Cô ngọc huyền LB trích đoạn CP toán VD VDC demo

Ngọc Huyền LB The Best or Nothing VI HÀM TỔNG – HÀM HỢP Câu 1: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt y O -3 x -2 g  x   f  x   x2  x  2018 Mệnh đề đúng? A Hàm số g  x  đồng biến khoảng 1;  B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;0  C Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  -4 D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  0;  Lời giải Với toán dạng này, ta nên lập bảng biến thiên để dễ quan sát y O -3 x -2 Đạo hàm g  x   f   x   x  1; g  x    f   x   x  (nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f   x  với đường thẳng y  x  ) ∆ -4 (C)  x  3 điểm  3;2  , 1; 2  , 3; 4  Suy g  x    f   x   x    x  Bảng biến thiên: STUDY TIP Ta thấy Vẽ đường thẳng y  x  hình vẽ bên Ta thấy đường thẳng qua –∞ x g’(x) đồ thị + nằm phía đường thẳng _ _ + g(-3) tức g(3) g(x) nên g(1) đồ thị nằm phía đường thẳng +∞ -3 Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x  đồng biến khoảng  ; 3 1; 3 ; hàm số g  x nghịch biến khoảng  3;1  3;  Đáp án A tức nên Câu 2: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: x f'(x) –∞ – + + +∞ – 0 + Hàm số y  f  x    x3  3x đồng biến khoảng đây? A 1;   B  ; 1 C  1;0  D  0;  Lời giải Đặt g  x   f  x    x3  3x    g  x   f   x    x    f   x     x    1  x    1  x    Từ bảng xét dấu f   x  ta có f   x       x    0  x   x    x  108 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC f   x     x 1;0;1; 2 ;  x2   x  1 STUDY TIP Để xét Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm dấu   Do ta có bảng xét dấu f   x   ,  x g  x  sau: ta + Nếu : + Nếu mang dấu âm (+) mang dấu dương (+) + Nếu hai thành phần có thành phần mang dấu âm (–) thành phần lại mang dấu dương (+) – 1–x – + g'(x) – + 0 + + +∞ – + – – ? Từ bảng xét dấu trên, ta thấy hàm số g  x  đồng biến  1;1 hàm số đồng biến khoảng  1;0  Đáp án C Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  sau –∞ x chưa xác định dấu, ta kí hiệu dấu (?) bảng bên –1 f'(x+2) mang dấu âm (–) mang dấu dương (–) –∞ x xét dấu thành phần –1 + f'(x) Hàm số y  f   x   e x A  2;1 –  x2  x 1 + +∞ + – nghịch biến khoảng sau đây? D  ; 2  C  0;  B  2;   Lời giải Đặt g  x   f   x   e x   x  x 1   g  x   3 f    x   3x  x  e x     f    x   x2  2x  e x  Do e x  x2  x 1  x2  x 1  x2  x 1     0, x   nên x2  2x  e x  x2  x 1   dấu với x2  2x  Vậy nên để xét dấu g  x  ta cần xét dấu hai thành phần  f    x  x   2x    x  1 x    Từ bảng xét dấu f   x  ta có f    x    1   x   0  x  ;    x   3  x  x  f    x    x 3;0;1; 3 x2  x      x  3   –3 Bảng xét dấu  f    x  , x2  x  g  x  : x –∞ –f'(2–x) + x2+2x–3 + – g'(x) + – – – +∞ + – + + ? Suy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  3;1 hàm số nghịch biến khoảng  2;1 Đáp án A Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 109 Ngọc Huyền LB Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm hàm số y  f   x  có đồ thị hình y vẽ bên Xét hàm số g  x   f  x   x  x  , mệnh đề đúng? -1 The Best or Nothing O A g  x   g  1 B g  x   g  1 C g  x   g   D g  x     1;2  x   1;2    1;2  g  1  g     1;2 -3 Lời giải Để giải toán này, ta lập bảng biến thiên hàm số g  x  đoạn  1; 2 xác định giá trị nhỏ y Ta có g  x   f   x   4x    f   x    2x  1 ; g  x    f   x   2x  nên -1 nghiệm phương trình g  x   hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số O x Trên đồ thị, vẽ đường thẳng y  x  hình vẽ bên, nhận xét thấy đường thẳng qua điểm  1; 3  , 1;1  2;  (đây điểm mà đồ -3 thị hàm số y  f   x  qua) STUDY TIP Quan sát hình vẽ trên, ta thấy y  f   x  đường thẳng y  x  đồ thị nằm bên đường thẳng  x  1  Như g  x    f   x   x    x   x  Bảng biến thiên: -1 x nên _ g'(x) hay + mang dấu âm (–) Trên đồ thị hàm số bên đường dấu dương (+) g(1) nằm thẳng Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x  giá trị mang g 1  f 1  nên hay g (x) Ta có bảng biến thiên bên Đáp án B Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  y hình vẽ bên Xét hàm số 3 g  x   f  x   x3  x2  x  2018 Mệnh đề đúng? A g  x   g  1   3;1 C g  x   g  3    3;1 110 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán O -2   3;1   3;1 -1 -3 B g  x   g  1 D g  x   g  3   g 1 x Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải -1 y Xét hàm số y  g  x  đoạn 3;1 3 3 Ta có g  x   f   x   x2  x  ; g  x    f   x   x  x  ; nghiệm 2 2 phương trình g  x  hồnh độ giao điểm đồ thị y  f   x  đường x O -3 -2 3 parabol  P  có phương trình y  x2  x  2 Trên đồ thị, vẽ parabol  P  nhận thấy  P  qua điểm  3; 3 ,  1; 2  1;1 (đây điểm mà đồ thị y  f   x qua) STUDY TIP Ta xét dấu Trên đồ thị hàm số nằm bên parabol  x  3  Suy g  x     x  1  x  Bảng biến thiên hàm số g  x  3;1 : x nên mang dấu âm; -3 _ g'(x) đồ thị hàm số nằm bên parabol nên -1 g (x) + g(-1) mang dấu dương Vậy g  x   g  1   3;1 Đáp án A Câu 6: Cho hàm số y  f  x  y  g  x  hai hàm liên tục y b a O B A c y = f’(x) x C y = g’(x) có đồ thị hàm số y  f   x  y  g  x  hình vẽ bên Gọi ba giao điểm A, B, C hai đồ thị y  f   x  y  g  x  hình vẽ có hồnh độ a, b, c Tìm giá trị nhỏ hàm số h  x   g  x   f  x  đoạn a; c  A h  x   h   B h  x   h  a  C h  x   h  b  D h  x   h  c   a ; c   a ; c   a ; c   a ; c  Lời giải STUDY TIP Trên ta thấy đồ thị nằm bên đồ thị nên Trên thị đồ x  a  Ta có h  x   g  x   f   x  ; h  x     x  b  x  c Bảng biến thiên: x đồ h(a) nên c + h(c) h Ta có bảng biến thiên bên b _ h' nằm bên thị a h(b) Vậy h  x   h  b   a ; c  Đáp án C Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 111 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục ℝ đồ thị hàm số y  f   x  y hình vẽ bên Đặt g  x   f  x   y  g  x  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt -2 x O Lời giải y Ta có g  x   f   x   x; g  x    f   x   x ; nghiệm phương trình g  x   hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  f   x  với đường thẳng y  x -2 O x -2 Nhận thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số y  f   x  điểm  x  2  Suy g  x     x   x  Quan sát hình vẽ trên, ta thấy Trên đồ thị ta vẽ đường thẳng y  x hình vẽ bên  2; 2 , 0;0  1;1 STUDY TIP Bảng biến thiên: –∞ x đồ thị hàm số g 0   D  g  2     g 1  g 0    g 0  C  B  g  1  g  2       g  1 g  2    g 0  A    g  2   -2 nằm x2 Điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số đường y' thẳng – nên hàm số Từ ta lập bảng biến thiên hàm số bên − + +∞ g(0) g(–2) nằm bên nên + +∞ y đồ thị đường thẳng +∞ Trên –2 g(1) Từ bảng biến thiên trên, ta thấy để đồ thị hàm số y  g  x  cắt trục hoành  g  2    g      điểm phân biệt điều kiện cần đủ  g 1    g 1     g     g 1 g  2   Đáp án B Câu 8: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: x –∞ –3 +∞ +∞ f'(x) –3 –∞ Bất phương trình f  x   e x  m với x  1;1 A m  f 1  e B m  f  1  e C m  f  1  e D m  f 1  e 112 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải Ta có: f  x   e  m, x   1;1  m  f  x   e x , x   1;1  *  x Xét hàm số g  x   f  x   e x khoảng  1;1 Ta có: g  x   f   x   e x Ta thấy f   x   0, x   3;1  f   x   0, x   1;1 Lại có e x  0, x STUDY TIP Thông thường toán dạng này, sau lập tham số hàm Suy g  x   f   x   e x  0, x   1;1 Bảng biến thiên: đơn điệu (chỉ đồng biến nghịch biến) khoảng xét mà giả thiết yêu cầu –1 x g’(x) – g (–1) g (x) g (1) Từ bảng biến thiên ta có m  g  x  , x   1;1  m  g  1  m  f  1  e Đáp án C Câu 9: Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ dưới: y -2 O π x -1 Bất phương trình f  x   sin x  m nghiệm với x  1; 3 A m  f   B m  f 1  C m  f  1  D m  f   Lời giải x x  m, x   1; 3  m  f  x   sin , x   1; 3 2 x  x  g  x   f   x   cos Xét hàm số g  x   f  x   sin 2 Cách 1: Ta có f  x   sin STUDY TIP Do nên ta khó giải phương trình để lập bảng biến thiên đoạn Nhận thấy đối dấu qua gợi ý cho ta xét dấu hàm khoảng * Với x   1;1 f   x      x  x x      cos     cos   2 2    x  0, x   1;1 Khi đó g  x   f   x   cos 2   * Với x  g 1  f  1  cos  f  1  2 * Với x  1; 3 f   x     x 3 x x     1  cos     cos   2 2    x  0, x  1;  Khi đó g  x   f   x   cos 2 Ta có bảng biến thiên hàm số g  x  đây: Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 113 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing –1 x _ g'(x) + f(3) + f(–1) + g (x) f(1) – Từ bảng biến thiên ta có m  g  x  , x   1;   m  g  x  1;3  m  g 1  f 1  Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên đây: x –1 _ f'(x) + f (x) f(1) Từ bảng biến thiên suy f  x   f 1 , x  1; 3 dấu “=” xảy STUDY TIP Mấu chốt quan trọng tốn tìm Ta tìm đơn giản cách xét cách bên x   x 3 x x Lại có với x  1; 3     1  sin    sin  1 dấu 2 2 “=” xảy x  Suy g  x   f  x   sin x  f 1  dấu “=” xảy x  Vậy g  x   f 1  m  g  x  , x   1;   m  g  x   f  1    1;3   1;3  Đáp án B Câu 10: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn 1; 3 có đồ thị hình vẽ y bên Bất phương trình f  x   x    x  m có nghiệm thuộc 1; 3 -1 O x A m  B m  C m  2  D m  2  Lời giải -2 * Xét hàm số g  x   x    x xác định liên tục đoạn 1; 3 Ta có: g  x   x1  7x , x   1;  ; g  x    x    x  x  Tính g  1  2; g    nên max g  x   g    hay g  x   4, x  1; 3   1;3 * Từ đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ ta thấy max f  x   f      1;3  Tức f  x   3, x  1; 3 * Đặt h  x   f  x   x    x  f  x   g  x   h  x     7, x  1; 3 Dấu “=” xảy x  114 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Để bất phương trình m  h  x  có nghiệm thuộc  1;   m  max h  x    1;3 STUDY TIP Chú ý toán “có nghiệm”, khơng phải tốn “với mọi” Vậy m  Đáp án A Câu 11: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ y O -1 x Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình f  x   m  mf  x   đoạn 1; 4 ? f  x A B C D Vô số Lời giải Từ đồ thị ta có với x  1; 4  f  x   Điều kiện mf  x   m  Bất phương trình cho tương đương với: f  x        m  m f  x f x     0  f  x  f  x    m f  x  5    f  x     f  x     f  x    f  x   f  x    f  x  m   f  x m  f x STUDY TIP Cách nhanh để xét dấu với ta sử dụng chức TABLE máy tính, nhập vào hàm số chọn Start = 1, End = Step = 1/19 