Chinh phục VD VDC toán 12

MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I Tính đơn điệu hàm số Tính đơn điệu hàm số thông thường Tính đơn điệu hàm số hợp, hàm số tổng 10 Tính đơn điệu hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 16 II Cực trị hàm số 21 Cực trị hàm số thông thường 21 Cực trị hàm số hợp, hàm số tổng 24 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 32 III Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số 47 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số thông thường 47 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số hợp, hàm số tổng 48 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 51 Bài tốn biện luận – max có chứa tham số 53 Giá trị lớn – giá trị nhỏ toán thực tế 59 Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số nhiều biến số 63 IV Đường tiệm cận đồ thị hàm số 66 V Tương giao đồ thị hàm số 75 VI Bài toán tổng hợp hàm số 96 VII Phép biến đổi đồ thị 104 VIII Ứng dụng tính đơn điệu hàm số việc giải phương trình – bất phương trình 114 IX Tiếp tuyến đồ thị hàm số 136 X Bài tập rèn luyện 150 CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT 164 I Bài toán hàm số lũy thừa, mũ logarit 164 II Phương trình mũ logarit 175 Bài tốn nghiệm phương trình mũ logarit 175 Biện luận nghiệm phương trình chứa tham số 178 Phương pháp hàm số giải phương trình mũ, logarit 187 III Bất phương trình mũ logarit 199 Bài tốn nghiệm bất phương trình mũ logarit 199 Biện luận nghiệm bất phương trình chứa tham số 203 Phương pháp đánh giá, hàm đặc trưng 214 IV Giá trị lớn – giá trị nhỏ biểu thức có chứa mũ logarit 218 Phương pháp hàm số 218 Phương pháp chuyển biến để xét bảng biến thiên 230 Sử dụng bất đẳng thức 235 Đánh giá GTLN – GTNN hình học 238 V Ứng dụng toán thực tế 241 VI Bài toán tổng hợp 244 VII Bài tập rèn luyện 249 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 256 I Nguyên hàm 256 Phương pháp tính nguyên hàm 256 Nguyên hàm hàm ẩn 257 Nguyên hàm hàm số nhiều công thức 261 II Tích phân 263 Phương pháp tính tích phân 263 Tích phân hàm ẩn 269 Sử dụng định lý đặc biệt 281 Tích phân hàm số nhiều cơng thức 285 Bài tốn tổng hợp tích phân 289 III Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể 292 Hình phẳng cho công thức hàm tường minh 292 Hình phẳng cho đồ thị hàm ẩn 302 Thể tích vật thể, khối trịn xoay 311 IV Bài tập rèn luyện 318 CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 322 I Bài toán xác định thuộc tính số phức 322 II Phương trình bậc hai tập số phức 334 III GTLN – GTNN biểu thức chứa số phức 337 IV Bất đẳng thức mơđun tìm GTLN-GTNN biểu thức chứa số phức 347 V Hình học hóa tốn số phức 350 VI Bài toán tổng hợp 379 VII Bài tập rèn luyện 384 CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 387 I Thể tích khối đa diện: Khối chóp, khối lăng trụ 387 II Liên hệ thể tích khối đa diện (phân chia, lắp ghép, tỉ số thể tích) 397 III Giá trị lớn – giá trị nhỏ thể tích khối đa diện 408 IV Bài tập rèn luyện 423 CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY 425 I Mặt nón – khối nón 425 II Mặt trụ – khối trụ 430 III Mặt cầu – khối cầu – toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện 437 IV Bài tốn tổng hợp khối trịn xoay 446 V Bài tập rèn luyện 450 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 454 I Bài toán điểm, đường thẳng, mặt phẳng không gian 454 II Bài toán mặt cầu: tiếp tuyến, tiếp diện tốn có yếu tố mặt cầu 470 III Cực trị hình học khơng gian 487 IV Tọa độ hóa hình học khơng gian túy 516 V Bài tốn khối đa diện, khối trịn xoay có yếu tố tọa độ 518 VI Bài toán tổng hợp 529 VII Bài tập