Ngọc huyền LB chinh phục VD VDC toán

MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I Tính đơn điệu hàm số Tính đơn điệu hàm số thông thường Tính đơn điệu hàm số hợp, hàm số tổng 10 Tính đơn điệu hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 15 II Cực trị hàm số 20 Cực trị hàm số thông thường 20 Cực trị hàm số hợp, hàm số tổng 23 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 30 III Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số 48 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số thông thường 48 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số hợp, hàm số tổng 49 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 52 Bài tốn biện luận – max có chứa tham số 54 Giá trị lớn – giá trị nhỏ toán thực tế 59 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số nhiều biến số 63 IV Đường tiệm cận đồ thị hàm số 66 V Tương giao đồ thị hàm số 75 VI Bài toán tổng hợp hàm số 96 VII Phép biến đổi đồ thị 104 VIII Ứng dụng tính đơn điệu hàm số việc giải phương trình – bất phương trình 114 IX Tiếp tuyến đồ thị hàm số 136 X Bài tập rèn luyện 150 CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT 164 I Bài toán hàm số lũy thừa, mũ logarit 164 II Phương trình mũ logarit 175 Bài tốn nghiệm phương trình mũ logarit 175 Biện luận nghiệm phương trình chứa tham số 178 Phương pháp hàm số giải phương trình mũ, logarit 187 III Bất phương trình mũ logarit 199 Bài tốn nghiệm bất phương trình mũ logarit 199 Biện luận nghiệm bất phương trình chứa tham số 203 Phương pháp đánh giá, hàm đặc trưng 214 IV Giá trị lớn – giá trị nhỏ biểu thức có chứa mũ logarit 218 Phương pháp hàm số 218 Phương pháp chuyển biến để xét bảng biến thiên 230 Sử dụng bất đẳng thức 235 Đánh giá GTLN – GTNN hình học 238 V Ứng dụng toán thực tế 241 VI Bài toán tổng hợp 244 VII Bài tập rèn luyện 249 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 256 I Nguyên hàm 256 Phương pháp tính nguyên hàm 256 Nguyên hàm hàm ẩn 257 Nguyên hàm hàm số nhiều công thức 261 II Tích phân 263 Phương pháp tính tích phân 263 Tích phân hàm ẩn 269 Sử dụng định lý đặc biệt 281 Tích phân hàm số nhiều cơng thức 284 III Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể 292 Hình phẳng cho công thức hàm tường minh 292 Hình phẳng cho đồ thị hàm ẩn 302 Thể tích vật thể, khối trịn xoay 311 IV Bài tập rèn luyện 318 CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 322 I Bài tốn xác định thuộc tính số phức 322 II Phương trình bậc hai tập số phức 334 III GTLN – GTNN biểu thức chứa số phức 337 IV Bất đẳng thức mơđun tìm GTLN-GTNN biểu thức chứa số phức 347 V Hình học hóa tốn số phức 350 VI Bài toán tổng hợp 379 VII Bài tập rèn luyện 384 CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 387 I Thể tích khối đa diện: Khối chóp, khối lăng trụ 387 II Liên hệ thể tích khối đa diện (phân chia, lắp ghép, tỉ số thể tích) 397 III Giá trị lớn – giá trị nhỏ thể tích khối đa diện 408 IV Bài tập rèn luyện 423 CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY 425 I Mặt nón – khối nón 425 II Mặt trụ – khối trụ 430 III Mặt cầu – khối cầu – toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện 437 IV Bài toán tổng hợp khối tròn xoay 446 V Bài tập rèn luyện 450 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 454 I Bài toán điểm, đường thẳng, mặt phẳng không gian 454 II Bài toán mặt cầu: tiếp tuyến, tiếp diện tốn có yếu tố mặt cầu 470 III Cực trị hình học không gian 487 IV Tọa độ hóa hình học khơng gian túy 516 V Bài tốn khối đa diện, khối trịn xoay có yếu tố tọa độ 518 VI Bài toán tổng hợp 529 VII Bài tập rèn luyện 535 CHỦ ĐỀ 8: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 