Cô ngọc huyền LB chinh phục bài toán VD VDC lớp 12

CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 1: Hàm số y  x  x nghịch biến khoảng BON TIP Ở ta chọn STEP với C   ;  D  1;   Phân tích: Ta tìm nghiệm phương trình y  giá trị làm cho phương trình y  khơng xác định, từ tìm khoảng đồng biến, khoảng cần xét 0.1 khoảng nhỏ, ta cần xét tính đồng biến nghịch biến khoảng  1 B  ;   2 1  A  ;  2  y nghịch biến hàm số Lời giải Cách 1: Điều kiện: x   0;1  2 x  1 Ta có: y   x  x  ; y   x   0;1 2 xx 1  2 x  1 Ta có: y       x  hàm số nghịch biến  ;  2  x  x2   Hình 1.2 đồ thị hàm số y  x  x , ta thấy làm xác định Cách 2: Nhận thấy điều kiện x   0;1 , loại C D Ở B A, đầu mút khoảng cách 0,5 đơn vị, ta chọn STEP sử dụng TABLE máy tính Giải thích: O x Lệnh TABLE máy tính dùng để tính giá trị hàm số vài điểm Ta sử dụng chức tính giá trị hai hàm số f  x  g  x  , hàm f  x  qwR52 Bởi vậy, sử dụng TABLE việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng dễ dàng, ta cần xét xem giá trị hàm số tăng hay giảm x chạy khoảng thơi Thao tác: Ấn w7, nhập hàm số cần tính giá trị Ở chế độ mặc định w7được thiết lập mặc định dạng nhập hai hàm số f  x  g  x  , ấn qwR51để trở dạng nhập hàm số f  x  START? Nhập x đâu END? Nhập x kết thúc đâu STEP? Bước nhảy giá trị, tính từ điểm đầu mút Áp dụng vào toán ta được: Ấn w7, nhập f  x   X  X ấn = START? Nhập = END? Nhập = STEP? Nhập 0.1 = Sau nhập máy hình bên: Nhận thấy từ x chạy từ đến 0,  giá trị hàm số tăng, tức hàm  1 số đồng biến  0;  Còn với x chạy từ đến giá trị hàm số giảm,  2 1  tức hàm số nghịch biến  ;  2  Đáp án A ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 2: Cho hàm số y  x  x  Chọn khẳng định A Hàm số đồng biến khoảng  2;   2;   B Hàm số đồng biến khoảng   ; 2   0;  C Hàm số nghịch biến khoảng   ; 2   2;   D Hàm số nghịch biến khoảng  2;   2;   Phân tích BON TIP Với hàm số bậc bốn trùng phương có dạng - Hệ số a * Nếu Với số có dạng chữ W Với đồ thị hàm số có dạng chữ M (chỉ mẹo nhớ đồ thị) * Nếu thì: Với đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm lên Với 0; b a thì: đồ thị hàm đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm xuống x Hướng tư 1: Ta thấy hàm số y ta có hàm số y 2x2 có: nên áp dụng kết tốn tổng qt phía x 2x2 đồng biến  2;   2;   ; nghịch biến   ; 2   0;  x  Hướng tư 2: Xét phương trình y '   x  x    Như giới  x  2 thiệu cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a  0 nên ta xác định nhanh hàm số đồng biến  2;   2;   , hàm số nghịch biến   ; 2   0;  Hướng tư 3: Sử dụng lệnh TABLE Sử dụng lệnh TABLE với START -5 END 5, STEP ta xác định được: giá trị hàm số tăng x chạy từ 2 đến từ đến 5, giá trị hàm số giảm x chạy từ -5 đến -2 từ đến Do ta xác định hàm số đồng biến  2;   2;   Hàm số nghịch biến   ; 2   0;  Đáp án A BON 3: Cho hàm số y  x  x  x  a Tìm a để hàm số nghịch biến BON TIP Ở trước tiên, để hàm số ln nghịch biến hàm số phải xác định Do ta phải tìm điều kiện để thức ln xác định với số thực x A a  C a  B a  D a Lời giải Cách 1: Để hàm số xác định với x       4a   a  Với a  ngochuyenlb.edu.vn|  x2  x  a  , x  CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 Tính đạo hàm: y    the BEST or NOTHING 2x  x2  x  a Hàm số cho nghịch biến  y   0, x  Dấu xảy hữu hạn điểm Ta có y     BON TIP Đến nhiều độc giả chọn B, C sai, nên kết hợp điều kiện ban đầu, từ rút kết luận 2x  x2  x  a 0  2x  x2  x  a 1   x  x   Lúc này: x   x  x  a    1  a a    Kết