Quan sát bảng giá trị thu ta thấy ln dương có dấu hiệu tăng dần đoạn f  x  ,  f  x   nên t  1; 2 Bất phương trình trở thành:  t2  t    t  m  m  t 5t   t  *      Bài tốn lúc trở thành: “Tìm giá trị nguyên dương m để bất phương trình Đặt t    m t   5t   t với t  1;  ” Xét hàm số g  t   t  Ta có g  t   5t   2  5t   t  t 5t   t 1; 2 10t 5t  5t  4  3t 10t 5t  4    3t  10  t  0, t  1;   Hàm số g  t  đồng biến 1; 2  Vậy để m  g  t  , t  1; 2  m  max g t   m  g    2 21    m  21   1;2   26,68 Vậy có vơ số giá trị ngun dương tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Đáp án D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 115 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Câu 12: Cho hàm số f  x   x3  12x2  ax  b đồng biến     f f f    f f f f   A 31 , thỏa mãn    Tìm f 7  B 32 C 33 D 34 Lời giải  * Giả sử f  3  Vì f  x  hàm bậc ba đồng biến    Suy f f f    f f    f    Mâu thuẫn với giả thiết STUDY TIP Cho    nên f f  3  f  3 hàm số đồng biến (chặn) Nếu suy * Tương tự ta thấy f    xảy * Vậy f    (1) * Tương tự ta có f    (2) 3a  b  84 a  48 * Từ (1) (2) ta có   4a  b  132 b  60 Khi đó f  x   x3  12x2  48x  60 có f   x   3x2  24x  48  x  Do đó f    31 Đáp án A Câu 13: Cho hàm số bậc ba f  x  g  x    f  mx  n  m, n y f (x) g(x) hình vẽ bên Biết hàm số g  x  nghịch biến khoảng có độ dài lớn Giá trị biểu thức 3m  2n O –1  có đồ thị x B  A –5 13 C 16 D Lời giải * Giả sử hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d,  a    f   x   3ax2  2bx  c Đồ thị hàm số qua hai điểm  2; 3 ,  0; 1 nhận hai điểm làm hai điểm cực trị nên ta có hệ sau: STUDY TIP Để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn k hàm số biến khoảng nghịch  f 2  8 a  4b  2c  d  a  1     f    1 d  1 b     f  x    x  3x     12 a  b  c  c   f       f 0 c  d  1    Suy g     f  n  n3  3n2  Mà từ đồ thị ta có g    1 n   n3  3n2   1  n3  3n2     n  1 n2  2n     n    Do n  nên n  * Hàm số g  x    f  mx  n nghịch biến khoảng có độ dài lớn  Hàm số h  x   g  x   f  mx  n đồng biến khoảng có độ dài lớn 116 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;  nên hàm số MEMORIZE * Nếu hàm số liên tục đồng biến (hay nghịch biến) khoảng hàm số đồng biến (hay nghịch biến) khoảng Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm  n  n  ; h  x   g  mx  n đồng biến khoảng   với m  m m  Yêu cầu toán   n n 2  5   m  m  m m m 16 Vậy 3m  2n   2.1  5 Đáp án C * Nếu hàm số liên tục đồng biến (hay nghịch biến) khoảng hàm số  x  10 Câu 14: Cho hàm số y  f  x     f f  x  11   x  2018 Tính giá trị f 1  f  2018  A 1999 B 2009 C 4018 nghịch biến (đồng biến) khoảng x  2018 D 4036 Lời giải     Ta có: f  2018   f f  2018  11  f f  2029   f  2029  10   f  2019   2019  10  2009 Tương tự ta có:   f  2016   f  f  2027    f  2017   2009; f  2017   f f  2028   f  2018   2009;   f  2008   f  f  2019    f  2009   2009; f  2007   f  f  2018    f  2009   2009; f  2006   f  f  2017    f  2009   2009; f  2009   f f  2020   f  2010   2009;   f  1  f f  12   2009 Khi đó suy f  2018   f  2017    f 1  2009 Vậy f 1  f  2018   4018 Đáp án C Câu 15: Cho f  x  hàm số có đạo hàm liên tục y  hàm số  g  x   f x2  3x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f  x  1 nghịch biến khoảng sau đây?   