rèn luyện 535 CHỦ ĐỀ 8: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 539 Bài tập rèn luyện 553 CHỦ ĐỀ 9: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 555 I Tính góc khơng gian 555 II Tính khoảng cách khơng gian 572 III Bài tập rèn luyện 583 Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tính đơn điệu hàm số thơng thường BON 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số   y  2sin3 x  3sin2 x  msin x đồng biến khoảng  0;   2 A m  B m  C m  D m  Lời giải   Cách 1: Do hàm số t  sin x đồng biến  0;  nên đặt sin x  t; t   0;1  2 Khi ta có hàm số y  f t   2t  3t  mt; y  6t  6t  m STUDY TIP Nếu hàm số biến khoảng hàm số biến   Để hàm số cho đồng biến  0;  hàm số y  f t  phải đồng biến  2 đồng y   vô nghiệm, có nghiệm kép (1); có đồng hàm số đồng biến khoảng 0;1  phương trình t  t   hai nghiệm t1  t thỏa mãn  (2) 0   t1  t2 Trường hợp (1): Phương trình y   vơ nghiệm có nghiệm kép      m   m    m       m    t t    12   t  t    1     Trường hợp (2): Thỏa mãn   (loại)        m    t1  1 t2  1    m         t1  t2          Ở ta loại ln trường hợp (2) xét tổng hai nghiệm không thỏa mãn Cách 2: Ở có hai trường hợp: vơ nghiệm, có nghiệm kép; hai  0;1 nằm khoảng hai nghiệm 3 nên ta xét trước Do phương án 2 C có dấu  vậy, ta xét dấu trước, dấu thỏa mãn ta loại Nhận thấy phương án B, C, D có số ln B D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Với m  y  1 y  6t  6t    t     t  (phương trình y   có 2  2 nghiệm kép, thỏa mãn) Đến ta loại B D t O Hình đồ thị hàm số y  f t  m  3  Tiếp theo ta cần xét đến A Ta thử m    ;   2  Với m  y  6t  6t    t  3 3 3  1 , nhận xét  6 (không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C Hình đồ thị hàm số y  f t  m  Vậy suy luận ta Hình Đáp án C Do y  6t  6t  m tam thức bậc hai có hệ số a  nên y Nếu   y  dấu với hệ số a (mà a  ) nên hàm số ln đồng biến Nếu   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 Khi đó, khoảng hai nghiệm y  khác dấu với a ngồi khoảng hai nghiệm y  dấu với a Nên để y  0, t   0;1  0;1 phải nằm khoảng hai nghiệm t O Nhận xét:   Ở đầu lời giải cách 1, rõ “Do hàm số y  sin x đồng biến  0;  nên  2 đặt sin x  t; t   0;1 ” đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện hàm hợp Ở toán thay sinx cos x ; lúc này, đặt cos x  t tiếp tục giải kết đạt m  hồn toàn sai 3  Thật vậy: Với m    ;   , hàm số y  cos x  3cos x  cos x nghịch biến   Hình    0;   2 BON 2: Giá trị m để hàm số y  x3  3x2  mx  m nghịch biến đoạn có STUDY TIP Trong tốn hệ số bậc cao tam thức nên áp dụng quy tắc “trong trái ngồi cùng” khoảng hai nghiệm giá trị tam thức mang dấu “–” nên để hàm số ban đầu nghịch biến đoạn có độ dài lớn độ dài lớn A m  B m  C m  1 D m  Lời giải Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài lớn  y  3x2  6x  m  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x cho x1  x2  m    9  3m       m  2 4m 4  x1  x2   x1  x2   x1 x2  4   Đáp án D BON 3: Tìm tham số m để hàm số y  x3  x  mx  10 nghịch biến đoạn có độ dài lớn A m  | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B m  4 C m   15 D m  15 Chinh phục toán VD – VDC Lời giải STUDY TIP Hàm số bậc ba đơn điệu (nghịch biến đồng biến ) khoảng có độ dài lớn l phương trình có hai nghiệm phân biệt Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm thỏa mãn: Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài lớn  y  x2  4x  m  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x cho x1  x2    4  m     2  x1  x2   x1  x2   x1 x2  m  4 15   15  m   m    Đáp án C BON 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  f  x   m sin2x  2x đồng biến A