539 Bài tập rèn luyện 553 CHỦ ĐỀ 9: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN 555 I Tính góc khơng gian 555 II Tính khoảng cách khơng gian 572 III Bài tập rèn luyện 583 Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tính đơn điệu hàm số thơng thường BON 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số   y  sin x  3sin x  m sin x đồng biến khoảng  0;   2 A m  B m  C m  D m  Lời giải   Cách 1: Do hàm số t  sin x đồng biến  0;  nên đặt sin x  t ; t   0;1  2 Khi ta có hàm số y  f  t   2t  3t  mt ; y   6t  6t  m STUDY TIP Nếu hàm số biến khoảng hàm số biến   Để hàm số cho đồng biến  0;  hàm số y  f  t  phải đồng biến  2 đồng phương trình y  vơ nghiệm, có nghiệm kép (1) ; có đồng hàm số đồng biến khoảng  0;1  t  t   hai nghiệm t1  t2 thỏa mãn  (2) 0   t1  t2 Trường hợp (1): Phương trình y   vơ nghiệm có nghiệm kép       6m   m    m       m    t t    12   t  t    1      Trường hợp (2): Thỏa mãn   (loại)       m    t1  1 t2  1   m         t1  t2          Ở ta loại ln trường hợp (2) xét tổng hai nghiệm không thỏa mãn Cách 2: Ở có hai trường hợp: vơ nghiệm, có nghiệm kép; hai  0; 1 nằm khoảng hai nghiệm 3 nên ta xét trước Do phương án 2 C có dấu  vậy, ta xét dấu trước, dấu thỏa mãn ta loại Nhận thấy phương án B, C, D có số ln B D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | Ngọc Huyền LB Với m  y The Best or Nothing  3 y   6t  6t    t  2  1    t  (phương trình y  có 2 nghiệm kép, thỏa mãn) Đến ta loại ln B D Hình đồ thị hàm số y  f  t  m  t O 3  Tiếp theo ta cần xét đến A Ta thử m    ;   2  Với m  y   6t  6t    t  3 3 3 , nhận xét   1 6 (không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C Hình đồ thị hàm số y  f  t  m  Vậy suy luận ta Hình Đáp án C Do y  6t  6t  m tam thức bậc hai có hệ số a  nên y Nếu   y dấu với hệ số a (mà a  ) nên hàm số ln đồng biến Nếu   phương trình y  có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 Khi đó, khoảng hai nghiệm y khác dấu với a khoảng hai nghiệm y dấu với a Nên để y  0, t   0;1  0;1 phải nằm khoảng hai nghiệm t O Nhận xét:   Ở đầu lời giải cách 1, tơi có rõ “Do hàm số y  sin x đồng biến  0;   2 nên đặt sin x  t ; t   0; 1 ” đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện hàm hợp Ở toán thay sin x cos x ; lúc này, đặt cos x  t tiếp tục giải kết đạt m  hồn toàn sai 3  Thật vậy: Với m    ;   , hàm số y  2cos3 x  3cos2 x  2cos x nghịch biến 2  Hình    0;   2 BON 2: Giá trị m để hàm số y  x  3x  mx  m nghịch biến đoạn có STUDY TIP Trong toán hệ số bậc cao tam thức nên áp dụng quy tắc “trong trái ngồi cùng” khoảng hai nghiệm giá trị tam thức mang dấu “–” nên để hàm số ban đầu nghịch biến đoạn có độ dài lớn độ dài lớn A m  C m  1 B m  D m  Lời giải Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài lớn  y   x  x  m  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1  x2  m    9  3m       4m  m  2  x1  x2   x1  x2   x1x2  4    Đáp án D BON 3: Tìm tham số m để hàm số y  x  x  mx  10 nghịch biến đoạn có độ dài lớn A m  | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B m  4 C m   15 D m  15 Chinh phục toán VD – VDC Lời giải STUDY TIP Hàm số bậc ba đơn điệu (nghịch biến đồng biến ) khoảng có độ dài lớn l phương trình có hai nghiệm phân biệt Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm thỏa mãn: Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài lớn  y  x  x  m  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1  x2    4  m     2  x1  x2   x1  x2   x1 x2  m  4 15   15  m   m    Đáp án C BON 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  f  x   m sin x  x đồng biến B m  1 A m  C m  D m  Lời giải y  2m cos2x   