A   ;  B  2; 3   -3 -2 -1 O C  0;1 D  3;   Lời giải x   Đạo hàm: g  x    2x   f  x2  3x   3 2x   x  g  x       f  x  3x    f  x  3x       Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 117 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Đặt u  x2  3x  u   3    3     x  3   u  1 x  2 u  1  f   u      x  1 u  u  1  u   x  Bảng xét dấu f   u  : u –∞ + f'(u) +∞ –1 – +  Ta có:  f  x  1   f   x  1 f   x  1   1  x     x  Vậy hàm số y  f  x  1 nghịch biến  0;  Đáp án C Câu 16: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d  a   Hàm số y  f   x  có đồ y y = f’(x) a b thị hình vẽ bên Gọi S   ;  (với a, b số nguyên) tập tất cả  16 16  giá trị tham số m để hàm số    g  x   f x3  x  m  x3  x  m O x     x  x  mx  x  mx  m  2020  1 nghịch biến khoảng   ;  Khi đó a  b  2 A 32 B C 16 D Lời giải +) Xét:      g  x    3x  1 f   x  x  m    3x  1 x  g  x   f x  x  m  x  x  m  x6  x  2mx  x  2mx  m2  2020 3 xm   36 x  48 x  36 mx  12 x  12 m         12 m  3x  1   12 x     x  1  f   x  x  m    x  x  m    x  x  m      3x  f  x  x  m  3x  x  x  m 2 3        f   x  x  m    x 3   12 x 3x     +) Cho g  x    3x   f  x  x  m  x  x  m   3x     f  x3  x  m  x3  x  m       x  x  m  x  m    x  x  m  1 2 3  1   5 +) Đặt t  x3  x  m có t  3t   x   ;   t   m  ; m   8  2  Suy phương trình (1) trở thành f  t   t  4t   118 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán    x3  x  m    *   Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm +) Số điểm cực trị hàm g  x  số nghiệm bội lẻ phương trình (1) Từ phương trình (2) ta chuyển tương giao hàm f   t  đường y parabol y  t  4t Sau vẽ hai hàm f   t  hàm y  t  4t hệ trục tọa độ ta y = f’(x) O x y = –t2 + 4t t  thấy được: (2)   t  Yêu cầu nghịch biến  f   t   t  4t   t   1 Từ (*), để hàm số g  x  nghịch biến   ;   2   5 m   m  11 10 22   m  m  8 16 16 m   m  11   8 Suy a  10; b  22  a  b  10  22  32 Đáp án A Câu 17: Cho hàm số f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  y hình vẽ bên Đặt g  x   f  x   x Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g 1 O -3 B g 1  g  3  g  3 C g  3  g  3  g 1 x -3 D g 1  g  3  g  3 Lời giải Ta có: g  x   f   x   2x  x  3  g  x    f   x    x   x   x  Bảng biến thiên: y S1 -3 O x S2 –∞ g’(x) x y = -x –3 + _ + +∞ _ g(x) -3 –∞ –∞  g  3  g 1 ; g  3  g 1 1 3 3 1 Ta có: 2S1   f   x   x dx    g  x  dx  g  3  g 1 2S2  2 f   x   x dx   g  x  dx  g  3  g 1 Vì S1  S2  g  3  g 1  g  3  g 1  g  3  g  3 Vậy g  3  g  3  g 1 Đáp án D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 119 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing VII BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Câu 1: Hàm số y  f  x  liên tục hàm số y  f   x  , biết đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x  3 A C y O B x2 x x1 –1 D Lời giải Đặt g  x   f  x  3 g  x    x   f   x    f   x   Suy đồ thị hàm số STUDY TIP Vậy ta có kết luận sau: Với số thực a dương số điểm cực trị hàm số y  g  x   f   x  3 thu sau tịnh tiến đồ thị hàm số y  f   x  qua trái đơn vị theo phương Ox (hình vẽ dưới) y hàm số g’(x) số điểm cực trị hàm số ; –3 tức số điểm cực trị hàm x x2 – x1 – số O –2 –1 Tuy nhiên, hàm số lại đạt cực trị điểm khác Quan sát đồ thị hàm số y  g  x  hình vẽ trên, ta thấy đồ thị cắt trục Ox điểm có hồnh độ x  x1  3; x  3; x  x2  Ta thấy y  g  x  đổi dấu hai lần qua điểm x  x1  x  x2  (đồ thị cắt xuyên qua