớn Gi¶i : Vì R1 là bán kính đờng tròn nội tiếp Δ APB vuông P nên R1= (PA + PB - AB ) : (Bán kính đờng tròn P néi tiÕp cña tam gi¸c vu«ng b»ng tæng hai c¹nh gãc vu«ng trõ c¹nh huyÒn chia cho ) B AH +HP − AP PH +HB − PB R3 = PA +PB− AB+ AH+ HP − AP+ PH+ HP − PB Từ đó : R1 +R2 +R3 = H O A T¬ng tù : R2 = = PH Vậy R1 +R2 +R3 đạt giá trị lớn PH lớn nhất, suy P là điểm chính (22) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ cung AB VÝ dô 6: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đờng tròn tâm ( ) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhá BC T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña MA + MB + MC A Gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh MA = MB + MC ThËt vËy lÊy D MA ; cho MD = MB O Ta có tam giác MBD D V× MB = MD vµ gãc BMD = gãc BMA = gãc BCA =60 B C M Suy gãc ABD = gãc CBM = 60o - gãc DBC Nªn Δ ABD = Δ CBM V× BA = BC ; gãc ABD = gãc CBM ; BD = BM Suy AD = MC VËy MA = MD + AD = MB + MC ( ®pcm) Trë l¹i bµi to¸n, tõ kÕt qu¶ trªn ta cã: MA + MB + MC = 2MA đạt giá trị lớn AM lớn AM là đờng kính đờng tròn M là điểm chính cung BC , Khi đó MA + MB + MC = 4R VÝ dô 7: Điểm M chuyển động trên đáy BC tam giác ABC Từ M kẻ ME, MF lần lợt song song với AB , AC Xác định vị trí M để EF ngắn Gi¶i : Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua A Gọi giao điểm ME với CB’ là M’ B' Ta cã tø gi¸c AEMF lµ h×nh b×nh hµnh suy EM // = AF M' Do đó AB = AB’ ; MM’ // BB’ suy EM = EM’ A F E B M C (23) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ Từ đó EM’ // = AF Suy tø gi¸c AFEM/ lµ h×nh b×nh hµnh, suy EF = AM’ §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña EF ta t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña AM’ Khi M chuyển động trên BC thì M’ chuyển động trên CB’ cố định nên: a) NÕu gãc AB’C vµ gãc ACB’ lµ gãc nhän, suy M’ lµ h×nh chiÕu cña A lªn CB’ B' Suy M b)NÕu gãc AB’C A 900 §Ó AM/ nhá nhÊt th× M’ c) NÕu gãc ACB’ B’ vµ M 90o th× M’ B C B C vµ M C B' A B C *Mét sè bµi tËp cïng d¹ng + Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (o) M là điểm trên cung nhỏ BC Từ M hạ ME , MF , MH vuông góc với các đờng thẳng AB, AC , BC T×m GTLN vµ GTNN cña MA + MB + MC + ME + MF + MH + Qua điểm M tam giác ABC kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB , AC t¹i B1, B2 §êng th¼ng song song víi AB c¾t CA , CB t¹i A1, A2 §êng th¼ng song song víi AC c¾t AB , BC t¹i C1, C2 T×m GTNN cña A1A2 + B1B2 + C1C2 3) Mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ kh¸c: VÝ dô :T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c cã c¸c c¹nh a, b, c tho¶ m·n : 0<a b c (24) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ Gi¶i : Ta gäi diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S 1 Ta cã : S ab (dÊu “ = ” gãc C = 900 ) Suy S 2=1 DÊu “ = ” tam gi¸c ABC vu«ng ë C cã a = 1, b = Suy c = √ tho¶ m·n : < c < VËy max S = Ví dụ : Cho ( O; R ) , AC là đờng kính , BD là dây cung ( O; R ) và BD vuông góc với AC Xác định vị trí dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn Gi¶i : B A C O D AC BD nên SABCD=1/2.AC.BD = R.BD mà BD là dây cung ( O; R ) Do đó BD 2R Vậy SABCD 2R2 dấu “=” xảy BD là đờng kính ( O; R ) Ví dụ3: Cho tam giác ABC có AA1, BB1, CC1 là các đờng phân giác.Gọi khoảng cách từ A1 đến AB là a1, khoảng cách từ B1 đến BC là b1, khoảng cách từ C1 đến CA là c1 a1 b1 c1 h hb hc a T×m GTNN cña : P = Gi¶i : Tõ A1 kÎ A1E AB ; A1F A AC DÔ thÊy A1E = A1F = a1 2S Δ ABC = 2S Δ AA B+2 SΔ AA1 C=a1 c +a1 b=a1 (b+ c) F E MÆt kh¸c 2S Δ ABC=ah a Suy a1(b + c ) = aha B A1 C (25) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ a1 a = b+c ⇒ a1 b1 c1 b1 b c1 c h hb hc = a + b + c = ; = a T¬ng tù ta cã : h a+c h a+b VËy : P = b+c c +a a+b b c a b c 1 Suy P + = ( + b+c ¿+(1+ a+c )+(1+ a+b ) =( a+ b + c )( b+c + c +a + a+b ¿ 1 1 = [(a+b)+(a+c )+(b+ c)]( a+ b + a+ c + b+ c )≥ Dấu “ = ” xảy a = b = c ,hay tam giác ABC Suy P Vậy P = Ví dụ : Cho tam giác ABC và điểm tam giác kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh, cách chúng khoảng cách khoảng cách từ tới các cạnh đó Mỗi đờng thẳng tạo với cạnh tam giác và phần kéo dài hai cạnh hình thang Xác định vị trí để tổng diện tích ba hình thang là nhỏ Gi¶i : A Gọi khoảng cách từ O đến BC là x z §êng th¼ng // víi BC c¸ch BC B mét kho¶ng lµ x c¾t AB vµ AC t¹i B’ vµ C’ Δ ABCđồng dạng Δ AB’C’ Ta cã h +x x x x2 a 2 x S1 ⇒ y C x B' Gäi diÖn tÝch h×nh thang BCC’B’ lµ S1 1+ ¿ =1+ + ¿2 ha ha S +S S ⇒ =¿ ⇒ 1+ =¿ S S2 y 2S y =2 T¬ng tù : S (2) hb + hb O C' S1 x x2 =2 + S ha (1) S3 z z2 =2 + S h c hc (3) đó y, z là khoảng cách từ O đến AC và AB S2 và S3 là diện tích hai hình thang cßn l¹i y ¿ +¿ Céng theo vÕ hb (1) , (2) , (3) ta cã: x ¿ +¿ ¿ S 1+ S2 + S3 x y z =2( + + )+ ¿ S h a hb h c x y z + + ¿ :3=2+ = hb hc 3 2+ ¿ (26) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ x y z ( DÔ thÊy + hb + hc =1¿ DÊu “ = ” x y z = = = hb hc hay G lµ träng t©m tam gi¸c ABC VËy s1 s2 s3 lín nhÊt O lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC *Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ( 0, R ) lÊy mét ®iÓm D trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A đờng tròn đó Hạ DH, DI, DK lần lợt vuông góc với BC, CA, AB Tìm vị trí điểm D BC AC AB để : DH + DI + DK đạt giá trị nhỏ b) Hai đờng tròn (01) và (02) cắt hai điểm phân biệt A, B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt đờng tròn thứ C và đờng tròn thứ hai D cho A n»m ®oan th¼ng CD.T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn CD cho chu vi tam gi¸c BCD đạt GTNN C/ bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo chuyên đề và chuyên đề đợc phân chia theo dạng bài, loại bài là cần thiết Điều đó giúp các em có thể sâu , phân tích đánh giá đầy đủ đến nội dung kiến thức V× vËy chóng ta ph¶i coi ®©y lµ viÖc lµm thêng xuyªn, cÇn thiÕt nh»m lµm cho kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cao h¬n Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y kh«ng nh÷ng gi¸o viªn ph¶i tù nghiªn cøu , ph©n tÝch tæng hîp kiÕn thøc mµ cÇnph¶i chó träng viÖc d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch ph©n d¹ng c¸c bµi tËp, tæng hîp kiÕn thøc §©y lµ nhiÖm vô chÝnh cña gi¸o viªn qu¸ tr×nh d¹y häc vµ gi¸o dôc Qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y t¹i trêng THCS thÞ trÊn V«i t«i nhËn thÊy: N¨ng lùc häc tËp (27) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ cña c¸c em trêng rÊt tèt, nhiÒu em cã thµnh tÝch häc tËp cao vµ liªn tôc, nhiÒu em đã đạt giải cao các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Tôi đã triển khai đề tài trờng và có kết tốt, ngoài còn mở rộng phạm vi ứng dụng vào việc bồi dỡng học sinh giỏi toàn huyện tham gia dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết cao Từ đó tôi xin đề xuất: - Khi vận dụng đề tài, với khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lợng bài tập cho phù hợp với lực đối tợng học sinh - Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên áp dụng giáo viên h·y ¸p dông ph¬ng ph¸p gîi më (nÕu cÇn) vµ cã thÓ yªu cÇu häc sinh khai th¸c bµi to¸n ë nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau: T¬ng tù ho¸, tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n, vËn dông bµi to¸n sang bµi to¸n kh¸c, t×m tÝnh chung vµ tÝnh riªng cho tõng bµi, tõng d¹ng bµi Nhng bên cạnh đó có thể chọn bài toán và cần thiết để dạy cho các đối tợng häc sinh trung b×nh - Khi tham khảo đề tài giáo viên có thể linh hoạt bổ sung "ý hay" để góp phần phong phú giảng dạy đề tài PhÇn III : KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña t«i sau d¹y häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n c¬ b¶n vÒ t×m cùc trÞ nh÷ng n¨m võa qua Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thấy sau áp dụng chuyên đè trên thì : - Các em đã biết phân dạng và nhận biết đợc các dạng bài toán tìm cực trị cách đúng đắn và chính xác - C¸c em kh«ng cßn ngÇn ng¹i gÆp d¹ng to¸n nµy - Thông qua đánh giá ôn tập và kết các kì thi thì đa số các em đã (28) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ biÕt ph¬ng ph¸p gi¶i vµ gi¶i tèt d¹ng to¸n nµy - Tuy nhiªn víi sù hiÓu biÕt vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y còng nh thêi gian cßn nhiều hạn chế , nên cha thể đợc đầy đủ nội dung chuyên đề và không tránh khỏi thiếu sót nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này Vậy thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm giảng dạy , các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề đợc đầy đủ nhằm nâng cao chất lợng học tập học sinh nói chung và chất lợng học toán nói riêng Xin ch©n hµnh c¸m ¬n! Ngµy 20 th¸ng n¨m 2009 Ngêi viÕt §ç xu©n HuÊn *Tµi liÖu tham kh¶o : 1/ S¸ch gi¸o khoa to¸n 8, nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 8, (Vũ Hữu Bình) 3/ Bất đẳng thức (Nguyễn Vũ Thanh ) 4/ Một số vấn đề phát triển hình học 8, ( Vũ Hữu Bình ) (29) Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ 5/ To¸n häc vµ tuæi trÎ 6/ To¸n chän läc cÊp hai Së GD - §T Hµ B¾c 7/ 23 chuyên đề giải toán sơ cấp (Nhà xuất trẻ ) (30)