hợp với điều kiện để hàm số xác định với số thực x ta thấy khơng có giá trị a thỏa mãn 1  0, a  Cách 2: Với x  y    a Vậy khơng có giá trị a để y  0, x  Kết Sau toán ta thấy, với toán hàm thức, hàm phân thức đề yêu cầu tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu , khoảng I đó, ta cần tìm điều kiện để hàm số ln xác định trên khoảng I Đáp án D BON 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số   y  sin x  3sin x  m sin x đồng biến khoảng  0;   2 3 A m  B m  C m  2 D m  Lời giải   Cách 1: Do hàm số t  sin x đồng biến  0;  nên đặt sin x  t ; t   0;1  2 BON TIP Nếu phương trình vơ nghiệm có nghiệm kép hàm số ln đồng biến Khi ta có hàm số y  f  t   2t  3t  mt ; y   6t  6t  m   Để hàm số cho đồng biến  0;  hàm số y  f  t  phải đồng biến  2  0; 1  phương trình y '  vơ nghiệm, có nghiệm kép (1) ; t  t   có hai nghiệm t1  t2 thỏa mãn  (2) 0   t1  t2 Trường hợp (1): phương trình y   vơ nghiệm có nghiệm kép       6m   m  ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING   m       m      t1 t2    t  t   1       Trường hợp (2): Thỏa mãn   (loại)     m      t1  1 t2  1   m         t1  t2          Ở ta loại trường hợp (2) xét tổng hai nghiệm khơng thỏa mãn Cách 2: Ở có hai trường hợp: vơ nghiệm, có nghiệm kép; hai  0; 1 nằm khoảng hai nghiệm 3 nên ta xét trước Do phương 2 án C có dấu  vậy, ta xét dấu trước, dấu thỏa mãn ta loại B D Nhận thấy phương án B, C, D có số y t O Hình 1.4  3 1 Với m  y   6t  6t    t     t  (phương trình y '  có 2 2  nghiệm kép, thỏa mãn) Đến ta loại ln B D Hình 1.4 đồ thị hàm số y  f  t  m  3  Tiếp theo ta cần xét đến A Ta thử m    ;   2  3 3 3  1 , nhận xét  6 (không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C Hình 1.5 đồ thị hàm số y  f  t  m  Vậy suy luận ta Với m  y   6t  6t    t  y Do y  6t  6t  m tam thức bậc hai có hệ số a  nên t O 1 Nếu   y dấu với hệ số a (mà a  ) nên hàm số đồng biến Nếu   phương trình y  có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 Khi đó, khoảng hai nghiệm y khác dấu với a ngồi khoảng hai nghiệm y dấu với a Nên để y  0, t   0;1  0;1 phải nằm ngồi khoảng hai nghiệm Nhận xét: Hình 1.5   Ở đầu lời giải cách 1, có rõ “Do hàm số y  sin x đồng biến  0;   2 nên đặt sin x  t ; t   0; 1 ” đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện hàm hợp Ở toán thay sin x cos x ; lúc này, đặt cos x  t tiếp tục giải kết đạt m  hoàn toàn sai 3  Thật vậy: Với m    ;   , hàm số y  2cos3 x  3cos2 x  2cos x nghịch biến      0;   2 Đáp án C ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 5: Cho hàm số y  x  3x    m  x   3m Tìm m cho đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho A m  0;  : 2mx  y  2m   B m  0;  : 2mx  y  2m   C m  0;  : y  202  200x D m  0;  : y  202  200x Lời giải Ta có y  x  x    m  , y  x  BON TIP Với dạng toán này, ta lưu ý trước tiên, ta cần tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu   32    m    m  Với m  ta thực hiện: Chuyển máy tính sang chế độ MODE 2:CMPLX Nhập vào máy tính biểu thức y  y y ta có 18 a  X  3X    M  X   M  3X  X    M   6X18 Ấn CALC Máy X? nhập i = Máy M? nhập 100 = Khi máy kết 202  200i Ta thấy 202  200i  2.100   2.100.i  y  2m   2mx Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho có dạng 2mx  y  2m   Ta rút kết luận cách làm dạng toán viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba sau: BON TIP Với bước cuối cùng, ta cần có kĩ khai triển đa thức sử dụng máy tính cầm tay Bước 1: Xác định