trục hoành) Suy hàm số y  f  x  3 có hai điểm cực trị x  x1  ; x  x2  Đáp án B Câu 2: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục Biết f  x  có đạo hàm f   x  hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Đặt g  x   f  x  1 Kết y luận sau đúng? A Hàm số g  x  có hai điểm cực trị O x B Hàm số g  x  đồng biến khoảng 1;  C Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  2;  D Hàm số g  x  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải Cách 1: Quan sát đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ, ta có kết luận sau: x  1  x  x   * f   x     x  f   x     f   x     x5 3x5    x  * Xét bảng biến thiên: 120 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC x –∞ f’(x) Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm – + – +∞ + f(3) f(x) STUDY TIP f(1) f(5) Nếu hàm số đạt Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  có điểm cực trị, có cực trị điểm hai điểm cực tiểu x  1, x  điểm cực đại x  hàm số đạt Từ kết luận ta có: cực trị điểm hàm số đạt cực trị điểm hai hàm số đạt cực trị điểm x   x  1  x   0  x    * f   x  1    x     x  f   x  1     x   x   x    x  x   x  f   x  1     3  x   2  x  Suy hàm số g  x   f  x  1 đồng biến khoảng  0;   4;  ; hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ;0   2;  Phương án B sai, C * Hàm số g  x   f  x  1 có điểm cực trị, có điểm cực tiểu x  0, x  điểm cực đại x  Phương án A D sai Cách 2: Sử dụng phép tịnh tiến đồ thị Ta có g  x   f   x  1 nên đồ thị hàm số y  g  x  thu sau tịnh tiến đồ thị hàm số y  f   x  sang trái đơn vị theo phương Ox y Ta có đồ thị hàm số y  g  x  hình vẽ bên Quan sát đồ thị hàm số ta y = g’(x) thấy: O x x  0  x  x   * g  x     x  g  x     g  x     x  2  x   x  Suy hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;   4;  ; hàm số nghịch biến khoảng  ;0   2;  Phương án B sai, C * Bảng biến thiên: x –∞ g’(x) – + – +∞ + g(2) g(x) g(0) g(4) Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số y  g  x  có điểm cực trị, có hai điểm cực tiểu x  0, x  điểm cực đại x  Phương án A D sai Đáp án C Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 121 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Câu 3: Hàm số y  f  x   y số y  x2 x 1 x2 có đồ thị  C  hình vẽ bên Biết đồ thị hàm x 1 hình đây, hình nào? O y y x 1 1 O O x x A B y y O 1 x O C x D Lời giải STUDY TIP Từ đồ thị x  x  2  x  1   x 1 Ta có y   x 1  x   x  2   x 1 x2 hàm số muốn Vẽ đường thẳng x  2 (vẽ nét đứt) biến đổi thành đồ thị y Bước 1: Giữ lại phần đồ thị  C  nằm bên phải làm sau: Trên đồ thị, vẽ đường đường thẳng x  2 , bỏ phần đồ thị  C  nằm bên O thẳng trái đường thẳng x  2 (phần bỏ biểu diễn ta nét đứt Bỏ nhánh đồ thị x nét đứt hình vẽ) nằm bên trái đường Bước 2: Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị  C  nằm thẳng Lấy đối xứng phần vừa bỏ qua trục Ox (phần nằm bên trái đường bên trái đường thẳng x  2 (phần vừa bỏ đi) thẳng y ) Hợp hai phần đồ thị trên, ta đồ thị hàm số y Hợp hai phần đồ thị trên, ta đồ thị hàm số x2 x 1 O x Đáp án C Ghi nhớ nhanh: Phải giữ nguyên, trái lấy Tổng quát: đối xứng qua Ox Từ đồ thị C  hàm số y  P  x  Q  x  , muốn vẽ đồ thị  C   hàm số y  P  x  Q  x  , ta thực bước sau:   P  x  Q  x  P  x   Viết lại y  P  x  Q  x  ,     P  x  Q  x  P  x   122 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Dựa