Tính địa phương của nhóm giải được

1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU .2 Chương Nhóm giải .4 §1 Nhóm hữu hạn nhóm với số hữu hạn §2 Tác động nhóm tập §3 Nhóm giải 16 §4 Nhóm giải tổng quát 20 Chương Tính địa phương nhóm giải 23 §1 Nhóm hữu hạn địa phương 23 §2 Tính địa phương nhóm giải 26 KẾT LUẬN .31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NĨI ĐẦU Lớp nhóm giải lớp nhóm giữ vị trí quan trọng đại số mói riêng tốn học nói chung Nó có nhiều ứng dụng khơng lý thuyết nhóm, mà cịn ngành khoa học khác lý thuyết Galoa, vật lý, hóa học… Lớp nhóm nhiều nhà toàn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết tốt Bản thân lý thuyết không ngừng phát triển bên cạnh lý thuyết nhóm giải trừu tượng, lý thuyết nhóm giải tuyến tính… Nội dung khóa luận hệ thống lại tìm số ví dụ minh họa nhóm giải tính địa phương nhóm giải Khóa luận phần mở đầu tài liệu tham khảo, chia làm hai chương: Chương Nhóm giải Nội dung chương nhắc lại khái niệm nhóm hữu hạn, nhóm với số hữu hạn, khái niệm tác động Từ định lý Sylow, tìm số ứng dụng Nhắc lại khái niệm nhóm giải giải hữu hạn, từ tìm số ví dụ chứng minh số tính chất Cụ thể thể qua mục sau: § Nhóm hữu hạn nhóm với số hữu hạn § Tác động nhóm tập § Nhóm giải § Nhóm giải tổng qt Chương 2.Tính địa phương nhóm giải Nội dung chương nhắc lại khái niệm nhóm hữu hạn địa phương từ xét số tính chất Cuối tác giả nghiên cứu số tính chất địa phương nhóm giải Cụ thể thể qua mục sau: § Nhóm hữu hạn địa phương § Tính địa phương nhóm giải Khóa luận hoàn thành hướng dẫn thầy giáo – Ths Nguyễn Quốc Thơ Qua tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả q trình hồn thành khóa luận Tác giả trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Tốn, thầy giáo, giáo tổ Đại số tập thể lớp 48B – Toán động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa luận Với thời gian lực hạn chế, khóa luận cịn nhiều thiếu sót, tác giả mong góp ý, bảo thầy cô giáo bạn để khóa luận hồn thiện CHƯƠNG NHĨM GIẢI ĐƯỢC §1 NHĨM HỮU HẠN VÀ NHĨM CON VỚI CHỈ SỐ HỮU HẠN 1.1 Khái niệm nhóm hữu hạn nhóm với số hữu hạn 1.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm nhóm G gọi hữu hạn có hữu hạn phần tử Khi đó, số phần tử G gọi cấp G Giả sử G có n phần tử, cấp G kí hiệu là: G = n ord (G) = n 1.1.2 Mệnh đề Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X nhóm phép tốn X có luật giản ước Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X nhóm, với x,y.z  X ta có: xy = xz  x  (xy) = x  (xz)  ey = ez  (x  x)y = (x  x)z y=z Ta suy phép toán X có luật giản ước trái Tương tự, phép tốn X có luật giản ước phải Vậy X nhóm phép tốn X có luật giản ước Điều kiện đủ: Giả sử X nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, phép tốn X có luật giản ước Cần chứng minh X nhóm Giả sử X = {a ,…,a n }; a,b phần tử X Ta có: aa ,…,aa n n phần tử khác X ( X