y; y Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với số phức: MODE  2:CMPLX y  Nhập biểu thức y  y  18 a Chú ý: Nếu tốn khơng chứa tham số ta sử dụng biến X máy, nhiên tốn có thêm tham số, ta sử dụng biến máy để biểu thị cho tham số cho, sách ta quy ước biến M để dễ định hình Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC , gán X với i, gán M với 100 Lúc máy kết quả, từ tách hệ số i để đưa kết cuối Đáp án B ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 6: Xét hai hàm số f  x    x  x  hàm số g  x    x  x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số f  x  có hai điểm cực đại A  1;  B  1;  B Hàm số f  x  có điểm cực tiểu x  hàm số g  x  có giá trị cực đại y  C Hàm số f  x  có hai điểm cực tiểu điểm cực đại, hàm số g  x  có điểm cực đại D Hàm số f  x  hàm số g  x  có điểm cực tiểu x  Lời giải Từ toán xét biến thiên tổng quát hàm số bậc bốn trùng phương mà tơi giới thiệu phần trước ta có: b Hàm số f  x    x  x  có  2  nên phương trình f   x   có ba a  x   b   1 nghiệm phân biệt  x    2a   b 1 x   2a  Kết hợp với lý thuyết trang 28, f  x  có hệ số a  1  ta có nhanh bảng biến thiên: x f   x   f  x 1  0      * Từ ta loại C hàm số f  x  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu * Ta loại A hàm số f  x  có hai điểm cực đại x  1 x  Còn A  1;  BON TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng nếu: +) hàm số có điểm cực trị +) hàm số có ba điểm cực trị B  1;  hai điểm cực đại đồ thị hàm số, hàm số (xem lại ý (phần mở đầu chủ đề cực trị hàm số) phân biệt khái niệm) * Để loại hai phương án B D lại ta tiếp tục xét hàm số g  x  TXĐ: D  Ta có y    x  x; y    x  Bảng biến thiên: x f   x   f  x 0     Từ BBT ta loại D x  điểm cực đại hàm số g  x  Đáp án B ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 8: Đường cao tốc xây nối hai thành phố A B, hai thành phố muốn xây trạm thu phí trạm xăng đường cao tốc hình vẽ Để tiết kiệm chi phí lại, hai thành phố định tính tốn xem xây trạm thu phí vị trí để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc là 60 km 40 km khoảng cách hai trung tâm thành phố 120 km (được tính theo khoảng cách hình chiếu vng góc hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức PQ kí hiệu hình vẽ) Tìm vị trí trạm thu phí trạm xăng? Giả sử chiều rộng trạm thu phí khơng đáng kể A Trạm thu phí Trạm xăng B 60 P 40 Q 120 A 72 km kể từ P C 48 km kể từ P B 42 km kể từ Q D P Lời giải Thực chất toán trở thành tìm x để AC  BC nhỏ Theo định lí Pytago ta có A B 60 40 x P C Q AC  60  x ; BC  Thường toán thực tế, dùng Solve dị nghiệm nhanh Ta tìm hiểu phần sau  40  x  240 x  16000 Khi f  x   AC  BC  x  3600  x  240 x  16000 Ta cần tìm f  x   0;120  Ta có f   x   BON TIP 120  x  x x  3600  x  120 x  240 x  16000 , bấm máy tính nhẩm nghiệm cách nhập vào hình biểu thức f   x  ấn SHIFT SOLVE chọn số nằm khoảng  0; 120  để dò nghiệm, chẳng hạn nhập máy nhanh chóng nghiệm 72 sau: Vậy từ ta kết luận CP  72 km Đáp án A ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 9: Để hàm số y  x  mx  m có max y    2;1 giá trị tham số thực m A B C D Lời giải Đầu tiên ta gán giá trị phương án vào biến A, B, C, D lệnh STO sau: Ấn 0qJ(STO) A Tương tự với B, C, D Lúc ta kiểm tra hai phương án A, B ta nhập hàm f  x   X  6A.X  A g  x   X  6.BX  B2 hình bên Tiếp theo nhập Start? -2; End? Step? 0,2 Ta thấy giá trị hàm số hai trường hợp m sau: BON TIP Ở toán dạng ta thấy đề có phương án, nên ta cần thử lần