vào việc xét dấu P  x  , ta xác định hai miền (của biến x): miền D1 làm cho P  x   0, miền D2 làm cho P  x   Vẽ đồ thị C  hàm số y  P  x  Q  x  , ta giữ nguyên phần đồ thị C  miền D1 bỏ phần đồ thị C  miền D2 (phần bỏ nên biểu diễn nét đứt để dễ dàng quan sát thực bước tiếp theo) Ta đồ thị C1  Trên miền D2 , lấy đối xứng phần vừa bỏ (đường nét đứt) qua trục hoành Ox, ta đồ thị C2  Hợp hai phần đồ thị C1  C2  đồ thị  C   cần xác định Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ: x −∞ +∞ +∞ 2018 f(x) –2018 −∞ Hỏi phương trình f  x  2017   2018  2019 có nghiệm? A B C D Lời giải Bước 1: Vẽ bảng biến thiên hàm số g  x   f  x  2017   2018 : Đồ thị hàm số g  x  thu cách thực liên tiếp hai phép tịnh tiến: STUDY TIP * Qua phép sang trái a đơn vị theo phương Ox điểm biến thành điểm Nếu tịnh tiến sang phải a đơn vị theo phương Ox điểm M biến thành điểm * Qua phép tịnh tiến lên b đơn vị tịnh tiến đồ thị hàm số f  x  qua trái 2017 đơn vị theo phương Ox, sau tịnh tiến tiếp xuống 2018 đơn vị theo phương Oy Qua phép tịnh tiến trên, điểm  0; 2018  biến thành điểm  2017; 4036  ; điểm 1; 2018  biến thành điểm  2016;0  , cịn hình dáng đồ thị khơng thay đổi Ta có bảng biến thiên hàm số g  x   f  x  2017   2018 đây: x Nếu tịnh –2017 +∞ theo phương Oy điểm M biến thành điểm −∞ –2016 +∞ g(x) –4036 −∞ tiến xuống b đơn vị điểm M biến thành Bước 2: Vẽ bảng biến thiên hàm số y  g  x   f  x  2017   2018 : điểm Trên bảng biến thiên, xác định trục hồnh Ox : y  Sau đó, bỏ hoàn toàn phần đồ thị g  x  nằm bên trục Ox (phần bỏ vẽ đường nét đứt), giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trục Ox Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 123 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing x −∞ +∞ –2016 –2017 +∞ y=0 –4036 −∞ Qua trục hoành Ox, lấy đối xứng phần vừa bị bỏ Ta bảng biến thiên hàm số y  g  x   f  x  2017   2018 (phần nét liền hình vẽ đây) −∞ x +∞ –2016 –2017 +∞ +∞ 4036 y=0 –4036 −∞ Bước 3: Số nghiệm phương trình f  x  2017   2018  2019 số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x   f  x  2017   2018 với đường thẳng y  2019 Quan sát bảng biến thiên, ta thấy  2019  4036 nên đường thẳng y  2019 cắt đồ thị hàm số y  g  x  điểm phân biệt Vậy phương trình f  x  2017   2018  2019 có nghiệm Đáp án C Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ y O –2 x –1   Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y  f x  m có điểm cực trị A m  2 C m  2 D m  Lời giải STUDY TIP Số điểm cực trị hàm số B m  với n số điểm cực trị dương hàm số Xét hàm số y  f  x  m   Đồ thị y  f x  m nhận từ đồ thị y  f  x  m cách: - Giữ nguyên phần đồ thị y  f  x  m nằm bên phải trục tung - Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục tung, bỏ phần đồ thị y  f  x  m nằm bên trái trục tung 124 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm   Khi đó, số điểm cực trị hàm số y  f x  m 2n  1, với n số điểm cực trị dương hàm số y  f  x  m Yêu cầu toán  Hàm số y  f  x  m có điểm cực trị dương Đạo hàm: y  f   x  m  x  m  2  x  m  y   f   x  m      x  m   x  m m   m  2 Rút    m  2 m  m  Đáp án C Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên y   m để phương trình f x   m2 có hai nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải   Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f