có luật giản ước) Do aX = {aa ,…,aa n } tập X có số phần tử với X Vì aX, X hữu hạn nên aX = X Vì b  X nên b  aX Do đó, tồn a k  X (1  k  n) cho aa k = b Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a k X Tương tự, phương trình ya = b có nghiệm X Theo định nghĩa nhóm ta suy X nhóm  1.1.3 Hệ Một nửa nhóm khác rỗng H nhóm hữu hạn G nhóm G Chứng minh Vì G nhóm hữu hạn phần tử nên theo Mệnh đề 1.1.2 G có luật giản ước Khi với  a,b,c  H ac = bc a,b,c  G ac = bc ( Vì H  G)  a = b Tương tự,  a,b,c  H ca = cb  a = b Do H có luật giản ước Vì H tập G G có hữu hạn phần tử nên H có hữu hạn phần tử Theo mệnh đề 1.1.2, nửa nhóm khác rỗng H nhóm H nhóm G  1.1.4 Định nghĩa: Giả sử G nhóm hữu hạn tùy ý cho trước có cấp n H nhóm cấp m G Xét tập thương Q:= G/H =  xH : x  G  lớp ghép trái G theo H Khi đó, Q hữu hạn Số k phần tử Q gọi số nhóm H G Kí hiệu: G : H 1.1.5 Định lý Lagrange: Giả sử T nhóm S S nhóm nhóm hữu hạn G Khi đó: G : T  G : S S : T Chứng minh Giả sử {x ,…,x n } (tương ứng { y ,…,y n }) tập đại diện lớp kề trái S G (tương ứng T S) Khi đó, m = G : S , n = S : T G, S phân tích thành hợp rời rạc: G  x1 S  x S   x m S S  y1T  y 2T   y nT m Theo luật giản ước ta có: xi S  xi y1T   xi y nT  n G xi y j T i 1 j 1 Vậy  xi y j , i 1, m, j 1, n tập đại diện lớp kề trái T G  G : T m.n  G : S S : T  1.1.6 Hệ Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Chứng minh Giả sử a  G, G = n Nếu a = {e} a = nên a ước G Nếu a {e} cấp a cấp nhóm xyclic (hữu hạn) a sinh a Vì a ước G nên a ước G  1.1.7 Định lý Keli: Mọi nhóm hữu hạn cấp n đẳng cấu với nhóm nhóm đối xứng S n Chứng minh Giả sử G = {x ,…x n } nhóm hữu hạn cấp n; P(X) nhóm song ánh từ G lên G Với a  G, ta có ánh xạ  a : G  G song ánh x  ax Thật vậy,  x ,x  G ta có:  a (x ) =  a (x )  ax = ax  x = x (vì G nhóm nên có luật giản ước) Vậy  a đơn ánh Với  g  G,  x = a  g  G cho:  a (x) = ax = a(a  g) = (aa  )g = eg = g   a toàn ánh Vậy  a song ánh   a  P(X) Khi ánh xạ  : G  P(X) đồng cấu a  a Thật vậy, ta có: (  a  b )(x) =  a (  b (x)) =  a (bx) = a(bx) = ab(x) =  ab (x),  a.b  G,  x G   a  b =  ab Do  (ab) =  ab =  a  b =  (a)  (b),  a.b  G   đồng cấu Mặt khác  a.b  G,  (a) =  (b)  a = b  ae = be   a (e) =  b (e) (e đơn vị nhóm G)  a=b   đơn ánh Vậy  đơn cấu  G   (G),  (G) nhóm nhóm phép bậc n  1.1.8 Khảo sát nhóm có số hữu hạn Giả sử G nhóm, H nhóm với số hữu hạn G (G khơng thiết nhóm hữu hạn) Giả sử G : H m x1 , , x m đại diện lớp ghép phải G theo nhóm H Với g  G, ta đặt:  Hx Hx Hx  m ĝ =  Hx g Hx g Hx g  m   Khi ta có ánh xạ  : G G H g ĝ Thật vậy, với g , g  G ta có: g  g  Hx1 Hx m   Hx1  =    ( g ) = ĝ =   Hx1 g Hx m g   Hx1 g Hx m   = ĝ =  ( g2 ) Hx m g    ( g ) =  ( g ) 1.1.9 Định lý Poincare: Mọi nhóm có số hữu hạn m chứa ước chuẩn có số hữu hạn chia hết cho m chia hết m! Hx Chứng minh Giả sử H nhóm G với số hữu hạn m N  x G Khi