có kết (loại)  x  2 Ở trường hợp m  hàm số đạt giá trị lớn  x  Ta thấy m  hàm số khơng đạt giá trị lớn Đáp án B BON 7: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g  x   Nếu khảo sát trực tiếp dùng miền giá trị dẫn đến tính tốn phức tạp Phương pháp đổi biến trường hợp hiệu Chú ý đổi biến ta cần tìm điều kiện biến lượt sin x  lần sin x  sin x  A max g  x   1; g  x   2 B max g  x   0; g  x   1 C max g  x   1; g  x   D max g  x   1; g  x   1 Lời giải  1 Ta có sin x  sin x    sin x     0, x  2  Tập xác định D  t 1 ; t   1; 1 Đặt t  sin x , t   1; 1 Lúc y  f  t   t t 1 f  t   t  2t t t 1  t  ; f t     t  2   1;1 ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING Bảng biến thiên BON TIP 1 x y Từ toán ta đưa ứng dụng sau: Xác định m để phương trình 0 + y  Dựa vào bảng biến thiên ta có Ta có: max g  x   max f  t    sin x   x  k ;  k  có nghiệm   1;1 g  x   f  t    sin x  1  x   1;1    k 2,  k   Đáp án C BON 10: Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  x  2 B x  3 C x  x  D x  2x   x2  x  x  5x  Lời giải x  Điều kiện xác định hàm số  x  BON TIP - Bước 1: Tìm nghiệm phương trình mẫu - Bước 2: Xem nghiệm có phải nghiệm tử số khơng (bằng cách thay thử trực tiếp) - Kết luận Ta có y   2x   x2  x  4x2  4x   x2  x   x  5x  x  5x  x   x  x  3x  5x   x   x  3  2x   x2  x  Đến ta có lim y  lim x3 y   x3   3x   x  3  2x   3x   x  3  2x    x2  x   x2  x     ; lim y   x3 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Phân tích sai lầm: Nhiều độc giả khơng thực rút gọn nhân tử x  dẫn đến chọn hai tiệm cận đứng x  2; x  sai O x Đây ứng dụng lý thuyết tiệm cận đứng đồ thị hàm số phía Một cách khác để nhanh chóng giải tốn sau: x  Giải phương trình x  5x     x  Đồ thị hàm số Thử xem x  2; x  có phải nghiệm đa thức tử số hay không, thử lại thấy x  không nghiệm (thỏa mãn) Đáp án D ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING MŨ LOGARIT CHỌN LỌC 1 BON 1: Cho hàm số y  log 2020   có đồ thị  C1  hàm số y  f  x  có đồ thị x   C  Biết C   C  đối xứng qua gốc tọa độ Hỏi hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng sau đây? A   ; 1 B  1;  D  1;   C  0;1 Lời giải 1 Ta có:  C1  : y  log 2020     log 2020 x x Gọi  C  đồ thị đối xứng  C1  qua trục Ox BON TIP   C  đồ thị hàm số y  log 2020 x + Đồ thị hàm số lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị hàm số Nhận thấy  C  đối xứng với  C  qua trục Oy   C  đồ thị hàm số y  log 2020   x  , hay f ( x)  log 2020   x  , với x  Do đó: g  x   f  x   log 2020   x   log 2020   x   + Đồ thị hàm số lấy đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm số   g  x    log 2020   x    1 2log 2020   x  2.log 2020   x    x.ln 2020    log 2020   x  x.ln 2020 log 2020   x    g  x   0, x  1 hay hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng   ; 1 Đáp án A BON 2: Cho a, b số thực hàm số: f  x   a log 2021    x   x  b sin x.cos  2020x      Biết f 2020 ln 2021  10 Tính P  f 2021ln 2020 C P  2 B P  A P  Lời giải Xét hàm số g  x   f  x    a log BON TIP + Cho hàm số xác định D gọi hàm số chẵn + Cho hàm số xác định D gọi hàm số lẻ Do 2021  D P  10  x   x  b sin x.cos  2020 x  x   x  x  x  nên hàm số g  x  có tập xác định D = Ta có: x  D  x  D  g   x   a log 2021    x   g   x   a log 2021 x   x  b sin x.cos  2020 x       x    b sin   x  cos 2020   x         g   x   a log 2021    b sin x.cos  2020 x    x 1  x  g   x   a log 2021   g  x   g  x  ngochuyenlb.edu.vn| 10  x   x  b sin