x từ đồ thị hàm số y  f  x  O   y  f  x  nằm bên phải trục Oy (phần nằm bên trái bị bỏ Đồ thị hàm số y  f x gồm hai phần: x – Phần đồ thị biểu diễn đường nét đứt) – Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại   Ta đồ thị hàm số y  f x (đường nét liền): STUDY TIP Nếu hàm số y có đồ thị nằm hồn tồn phía trục Ox đồ thị hàm số đồ thị hàm số O   Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số y  f x x   từ đồ thị hàm số y  f x   Ta thấy đồ thị hàm số y  f x nằm hoàn tồn phía trục hồnh nên   đồ thị hàm số y  f x   Bước 3: Để phương trình f x   m2 có hai nghiệm phân biệt   số y  f x  Đồ thị hàm cắt đường thẳng y   m2 hai điểm phân biệt Quan sát bảng biến thiên ta được:   m2   m2     2 0   m    m  Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 125 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 2  m  2  m     3  m       m3   m   3  m   m      Vậy giá trị nguyên m thỏa mãn m1;0;1 Vậy có giá trị Đáp án D Câu 7: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d,  a, b, c , d  ; a   có bảng biến thiên đây: x –∞ y’ + +∞ – + +∞ y –∞ Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  x3  A  m   x4 B  m  C  m  D  m  Lời giải Bước 1: Vẽ bảng biến thiên hàm số y  f  x  : Trên bảng biến thiên xác định trục hồnh Ox (đường thẳng y  ) Sau bỏ toàn phần đồ thị f  x  nằm bên trục Ox (phần bỏ vẽ đường nét đứt hình vẽ đây), cịn phần đồ thị f  x  nằm phía trục Ox giữ nguyên x –∞ y’ + – +∞ + +∞ y y=0 –∞ Qua trục Ox, lấy đối xứng phần đồ thị f  x  vừa bị bỏ Ta bảng biến STUDY TIP thiên hàm số y  f  x  đây: Hàm số cho có dạng bậc ba đồ thị hàm số có hai x điểm cực trị y’ + – +∞ + +∞ y Vậy –∞ 126 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán +∞ Vì đồ thị hàm số có điểm uốn U trung điểm AB, tức –∞ y=0 Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm 1 Bước 2: Ta thấy f    2 Để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  x3   x4  Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1  x2  x3  x  x4 –∞ y’ + +∞ – + +∞ +∞ y 0 Quan sát bảng biến thiên ta  m  Đáp án A y Câu 8: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  tham số m để phương trình O 3x  3x  Tìm tất giá trị thực x 1  m có hai nghiệm thực dương? x 1 A 2  m  B m  3 C  m  D m  Lời giải x 3x  Số nghiệm phương trình số y  3x  x 1 x 1  m số giao điểm đồ thị hàm đường thẳng y  m  3x  2 x    x 1 nên đồ thị C có cách:  Ta có y    x   3x   x    x 1 3x  2 3x  ứng với phần x  x 1 3x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị y  ứng với phần x  x 1 y + Giữ nguyên phần đồ thị y  O -2 Hợp hai phần đồ thị C  (quan sát hình vẽ bên) x Từ đồ thị, để phương trình chỉ đồ thị hàm số y  3x  x 1 3x  x 1 có hồnh độ dương  2  m   m có hai nghiệm dương phân biệt cắt đường thẳng y  m hai điểm phân biệt Đáp án A Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 127 ... đồ Toán O -2   3;1   3;1 -1 -3 B g  x   g  1 D g  x   g  3   g 1 x Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải -1 y Xét hàm số y  g  x  đoạn. .. Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm   Khi đó, số điểm cực trị hàm số y  f x  m 2n  1, với n số điểm cực trị dương hàm số y  f  x  m Yêu cầu toán ...  h  x     7, x  1; 3 Dấu “=” xảy x  114 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Để bất phương trình m  h  x  có nghiệm thuộc