Bài báo này trình bày hai kết quả quan trọng về tính ổn định cho họ các phương pháp sai phân lùi dạng khối liên tục để giải bài toán xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu. Đây là những mở rộng (với số bước ) các khẳng định đã từng được đề cập bởi cùng tác giả (Đinh Văn Tiệp, Phạm Thị Thu Hằng, 2020) với số bước Ngoài tạo ra cầu nối giữa các kết quả mở rộng này với các kết quả ở bài báo đó, các mở rộng này đưa các chứng minh ở bài báo đó đúng cho trường hợp tổng quát của . Bên cạnh đó, sự mở rộng này tạo ra những kết quả thú vị về tính chất một lớp các đa thức đặc biệt được xây dựng mà việc chứng minh trực tiếp các tính chất của chúng là không đơn giản.
TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 ABOUT THE ORDER OF STABILITY OF THE CONTINUOUS BLOCK BACKWARD DIFFERENCE FORMULA METHODS Dinh Van Tiep*, Pham Thi Thu Hang TNU - University of Technology ARTICLE INFO Received: 10/8/2021 Revised: 27/8/2021 Published: 27/8/2021 KEYWORDS Backward difference formula Block multistep methods Ordinary differential equations Order of stability Stability polynomial ABSTRACT This article aims to present two important and nice properties for the stability of the continuous block backward difference formula used to solve the initial value problems for ordinary differential equations These results are extensions (to the step 𝑘 ≥ 2) of the observations stated for the simple cases of the step 𝑘 ≤ which was given by the author (Dinh Van Tiep, Pham Thi Thu Hang, 2020) These extensions are the useful junctions which enable the proof for the results in that paper to be correct for the general case of the step 𝑘 Besides, these extensions also provide very nice properties for a class of symmetric polynomials established as a byproduct of the continuous block backward difference formula These properties are not obvious and not easy to prove The basis used to prove the results in this article is from the foundation of linear algebra This basis is even simple, but it gives very nice proof VỀ BẬC ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LÙI DẠNG KHỐI LIÊN TỤC Đinh Văn Tiệp*, Phạm Thị Thu Hằng Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 10/8/2021 Ngày hồn thiện: 27/8/2021 Ngày đăng: 27/8/2021 TỪ KHĨA Phương pháp sai phân lùi Phương pháp đa bước dạng khối Phương trình vi phân thường Bậc ổn định phương pháp Đặc trưng tính ổn định TĨM TẮT Bài báo trình bày hai kết quan trọng tính ổn định cho họ phương pháp sai phân lùi dạng khối liên tục để giải toán xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu Đây mở rộng (với số bước 𝑘 ≥ 2) khẳng định đề cập tác giả (Đinh Văn Tiệp, Phạm Thị Thu Hằng, 2020) với số bước 𝑘 ≤ Ngoài tạo cầu nối kết mở rộng với kết báo đó, mở rộng đưa chứng minh báo cho trường hợp tổng quát 𝑘 Bên cạnh đó, mở rộng tạo kết thú vị tính chất lớp đa thức đặc biệt xây dựng mà việc chứng minh trực tiếp tính chất chúng khơng đơn giản DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4875 * Corresponding author Email: tiepdinhvan@tnut.