x.cos  2020 x   CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING Vậy hàm số g  x  hàm số lẻ    Lại có: 2020 ln 2021  2021ln 2020  g 2020 ln 2021   g 2021ln 2020        f 2020ln 2021     f 2021ln 2020     ln 2020  10    f 2021   f 2021ln 2020     Đáp án B BON 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn eu  eu  e u  e u un1  un  với 18 18 1 n  Giá trị lớn n để log un  ln 2020 A 1421 B 1418 C 1420 D 1419 Lời giải BON TIP + Dãy Ta có cấp số cộng nếu: Ta có với , số d gọi cơng sai, có + Dãy cấp số nhân nếu: Ta có với , số q gọi công bội: un1  un  với n  nên un cấp số cộng có cơng sai d  eu18  eu18  e u1  e u1  e u18  e u1  e u1  e u18   Đặt t  eu18  e4u1  t   t  t0 Phương trình   trở thành t  t   25t  t Với t  ta có: e u18  e u1  u18  4u1  u1  51  4u1  u1  17 Vậy un  u1   n  1 d  17   n  1  3n  14 Ta có: log un  ln 2020  un  3ln 2020  3n  14  3ln 2020 3ln 2020  14  1421,53 Vậy giá trị lớn n 1421 n Đáp án A BON 4: Cho bất phương trình m.9 x x   m  1 x x  m4 x x  Tìm m để bất phương trình x  A m  m.9 x2  x  m 92 x x 42 x x 3 Đặt   2 C m  D m  Lời giải x2  x   m  1 x2  x B m    m  1  m4 62 x x 42 x x x2  x 0 2 x2  x   x  x  3    m  1    m   m   m0 2        t với x  Xét hàm số f  x   x  x ta có bảng biến thiên: ngochuyenlb.edu.vn| 11 CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 x –∞ 1/2 1/4 _ f'(x) BON TIP the BEST or NOTHING +∞ + + +∞ -1/8 phương trình cho +) Đặt +∞ f (x) Phương pháp: +) Chia vế bất  f  x   x  với 3 t   1 2 Khi bất phương trình trở thành mt   m  1 t  m  t  xác định khoảng    m t  2t   t  t   m  t  1  t  t  giá trị t +) Đưa bất phương trình dạng Khi t = ta có 1  ln t  g  t  t   m  g  t  Xét t   m  t 1 t     t  1  t.2  t  1  t   2t   t  1 g  t    t  1  t  1 Ta có +) Lập bảng biến thiên hàm số kết Bảng biến thiên: luận t g'(t) + _ _ +∞ −1 g (t) +∞ -1 –∞ –∞ Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f  t  ta có m  g  t   m  t 1 Đáp án C BON 5: Có giá trị nguyên tham số m   10;10  để bất phương  trình sau nghiệm x  :  A 10  x     m  B  C 12 x   m  1 x  ? D 11 Lời giải Chia vế bất phương trình cho 2x  ta được: BON TIP 3   Phương pháp: +) Chia vế bất phương trình cho +) Đặt +) Đưa bất phương trình dạng +) Lập bảng biến thiên hàm số luận kết  Nhận xét:   x x 3     m    m  1       x x 3     , ta đặt     x 3  t   t  0       t   Phương trình trở thành: t    m    m  1   t   m  1 t   m  t t t   t  t   m  t  1  m   f  t  t   m  f  t   0;   t 1   x ngochuyenlb.edu.vn| 12 CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD-VDC LỚP 12 Xét hàm số f  t   f  t   t2  t   t   ta có: t 1  2t  1 t  1  t  t   t  1 the BEST or NOTHING  t  2t   t  1 t  0 t  3 Bảng biến thiên: t _ f'(t) f (t) +∞ + +∞ Từ bảng biến thiên  m  m   có 12 giá trị m thỏa mãn yêu Kết hợp điều kiện đề   m   10;1 cầu toán Đáp án C ngochuyenlb.edu.vn| 13 ... ; f t     t  2   1;1 ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD- VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING Bảng biến thiên BON TIP 1 x y Từ toán ta đưa ứng dụng sau: Xác định m để phương... t  1  m   f  t  t   m  f  t   0;   t 1   x ngochuyenlb.edu.vn| 12 CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD- VDC LỚP 12 Xét hàm số f  t   f  t   t2  t   t   ta có: t 1  2t  1... với 100 Lúc máy kết quả, từ tách hệ số i để đưa kết cuối Đáp án B ngochuyenlb.edu.vn| CHINH PHỤC BÀI TOÁN VD- VDC LỚP 12 the BEST or NOTHING BON 6: Xét hai hàm số f  x    x  x  hàm số g 