m  B m  1 C m  D m  Lời giải y  2m cos x   x  +) Trường hợp 1: m  STUDY TIP Nếu  m cos x  1, x  Ta có  1 x  có giá trị nhỏ D , hàm số đồng biến +) Trường hợp 2: m  x  m +) Trường hợp 3: m    1   m  m x  m     m  1 m Ta có cos x   Ta có cos x   Vậy m  Đáp án C   BON 5: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  m2  x3   m  1 x2  x đồng biến A B C D Vô số Lời giải  m  1 Xét m2     m  STUDY TIP - Với m  1, hàm số cho trở thành y  x Hàm số đồng biến + Xét có thỏa mãn hay khơng → Kết luận + Với Hàm số bậc ba đồng biến y    Hàm số đồng biến (thỏa mãn) - Với m  1, hàm số cho trở thành y  2x2  x y  x  1; y   x   Do đó, hàm số có khoảng nghịch biến, khoảng đồng biến (loại) +) Xét m2    Hàm số bậc   y  m2  x2   m  1 x  Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing  y  0, x  Để hàm số đồng biến m  m    m2       m  1  m      m  1   2  m     m   m    m  1       2m  2m     m  1      Vậy có vơ số giá trị m thỏa mãn Đáp án D Tính đơn điệu hàm số hợp, hàm số tổng   BON 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1 x  mx  với x  Có số nguyên dương m để hàm số g  x   f   x  đồng biến khoảng  3;   ? A B C D Lời giải 2 Từ giả thiết suy f    x     x   x    x   m   x      Ta có g  x    f    x  Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;   FOR REVIEW Cho hàm số g  x   0, x   3;   f    x   0, x   3;   có đạo hàm K (K khoảng, đoạn, nửa 2    x   x    x   m   x     0, x   3;     khoảng) Nếu x   3;     x   0,   x      x   m   x    0, x   3;   2   x   , x  3;   m    x   Khi m     x  3  x  3   x    x    x   Ta có   x3   x3  x  3 2 số (3;  ) hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Đẳng thức xảy x    x  (do x  3) x3   x     m  Vì m   x  3 (3;  ) nguyên dương suy m1; 2; 3; 4; 5;6 Đáp án B BON 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm , hàm số y  f   x  liên tục , hàm số y  f   x  2019  cắt trục hoành điểm có hồnh độ a , b, c y số ngun có đồ thị hình vẽ bên Gọi m1 số giá trị nguyên tham số   m để hàm số y  g  x   f x2  2x  m nghịch biến khoảng 1;  ; m2 số O a b c x   giá trị nguyên tham số m để hàm số y  h  x   f x2  4x  m đồng biến khoảng 1;  Khi đó, m1  m2 A 2b  2a 10 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B 2b  2a  C 2b  2a  D 2b  2a  Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f   x  2019  dịch sang phải 2019 đơn vị để thu đồ thị hàm số y  f   x  Bảng xét dấu y  f   x  sau: x –∞ b + 2019 a + 2019 y' + _  Xét hàm số y  g  x   f x2  2x  m  c + 2019 + +∞ +   g  x    x   f  x  x  m STUDY TIP Ta thấy 2x   0, x  1;2  nên y  g  x  nghịch biến 1;  Từ bảng xét dấu ta thấy có a  2019  x  x  m  b  2019, x   1;    x  x  a  2019  m   x  x  b  2019, x   1;      max  x  x  a  2019  m   x  x  b  2019 nên 1;2  1;2    a  2020  m  b  2019 Số giá trị nguyên m thỏa mãn m1  b  2019  a  2020   b  a  Xét hàm số y  h  x   f x2  4x  m    h  x    2x   f  x2  4x  m Ta thấy 2x   0, x  1;  nên y  h  x  đồng biến 1;  a  2019  x  x  m  b  2019, x   1;    x  x  a  2019  m   x  x  b  2019, x   1;      max  x  x  a  2019  m   x  x  a  2019 1;2  1;2    2023  a  m  2022  b Số giá trị nguyên m thỏa mãn m2   2022  b   2023  a    b  a Vậy m1  m2  2b  a Đáp án A BON 8: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y   y  f    x  hình vẽ bên Hàm số y  f x2  2x nghịch biến khoảng O y = f’(3 – x) x sau đây? B  1;0  A  3; 2  C  0;1 D  2; 1 Lời giải f    x   a  x  1 x  3 x    a   Đặt t   x  x   t  f   t   a   t  1  t    t    f   t   a   t  t  1  t   a  t   t  t  1 , a  t –∞ x f'(t)  –  +  g  x    x   f  x2  x   x  1 f  x2  2x +∞ –1 – +  Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 