x   m cos2x  1, x  +) Trường hợp 1: m  Ta có  1 x  , hàm số đồng biến +) Trường hợp 2: m  x  m +) Trường hợp 3: m    1   m  m x  m     m  1 m Ta có cos x   Ta có cos x   Vậy m  Đáp án C   BON 5: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  m2  x   m  1 x  x đồng biến A B C D Vô số Lời giải  m  1 Xét m2     m  - Với m  1, hàm số cho trở thành y  x y    Hàm số đồng biến (thỏa mãn) - Với m  1, hàm số cho trở thành y  x  x y  x  1; Do đó, hàm số có khoảng nghịch biến, khoảng đồng biến (loại) y   x   +) Xét m2    Hàm số bậc   y   m  x   m  1 x  Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing  y  0, x  Để hàm số đồng biến m  m   3 m2       m  1  m      m  1   2  m   m  1    m  1  m     2 m  m     m  1      Vậy có vơ số giá trị m thỏa mãn Đáp án D Tính đơn điệu hàm số hợp, hàm số tổng   BON 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1 x  mx  với x  Có số nguyên dương m để hàm số g  x   f   x  đồng biến khoảng  3;   ? A B C D Lời giải 2 Từ giả thiết suy f    x     x   x    x   m   x      Ta có g  x    f    x  Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;   FOR REVIEW Cho hàm số g  x   0, x   3;    f    x   0, x   3;   có đạo hàm K (K khoảng, đoạn, nửa 2    x   x    x   m   x     0, x   3;     khoảng) Nếu x   3;     x   0,   x      x   m   x    0, x   3;     x   , x  3;   m    x   Khi m     x  3  x  3   x    x    x   Ta có   x3   x3  x  3 số (3;  ) hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Đẳng thức xảy x    x  (do x  3) x3   x     m  Vì m nguyên dương suy m  1; 2; 3; 4; 5;     x  3 (3;  ) Đáp án B BON 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm , hàm số y  f   x  liên tục , hàm số y  f   x  2019  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c y số nguyên có đồ thị hình vẽ bên Gọi m1 số giá trị nguyên tham số O a m để hàm số y  g  x   f  x  x  m  nghịch biến khoảng  1;  ; m số b c x   giá trị nguyên tham số m để hàm số y  h  x   f x  x  m đồng biến khoảng  1;  Khi đó, m1  m2 A 2b  2a 10 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B 2b  2a  C 2b  2a  D 2b  2a  Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f   x  2019  dịch sang phải 2019 đơn vị để thu đồ thị hàm số y  f   x  Bảng xét dấu y  f   x  sau: x –∞ b + 2019 a + 2019 y' + _  Xét hàm số y  g  x   f x  x  m  c + 2019 + +∞ +   g  x    x   f  x  x  m Ta thấy x   0, x  1;  nên y  g  x  nghịch biến  1;  a  2019  x  x  m  b  2019, x   1;    x  x  a  2019  m   x  x  b  2019, x   1;      max  x  x  a  2019  m   x  x  b  2019 1;2  1;2    a  2020  m  b  2019 Số giá trị nguyên m thỏa mãn m1  b  2019  a  2020   b  a  Xét hàm số y  h  x   f x  x  m    h  x    x   f  x  x  m Ta thấy x   0, x  1;  nên y  h  x  đồng biến  1;  a  2019  x  x  m  b  2019, x   1;    x  x  a  2019  m   x  x  b  2019, x   1;      max  x  x  a  2019  m   x  x  a  2019 1;2  1;2    2023  a  m  2022  b Số giá trị nguyên m thỏa mãn m2   2022  b    2023  a    b  a Vậy m1  m2  2b  a Đáp án A BON 8: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y   y  f    x  hình vẽ bên Hàm số y  f x  x nghịch biến khoảng O x sau đây? A  3; 2  B  1;  y = f’(3 – x) D  2; 1 C  0;1 Lời giải f    x    a  x  1 x   x    a   Đặt t   x  x   t  f   t   a   t  1  t    t    f   t   a   t  t  1  t   a  t   t  t  1 , a  t –∞ x f'(t)  –  +  g  x    x   f  x  x   x  1 f  x  x +∞ –1 – +  Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 11 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing   x  1    x     1  x  x   1      f  x  x    x  x  g  x        x  1   x        1  x  x    f x  x       0  x  x       x  1  2  x  1  2  x  1   x  1      x  1    x  1    x  1  x   