N chuẩn tắc G chửa H nên G : N  G : H H : N  G : N m H : N Vậy G : N chia hết cho m Mặt khác, N hạt nhân đồng cấu biểu diễn  nên G/N đẳng cấu với nhóm nhóm phép T tập G/H gồm m phần tử Khi đó: T m! Theo định lý Lagrange, G / N ước m! hay G : N ước m!  1.1.10 Mệnh đề Giao họ hữu hạn nhóm có số hữu hạn nhóm G nhóm có số hữu hạn G Chứng minh Theo nguyên lý quy nạp, ta cần chứng minh: A B nhóm có số hữu hạn G nhóm có số hữu hạn G Thật vậy, ta có: G : A A : A  B  G : A  B (1) Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: A A  B  G B cho f(x(A  B)) = xB Với  x,y  A, ta có: f(x(A  B)) = f(y(A  B))  xB = yB  x  y  B mà x 1 y  A nên suy x  y  A  B  x(A  B) = y(A  B) Vậy f đơn ánh  A: A  B G : B Từ (1), (2) suy G : A  B  G : A G : B  (2) §2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHĨM TRÊN MỘT TẬP 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S tập G nhóm Khi ánh xạ: G S  S ( x ,s)  x s gọi tác động G S (bên trái) hai điều kiện sau thỏa mãn: i) ( xy) s = x( ys) ii) es s với x, y  G, s  S , e đơn vị G Trong trường hợp ta nói G tác động tập S(bên trái) hay S G – tập Ta xét G – tập S, x  G cảm sinh ánh xạ: Tx : S  S từ S vào cho cơng thức: Tx ( s )  xs, s  S Ngoài ra, theo định nghĩa với s  S ta có: Txy ( s )  xys ( xs)( ys) Tx ( s )T y ( s)  Txy Tx T y 1 Vì G nhóm nên ánh xạ Tx có ánh xạ ngược ( Tx ) Tx 1 Do đó, Tx phép tập S Xét ánh xạ  : x  Tx , ta có: x, y  G, s  S ,  ( xy)( s) Txy ( s ) (Tx T y )( s ) Tx ( s )T y ( s)  ( x)( s) ( y )( s) ( ( x) ( y ))( s)   ( xy )  ( x) ( y ) Vậy  đồng cấu từ nhóm G vào nhóm phép S ta nói G biểu diễn dạng nhóm phép (hoặc nói cho biểu diễn từ nhóm G vào nhóm phép thế) Chú ý: Nếu S tập (không thiết hữu hạn) Khi đó, tập hợp song ánh từ S nên với phép nhân ánh xạ song ánh Nó gọi nhóm phép S 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ (Phép liên hợp) Đối với x  G ta xác định ánh xạ  x : G  G công thức  x ( y ) xyx  10 Ánh xạ (x,y)   x ( y ) xyx  xác định tác động G lên đượcgọi phép liên hợp Thử trực tiếp điều kiện tác động: i) ta có: ( x1 , x ) y  x1 x2 ( y ) x1 x yx 2 x1 (1) x1 ( x y ) x1 ( x2 ( y )) x1 ( x yx 2 )  x1` ( x yx 2 ) x1 x yx 2 x1 (2) Từ (1) (2) ta suy ra: ( x1 , x ) y x1 ( x y ) ii) ey =  e ( y ) = ey e  = y ,  y G Trong thực tế,  x tự đẳng cấu G, nghĩa x, y, z  G ta có:  x ( yz ) xyzx  xyx  xzx   x ( y ) x ( z )  x có nghịch đảo (  x )  =  x  Vì vậy, ánh xạ  : x   x đồng cấu từ G vào nhóm tự đẳng cấu Hạt nhân đồng cấu  là: Ker( ) =  x  G \  ( x)  y, y  G =  x  G \ xyx   y, y  G =  x  G \ xy  yx, y  G = C(G) Vậy hạt nhân đồng cấu  trùng với tâm G Để tránh nhầm lẫn, ta không dùng cách viết xy cho  x ( y ) Đôi ta viết  x  ( y ) x  yx  y x tức dùng kí hiệu mũ, quy tắc sau thỏa mãn: y xz ( y x ) z , y e  y, x, y , z  G Chú ý nhờ phép liên hợp, G tác động họ tập Thật vậy, giả sử S tập hợp tất tập G A 1 Khi