11 Ngọc Huyền LB STUDY TIP - Mấu chốt toán từ đồ thị hàm số ta suy bảng xét dấu - Thực đặt thay vào biểu thức ta đưa biểu thức , từ suy bảng xét dấu - Mấu chốt vấn đề ta cần hiểu bảng xét dấu theo biến x theo biến t “giống nhau” Ví dụ: The Best or Nothing   x  1    x     1  x  x   1      f  x  x    x  x  g  x        x  1   x        1  x  x     f  x  x     0  x  x       x  1  2  x  1  2  x  1   x  1     x  1     x  1    x  1   x  1 x     0  x2  x    x  2   1   x  1     x  1      Vậy hàm số y  f x2  2x nghịch biến khoảng ; 1  ;  2; 1   0; 1  Đáp án D BON 9: Cho hàm số f  x   x3  3x2  mx  2019 Có giá trị nguyên m để hàm số g  x    f  x     f  x   2020 đồng biến  ; 2 ? A 1008 B 1009 C 1010 D Vơ số Lời giải Ta có g  x   f   x  3 f  x   3 Nhận xét: FOR REVIEW Giả sử hàm số Nếu  x1 , x2   ; 2 mà x1  x2 thỏa mãn f  x1   f  x2  g  x1   g  x2  có đạo hàm K Nếu Khi g  x  khơng đồng biến khoảng  ; 2 Do để thoả mãn điều kiện g  x  đồng biến khoảng  ; 2 hàm số số f  x  hàm đồng biến (hoặc nghịch biến)  ; 2 hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Mặt khác lim f   x    nên f   x  0, x   ; 2 x  +) f   x   3x2  6x  m  0, x   ; 2  3x2  x  m  0, x   ;   m  3x2  x , x   ;     m  max 3x2  x  m  1   ;2 +) Hàm số g  x  đồng biến khoảng  ; 2 suy g  x   0, x   ; 2 nên f  x    0, x   ; 2 12 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối   BON 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x   x2  , x  Có bao   nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x  5x  m có điểm cực trị? A B C Lời giải liên tục Số điểm cực trị hàm số , với n số điểm cực trị dương hàm số      Xét hàm số g  x   f x  5x  m  f x x   m  f x x   m STUDY TIP Cho     D       Do đó, đặt hàm h  x   f x x   m g  x   h x Để hàm số cho có điểm cực trị hàm số h  x  phải có điểm cực trị dương (sử dụng công thức STUDY TIP:  2.1   n  )  Đạo hàm: h  x   x  5x  m f  x  5x  m          3x  x  5x  m  x  5x  m  x  5x  m    x3  5x  m    x  5x   m   h  x     x  x  m     x  x   m  x3  5x  m    x  5x  3  m   Xét hàm số p  x   x3  5x đồng biến x –∞ y’ có bảng biến thiên sau: +∞ + +∞ y –∞ Nhận xét:  m   m  3  m, m h  x   có nghiệm bội lẻ dương   m   m  Có tất giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn đề Đáp án A Bài tập tương tự:   Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x   x2  ,  Có giá   trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x3  6x  m có điểm cực trị? A B C   D Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x  10  x2  25 , x  Có   giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x3  8x  m có điểm cực trị? A B 25 C   D 10 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x   x  16 , x  Có   giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g  x   f x3  x  m có điểm cực trị? A 16 32 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B C D Đáp án: 1B; 2A; 3D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm BON 17: Cho hàm số y  f  x   1   x  x  m , với m tham số Gọi a x x 1 giá trị nguyên nhỏ m để hàm số có điểm cực trị nhất; A giá trị nguyên lớn m để hàm số có nhiều điểm cực trị Giá trị A  a A 7 B 4 C 3 D Lời giải * Xét hàm số y  g  x   g  x    STUDY TIP Do biểu thức chứa nên muốn xét dấu ta cần xét trường hợp 1  x  x  12 1   x  x với x \0;1 x x 1 x 1 x * Nếu x  g  x    1   0, x   0;1  1;   x  x  12 Do đó, hàm số nghịch biến khoảng  0;1 , 1;  * Nếu x  g  x    g  x    1  2 x  x  12 1 1  2   2 2 x  x  1  2x   2x   Đặt t  2x  1 t  1 ta có:  t  1   t  1      t2   t2    t  6t   t    t    1   x0 ,   g  x0   3 Ta có bảng biến thiên: Do đó, x  x x0 –∞ y' –1 _ + –∞ +∞ _ _ +∞ g(x0) y –∞ +∞ –∞ Hàm số y  g  x  có điểm cực trị Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  g  x  nhiều điểm điểm STUDY TIP Số cực trị hàm số tổng số cực trị hàm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình m  g  x0  Giá trị nguyên lớn m thỏa mãn m  4 Khi đó, hàm số y  f  x  có nhiều điểm cực trị điểm Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  g  x  điểm điểm g  x0   m  Giá trị nguyên nhỏ m thỏa mãn m  3 Khi đó, hàm số y  f  x  có điểm cực trị điểm Vậy A  a  7 Đáp án A Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 33 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 18: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  f  x  y O x -3 -6 Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  f  x  1  m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 12 B 15 C 18 D Lời giải Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải đơn vị, ta đồ thị hàm số y  f  x  1 STUDY TIP Số điểm cực trị đồ thị hàm số tổng số điểm cực trị đồ thị hàm số số giao điểm (không phải điểm cực trị) đồ thị hàm số với Ox Do đồ thị hàm số y  f  x  1 có điểm cực trị có giao điểm với Ox Để đồ thị hàm số y  f  x  1  m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  1 lên m đơn vị Để thỏa mãn điều kiện đề đồ thị hàm số y  f  x  1  m cắt Ox điểm (không phải điểm cực trị nó),  m   m  2    6  m  3   m  Vì m nguyên dương nên m3; 4; 5 Tổng giá trị phần tử S 12 Đáp án A BON 19: Cho hàm số đa thức y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ y O Hỏi có giá trị  g  x   f x2  x   2x  m A  m m  0;6 ; 2m  để C Lời giải  Ta có g  x   f x2  x   2x  m  f 34 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán để hàm số có điểm cực trị? B  x  x  1  x   m  1 D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Số điểm cực trị hàm số g  x   f STUDY TIP Cho hàm   hàm số h  x   f x2  x  m  (do g  x   h  x  1 ) số đa thức 1) Số điểm cực trị hàm số số điểm cực trị hàm số 2) Số điểm cực trị hàm số , với n số điểm cực trị dương hàm số  x  1  x   m  1 số điểm cực trị   Hàm số y  h  x  hàm số chẵn có cực trị  k  x   f x2  2x  m  có điểm cực trị dương   Mà k  x    2x   f  x2  2x  m  Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có: x  x      x  x   m  1 x  2x  m     k  x    x  x  m    x2  2x   m    x2  2x   m    x2  2x  m       x  x   m  x  x  m    *  Riêng trường hợp phương trình (*) có nghiệm nghiệm bội chẵn phương trình k  x   nên nghiệm không điểm cực trị hàm số y  k  x y x -2 -4 Hàm số y  k  x  có điểm cực trị dương phương trình (1), (2), (3) có nghiệm dương phân biệt khác Từ đồ thị kết hợp m  0;6  ;2 m  7  ta có m   ; 2; ;1; ;0  2 2  Đáp án C BON 20: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x –∞ y' –2 + – +∞ + +∞ y –∞   Hàm số y  f x  có điểm cực trị? A B C D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 35 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Lời giải STUDY TIP Để xét đổi dấu ta làm sau: Bước 1: Tìm giá trị thỏa mãn khơng xác định Bước 2: Trên khoảng bất kì, chẳng hạn khoảng điểm ta lấy cụ thể, tính xét dấu của , dấu dấu  x  2 Từ bảng biến thiên ta có f   x     x  Đặt g  x   f  x    f    g  x   x3  x  3  f    x  3  x  3     x3  f x  với x    x3    x   2  L   x   4  x  1   Ta có g  x    f  x      x   x   x    Ta có g    f   5  ; g  5  f     ; g 1   f     ; g  2    f   5  khoảng Ta có bảng biến thiên: Bước 3: Ta xác định dấu –1 g'(x) khoảng lại dựa theo quy tắc: - Nếu nghiệm bội lẻ –∞ x – +∞ – + + g(x) đổi dấu x qua - Nếu nghiệm bội chẵn khơng  Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x   f x   có điểm cực trị Đáp