x  1    0  x2  x    x  2   1   x  1     x  1      Vậy hàm số y  f x  x nghịch biến khoảng ; 1  ;  2; 1   0; 1  Đáp án D BON 9: Cho hàm số f  x   x  x  mx  2019 Có giá trị nguyên m để hàm số g  x    f  x     f  x    2020 đồng biến  ; 2 ? A 1008 B 1009 C 1010 D Vô số Lời giải Ta có g  x   f   x   f  x    Nhận xét: FOR REVIEW Giả sử hàm số Nếu  x1 , x2   ;  mà x1  x2 thỏa mãn f  x1   f  x2  g  x1   g  x2  có đạo hàm K Nếu Khi g  x  không đồng biến khoảng  ;  Do để thoả mãn điều kiện g  x  đồng biến khoảng  ;  hàm số số f  x  hàm đồng biến (hoặc nghịch biến)   ;  hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Mặt khác lim f   x    nên f   x   0, x    ;  x  +) f   x   x  x  m  0, x   ;   x  x  m  0, x   ;   m  3 x  x , x   ;     m  max 3 x  x  m   1   ;2  +) Hàm số g  x  đồng biến khoảng   ; 2 suy g  x   0, x   ;  nên f  x    0, x   ;  12 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Đặt u  3x2  6x  u  x   x  6; u  x    x  Bảng biến thiên: –∞ x _ u’(x) +∞ + +∞ u(x) +∞ –1  x  a1   ; 1   x  a2   1;  Từ bảng biến thiên y  f   x  : f   x      x  a3   0;1   x  a4   1;   Bảng biến thiên y  f  x  : x –∞ f’(x) + a1 -1 a2 – + +∞ a4 a3 – + f(x) Ghép trục: x –∞ u(x) +∞ +∞ a4 a3 a2 –1 a2 a3 a4 +∞ f(u(x))  Có cực trị Đáp án C BON 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm có bảng xét dấu f   x  sau: –∞ x f'(x) –  –2 + + +∞ –  Hỏi hàm số y  f x  x có điểm cực tiểu? A B C D Lời giải  Xét g  x   f x  x        Ta có: g  x   x  x f  x  x   x  1 f  x  x  x     x  x  2  v« nghiƯm  g  x    2  x  x   0, v× x nghiệm kép phương trình f   x     x  x   24 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán  Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm x    x    nghiÖm kÐp     x    nghiÖm kÐp   x  1  x     Ta có g  x    x  1 f  x  x  g  2    3  f    ©m ©m  Khi x   ; 1 g  x   0, sử dụng quy tắc đan dấu qua nghiệm đơn ta có bảng xét dấu sau: –∞ x g'(x) +  –1 – +∞ – +  Vậy hàm số y  f x  x có điểm cực tiểu Đáp án A   có f   x    x   x  3x  BON 9: Cho hàm số y  f  x  liên tục   Gọi S tập số nguyên m   10;10  để hàm số y  f x  x  m có điểm cực trị Số phần tử S A 10 B C 14 D Lời giải x  Ta có: y   x   f  x  x  m ; y     f  x  x  m  1  Mà f   x    x         x      x    x  3x  ; f   x      x    x  x    x  4       x2  4x  m  2   x  x  m  2   cùc trÞ     x2  4x  m    1   x  x  m  2   x  x  m  4  x2  4x  m    3   Yêu cầu toán  PT   cã nghiệm phân biệt PT cã nghiƯm kÐp/ v« nghiƯm    PT  có nghiệm phân biệt PT   cã nghiƯm kÐp/ v« nghiƯm   PT   vµ   cã nghiệm phân biệt có nghiệm  lo¹i    m   2  4.2  m              m  1  2    0  m       m  4   3          m    m    m   m   2  4.2  m            m  1       2  4  m              3 Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 25 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Vì m nguyên  m  0;1; 2; 3; 4 Đáp án B BON 10: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d với y a  có đồ thị hình vẽ Điểm cực đại đồ thị -2 hàm số y  f   x   O x -2 A  0;  B  0;  C  5; 6  D  5;  -6 Lời giải x   x  2 Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có: f   x     f   x      x  2 x  Ta có: y   f    x    x  2 x   Cho y    2  x  x    x  2 x   Giả sử y    f    x    f    x     2  x  x  Do ta có bảng biến thiên sau: x –∞ y’ – + +∞ 0 + +∞ y(0) y y(4) –∞ Vậy hàm số y  f   x   đạt cực đại x  0, y    f       Vậy tọa độ điểm cực đại  0;  Đáp án A BON 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  bảng biến thiên f   x  sau: x –∞ –2 _ f’’(x) 0 + +∞ _ 0 +∞ + +∞ f’(x) –3 –3   Số điểm cực trị hàm số g  x   f x  x A B C Lời giải   g  x   x f  x  x; 26 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm x   b  x  x   a x    g  x       x  a   0;    x   f x    x  a  x  b   2;    x  b    Bảng biến thiên: x –∞ +∞ – g’(x) + – + – 0 + g(x) Vậy số điểm cực trị hàm số y  g  x  Đáp án C BON 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  xác định y Đồ thị hàm   số y  f   x  hình vẽ bên Hỏi hàm số y  f x có điểm cực đại điểm cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu O -1 x B điểm cực tiểu, điểm cực đại C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực tiểu, điểm cực đại -3 Lời giải x   Từ đồ thị hàm số y  f   x  , ta thấy: f   x     x  x   f   x    x   ;    3;   f   x    x   0;1   1;      2xf   x  Ta có: y  f x  x  x     x  1 ; y     f  x   x      x2  f  x2     x  ;    x  Bảng biến thiên:    x –∞   –1 − 3;   f’(x2) + – – – – y’ = 2xf’(x) – + + – – +∞ + + y = f(x2)   Vậy hàm số y  f x có điểm cực tiểu điểm cực đại Đáp án B Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 27 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 13: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số  y  f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  y  có điểm cực tiểu? A B C D -2 O x Lời giải  g  x   2 x f   x   x  x    g  x    2 x f   x      x   2   x    x  2 x2       x  f   x     x   2  x     x     Bảng xét dấu: x –2 –∞ + –2x + + f’(–x2 + 5) – + + g’(x) – + + +∞ – 0 – – + + – – – + Từ bảng xét dấu, ta suy hàm số y  g  x  có cực tiểu Đáp án B BON 14: Cho hàm số bậc bốn y  f  x có đạo hàm thỏa mãn   xf   x  1   x   f   x  Số điểm cực trị hàm số y  f x A B C D Lời giải Từ giả thiết cho x  ta có f     nên f   x   có nghiệm x  Cho x  ta f   1  nên f   x   có nghiệm x  Cho x  ta f     nên f   x   có nghiệm x  Vậy ta có f   x   ax  x  1 x    a         Từ y  f x  y  xf  x  2ax x  x  x    x  1  y    x  x    x      Lập bảng xét dấu ta thấy hàm số y  f x có cực trị Đáp án B 28 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm BON 15: Cho y  f  x  hàm số xác định có đạo hàm Biết hàm số y  f    x  có bảng xét dấu sau: x –∞ f'(3 – 2x) – + – – +∞ + Hàm số y  f  x  có điểm cực đại? A B C D Lời giải  x    3u Đặt u   x  x  Ta có f    x     x  2 x    x  3 u  2  u  3 u     u  2 Suy f   u     u  3 3 u    u  5 3 u 4   Hơn f   u    f    x    3u     2  u    x     2  3 u  u  5  x   Bảng biến thiên: x f’(x) –∞ –5 + –3 – – +∞ –2 + – f (x) Vậy hàm số f  x  có hai điểm cực đại Đáp án C Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 29 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối   BON 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x   x  , x  Có bao   nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x  5x  m có điểm cực trị? A liên tục Số điểm cực trị hàm số , với n số điểm cực trị dương hàm số C D Lời giải STUDY TIP Cho B          Do đó, đặt hàm h  x   f  x  x    m  g  x   h  x   Xét hàm số g  x   f x  5x  m  f x x   m  f x x   m Để hàm số cho có điểm cực trị hàm số h  x  phải có điểm cực trị dương     Đạo hàm: h  x   x  x  m f  x  5x  m       3x  x  5x  m  x  5x  m  x  5x  m    x  5x  m    x  5x   m   h  x     x  x  m     x  x   m  x  5x  m    x  5x  3  m   Xét hàm số p  x   x  x đồng biến có bảng biến thiên sau: x –∞ y’ +∞ + +∞ y –∞ Nhận xét:  m   m  3  m, m h  x   có nghiệm bội lẻ dương   m   m  Có tất giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn đề Đáp án A Bài tập tương tự:   Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x   x  ,   Có giá   trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x  x  m có điểm cực trị? A B C   D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  10  x  25 , x  Có   giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x  x  m có điểm