đó, xax  S kí hiệu:  x ( A ) Thử trực tiếp thấy: ( x, A)  xax  tác động G S Ngoài ra, ta ý A nhóm G xAx  nhóm G Như vậy, nhờ phép liên hợp G tác động họ tất nhóm 18 i) Trong nhóm G tồn nhóm cấp k ii) Hai nhóm cấp k liên hợp với iii) Nhóm cấp k k’\k chứa nhóm cấp k 3.7 Định nghĩa Nhóm H nhóm G gọi nhóm Carter H lũy linh trùng với chuẩn hóa G (nghĩa N G (H) = H) Nhắc lại định nghĩa nhóm lũy linh: Giả sử G nhóm, dãy chuẩn tắc: G0G1  G s G gọi dãy tâm, thương thỏa mãn điều kiện Gi 1 Gi  C  G  , với i, hay tương đương  Gi 1 , Gi   Gi , với i  Gi  Nhóm có dãy tâm nhóm lũy linh 3.8 Định lý Nhóm giải hữu hạn G có nhóm Crater nhóm Carter nhóm G liên hợp với 3.9 Các tính chất nhóm giải được: Tính chất 1: Mọi chuỗi chuẩn tắc nhóm giải mịn hóa thành chuỗi giải Vì vậy, ước chuẩn nhóm giải ,được chứa chuỗi giải Tính chất 2: Nhóm thương nhóm giải giải Tính chất 3: Nhóm nhóm giải nhóm giải Tính chất 4: Mở rộng nhóm giải nhờ nhóm giải nhóm giải Tính chất 5: Tích trực tiếp số hữu hạn nhóm giải nhóm giải Việc chứng minh tính chất khơng có khó Chẳng hạn, ta chứng minh tính chất 4: Để chứng minh tính chất ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu nhóm G cho chuỗi chuẩn tắc G = G  G1  .Gk  E (1) Thì nhóm F nhóm G đều có chuỗi chuẩn tắc mà thương đẳng cấu với thương chuỗi (1) 19 Chứng minh Thật vậy, đặt: F i = F  Gi , i = 1,2………k Từ Bổ đề Zasenhao: Nếu U,V nhóm nhóm G, u U , v V thì: u (U  V ) u (U  v)  v(U  V ) v(u  V ) Ở đây, ta lấy U = F, u = E,V = G i  , V = G i ta có: F i  F i  F i   G i F i  /G i Nhưng G i   G i F i   G i tức nhóm thương nhóm thương Gi  Fi  Fi đẳng cấu với nhóm Gi Ta có chuỗi: F  F0  F1  .Fk  E chuỗi chuẩn tắc cần tìm F Bổ đề chứng minh Từ bổ đề trên, bỏ bước lặp chuỗi chuẩn tắc F ta có chuỗi giải F Vậy F nhóm giải  20 §4 NHĨM GIẢI ĐƯỢC TỔNG QUÁT 4.1 Định nghĩa Cho chuỗi hữu hạn nhóm lồng vào nhóm G: G G0  G1   Gk  e (1) a) Chuỗi (1) gọi chuỗi chuẩn tắc G nhóm Gi ước chuẩn thực nhóm Gi 1 Khi k gọi độ dài chuỗi (1) G b) Nhóm thương: G G1 , G G2 ,…, k   e gọi thương chuỗi (1) c) Chuỗi ước chuẩn G  F0  F1   Fl  e (2) gọi mịn hóa chuỗi chuẩn tắc (1) nhóm Gi chuỗi (1) trùng với nhóm F j chuỗi (2) d) Chuỗi (1) gọi chuỗi hợp thành G khơng lặp lại khơng mịn hóa e) Hai chuỗi chuẩn tắc G gọi đẳng cấu với chúng có độ dài thương tương ứng đẳng cấu với 4.2 Định nghĩa a) Một hệ nhóm lồng Λ = [Λ  ] chứa đơn vị  e G nhóm G gọi hệ chuẩn tắc nhóm G nếu:  Λ  , Λ b) Nếu  1 Λ  Δ Λ  1 Λ   Λ, Λ  Δ G Λ gọi hệ bất biến c) Mọi hệ chuẩn tắc Λ nhóm G khơng mịn hóa gọi hệ hợp thành d) Mọi hệ bất biến Λ nhóm G khơng mịn hóa gọi hệ e) Mọi hệ chuẩn tắc hay hệ bất biến Λ nhóm G gọi hệ giải thương nhóm Abel 21 4.3 Định nghĩa Một nhóm G gọi là: a) RN - nhóm có hệ chuẩn tắc giải b) RI - nhóm có hệ bất biến giải c) RK - nhóm chuỗi đạo nhóm kéo dài đến nhóm đơn vị d) RN - nhóm có quan hệ hợp thành giải