án C đổi dấu x qua BON 21: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  3x4  x3  12 x2  m có điểm cực trị? A D Xét hàm số f  x   3x  4x  12x  m Số điểm cực trị hàm số Trong a số điểm cực trị b số nghiệm bội lẻ phương trình (nghiệm chung tính lần) Dễ thấy, hàm số Đạo hàm f   x   12x3  12x2  24x  x  0; y    m  Ta có f   x    12 x x  x     x  1; y  1  m    x  2; y    m  32   Bảng biến thiên: có điểm cực trị Nên để hàm số C Lời giải STUDY TIP B x –∞ có điểm cực trị phương trình phải có nghiệm phân biệt, hay đồ thị hàm số cắt đường thẳng điểm phân biệt Quan sát bảng biến thiên, ta xác định giá trị m thỏa mãn 36 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán –1 – f'(x) +∞ + – +∞ + +∞ m f(x) m–5 m – 32 Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Quan sát bảng biến thiên, ta thấy để hàm số y  3x4  x3  12 x2  m có cực trị nên m 1; 2; 3; 4 m    m   m  Do m  Vậy có giá trị m thỏa mãn Đáp án D BON 22: Cho f  x  hàm số có đạo hàm f   x  liên tục có bảng biến thiên f   x  sau: x –1 –2 –∞ +∞ –1 f’(x) +∞ –1 –3 –∞   Tìm số điểm cực tiểu hàm số g  x   f x  x A B C D Lời giải   g  x   f x3  x     Xét hàm số h  x   f x3  3x  g  x   h x     h  x   3x f  x    x f  x  1 ;   Với x  không nghiệm h  x       Xét x  0, ta có: h  x    x f  x    f  x  Đặt x  t  x  t (1) trở thành: f   t   Khảo sát hàm số y  x2 x2 1 t2 ta đồ thị: y y = f’(x) O a x -1 -3 Từ đồ thị  f   t   t có nghiệm t  a   x  a     h  x  có điểm cực trị dương  h x có 1.2   cực trị Quan sát: h  x   x    nét cuối h  x  lên có dạng:    g  x   h x có hai điểm cực tiểu Đáp án B Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 37 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 23: Cho f  x  hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f   x  có bảng biến thiên sau: x –∞ –1 –3 +∞ +∞ –1 f’(x) -61 –∞   Hàm số g  x   f x  3x có điểm cực trị? A B C D Lời giải     Xét hàm số h  x   f x3  3x ; h  x   3x2 f  x3  ;   Do x  nghiệm nên h  x    f  x  Đặt t  x3  x  t  f   t   Xét u  t   t2 ; u  t   x2 t2 2 đổi dấu qua t  3 t5 Bảng biến thiên: t –∞ +∞ + u’(t) – +∞ +∞ u (t) 0 Từ bảng biến thiên f   t  rút f   t   t2 có nghiệm t  a  x a 0 Bảng biến thiên h  x  : x h’(x) –∞ +∞ – h (x) + 0 Do  Có cực trị Đáp án A BON 24: Cho hàm số y   m  1 x3  5x2    m x  Có tất giá trị   có điểm cực trị? nguyên tham số m để hàm số y  f x A 38 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán B C D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Lời giải   có điểm cực trị hàm số y  f  x phải có Để hàm số y  f x điểm cực trị dương Xét f  x    m  1 x3  5x2    m x   y   m  1 x2  10x    m Lúc này, phương trình y   m  1 x2  10x    m  phải có tối đa nghiệm bội lẻ, có nghiệm bắt buộc dương +) Trường hợp 1: m  Khi y  10 x    x   , nghiệm bội lẻ Suy ra, nhận giá trị m  +) Trường hợp 2: m  Khi y   m  1 x2  10x    m  hàm bậc Gọi x1 , x2  x1  x2  hai nghiệm phương trình trên, hiển nhiên hai nghiệm bội lẻ    100  12  m  1  m           x1   x2    x x   m   m1   x      m  3  3  m   t/m    m  3  lo¹i  (Với m  3  x1  0; x2    (vơ lí))  m   3;1  Có giá trị m nguyên thỏa mãn   có điểm Vậy tồn giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f x cực trị Đáp án A BON 25: Cho hàm số f  x  có y  f   x  hàm số bậc có đồ thị đường cong hình vẽ bên y f’(x) O x    x Số điểm cực đại hàm số g  x   f x A B   x g  x  f x C D Lời giải Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 39 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing     Xét hàm số h  x   f x3  x  g  x   h x   h  x   3x2 f  x3  Xét phương trình h  x   0; nhận xét x  nghiệm phương   trình