cực trị? A B 25 C   D 10 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x   x  16 , x  Có   giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x  x  m có điểm cực trị? A 16 30 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B C D Đáp án: 1B; 2A; 3D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm BON 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành điểm có hồnh độ 3; 2; a; b; 3; c; với   a  1;  b   c  có dạng hình vẽ bên Có giá trị ngun m   ; để hàm số y  f x  m  có điểm cực trị? y -3 -2 a O A b B c x C D Vơ số Lời giải Từ hình vẽ ta thấy hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm 3; 2; a; b; c;5  Xét hàm số y  g  x   f x  m  STUDY TIP Cho hàm số tục liên có đạo hàm g  x      2x f x  m3 x Khi đó, để xác định số điểm cực trị hàm số y  g  x  ta cần xác định số nghiệm với (hoặc ) Khi đó, với hàm số có + điểm cực trị trị điểm cực x     m m  a   m b   m c   m  m  x  ; ; ; ; ;   2 2   Đặt x1  + x  hệ   x  m   3; 2; a; b; c; 5 với hay + Đúng điểm cực trị m m  a3m b3m c3m 8m ; x2  ; x3  ; x4  ; x5  ; x6  2 2 2 Ta có x1  x2  x3  x4  x5  x6 Với i  1; 2; ;7 Nếu xi  phương trình x  xi có hai nghiệm phân biệt x   xi , dẫn đến x   xi hai điểm cực trị hàm số y  g  x  Nếu xi  phương trình x  xi có x  , dẫn đến x  điểm cực trị hàm số y  g  x  Nếu xi  phương trình x  xi vơ nghiệm Do đó, hàm số y  g  x  có điểm cực trị a   m 0   x3   x4    a   m  b   1   m   b   m   Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn 2; 3; Đáp án B Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 31 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 19: Cho hàm số y  f  x   1   x  x  m , với m tham số Gọi a x x 1 giá trị ngun nhỏ m để hàm số có điểm cực trị nhất; A giá trị nguyên lớn m để hàm số có nhiều điểm cực trị Giá trị A  a A 7 B 4 C 3 D Lời giải Xét hàm số y  g  x   g  x    1  x  x  12 1   x  x với x  \0;1 x x 1 x 1 x Nếu x  g  x    1   0, x   0;1  1;   x  x  12 Do đó, hàm số nghịch biến khoảng  0;1 ,  1;   Nếu x  g  x    g  x    1  2 x  x  1 1 1  2   2 2 x  x  1  2x   2x   Đặt t  x   t  1 ta có:  t  1   t  1      t2   t2    t  6t   t    t    1   x0 ,   g  x0   3 Ta có bảng biến thiên: Do đó, x  x x0 –∞ y' –1 _ + –∞ +∞ _ _ +∞ g(x0) y –∞ +∞ –∞ Hàm số y  g  x  có điểm cực trị Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  g  x  nhiều điểm điểm STUDY TIP Số cực trị hàm số tổng số cực trị hàm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình m  g  x0  Giá trị nguyên lớn m thỏa mãn m  4 Khi đó, hàm số y  f  x  có nhiều điểm cực trị điểm Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  g  x  điểm điểm g  x0   m  Giá trị nguyên nhỏ m thỏa mãn m  3 Khi đó, hàm số y  f  x  có điểm cực trị điểm Vậy A  a  7 Đáp án A 32 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm BON 20: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  f  x  y Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  f  x  1  m có điểm O x cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 12 -3 B 15 C 18 -6 D Lời giải Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải đơn vị, ta đồ thị hàm số y  f  x  1 STUDY TIP Số cực trị đồ thị hàm số tổng số cực trị đồ thị hàm số số giao điểm Do đồ thị hàm số y  f  x  1 có cực trị có giao điểm với Ox Để đồ thị hàm số y  f  x  1  m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  1 lên m đơn vị (không phải cực trị) đồ thị hàm số với Để thỏa mãn điều kiện đề đồ thị hàm số y  f  x  1  m cắt Ox Ox điểm (không phải điểm cực trị nó),  m   m  2  Vì m nguyên dương nên m  3; 4; 5   6  m  3   m  Tổng giá trị phần tử S 12 Đáp án A BON 21: Cho hàm số đa thức y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ y O Hỏi có giá trị  g  x   f x2  x   2x  m A  hàm để hàm số B C D Lời giải số đa thức 1) Số điểm cực trị hàm số số điểm cực trị hàm số 2) Số điểm cực trị hàm số , với n số điểm cực trị dương hàm số m để m  0;  ; m  có điểm cực trị? STUDY TIP Cho x   x  1  x   m  1 Số điểm cực trị hàm số g  x   f   x  1  x   m  1 số điểm cực trị   Ta có g  x   f x  x   x  m  f 2  hàm số h  x   f x  x  m     Hàm số y  h  x  hàm số chẵn có cực trị  k  x   f x  x  m  có điểm   cực trị dương Mà k   x    x   f  x  x  m  Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có: Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 33 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing x  x      x  x   m  1 x  2x  m    k  x     x2  x  m    x2  2x   m    x2  2x   m    x2  2x  m       x  x   m  x  x  m    *  Riêng trường hợp phương trình (*) có nghiệm nghiệm bội chẵn phương trình k   x   nên nghiệm không điểm cực trị hàm số y  k  x y x -2 -4 Hàm số y  k  x  có điểm cực trị dương phương trình (1), (2), (3) có nghiệm dương phân biệt khác 7  ta có m   ; 2; ;1; ;  2  2 Từ đồ thị kết hợp m  0;6  ; m  Đáp án C   BON 22: Hàm số y  x  x  có điểm cực trị? A B C D Lời giải    x   x  nÕu x   Ta có: y    x  x  nÕu x       3x  x  nÕu x  Suy y   y không xác định x  2  3x  x  nÕu x  Ta có bảng xét dấu y :  x  –1/3 –∞ y' – + 0 +∞ – + Ta thấy y đổi dấu lần  Hàm số cho có điểm cực trị Lưu ý: Có thể giải thích đạo hàm hàm số cho không xác định x  theo cách sau: Cách 1: Ta có y  34 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán  x  2  x 2  1 Chinh phục toán VD – VDC x2 Do y   x  2 x 2 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm   x   2x Vậy y không xác định x  2 1          Cách 2: Ta có y   5; y   5  y   y   y   không xác định (Đọc đọc thêm “Đạo hàm bên”, SGK Đại số Giải tích 11, NXB GDVN) Lưu ý: Ta giải nhanh tốn dựa vào nhận xét sau: “Số điểm cực trị STUDY TIP Số điểm cực trị hàm số tổng số điểm cực trị hàm số số nghiệm (không trùng với điểm cực trị) phương trình hàm số y  f  x  tổng số điểm cực trị hàm số y  f  x  số nghiệm (không trùng với điểm cực trị) phương trình f  x   ”     Ta có: y  x  x   y   x   x  (do x   x )   Xét hàm số f  x    x   x  có f   x   3x  x  Vậy f  x  có điểm cực trị x  x  Mặt khác phương trình f  x   có nghiệm x  (khơng trùng với điểm cực trị nêu trên)   Do hàm số y   x   x  có điểm cực trị Đáp án D BON 23: Cho hàm số y  x   , gọi S tổng tất giá trị cực trị x1 hàm số Giá trị S A S  C S  B S  D S  Lời giải \1 Tập xác định D    x   x    x  1 Ta có y  x    x1  x   x  3  x1    x  1 1  x     x  2  Đạo hàm y   ; y    x  1  x    x     Bảng biến thiên: x –∞ y’ -3 -2 + – +∞ y – – –∞ +∞ + +∞ +∞ − -1 Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị tổng tất giá trị cực trị hàm số S      2 Đáp án C Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 35 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 24: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x –∞ –2 y' + – +∞ + +∞ y –∞   Hàm số y  f x  có điểm cực trị? A STUDY TIP B C Lời giải Để xét đổi dấu ta làm sau: Bước 1: Tìm giá trị  x  2 Từ bảng biến thiên ta có f   x     x  thỏa mãn Đặt g  x   f  x    f   không xác định Bước 2: Trên khoảng bất kì, chẳng hạn khoảng  g  x   ta lấy điểm cụ thể, tính xét dấu của , dấu dấu khoảng Bước 3: Ta xác định dấu  x  3  f    x  3  2     x3  f x  với x    x3    Ta có g    f     ; g    f     ; g      f     ; g   2    f     Ta có bảng biến thiên: x –∞ –1 g'(x) – +∞ – + + đổi dấu g(x) x qua - Nếu x3  x  3  x   2  L   x   4  x  1   Ta có g  x    f  x      x   x   x  khoảng lại dựa theo quy tắc: - Nếu nghiệm bội lẻ D nghiệm