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 316 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Giới thiệu Ta xem xét phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛼 (1) Phương pháp giải tích số họ cơng thức sai phân lùi (BDF) dạng khối liên tục trình bày báo [1]-[3] Họ phương pháp thể tính hiệu vượt trội đặc biệt việc xấp xỉ nghiệm cho lớp toán stiff [4]-[6] Tuy nhiên, nghiên cứu đưa nhận định cho trường hợp 𝑘 ≤ khơng có chứng minh cụ thể kết đề cập sau Công thức BDF dạng khối liên tục với số bước 𝑘 ≥ đưa [2], [3] là: 𝐴(1) 𝑌𝑛+1 = 𝐴(0) 𝑌𝑛 + ℎ𝐵(1) 𝐹𝑛+1 , (2) Với: 𝑌𝑛+1 = (𝑦𝑛+1 , 𝑦𝑛+2 , … , 𝑦𝑛+𝑘 )𝑇 , 𝑌𝑛 = (𝑦𝑛−𝑘+1 , 𝑦𝑛+𝑘 , … , 𝑦𝑛 )𝑇 , 𝐹𝑛+1 = (𝑓𝑛+1 , 𝑓𝑛+2 , … , 𝑓𝑛+𝑘 )𝑇 , 𝑦𝑗 ≈ 𝑦(𝑡𝑗 ), 𝑓𝑗 ≈ 𝑓 (𝑡𝑗 , 𝑦(𝑡𝑗)) , ∀𝑗 = 1,2, …, 𝐴(1) , 𝐴(0) , 𝐵(1) ma trận cấp 𝑘 × 𝑘 Ở đây, phương pháp BDF cho công thức: 𝑘−1 ℎ𝑓𝑛+𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑦𝑛+𝑗 + ℎ𝑏𝑖 𝑓𝑛+𝑘 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 − , 𝑗=0 (3) 𝑘−1 𝑦𝑛+𝑘 = ∑ 𝑎𝑗 𝑦𝑛+𝑗 + ℎ𝑏𝑘 𝑓𝑛+𝑘 , 𝑗=0 −𝑎11 −𝑎21 ⋮ = −𝑎𝑘−1,1 [ −𝑎1 −𝑎12 ⋯ −𝑎1,𝑘−1 𝑎10 ⋯ −𝑎22 ⋯ −𝑎2,𝑘−1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ 𝐴(1) ⋮ ⋮ , 𝐴(0) = [ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑘−1,0 ] , 𝑎0 = 1, −𝑎𝑘−1,2 ⋯ −𝑎𝑘−1,𝑘−1 𝑎0 ⋯ −𝑎2 ⋯ −𝑎𝑘−1 1] 𝑏1 −1 ⋯ −1 ⋱ ⋮ 𝑏2 ⋮ ⋱ 𝐵(1) = ⋮ −1 𝑏 ⋮ ⋱ 𝑘−1 𝑏𝑘 ] [ 0 ⋯ Trong báo [1], [2], tác giả đưa nhận xét bậc ổn định 𝑟 > với giá trị bước 𝑘 = 2, … ,6 dựa vào quan sát cho phương pháp Từ suy ra: 𝑘−1 ∑ 𝑎𝑗𝑙 = 0, ∀𝑗 = 1, … , 𝑘 − 1, 𝑙=0 (4), ∀𝑘 = 2, … ,6 𝑘−1 ∑ 𝑎𝑗 = 𝑗=0 Ngồi ra, báo đó, lập luận khả nghịch ma trận 𝐴(1) đưa từ quan sát cho trường hợp bước 𝑘 = 2, … Nội dung báo đưa chứng minh cho hai lập luận với giá trị 𝑘 ≥ tổng quát dạng phát biểu hai lập luận tổng quát hơn, thay xét 𝑘 + điểm lưới với khoảng chia cách ℎ 𝑡𝑛 , 𝑡𝑛 + ℎ, 𝑡𝑛 + 2ℎ, … , 𝑡𝑛 + 𝑘ℎ, ta xét 𝑘 + điểm lưới tổng quát: 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘 1.1 Xây dựng hệ số phương pháp dạng ma trận Giả sử nghiệm (1) biểu diễn thành: 𝑦(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 + +𝑐𝑘 𝑡 𝑘 http://jst.tnu.edu.vn 317 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Để thu (3) ta cần tính giá trị 𝑦(𝑡) điểm lưới 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 𝑦′(𝑡) 𝑡𝑘 đồng kết tương ứng với 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 , … , 𝑦𝑛+𝑘−1 , 𝑓𝑛+𝑘 Sau thu được: 𝑘−1 𝑦(𝑡) = ∑ 𝛾𝑗 (𝑡)𝑦𝑛+𝑗 + 𝛽(𝑡)𝑓𝑛+𝑘 (5) 𝑗=0 Từ nghiệm nhận (5), thực tính giá trị 𝑦 ′ (𝑡) 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑘−1 𝑦(𝑡) 𝑡𝑘 ta thu (3) Q trình biểu diễn dạng ma trận sau: … 𝑡0𝑘 𝑡0 𝑡02 𝑦𝑛 𝑦𝑛 𝑘 𝑦 𝑦 𝑐0 𝑡1 𝑡1 … 𝑡1 𝑛+1 𝑛+1 ⋮ ⋮ … ⋮ := 𝐴 , [⋮]= ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘 𝑦 𝑦 𝑐𝑘 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 … [ 𝑓𝑛+𝑘 ] 2𝑡𝑘 … 𝑘𝑡𝑘𝑘−1 ] [ 𝑓𝑛+𝑘 ] [ 𝑘−1 … 𝑘𝑡1 2𝑡1 𝑓𝑛+1 𝑘−1 𝑐 2𝑡 𝑐0 … 𝑘𝑡 2 𝑓𝑛+2 ⋮ = … ⋮ [ ] : = 𝐵 [ ⋮ ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘−1 𝑐𝑘 2𝑡𝑘−1 … 𝑘𝑡𝑘−1 𝑐𝑘 𝑓𝑛+𝑘−1 [ 𝑦𝑛+𝑘 ] 𝑡𝑘2 … 𝑡𝑘𝑘 ] [ 𝑡𝑘 Khi đó, ta thấy rằng, 𝐴 ∈ 𝕄(𝑘 + 1), 𝐵 ∈ 𝕄(𝑘, 𝑘 + 1) điểm lưới 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 , 𝑡𝑘 có điểm chia cách với bước chia ℎ hệ số (3) cho đẳng thức: 𝑎10 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑘−1 ℎ𝑏1 𝑎 𝑎21 ⋯ 𝑎2,𝑘−1 ℎ𝑏2 1 20 ⋮ ⋮ ⋱ (6) 𝐶≔ = 𝐵𝐴−1 ∈ 𝕄(𝑘, 𝑘 + 1) ⋮ ⋮ ℎ ℎ 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 ℎ𝑏 𝑘−1,0 𝑘−1,1 𝑘−1,𝑘−1 𝑘−1 𝑎1 ⋯ [ 𝑎0 𝑎𝑘−1 ℎ𝑏𝑘 ] 1.2 Dạng ma trận kết luận cần chứng minh Đối với kết luận ma trận 𝐴(1) khả nghịch, từ phân tích (6) ta thấy đủ để kết luận ma trận vuông gồm 𝑘 cột ma trận tích 𝐵𝐴−1 khả nghịch, tức hạng ma trận 𝐵𝐴−1 𝑘 Đối với kết luận (4), ta cần chứng minh rằng, tổng 𝑘 cột ma trận 𝐵𝐴−1 véctơ sở tắc 𝒆𝒌 = (0,0, … ,0,1)𝑇 ∈ ℝ𝑘 Thực tế, báo ta chứng minh kết mạnh thể đặc tính ma trận 𝐴−1 , ma trận nghịch đảo 𝐴, tổng 𝑘 véctơ cột 𝐴−1 véctơ sở tắc 𝒆̂𝒌 = (0,0, … ,0,1) ∈ ℝ𝑘+1 Tính khả nghịch ma trận 𝑨(𝟏) Ma trận vuông cấp 𝑘 −𝑎11 −𝑎12 ⋯ −𝑎1,𝑘−1 −𝑎21 −𝑎22 ⋯ −𝑎2,𝑘−1 ⋮ ⋮ ⋱ 𝐴(1) = ⋮ ⋮ , −𝑎𝑘−1,1 −𝑎𝑘−1,2 ⋯ −𝑎𝑘−1,𝑘−1 −𝑎2 ⋯ −𝑎𝑘−1 1] [ −𝑎1 (1) thu (3), khả nghịch hạng 𝑘, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 ) = 𝑘 Điều thỏa mãn (6) ta có 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵𝐴−1 ) = 𝑘 Kết chứng minh Định lý Trước hết ta xét hai bổ đề sau Bổ đề Cho hai ma trận 𝑃 ∈ 𝕄(𝑟, 𝑝), 𝑄 ∈ 𝕄(𝑝) Khi đó, 𝑄 khả nghịch 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃𝑄) http://jst.tnu.edu.vn 318 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Chứng minh Giả sử {𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , … , 𝒆𝒑 } sở tắc ℝ𝑝 Vì 𝑄 khả nghịch nên {𝑄𝒆𝟏 , 𝑄𝒆𝟐 , … , 𝑄𝒆𝒑 } lập thành sở ℝ𝑝 Do đó: 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃) = dim(𝐼𝑚(𝑃)) = dim (𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝒆𝟏 , 𝑃𝒆𝟐 , … , 𝑃𝒆𝒑 })) = dim (𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝑄𝒆𝟏 , 𝑃𝑄𝒆𝟐 , … , 𝑃𝑄𝒆𝒑 })) = dim(𝐼𝑚(𝑃𝑄)) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃𝑄), Trong đó, 𝐼𝑚( ), 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛( ) ký hiệu không gian ảnh ma trận bao tuyến tính tập véctơ tương ứng Chẳng hạn, 𝐼𝑚(𝑃) = {𝑃𝒙|𝒙 ∈ ℝ𝑝 }, 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝒆𝟏 , 𝑃𝒆𝟐 , … , 𝑃𝒆𝒑 }) = {∑ 𝑝 𝑗=1 𝜆𝑗 𝒆𝑗 |𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑝 ∈ ℝ} ◻ Bổ đề Xét hai ma trận 𝐴, 𝐵 cho bởi: … 𝑡0𝑘 𝑡0 𝑡02 … 𝑘𝑡1𝑘−1 2𝑡1 2𝑡2 𝑡1 𝑡12 … 𝑘𝑡2𝑘−1 … 𝑡1𝑘 𝐴= … ⋮ ,𝐵 = … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘 𝑘−1 𝑡𝑘−1 2𝑡𝑘−1 … 𝑘𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 … 𝑘−1 2𝑡 𝑡𝑘 𝑡𝑘2 … 𝑡𝑘𝑘 ] … 𝑘𝑡𝑘 ] [ [ 𝑘 Khi đó, ma trận 𝐴 khả nghịch hạng ma trận 𝐵 𝑘, với điểm lưới đôi phân biệt 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 khác không Chứng minh Xét ma trận vuông 𝐴∗ cấp 𝑘 𝐴 gồm 𝑘 hàng (từ xuống) 𝑘 cột cuối (từ trái qua phải), 𝑡0 𝑡02 … 𝑡0𝑘 𝑡1 𝑡12 … 𝑡1𝑘 𝐴∗ ≔ … ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘 … 𝑡𝑘−1 [ 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 ] thỏa mãn det(𝐴∗ ) = 𝑡0 𝑡1 … 𝑡𝑘−1 det(𝑉𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒(𝑡0 , … , 𝑡𝑘−1 )) = 𝑡0 𝑡1 … 𝑡𝑘−1 ∏ (𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 ) ≠ 0≤𝑗