nên h   x    f  x  y O 1  3x t2 Đặt x3  t  x  t  x  f  t   3x 3 t2 Quan sát đồ thị:  Có nghiệm t: t1  0; t2   Sinh nghiệm x1  0, x2  STUDY TIP Suy diễn đồ thị hàm số  Bảng biến thiên h  x  : từ đồ thị hàm số x : –∞ h’(x) x1 x2 – + +∞ + + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số bên phải h(x) Oy, ta   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải Bảng biến thiên h x : Oy qua bên trái Oy ta x –∞ –x2 x2 +∞ h(|x|)  Hàm số y  g  x  có cực trị, có cực đại Đáp án C BON 26: Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định  có đồ thị hình  vẽ Hàm số g  x   f x2  x có điểm cực trị? y y = f (x) -4 A STUDY TIP Tương tự toán ta thấy nên xét   u  x    2x   f   x O B 11   4x  C Lời giải Xét hàm số u  x   f x  x 2 x x  x    u  x     x  x  4   x     x2  x   x   40 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Ta có bảng biến thiên: x –∞ u’(x) u(x) – 0 + +∞ – + +∞ +∞       Lại có: g  x   f x2  x  f x  x  u x  Bảng biến thiên y  g  x  : x –2 –∞ +∞ g(x)  Hàm số g  x  có điểm cực trị Đáp án C BON 27: Cho hai hàm đa thức y  f  x  , y  g  x  có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên y y = f(x) F H B G y = g(x) E -1/4 O x Biết đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị F, G; đồ thị hàm số y  g  x  có hai điểm cực trị E, H HG  2, FE  Số giá trị nguyên tham     số m  10;10  để hàm số y  f x2  x  g x  x  m có điểm cực trị A B C D Lời giải   h  x    x  1  f   x      x   g  x  x    Xét hàm số h  x   f x2  x  g x2  x  y  h  x   m 2 2x    h  x     2  f  x  x  g x  x   x    f  x  x  g x  x (*)         x   x  x  x  1  Dựa vào đồ thị hàm số ta có: (*)   x   x  x    x  2 Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 41 Ngọc Huyền LB Ta có bảng biến thiên: STUDY TIP Hàm số trị The Best or Nothing tuyệt đối có số điểm cực trị x h’(x) tổng số nghiệm bội lẻ h(x) phương trình –∞ –1 –2 – + +∞ – + – +∞ + +∞ –2 –2  Hàm số có điểm cực trị  Phương trình h  x   m có nghiệm bội lẻ phân EXPLANATION biệt  m   m  4 không thỏa mãn trường hợp hai nghiệm hai nghiệm kép (do đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số Mà m nguyên m  10;10   m 9; 8; 7; 6; 5; 4 Vậy có giá trị m thỏa mãn Đáp án D BON 28: Cho hàm số bậc ba f  x  có đồ thị hình vẽ (tiếp xúc → kép) y O Hàm số g  x   x 3 1 có điểm cực đại? f  x  f  x  2021 A B C D Lời giải Cách 1: Xét hàm số h  x   1 f  x  f  x  2021  h  x   f   x   f  x   f  x   ;  f  x   h  x     f  x     f  x   1 Phương trình f   x   có hai nghiệm đơn x  x  Phương trình f  x   có nghiệm đơn x  nghiệm kép x  y Phương trình f  x   1 có nghiệm đơn x  a  Lại có: h  x    y=c O y=b y = -1 y=d 1 f  x  f  x  0 2021  f  x   b  1,5    f  x   c  0,03   f  x   d  0,03 x Phương trình f  x   b  1,5 có nghiệm đơn x  x1  a Phương trình f  x   d  0,03 có nghiệm đơn x  x2   a;0  42 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Phương trình f  x   c  0,03 có ba nghiệm đơn x  x4  1; 3 , x  x3   0;1 , x  x5  Từ ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  : x –∞ g(x) x2 a x1 x3 x4 0 x5 +∞ 0 Vậy hàm số g  x  có điểm cực tiểu điểm cực đại Cách 2: Nhận xét: Nếu ta xét hàm số h  x     h f  x   1  g  x  h f  x f  x  f  x  2021  Bước 1: Bảng biến thiên h  x  STUDY TIP Đề cho sẵn đồ thị hàm số nên ta hồn tồn sử dụng phương pháp ghép trục để vẽ bảng biến thiên h  x   x  x  x  1 h   x    x  x  1    x  x sau –∞ –1 +∞ +∞ h(1) suy diễn bảng biến thiên x  x  2021 h(x) –∞ Bước 2: Bảng biến thiên f  x  y x –∞ +∞ +∞ f(x) O x –∞ Bước 3: Ghép trục x –∞ f(x) –∞ –1 h(–1) +∞ +∞ +∞ h(4) h(f(x)) y=0 –∞ +∞ h(4) h(–1) +∞ |h(f(x))| Vậy hàm số g  x   0 0 1 có điểm