Phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng (2)

1 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………… Trang Chương I Tương đẳng nửa nhóm xyclic………………… 1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương…………………………………… 1.2 Nửa nhóm xyclic………………………………………………… 1.3 Tương đẳng nửa nhóm xyclic…………………………… 10 Chương II Vị nhóm nhóm cộng số nguyên nhóm cộng số hữu tỷ…………………………………………………… 16 2.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước được……………………………… 16 2.2 Vị nhóm nhóm cộng số nguyên……………………… 21 2.3 Vị nhóm nhóm cộng số hữu tỷ……………………… 26 KẾT LUẬN…………………………………………………………… 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 30 LỜI NĨI ĐẦU Lớp nửa nhóm xyclic lớp nửa nhóm đóng vai trị sở Lý thuyết nửa nhóm Khảo sát nửa nhóm xyclic, hiểu sâu sắc lớp nửa nhóm nhóm quen thuộc số học nửa nhóm cộng số tự nhiên, nhóm cộng tất số nguyên nhóm cộng tất số hữu tỷ Trên sở đó, mối liên quan cấu trúc đại số kết Lý thuyết số làm sáng tỏ Khóa luận gồm hai chương Chương I Tương đẳng nửa nhóm xyclic Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại kết tương đẳng nửa nhóm nửa nhóm thương, phân loại cnửa nhóm xyclic hữu hạn nửa nhóm xyclic vơ hạn, chứng minh chi tiết kết mô tả tương đẳng nửa nhóm Chương II Vị nhóm nhóm cộng số nguyên nhóm cộng số hữu tỷ Chương này, trình bày số ứng dụng dựa đặc trưng nửa nhóm xyclic để làm sáng tỏ cấu trúc nửa nhóm quen thuộc Số học Trước hết, chúng tơi trình bày kết liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ước (Định lý 2.1.4) Kết xem tổng hóa kết quen thuộc: Nửa nhóm cộng số tự nhiên nhúng vào nhóm cộng số ngun Sau đó, chúng tơi khảo sát vị nhóm nhóm số tự nhiên (chúng gọi vị nhóm số) Một kết đáng ý phần điều kiện để vị nhóm vị nhóm cộng số nguyên nhóm (Định lý 2.2.9) Kết mở rộng cho vị nhóm nhóm cộng số hữu tỷ (Định lý 2.3.3) Khóa luận hồn thành hướng dẫn Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy có nhiều bảo, giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả q trình hồn thành khóa luận Tác giả trân trọng cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Đại số; quý Thầy giáo, Cô giáo khoa Toán trường Đại Học Vinh tập thể 48B – Toán động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian có hạn nên khóa luận chắn cịn nhiều thiếu sót, tác giả kính mong nhận góp ý, bảo bạn đọc để khóa luận hồn thiện Vinh, tháng năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC NỬA NHĨM XYCLIC Mơ tả tất tương đẳng lớp nửa nhóm cụ thể vấn đề trọng tâm Lý thuyết nửa nhóm, nhờ cấu trúc hồn tồn xác định cách tường minh Chương dành cho việc mô tả tương đẳng nửa nhóm xyclic, lớp nhóm sở Lý thuyết nửa nhóm 1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương 1.1.1 Định nghĩa i) Giả sử X tập hợp tùy ý khác rỗng Khi tập ρ tích đề X × X gọi quan hệ X Giả sử ρ quan hệ X Nếu (a, b) ∈ ρ a, b phần tử thuộc X ta viết a ρ b ii) Nếu ρ δ quan hệ X , hợp thành ρ oδ định nghĩa sau: (a, b) ∈ ρ oδ tồn phần tử x ∈ X cho (a, x) ∈ ρ ( x , b) ∈ ρ Phép tốn hai ngơi (o) tập hợp β X tất quan hệ X kết hợp Thật vậy, ρ , δ τ quan hệ X , điều khẳng định (a, b) ∈ ( ρ oδ ) oτ (a, b) ∈ ρ o(δ oτ ) tương đương với khẳng định: tồn phần tử x y thuộc X cho (a, x) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ δ ( y, b) ∈ τ Do đó, β X với phép tốn (o) trở