e) RI - nhóm có hệ giải g) RN * - nhóm có hệ chuẩn tắc tăng giải h) RI * - nhóm có hệ bất biến tăng giải 4.4 Mệnh đề RK – nhóm RI – nhóm RN – nhóm Chứng minh Thật vậy, G RK – nhóm G chuỗi đạo nhóm G kéo dài đến đơn vị Theo định lý 2.2 G nhóm giải G có chuỗi bất biến giải Chuỗi bất biến giải hệ bất biến giải G G RI – nhóm Cũng lại định lý 2.2 G có chuỗi chuẩn tắc giải hữu hạn Chuỗi chuẩn tắc giải hữu hạn hệ chuẩn tắc giải hữu hạn G G RN – nhóm 4.5 Mệnh đề RN – nhóm RI – nhóm tương ứng RN - nhóm RI - nhóm Chứng minh + Nếu G RN – nhóm G có hệ chuẩn tắc U =  A  giải chứa E Mịn hóa hệ u đến chuối hợp thành ta có G RN - nhóm + Nếu G RI – nhóm G có hệ u =  A  bất biến chứa E Mịn hóa u đến chuỗi ta có G RI - nhóm 4.6 Mệnh đề Nhóm nhóm RK, RI, RN – nhóm tương ứng RK, RI, RN– nhóm Chứng minh + Giả sử G RK – nhóm, A nhóm tùy ý nhóm G Khi G có hệ chuỗi đạo nhóm  G (n )  dừng nhóm đơn vị E Xét hệ  G ( n )  A hệ bất biến giải A A nhóm giải Theo 22 định lí 2.2 A chuỗi đạo nhóm A dừng nhóm đơn vị E A RK – nhóm Chứng minh tương tự RI, RN - nhóm 4.7 Mệnh đề Nhóm thương RN - nhóm ( RI - nhóm) RN - nhóm ( RI nhóm) Chứng minh Giả sử G RN - nhóm, HG Giả sử U hệ hợp thành giải G, qua phép chiếu tắc hệ u chuyển thành hệ hợp thành giải nhóm thương G/H Vậy G/H RN - nhóm Với RI - nhóm, chứng minh hồn tồn tương tự 4.8 Mệnh đề Nhóm con, nhóm thương RN * - nhóm ( hay RI * - nhóm) RN * - nhóm ( hay RI * - nhóm) Chứng minh Giả sử nhóm G cho H G U chuỗi chuẩn tắc tăng giải H Từ u ta lập chuỗi E H G (1) Mịn hóa chuỗi (1) đến chuỗi giải được, ta có chuỗi chuẩn tắc tăng giải G Từ suy chuỗi chuẩn tắc tăng giải G/H Tương tự với chứng minh nhóm thương RI * - nhóm Với nhóm kết hiển nhiên 23 CHƯƠNG TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHĨM GIẢI ĐƯỢC § NHĨM HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG 1.1 Định nghĩa Nhóm G gọi nhóm hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn sinh G nhóm hữu hạn Nhận xét: Nhóm hữu hạn nhóm hữu hạn địa phương Tuy nhiên điều ngược lại khơng Ví dụ nhóm P  nhóm hữu hạn địa phương khơng phải nhóm hữu hạn 1.2 Mệnh đề Nhóm con, nhóm thương nhóm hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn địa phương Chứng minh + Nếu G nhóm hữu hạn địa phương A nhóm tùy ý nhóm G Khi lấy nhóm hữu hạn sinh H nhóm A H nhóm G Do G nhóm hữu hạn địa phương, nên nhóm hữu hạn sinh hữu hạn Nên H nhóm hữu hạn Vậy A nhóm hữu hạn địa phương + Nếu G là nhóm hữu hạn địa phương, A nhóm chuẩn tắc G Khi ta có nhóm thương: G/A =  xA / x  G Xét nhóm hữu hạn sinh H nhóm thương G/A Giả sử: H = x1 A, x2 A, , x n A Khi xét nhóm B G sinh hữu hạn phần tử: x1 , x , , x n B = x1 , x , , x n 24 Thì B nhóm nhóm G hữu hạn địa phương nên B nhóm hữu hạn Do H nhóm hữu hạn Ta có nhóm thương G/A nhóm hữu hạn địa phương Định lí Nếu G mở rộng nhóm hữu hạn địa phương G nhờ nhóm hữu hạn địa phương G G