cực tiểu điểm cực đại f  x  f  x  2021 Đáp án D Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 43 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing BON 29: Cho hàm số f  x  liên tục x –∞ có bảng biến thiên hình vẽ –1 y’ + _ +∞ + +∞ 2021 y 2020 –∞ 2016   Số điểm cực trị hàm số g  x   f x  2019 A B C D Lời giải   Bảng biến thiên hàm số f x : x –4 –∞ +∞ 2020 +∞ +∞ y 2016 2016   Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f x  2019 : x –4 –∞ +∞ +∞ +∞ y –3 –3   Dễ thấy phương trình f x  2019  có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 với x1  4  x2   x3   x4 Do đó, ta có bảng biến thiên hàm số g  x  : x y –∞ x1 +∞ –4 x2 x3 x4 +∞ +∞ 0 Vậy hàm số g  x  có tất điểm cực trị Đáp án D BON 30: Gọi S tập hợp tất số thực m cho đồ thị hàm số y  2x4   m  1 x2  m2  3m  có cực trị Số phần tử tập 2021; 2021  S có giá trị nguyên A 2020 B 2021 C 4040 D 4041 Lời giải Hàm số y  f  x  x4   m  1 x2  m2  3m  hàm số bậc trùng phương với hệ số a   0, nên đồ thị hàm số y  f  x  có cực trị hàm số y  f  x  có ba cực trị giá trị cực đại bé 44 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm m  Suy ra:   f     m  3m   STUDY TIP Hàm số có điểm cực trị m    m   m  m   Vì m  2021; 2021  S có giá trị nguyên nên m2; 3; ; 2021 Vậy có 2020 phần tử thỏa mãn yêu cầu Đáp án A BON 31: Cho hàm số đa thức bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ y O x -3 -1 -2 y = f (x)   Hàm số y  f xf  x   có điểm cực trị? STUDY TIP Hướng làm: Ta sử dụng kết số điểm cực trị hàm trị tuyệt đối Số điểm cực trị hàm số đó: + m số nghiệm bội lẻ phương trình + n số nghiệm bội lẻ phương trình A 13 B 11 C D 15 Lời giải Bước 1: Đi tìm số nghiệm bội lẻ phương trình g  x     Xét hàm số g  x   f xf  x         xf  x   1 g  x       f   xf  x       g  x   xf  x  f  xf  x  ; (1) Xét hàm số u  x   xf  x  hàm số đa thức bậc y f  x   ax3  bx2  cx  d có a  (do nét cuối xuống) t1 t2 -3 O -1 x -2 y = f (x)  x đơn x u  x    xf  x       x  3 đơn f x   x  t2  kép   Dạng đồ thị u  x  : y -3 a O x y = u(x)  u  x  có ba điểm cực trị     xf  x   có ba nghiệm đơn phân biệt Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán | 45 Ngọc Huyền LB  The Best or Nothing   (Do xf  x  hàm đa thức bậc 3) t1 t2 -3    t1  f  x   xf  x   t1  x 0  t   xf  x   t2   f  x   x y (2) : f  xf  x  O Xét hàm số y  -1 x -2 Đồ thị y  y = f (x)  3 4 k k k   có y   0, k  0, x  \0  x x k : x y x -3  f  x  O -1 k  k   có hai nghiệm đơn phân biệt x   3 có nghiệm phân biệt,   có nghiệm phân biệt  g  x   có nghiệm bội lẻ phân biệt Bước 2: Đi tìm số nghiệm bội lẻ phương trình g  x       Xét g  x   f xf  x     f xf  x x đơn    xf  x    x đơn xf  x   c    x  t  kép     xf x  d     c d  f  x   ; f  x   ; tổng có nghiệm x x   g  x   có nghiệm bội lẻ phân biệt Bước 3: Kết luận số điểm cực trị hàm số y  g  x   Số điểm cực trị hàm số y  g  x  số nghiệm bội lẻ g  x   số nghiệm bội lẻ g  x   + = 13 Đáp án A 46 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán ...   0, x   ; 2 nên f  x    0, x   ; 2 12 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Chinh phục toán VD – VDC STUDY TIP Để giải toán bên ta phải nhận xét Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo... ;    1;  2 2   14 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán Đáp án D Chinh phục toán VD – VDC Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm BON 12: Cho hàm số y  f  x  , biết f   x   x3  3x  Có... giải Đặt u  3x  x  2 24 | Hệ thống đào tạo Phác đồ Toán D Chinh phục toán VD – VDC u  x   6x  6; u  x    x  STUDY TIP Trong toán này, ta sử dụng phương pháp ghép trục Bảng biến