thành nửa nhóm Nửa nhóm β X gọi nửa nhóm quan hệ X 1.1.2 Một số quan hệ hai đặc biệt Giả sử X tập hợp tùy ý 1) Quan hệ i gọi quan hệ (a, b) ∈ i a = b với a, b ∈ X 2) Quan hệ ω gọi quan hệ phổ dụng (a, b) ∈ ω với a, b ∈ X 3) Giả sử ρ ∈ β X Khi quan hệ ngược ρ −1 ρ định nghĩa −1 sau : ( a, b) ∈ ρ (b, a) ∈ ρ 4) Giả sử ρ , δ ∈ β X Khi ρ ⊆ δ ρ tập δ , nghĩa a ρ b kéo theo a δ b Vì β X gồm tất tập X × X , nên ta thực β phép toán : hợp, giao phần bù X 5) Giả sử ρ quan hệ X Khi ρ gọi đối xứng ρ −1 ∈ ρ (và ρ −1 = ρ ) Quan hệ ρ gọi phản xạ i ⊆ ρ gọi bắc cầu ρ oρ ⊆ ρ Một quan hệ ρ X gọi quan hệ tương đương ρ phản xạ , đối xứng bắc cầu Khi ρ lũy đẳng nửa nhóm β X , nghĩa ρ = ρ 1.1.3 Phân hoạch tập hợp Giả sử ρ quan hệ X a ∈ X Khi ta ký hiệu: ρ a : = { x ∈ X x ρ a} a ρ : = { x ∈ X a ρ x} Nếu ρ quan hệ tương đương X hai điều kiện sau thỏa mãn: i) a ∈ a ρ với a ∈ X ii) a ρ ∩ bρ ≠ φ kéo theo a ρ = b ρ Như vậy, họ tập a ρ , a ∈ X phân hoạch X , nghĩa tập khơng giao hợp chúng X Ta ký hiệu họ X ρ gọi a ρ lớp tương đương X theo mod ρ chứa a Đảo lại, phân hoạch P tập X xác định quan hệ tương đương ρ X mà P = X ρ , cụ thể a ρ b a, b thuộc tập phân hoạch P Ta gọi ánh xạ a a a ρ ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ tắc từ ∗ X lên X ρ ký hiệu ánh xạ ρ ∗ Chú ý rằng: ρ (a) = a ρ với a ∈ X 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm ρ quan hệ S Khi ρ gọi tương đẳng S hai điều kiện sau thỏa mãn: i) ρ quan hệ tương đương S ii) ρ ổn định hai phía, nghĩa a ρ b ac ρ bc ca ρ cb với c∈S 1.1.5 Bổ đề [5] Một quan hệ tương đương ρ nửa nhóm S tương đẳng với x1 , x2 , y1 , y2 thuộc S có: x1 ρ y1 , x2 ρ y2 ⇒ x1 x2 ρ y1 y2 1.1.6.Định nghĩa Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm S S ρ = { x ρ x ∈ S } tập hợp lớp tương đẳng S theo ρ Khi tương ứng ( x ρ , y ρ ) a xy ρ phép toán hai S ρ (theo Bổ đề 1.1.5) với phép tốn S ρ trở thành nửa nhóm Nửa nhóm S ρ xây dựng gọi nửa nhóm thương (của S theo mod ρ ) Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta cần chứng tỏ phép tốn hai ngơi xác định S ρ có tính chất kết hợp Thật vậy, với x, y, z ∈ S có: x ρ ( y ρ z ρ ) = x ρ ( yz ρ ) = ( x( yz )) ρ = (( xy ) z ) ρ = ( xy ρ ).z ρ = ( x ρ y ρ ).z ρ □ 1.1.7 Định nghĩa Giả sử S T nửa nhóm Ánh xạ ϕ : S → T gọi đồng cấu (nửa nhóm) ϕ ( ab) = ϕ ( a).ϕ (b), ∀a, b ∈ S Đồng cấu ϕ gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ϕ tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh 1.1.8 Định nghĩa Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm S Khi đó, ánh xạ ∗ ∗ tự nhiên ρ : S → S ρ cho ρ (a) = a ρ toàn cấu gọi toàn cấu chính tắc Vì ρ ∗ tồn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.8 hợp lý ta cần chứng minh ρ ∗ đồng cấu Thật vậy, với x, y ∈ S ta có: ρ ∗ ( xy ) = ( xy ) ρ = x ρ y ρ = ρ ∗ ( x) ρ ∗ ( y ) ⇒ ρ ∗ đồng cấu 1.1.9 Định nghĩa Giả sử ϕ : S → T đồng cấu nửa nhóm Khi quan hệ Ker (ϕ ) S cho ( x, y ) ∈ Ker (ϕ ) ϕ ( x) = ϕ ( y) tương đẳng S gọi tương đẳng hạt nhân ϕ Rõ ràng Ker (ϕ ) quan hệ tương đương S Tính ổn định Ker (ϕ ) suy từ điều kiện ϕ đồng cấu 1.1.10 Mệnh đề [5] 1) Nếu { ρi i ∈ I } họ tương đẳng S , thì ρ : = I i∈I ρi cũng tương đẳng S 2) Giả sử δ quan hệ S Khi δ C : = I { ρ ρ tương đẳng S , ρ ⊇ δ } tương đẳng bé S chứa δ (Tương đẳng δ C gọi tương đẳng sinh δ ) 1.2 Nửa nhóm xyclic 