bội chẵn đổi dấu x qua không   Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x   f x  có điểm cực trị Đáp án C BON 25: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  x  12 x  m có điểm cực trị? A B C Lời giải Xét hàm số f  x   x  x  12 x  m Đạo hàm f   x   12 x  12 x  24 x  x  0; y    m  Ta có f   x    12 x x  x     x  1; y  1  m    x  2; y    m  32  36 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán  D Chinh phục toán VD – VDC Bảng biến thiên: STUDY TIP x Số điểm cực trị hàm số Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Trong –∞ –1 – f'(x) 0 + – +∞ + a số điểm cực trị +∞ b số nghiệm phương trình +∞ m f(x) (nghiệm chung tính lần) Dễ thấy, hàm số m–5 m – 32 có điểm cực trị Nên để hàm số có điểm cực trị phương trình phải có nghiệm phân biệt, hay đồ thị hàm số cắt đường thẳng Quan sát bảng biến thiên, ta thấy để hàm số y  3x  x  12 x  m có cực trị m    m   m  Do m  nên m  1; 2; 3; 4 Vậy có giá trị m thỏa mãn Đáp án D điểm phân biệt Quan sát bảng biến thiên, ta xác định giá trị m thỏa mãn BON 26: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ y bên Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ   thị hàm số y  f x  m có điểm cực trị A m  1 B m  1 C m  1 D m  -2 -1 O x Lời giải   Hàm số y  f x  m hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy   Mặt khác y  f x  m  f  x  m  x    Ta có phép biến đổi từ đồ thị hàm số y  f  x  thành đồ thị hàm số y  f x  m : * Nếu m  : - Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang trái m đơn vị - Bước 2: Xóa phần nằm bên trái Oy đồ thị thu Bước - Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu Bước qua Oy * Nếu m  : - Bước 1: Giữ nguyên phần nằm bên phải Oy đồ thị hàm số y  f  x  , xóa phần nằm bên trái Oy đồ thị hàm số y  f  x  - Bước 2: Lấy đối xứng phần nằm bên phải Oy đồ thị hàm số y  f  x  qua Oy y * Nếu m  : - Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải m đơn vị - Bước 2: Xóa phần nằm bên trái Oy đồ thị thu Bước 1 -3 -2 -1 O - Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu Bước qua Oy x Quan sát ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 37 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing   Để đồ thị hàm số y  x  m có điểm cực trị nhánh bên phải Oy đồ thị   hàm số y  x  m phải có điểm cực trị  Điểm cực trị  1;  đồ thị hàm số y  f  x  phải tịnh tiến sang phải Oy  m  1 Đáp án B BON 27: Cho f  x  hàm số có đạo hàm f   x  liên tục có bảng biến thiên f   x  sau: x –1 –2 –∞ +∞ –1 f’(x) +∞ –1 –3 –∞   Tìm số điểm cực tiểu hàm số g  x   f x  x A B C D Lời giải   g  x   f x3  x     Xét hàm số h  x   f x  3x  g  x   h x     h  x    x f   x     f   x    1 x h  x   3x f  x    x f  x  1   3 Đặt x3  t  x  t (1) trở thành: f   t   Khảo sát hàm số y  t2 t2 ta đồ thị: y y = f’(x) O a x -1 -3 Từ đồ thị  f   t   t có nghiệm t  a   x  a    có 1.2   cực trị  h  x  có điểm cực trị dương  h x Quan sát: h  x   x    nét uốn h  x  lên có dạng:   có hai điểm cực tiểu  g  x  h x Đáp án B 38 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán ...  ;  nên f  x    0, x   ;  12 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC STUDY TIP Để giải toán bên ta phải nhận xét Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm  f  x ...  1;  Khi đó, m1  m2 A 2b  2a 10 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B 2b  2a  C 2b  2a  D 2b  2a  Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải Từ đồ thị hàm số... 10 nghịch biến đoạn có độ dài lớn A m  | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B m  4 C m   15 D m  15 Chinh phục toán VD – VDC Lời giải STUDY TIP Hàm số bậc ba đơn điệu (nghịch biến đồng biến