nhóm hữu hạn địa phương Chứng minh Trước hết, ta thấy G nhóm xoắn với phần tử g  G nhóm G sinh phần tử g H =  g  phải hữu hạn Giả sử chọn tập G tập hợp M gồm hữu hạn phần tử M = x1 , x , , x n Ta chứng minh {M} =  x1 , x , , x n  nhóm G sinh phần tử x1 , x , , x n nhóm hữu hạn Kí hiệu H = { G1 , M} nhóm G, sinh tập G1 tập M Vì G2 nhóm hữu hạn địa phương nên H/ G1 nhóm hữu hạn H/ G1  x1G1 , x2 G1 , , xn G1  Ta thấy lớp ghép H theo G1 chứa phần tử M Khi đó, tích thuộc lớp ghép H theo G1 viết dạng tích phần tử M với phần tử G1 Với cặp ta có biểu diễn: x i x j  x k a ii , a ij  G1 Vì G nhóm xoắn nên phần tử g {M} biểu dạng tích lũy thừa phần tử M với số mũ (+1) g = xi1 xi xik , xij  M Do đó, g biểu diễn dạng tích phần tử M với phần tử a ij Mỗi cặp xi x j có j  G1 tương ứng Số cặp hữu hạn nên 25 số tương ứng hữu hạn G1 nhóm hữu hạn địa phương nên nhóm sinh a ij hữu hạn Vậy nhóm {M} hữu hạn Điều chứng tỏ G nhóm hữu hạn địa phương 1.4 Định lý Tích trực tiếp hai, số hữu hạn nhóm hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn địa phương Kết hệ trực tiếp định lý 1.5 Định nghĩa Một nhóm G gọi nhóm giải địa phương nhóm G sinh số hữu hạn phần tử nhóm giải 1.6 Định lý Một nhóm xoắn, giải địa phương G nhóm hữu hạn địa phương Chứng minh + Trước hết, G nhóm giải được, G có dãy đạo nhóm dừng nhóm đơn vị, sau số bước hữu hạn G = G0  G '  G ''   G ( n  1)  G ( n ) = E Vì G ( n  1) / G n G ( n  1) abel, xoắn nên G ( n  1) nhóm hữu hạn địa phương Ta lại có G ( n  2) / G ( n  1) nhóm aben, xoắn nên nhóm hữu hạn đại phương Theo định lí 2, nhóm G ( n  2) nhóm hữu hạn địa phương Cứ tiếp tục vậy, sau số hữu hạn bước ta suy G nhóm hữu hạn địa phương + Với trường hợp G nhóm giải địa phương: Giả sử < g , g , , g k > tập hợp hữu hạn phần tử G H nhóm G sinh phần tử H = { g , g , , g k } Khi H nhóm giải G giải địa phương Theo chứng minh H nhóm hữu hạn đại phương, H hữu hạn sinh nên H nhóm hữu hạn Định lý chứng minh hồn tồn 26 §2 TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM GIẢI ĐƯỢC 2.1 Định nghĩa Giả sử P tính chất G nhóm mà nhóm G sinh số hữu hạn phần tử có tính chất p p gọi tính chất địa phương nhóm G 2.2 Định nghĩa Tập hợp P nhóm nhóm G gọi hệ địa phương nhóm nhóm G thỏa mãn điều kiện sau: i) Mọi phần tử G thuộc nhóm P ii) Bất kì hai nhóm P chứa nhóm P 2.3 Định lý Mọi nhóm có tính chất địa phương RN – nhóm RN – nhóm Chứng minh Giả sử nhóm G cho hệ địa phương nhóm L giả sử tất nhóm A  , A  , … hệ RN – nhóm Trong A  hệ L ta lấy chuỗi chuẩn tắc giải C  Giả sử a,b hai phần tử tùy ý nhóm G Đối với trị số  mà nhóm A  chứa hai phần tử a,b Ta ký hiệu nhóm C a,b Ký hiệu C   nhóm bé hệ C  chứa hai phần tử a,b Khi C a,b C  a,b  a,b lập nên hệ C  bước nhảy với thương aben giao hốn tử a,b  [a,b]  C a,b Tất nhóm A  L chứa a b thuộc ba lớp sau  đây: Các nhóm C a,b chứa a không chứa b, chứa b không chứa a, 27 khơng chứa a b Khi lớp hệ địa phương nhóm nhóm G Thật vậy, lớp ta phần tử nhóm G mà phần tử khơng nằm nhóm lớp Phần tử gọi phần tử “đối ngẫu” Tương tự ta có nhóm “đối ngẫu” thuộc vào lớp khơng bị chứa nhóm thứ lớp Theo định nghĩa hệ địa phương nhóm L, tìm nhóm A  chứa phần tử a,b Đồng thời chứa phần tử nhóm ba lớp Điều mâu thuẫn với nhóm A  thuộc vào lớp mà ta xét Ta gọi hệ địa phương nhóm liên hệ với cặp phần tử (a,b) Giả sử có cặp phần tử (c,d), (c’,d’) với nhóm A  hệ L chứa tất phần tử xảy hai khả sau:   C c,d  C c ',d ' Hay   C c ',d '  C c,d Như chứng minh hai lớp hệ địa phương nhóm nhóm G Điều dẫn đến hệ địa phương liên hệ với cặp (c,d), (c’,d’) Lấy giao hệ địa phương nhóm thuộc vào hệ địa phương cho Nếu cho số hữu hạn cặp (a i , b i ), i = 1, 2,…, n số hữu hạn cặp (c j , d j ), (c j , d i' ), j= 1,2, ,s từ hệ địa phương liên hệ với cặp hệ cặp, chọn hệ cho giao chúng hệ địa phương nhóm nhóm G Thật vậy, với giao trên, giao hữu hạn phần tử đối ngẫu hay cặp nhóm đối ngẫu Chọn phần tử đối ngẫu hay cặp nhóm đối ngẫu cho tất ba lớp theo cặp (a i , b i ) hay theo hệ cặp (c i ,d i ), (c i' ,d i' ) cho chúng không hệ địa phương liên hệ với cặp hay hệ cặp nói Trong hệ L tồn nhóm A  chứa tất phần tử đối ngẫu 28 hay nhóm đối ngẫu tất phần tử cặp hệ cặp cho Mỗi cặp hay hệ cặp nhóm A  thuộc vào hệ địa phương liên hệ với cặp phần tử hay hệ cặp phần tử cho thuộc vào giao tất hệ địa phương Điều mâu thuẫn với nhóm A  chứa phần tử hay nhóm đối ngẫu giao Từ kết chứng minh cặp (a, b) hệ cặp (c,d), (c’, d’) chọn hệ địa phương nhóm G liên hệ với chúng Ký hiệu tương ứng hệ L ( a ,b ) , L ( c,d ),(c ',d ') cho giao số hữu hạn hệ địa phương hệ địa phương nhóm nhóm G Ký hiệu tiếp tục tất hệ địa phương L ( a ,b ) , L ( c,d ),(c ',d ')  Từ ta xây dựng hệ chuẩn tắc giải nhóm G sau: Lấy hai phần tử (a,b) tùy ý nhóm G, sau xác định nhóm H a,b nhóm G theo bước : Lấy giao hệ địa phương L ( a ,b ) tập hợp hữu hạn hệ địa phương khác tập hợp  Như ta biết, hệ hệ địa phương  Lấy giao nhóm C a,b với A  thuộc vào hệ địa phương xây dựng bước Lấy hợp tất giao xác định theo bước 2, ta cố định cặp (a,b) hệ địa phương khác với hệ địa phương xác định bước Ký hiệu hợp H a ',b ' Khi ta có : + H a,b nhóm nhóm G Thật vậy, hai phần tử giao xác định bước nằm giao dạng + Nhóm H a,b chứa phần tử a,b không chứa phần tử Tuy nhiên H a,b ln ln chứa tốn tử [a,b] hai phần tử a b  Thật vậy, nhóm C a,b lấy với tất A  , nằm hệ địa phương L ( a ,b ) 29 + Tập hợp B nhóm H a,b xây dựng với tất cặp (a,b) xếp lồng theo quan hệ bao hàm Thật vậy, lấy nhóm H a,b , H c,d Theo cách xác định hệ địa phương L ( a ,b ),( c , d ) tất nhóm A  hệ xảy hai bao hàm thức :     C a,b  C c,d C c,d  C a,b Giả sử xảy bao hàm thức thứ Bởi giao xác định theo bước nói Xác định nhóm H a,b tăng đén hệ địa phương Còn   giao xác định bước nói trên, thêm vào