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a phần tử tùy ý S Khi nửa nhóm a S gồm tất lũy thừa nguyên dương a : a = { a, a , a , } gọi nửa nhóm xyclic S sinh a Trong trường hợp S = a S gọi nửa nhóm xyclic sinh a a gọi phần tử sinh Cấp a định nghĩa cấp nửa nhóm xyclic a Với a ∈ S có hai khả xảy ra: 1) Hoặc lũy thừa a khác nhau, a có cấp vô hạn (đếm được) 2) Hoặc tồn số nguyên dương r , s với r < s cho a r = a s Khi a có cấp hữu hạn Giả sử s số nguyên dương bé cho a r lũy thừa phần tử a lũy thừa bé phần tử Thế a s = a r với r bé s ( r số nguyên dương bé có tính chất này) Đặt m = s − r , a r = a m + r Trong trường hợp m gọi chu kỳ, r gọi số phần tử a hay nửa nhóm xyclic a 1.2.2 Mệnh đề Giả sử a phần tử nửa nhóm S a nửa nhóm xyclic sinh a Nếu a nửa nhóm xyclic vô hạn thì lũy thừa a khác Nếu a nửa nhóm xyclic hữu hạn với số r chu kỳ m { } m + r −1 thì a m + r = a r a = a, a , , a Khi cấp nửa nhóm a m + r −1 { } r r +1 r + m −1 Tập hợp K a = a , a , , a nhóm xyclic cấp m nửa nhóm S { } Chứng minh Giả sử a = a, a , a , + Nếu a nửa nhóm xyclic vô hạn, từ Định nghĩa 1.2.1 suy số phần tử nửa nhóm a vơ hạn lũy thừa a khác + Nếu a nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m số r theo Định nghĩa 1.2.1, tồn hai số nguyên dương r s cho a r = a s Do m chu kỳ nên m = s − r ; a r = a m + r phần tử a, a , , a s − đôi khác nên suy : { } { } a = a, a , , a s − = a, a , , a r , a r + 1, , a r + m − Vậy a có cấp m + r − { } r r +1 r + m −1 + Tập hợp K a = a , a , , a nhóm xyclic cấp m S Thật vậy, hiển nhiên K a nửa nhóm S Ta đặt a n ∈ K a với r ≤ n ≤ m + r −1 n Xét ánh xạ ϕ : a a ( m ) + n ( m ) + n lớp thặng dư số nguyên theo mod m chứa n Thế ϕ đẳng cấu từ K a lên nhóm cộng Z ( m) tất lớp thặng dư theo mod m Từ đó, K a nhóm xyclic cấp m nửa nhóm S □ 1.2.3 Mệnh đề Giả sử S = a số r; n nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m số tự nhiên thỏa mãn r ≤ n ≤ m + r n ≡ ( mod m ) Khi { an } r r +1 r + m −1 đơn vị nhóm tối đại K a = a , a , , a Chứng minh Xét ánh xạ ϕ : K a → ¢ m ah a h ( ) h Khi ϕ đồng cấu nhóm ϕ a = ⇔ h = ⇔ h ≡ ( mod m ) với r ≤h≤m+r □ 1.2.4 Chú ý 1) Từ trở đi, ta ký hiệu nhóm cộng tất số ngun ¢ , nửa nhóm cộng tất số ngun dương ¢ + vị nhóm cộng số ngun khơng âm ¥ Từ định nghĩa suy nửa nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu với ¢ + vị nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu với ¥ 2) Đối với hai số nguyên dương tùy ý cho trước r m , xây dựng nửa nhóm xyclic a mà số r chu kỳ m ; chẳng hạn nửa nhóm sinh phép biến đổi ỉ ỗ a =ỗ ỗ ỗ ố1 r- r ö r r + m - r + m - 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ r +1 r +m- r ø tập { 0,1, 2, , r , r + 1, r + 2, , r + m − 1} Hiển nhiên hai nửa nhóm xyclic đẳng cấu với chúng có số chu kỳ 1.2.5 Định nghĩa Giả sử A tập khác rỗng nửa nhóm ¢ + Khi + A gọi lập từ đẳng thức a = b + c với a ∈ A, b ∈ A, c ∈¢ kéo theo c ∈ A 1.2.6 Mệnh đề Giả sử A nửa nhóm nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + Khi A nửa nhóm xyclic A lập ¢ + 10 Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử A nửa nhóm xyclic, A = m¢ + với m ∈¢ + Từ a=b+c với a ∈ A, b ∈ A suy tồn a '∈¢+ , b '∈¢+ cho a = m.a ', b = m.b ' Vì a = b + c nên a > b , a ' > b ' Khi đó, từ m.a ' = m.b '+ c suy c = m (a '− b ') ∈ A Vậy A lập ¢ + +) Điều kiện đủ Giả sử A cô lập ¢ + Gọi k : = { a a ∈ A} n ∈ A, n = k q + r với ≤ r ≤ k - Nếu q = n = r < k mâu thuẫn với cách chọn k - Nếu q ≤ −1 k q ≤ − k , k q + r ≤ r − k suy n < (vì r < k ) mâu thuẫn với n ∈ A ⊂ ¢ + - Vậy q ≥ Giả sử r ≠ , A lập n = k q + r nên từ n ∈ A, k q ∈ A suy r ∈ A , mâu thuẫn với cách chọn k Do r = nên n = k q Vậy A nửa nhóm xyclic sinh k □ 1.2.7 Mệnh đề Tồn nửa nhóm nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + khơng phải nhóm xyclic Chứng minh Thật vậy, xét nửa nhóm A ¢ + sinh { 3; 5} Khi A + khơng phải nửa nhóm xyclic A = k , k ∈ ¢ ∈ A, ∈ A suy = k q, = k q ' với q, q ' ∈¢ + Do k 3, k mà ( 3, ) = nên k = Suy + + A = ¢ + mà ∈ ¢ = A = 3, nên tồn p, p ' ∈¢ cho = p + p ' , điều mâu thuẫn Vậy A nửa nhóm xyclic □ 1.3 Tương đẳng nửa nhóm xyclic Vì nửa nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu với nửa nhóm cộng số ngun dương ¢ + , nên ta cần mơ tả tương đẳng nửa nhóm ¢ + 1.3.1 Bổ đề Giả sử ρ tương đẳng nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + ρ ≠ i ( i quan hệ đồng ¢ + ) Khi tồn cặp số nguyên dương (m, r ) cho a ρb khi: max (a, b) < r thì a = b 16 CHƯƠNG II NỬA NHÓM CON CỦA NHÓM CỘNG CÁC SỐ NGUYÊN VÀ NHÓM CỘNG CÁC SỐ HỮU TỶ Chương dành cho việc khảo sát số tính chất nửa nhóm nhóm cộng số nguyên , nhóm cộng số hữu tỷ 2.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu Nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn phép tốn S có tính chất giao hốn, nghĩa a + b = b + a với a, b ∈ S Ở đây, phép toán đươc định nghĩa theo lối cộng Nếu S vị nhóm, nghĩa S có đơn vị đơn vị S gọi phần tử không S , ký hiệu Giả sử S nửa nhóm khơng có đơn vị, S nhúng vào vị nhóm S = S ∪ { t } , t ký hiệu khơng thuộc S thỏa mãn điều kiện: t + x = x + t = x, ∀x ∈ S Khi đó, t trở thành phần tử đơn vị S Giả sử S nửa nhóm A, B tập khác rỗng S Ký hiệu A + B : = { a + b a ∈ A, b ∈ B} Tập khác rỗng T nửa nhóm S gọi nửa nhóm S thân T nửa nhóm với phép tốn S cảm sinh T , nghĩa ∀a, b ∈T ⇒ a + b ∈T Giả sử { Sα α ∈ I } họ nửa nhóm nửa nhóm S cho I { Sα α ∈ I } ≠ Khi đó, T = I { Sα α ∈ I } nửa nhóm S nửa nhóm nhỏ S chứa Sα , α ∈ I Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Khi giao tất nửa nhóm S chứa B nửa nhóm nhỏ S chứa B Nó gọi nửa nhóm S sinh B ký hiệu B Rõ 17 ràng B n chứa tất phần tử dạng ∑b = b + b i + + bn i =1 bi ∈ B, ∀i = 1, 2, , n Tập khác rỗng I nửa nhóm S gọi iđêan S I ⊇ s + I , ∀s ∈ S , s + I : = { s + a a ∈ I } Giao họ tùy ý iđêan nửa nhóm S iđêan S giao khác rỗng Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S , B ∪ ( B + S ) iđêan S iđêan nhỏ S chứa B Nó gọi iđêan sinh B (của S ) Nếu S vị nhóm B ⊆ B + S nên B + S iđêan S sinh B Giả sử I iđêan thực nửa nhóm S (nghĩa I ≠ S ), I gọi iđêan nguyên tố S x + y ∈ I kéo theo x ∈ I y ∈ I (đối với x, y ∈ S ) Như vậy, iđêan thực I nửa nhóm S iđêan nguyên tố phần bù S − I I S nửa nhóm S Giả sử I iđêan nửa nhóm S ¢ + tập hợp tất số nguyên dương Khi đó, tập { s ∈ S tồn n ∈ ¢ + cho n.s ∈ I } iđêan S gọi iđêan I , ký hiệu rad ( I ) hay I Chúng ta hệ thống lại số kết biết lý thuyết nửa nhóm iđêan nửa nhóm 2.1.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm (1) S nhóm S có iđêan S (2) Nếu I iđêan S T nửa nhóm S cho I ∩ T = φ , thì tồn iđêan nguyên tố P S cho P chứa I P ∩ T = φ (3) Nếu I iđêan S , thì rad ( I ) giao họ iđêan nguyên tố chứa I S 18 Chứng minh (1) Giả sử S nhóm I iđêan S Khi I ≠ φ nên tồn a ∈ I Vì S nhóm nên tồn b ∈ S cho a + b = , phần tử đơn vị S Vì I iđêan S a ∈ I nên = a + b ∈ I Khi ∀x ∈ S có x = + x ∈ I nên S ⊆ I Hiển nhiên I ⊆ S nên I = S Giả sử a, b ∈ S Khi a + S iđêan S theo giả thiết ( S iđêan S ) có a + S = S Vì b ∈ S nên b ∈ a + S Suy tồn c ∈ S cho a + c = b , phương trình a + x = b có nghiệm S Vì S giao hốn nên phương trình y + a = b có nghiệm S Vậy S nhóm (2) Theo bổ đề Zorn, ta cần chứng minh I iđêan nguyên tố I tối đại iđêan không giao với T Thật vậy, giả sử a, b ∉ I , I ∪ { a} ∪ ( a + S ) I ∪ { b} ∪ (b + S ) iđêan S chứa I nên có giao với T Suy tồn s1 , s2 ∈ S cho a + s1 ∈ T b + s2 ∈ T Từ a + s1 + b + s2 ∈ T hay a + b + s ∈ T với s = s1 + s2 ∈ S Vì I ∩ T = φ nên a + b ∉ T Vậy I iđêan nguyên tố (3) suy trực tiếp từ định nghĩa rad ( I ) kết (2) □ 2.1.3 Định nghĩa ký hiệu Giả sử S vị nhóm giao hốn (cộng tính) với đơn vị (phần tử khơng) Khi phần tử s ∈ S gọi khả nghịch tồn x ∈ S cho s + x = Tập hợp G tất phần tử khả nghịch S tạo thành nhóm S nhóm lớn S chứa Một tổng hữu hạn n ∑ si phần tử thuộc S i =1 khả nghịch phần tử si khả nghịch Như vậy, S − G iđêan nguyên tố S G ≠ S Nếu H nhóm tùy ý S chứa 0, trường hợp nhóm, H cảm sinh phân hoạch S thành lớp ghép rời s + H H Thực tế, quan hệ ~ S xác định a ~ b a = b + h với h ∈ H đó, ~ quan hệ tương đương S s + H lớp tương đương chứa s ∈ S 19 Một phần tử s ∈ S gọi giản ước s + a = s + b kéo theo a = b a, b ∈ S Giả sử C tập hợp tất phần tử giản ước nửa nhóm S C ≠ φ Thế C nửa nhóm S Khi tổng hữu n hạn ∑ si i =1 phần tử thuộc C si ∈ C , từ S − C iđêan nguyên tố S S ≠ C Trong trường hợp S = C , ta nói S nửa nhóm giản ước Một kết quen thuộc lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu nhóm giản ước hữu hạn nhóm Hiển nhiên, nửa nhóm nhóm giản ước Định lý 2.1.4 sau khẳng định kết ngược lại 2.1.4 Định lý Nếu S nửa nhóm cộng tính (giao hốn) C nửa nhóm S cho phần tử thuộc C giản ước S , thì tồn phép nhúng f từ S vào vị nhóm giao hốn T cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) Với c ∈ C , f (c) có nghịch đảo T (mà ta ký hiệu − f (c) ) (2) T = { f ( s) − f (c) s ∈ S c ∈ C} Vị nhóm T xác định (bởi tính chất (1) (2)) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Nếu S nửa nhóm giản ước S = C thì T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự cách xây dựng vành tất số nguyên ¢ từ tập hợp số ngun khơng âm Giả sử A = S × C ~ quan hệ A xác định ( s1 , c1 ) ~ ( s2 , c2 ) s1 + c2 = s2 + c1 Vì C giản ước nên ~ quan hệ tương đương A Ký hiệu [ s, c ] lớp tương đương chứa ( s, c ) T tập hợp tất lớp tương đương [ s, c ] với s ∈ S , c ∈ C Thế T với phép toán cho [ s ,c ] +[ s ,c ] =[s 1 2 + s2 , c1 + c2 ] 20 vị nhóm giao hốn với đơn vị (phần tử khơng) (c, c), ∀c ∈ C Hơn nữa, ánh xạ f : S → T xác định f ( s ) = [ s + c, c ] phép nhúng từ S vào T Nếu c ∈ C , f ( s) = [ 2c, c ] có nghịch đảo [ c, 2c ] T , phần tử [ s + c, c ] + [ c , c ] = tùy ý [ s, c ] T viết dạng f ( s ) − f (c) Rõ ràng T xác định (bởi tính chất (1) (2)) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa g : S → T ' phép nhúng từ S vào vị nhóm giao hốn T ' cho hai điều kiện (1) (2) thỏa mãn tồn đẳng cấu nửa nhóm ϕ : T → T ' cho ϕ o f = g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán: S g f T ϕ T' Hơn , S = C phần tử tùy ý [ s, c ] T có nghịch đảo [ c, s ] T nên T nhóm Điều kết thúc phép chứng minh Định lý 2.1.4 □ 2.1.5 Định nghĩa Vị nhóm thương xây dựng phép chứng minh Định lý 2.1.4 gọi vị nhóm thương S theo C Vì f đơn cấu nên ta đồng f ( s ) với s , phần tử T viết dạng s − c thay cho f ( s) − f (c) Nếu S giản ước được, nhóm T Định lý 2.1.4 gọi nhóm thương S , không kể sai khác đẳng cấu T nhóm Abel nhỏ mà S nhúng vào 2.1.6 Chú ý Từ Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.4, ta phân lớp nửa nhóm (giao hốn) giản ước theo thuật ngữ nhóm thương (Abel) chúng Ta nhắc lại nhóm Abel G gọi nhóm Abel phi xoắn phần tử G có cấp hữu hạn; G gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Thế từ Định lý 2.1.4 ta suy ra: 21 Giả sử S nửa nhóm (giao hốn) giản ước G nhóm thương Thế G nhóm phi xoắn S thỏa mãn điều kiện: (*) Đối với số nguyên dương n x, y ∈ S tùy ý, đẳng thức n.x = n y kéo theo x = y Từ ta đưa đến Định nghĩa: Nửa nhóm S gọi nửa nhóm phi xoắn điều kiện (*) thỏa mãn 2.2 Vị nhóm nhóm cộng số nguyên Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm tính chất nửa nhóm xyclic trình bày chương I, phép tốn nửa nhóm S ký hiệu theo lối cộng Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm xyclic tồn phần tử a ∈ S cho S = a = { a, 2a, , na, } Có hai trường hợp xảy ra: Thứ nhất, với hai số nguyên m, n khác ma ≠ na , S đẳng cấu với nửa nhóm cộng ¢ + tất số nguyên dương, S có cấp vơ hạn Thứ hai, tồn m ≠ n ma = na , ta nhận kết sau: 2.2.1 Định lý Giả thiết S = a nửa nhóm xyclic cho ma = na với số nguyên dương m, n khác Giả sử k số nguyên dương nhỏ cho ka = với r < k , giả sử m=k −r (1) Đối với u ≥ v ≥ r , đẳng thức ua = va m chia hết u −v (2) S = { a, 2a, , (k − 1)a} có lực lượng k − (3) G = { ra, (r + 1)a, , (k − 1) a} nhóm S ; đơn vị G , h số nguyên thỏa mãn r < h < m + r − h chia hết cho m Phần tử a gọi phần tử sinh nửa nhóm S = a ; r gọi số m gọi chu kỳ a (và gọi số chu kỳ a = S ); số nguyên r + m − gọi cấp a (và gọi cấp a = S ) 22 Nếu a hữu hạn phần tử a gọi tuần hồn Nửa nhóm S gọi nửa nhóm tuần hồn phần tử S tuần hồn Nếu a vơ hạn phần tử a gọi khơng tuần hồn Nửa nhóm S gọi nửa nhóm khơng tuần hồn phần tử khác đơn vị (nếu có) S khơng tuần hoàn Chỉ số chu kỳ nửa nhóm xyclic xác định sai khác đẳng cấu Hơn nữa, hai số nguyên dương r m , tồn nửa nhóm xyclic C ( r , m) số r chu kỳ m Một nửa nhóm nửa nhóm nhận sinh lớp X ¢ [ X ] (X r +m − X r ) Chúng ta ý C (r , m) nhóm r = , C (1, m) nhóm xyclic cấp m Mặt khác, nửa nhóm xyclic C ( r , m) chứa lũy đẳng (chú ý S nửa nhóm ký hiệu theo lối cộng phần tử e ∈ S gọi phần tử lũy đẳng thỏa mãn điều kiện e + e = e ) Nửa nhóm cộng ¢ + tất số nguyên dương nửa nhóm xyclic vơ hạn nửa nhóm cộng số ngun khụng õm Ơ l v nhúm nhn c t  + cách bổ sung thêm phần tử không Mặt khác, Định lý Số học chứng tỏ nửa nhóm nhân ¢ + tổng trực tiếp yếu số đếm copy theo nghĩa sau đây: 2.2.2 Định nghĩa Giả sử S vị nhóm cộng tính với phần tử khơng Nếu { Sα } α∈I họ vị nhóm S chứa thỏa mãn điều kiện : phần tử S biểu diễn dạng n ∑ sαi i =1 với sαi ∈ Sαi i (trong α i ∈ I , ∀i = 1, 2, , n ), đẳng thức n n i =1 i =1 ∑ sαi = ∑ tαi kéo theo sαi = tαi (với i = 1, 2, , n ), S gọi tổng trực tiếp yếu (trong) họ { Sα } α∈I W Ký hiệu S = ∑ Sα α∈I 23 W Sα Sα ∩ ∑ S