hệ L ( a ,b ),(c ,d ) ta có H a,b  H c,d Loại bỏ nhóm lặp lại B bổ sung vào hợp giao tất tập ta có hệ lồng nhóm B + Nhóm E thuộc vào hệ B Thật vậy, a phần tử khác phần tử đơn vị nhóm G nhóm H 1, a chứa đơn vị, không chứa a Bởi , giao tất nhóm hệ B E Tuy nhiên, chứng minh nhóm G thuộc vào hệ B , hợp G’ tất nhóm hệ B khác với G Nếu lấy hai phần tử a,b nhóm G giao hốn tử [a.b] thuộc vào H a,b thuộc vào G’ Phần cịn lại để chứng minh Định lý chứng minh hệ B hệ giải chuẩn tắc nhóm G’ + Hệ B hệ chuẩn tắc Thật vậy, ta lấy hệ nhóm H  , H  1 tùy ý Nếu phần tử a b cho : a H  , b H  1 , b H  H a,b  H  ngược lại nhóm H a,b thuộc vào B chưa nhóm H  1 tức chứa hai phần tử a,b Vì giao hốn tử [a,b] thuộc H a,b nên thuộc vào 30 H  Do a  H  nên b  ab  H  Điều chứng tỏ H  ước chuẩn H  1 + Hệ B giải : Thật giả sử hệ B tồn H  , H aben Từ nhóm H  1  1 với thương H  1 / H  khơng tìm phần tử a,b cho giao hoán tử [a,b] với hai phần tử a,b cho giao hoán tử [a,b]  H  Điều khơng thể xảy nhóm H a,b chứa phần tử [a,b] với hai phần tử a,b, tức lầ thuộc vào H  từ [a,b]  H   2.4 Định lý Mọi nhóm có tính chất địa phương RI – nhóm RI – nhóm Chứng minh Để chứng minh mệnh đề kết ta cần chứng minh nhóm H a ,b (xây dựng định lý 2.3) ước chuẩn G Thật vậy, giả sử c phần tử tùy ý nhóm H a ,b , d phần tử tùy ý nhóm G Từ xác định nhóm H a ,b ta thấy phần tử c thuộc vào giao  nhóm C a ,b , lấy tất thành lập giao hệ địa phương với số hữu hạn hệ địa phương khác tập hợp Như biết hệ L( a ,b ),( c ,d ) thuộc hệ địa phương Do phần tử d thuộc vào tất nhóm Đồng thời   C a ,b ước chuẩn A tất C a ,b giao chúng chứa phần tử cd Vậy d  cd H a ,b ta có H a ,b nhóm chuẩn tắc G 31 KẾT LUẬN Khóa luận đạt kết sau: Hệ thống hóa lại khái niệm, định nghĩa nhóm giải tính địa phương nhóm giải Đưa số ứng dụng định lý Sylow Tìm ví dụ chứng minh số tính chất nhóm giải Chứng minh số tính chất tính địa phương nhóm giải 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXBGD [3] Hồng Xn Sính (2001), Đại số đại cương, NXBGD [4] Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (1978), Bài tập đại số, NXB Đại học trung hoc chuyên nghiệp [5] Sten Hu (1973), Đại số đại (bản dịch tiếng việt) [6] Kurốt, Lý thuyết nhóm (bản dịch thư viện Đại hoc Vinh) ... vậy, ước chuẩn nhóm giải ,được chứa chuỗi giải Tính chất 2: Nhóm thương nhóm giải giải Tính chất 3: Nhóm nhóm giải nhóm giải Tính chất 4: Mở rộng nhóm giải nhờ nhóm giải nhóm giải Tính chất 5:... khái niệm nhóm hữu hạn địa phương từ xét số tính chất Cuối tác giả nghiên cứu số tính chất địa phương nhóm giải Cụ thể thể qua mục sau: § Nhóm hữu hạn địa phương § Tính địa phương nhóm giải Khóa... dụ nhóm P  nhóm hữu hạn địa phương khơng phải nhóm hữu hạn 1.2 Mệnh đề Nhóm con, nhóm thương nhóm hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn địa phương Chứng minh + Nếu G nhóm hữu hạn địa phương A nhóm