β = { 0} Từ định nghĩa suy S = ∑ Sα S = α∑ β ≠α ∈I α∈I α ∈ I , hai điều kiện không đảm bảo S tổng trực tiếp yếu { Sα } α∈I họ Trong trường hợp I hữu hạn, I = { 1, 2, , n} ta viết n S = S1 ⊕ S ⊕ ⊕ S n hay S = ⊕ Si Trở v trng hp ( + , ã) , gi s p1 < p2 < i =1 { } j tập hợp số nguyên tố Si vị nhóm pi ∞ j =0 ¢ + i Thế ¢ + tổng (hoặc tích) trực tiếp yếu họ { Si } i =0 ∞ 2.2.3 Định nghĩa Các vị nhóm vị nhóm cộng ¥ gọi vị nhóm số (numberical monoids) Nếu S vị nhóm số khác khơng, giả sử d ước chung lớn ( g c d ) phần tử thuộc S Thế S = d T T ≅ S g c d phần tử thuộc T ; gọi vị nhóm số T nguyên thủy Để xác định tất vị nhóm số, ta cần xác định vị nhóm nguyên thủy Trước hết ta chứng minh kết sau: 2.2.4 Định lý Giả sử a b số nguyên dương nguyên tố Nếu n ≥ (a − 1) (b − 1) , thì tồn số nguyên không âm x y cho n = xa + yb Chứng minh Trường hợp a b tầm thường, giả thiết < a < b Chúng ta viết ib = qi a + ri , ≤ ri < a ≤ i ≤ a − Vì b ≡ (mod a) nên tập hợp { ri } i =0 tập đầy đủ thặng dư a −1 mod a Nếu n ≥ (a − 1) (b − 1) , viết n = ta + r , ≤ r < a , từ r ∈{ ri } i =0 a −1 Nếu r = rj , t ≥ qj; t < qj kéo theo 24 ta + rj = n < q j a + ri = jb jb − n cho a Nhưng Do t ≥ q j n = (t − q j ) a + q j a + rj = (t − q j ) a + jb □ Do chia hết jb − (a − 1) (b − 1) ≤ ( a − 1) ; mâu thuẫn Từ Định lý 2.2.4 suy vị nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên tố chứa iđêan k + ¥ = {x ∈ ¥ x ≥ k } ¥ , k số nguyên dương Kết chứng tỏ vị nhóm số nguyên thủy khác không chứa cặp số nguyên dương nguyên tố 2.2.5 Định lý Nếu S vị nhóm số nguyên thủy khác không, thì tồn số nguyên dương a, b ∈ S cho gcd { a, b} = { Chứng minh Tồn tập hữu hạn a1, a2 , , an } S ∩ ¢ + với g c.d Chọn số nguyên x1 , x2 , , xn cho = x1a1 + + xn an Thế + [ k (a1 + + an−1 ) − xn ] an = ( x1 + kan ) a1 + + ( xn −1 + kan ) an −1 số nguyên k , k đủ lớn, xi + kxn số dương cho n −1 ∑ ( xi + kan ) = + [ k (a1 + + an−1 ) − xn ] an ∈ S nguyên tố với i =1 an ∈ S □ 2.2.6 Định lý Giả sử S vị nhóm số khác không giả sử d ước chung lớn ( g c.d ) phần tử thuộc S (1) Tồn số nguyên dương k cho S chứa md m ≥ k (2) S hữu hạn sinh Từ đó, ¥ thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng ( a.c.c ) vị nhóm (3) Tồn tập hợp hữu hạn B phần tử sinh vị nhóm S cho C tập sinh tùy ý S (xét vị nhóm) thì B ⊆ C Chứng minh Khẳng định (1) suy trực tiếp từ Định lý 2.2.4 2.2.5 25 Để chứng minh (2), ý tập hợp { si } t i =1 phần tử thuộc S mà bé k d hữu hạn, S sinh bởi: { si } t i =1 ∪ { k d , (k + 1) d , , (2k − 1) d } Khẳng định nói vị nhóm ¥ hữu hạn sinh suy a.c.c vị nhóm thỏa mãn ¥ Để chứng minh (3), giả sử b1 phần tử dương nhỏ S Thế b1 thuộc vào tập sinh C S Nếu { b1} sinh S vị nhóm, lấy B = { b1} Ngược lại, giả sử b2 phần tử nhỏ S không nằm vị nhóm b sinh b1 Thế { b1 , b2 } ⊆ C tập sinh C S Tiếp tục trình này, ta nhận b1, b2 , ,bn = S n ¥ thỏa mãn điều kiện a.c.c vị nhóm con, ta lấy B = { b1 , b2 , , bn } □ Chúng ta thấy vị nhóm số đẳng cấu với vị nhóm nguyên thủy Kết chứng tỏ vị nhóm số ngun thủy khác khơng đẳng cấu với 2.2.7 Định lý Giả thiết S T vị nhóm số Nếu ϕ : S → T đồng cấu, thì tồn số hữu tỷ q không âm cho h ( s) = qs , với s ∈ S Như vậy, ϕ đơn ánh, ánh xạ tất phần tử S thành Nếu S T vị nhóm nguyên thủy ϕ đẳng cấu từ S lên T thì S = T Chứng minh Giả sử s phần tử khác không S t = ϕ ( s ) , giả sử q = t Lấy s ' ∈ S s Nếu s ' = ϕ ( s ') = = qs ' Nếu s ' ≠ , ϕ ( ss ') = s ϕ ( s ') = s 'ϕ ( s ) nên ϕ ( s ') = qs ' Như ϕ đơn ánh ánh xạ không tùy theo q ≠ hay q = Nếu S T vị nhóm ngun thủy ϕ tồn ánh , tính nguyên 26 thủy S bao hàm thức qs ⊆ ¥ kéo theo q số nguyên, tính nguyên thủy T với đẳng thức T = qS chứng tỏ q = Như vậy, đẳng cấu S T với tính chất nguyên thủy chúng kéo theo T = S □ 2.2.8 Chú ý Nếu S B tập hợp nêu phần (3) Định lý 2.2.6, lực lượng B gọi hạng S Vị nhóm k , k + 1, , 2k − ¥ có hạng k k ∈ ¢ + Khác với ¥ , ý rng cỏc v nhúm ca Ơ ì Ơ – tổng trực tiếp ngồi ¥ với - không thiết hữu hạn sinh Chẳng hạn, ( 1, k ) ∉ (1,0), (1,1), ,(1,1 − k ) với k tùy ý 2.2.9 Định lý Nếu S vị nhóm vị nhóm cộng ¢ chứa đồng thời số nguyên dương nguyên âm đó, thì S nhóm ¢ Chứng minh Giả sử S1 = S ∩ ¥ S2 = S ∩ ( - ¥ ) Nếu d1 d ước chung lớn phần tử thuộc S1 S tương ứng, ¥ – ¥ đẳng cấu nên từ Định lý 2.2.6 suy tồn số nguyên dương k1 , k2 cho md1 ∈ S1 m ≥ k1 − nd ∈ S n ≥ k2 Giả sử d = g c.d { d1 , d } Chúng ta chứng tỏ S = d ¢ Bao hàm thức S ⊆ d ¢ rõ ràng Tồn số nguyên x y cho d = x d1 + y d , x d1 + y d = ( x + rd ) d1 + ( y − rd1 ) d số nguyên tùy ý r , giả thiết x ≥ k1 − y ≥ k2 (mà khơng tính tổng qt) Như d ∈ S lập luận tương tự chứng tỏ − d ∈ S Do d ¢ ⊆ S S = d ¢ □ 2.3 Vị nhóm nhóm cộng số hữu tỷ ¤ Trong tiết này, mở rộng kết nêu Định lý 2.2.9 cho trường hợp nhóm cng cỏc s hu t Ô Trc ht, ta nhắc lại số kiến thức sở liên quan đến nhóm cộng Trước hết, với số hữu t khỏc khụng r Ô , ỏnh x x a rx l mt t ng cu ca Ô Nh vy, mi nhúm G ca Ô ng cu với nhóm 27 chứa ¢ , việc xét nhóm vậy, ln ln giả thiết G ⊇¢ Chúng ta nhắc lại nhóm H gọi có tính chất địa phương E nhóm hữu hạn sinh H có tính chất E Nói riêng, H gọi xyclic địa phương nhóm hữu hạn sinh H xyclic 2.3.1 Định lý Nếu { bi } i =1 tập hữu hn ca Ô , ú bi > n i bi thành phần nhỏ Nếu m bội chung nhỏ b1 , b2 , , bn thì nhóm ca Ô c n sinh bi { 1} { bi } i =1 xyclic sinh bi m Núi riờng, Ô l xyclic địa phương Chứng minh Trong chứng minh này, sử dụng < Y> để ký hiệu nhóm ¤ sinh tập Y ¤ Bao hàm thức 1, a1 b1 , , an bn ⊆ m rõ ràng Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta sử dụng phương pháp quy nạp theo n Nếu n = , ta viết = a1 x + b1 y số ngun x, y Thế b1 = x (a1 b1 ) + y ∈ 1, a1 b1 Nếu n = , giả sử d ước chung lớn b1 , b2 ta viết d = b1 x + b2 y Khi s m = d b1 b2 = x (1 b2 ) + y (1 b1 ) ∈ 1, a1 b1 , a2 b2 nên đẳng thức m = 1, a1 b1 , , an bn n = n = , Giả thiết khẳng định đến n = k , trường hợp n = k + 1, giả sử m ' bội chung nhỏ b1 , b2 , , bk Khi m bội chung nhỏ m ', bk +1 Từ trường hợp n=k m ∈ m ', ak +1 bk +1 ∈ 1, a1 b1 , , ak +1 bk +1 n=2 kéo theo 28 Một nửa nhóm hữu hạn sinh tựy ý < Y> ca Ô c cha < { 1} ∪ Y > Vì nhóm nhóm xyclic nhóm xyclic < { 1} ∪ Y > nhóm xyclic, nên < Y > nhóm xyclic, v t ú Ô l nhúm xyclic a phng □ 2.3.2 Hệ Giả sử H nhóm ca nhúm cng cỏc s hu t Ô (1) H hợp dãy tăng nhóm xyclic { k (2) Nếu H chứa ¢ , thì H sinh tập hợp p p số } k nguyên tố, k ≥ p ∈ H Chứng minh (1) Giả sử { hi } liệt kê phần tử H Nếu H i = h1 , , hi ∞ ∞ i , H i nhóm xyclic, H1 ⊆ H H = U H i i =1 (2) Khẳng định (2) suy trực tiếp từ Định lý 2.3.1 □ 2.3.3 Định lý Nu S l mt v nhúm ca Ô cha số hữu tỷ dương âm đó, thi S l mt nhúm ca Ô Chng minh Chỉ cần chứng minh − s ∈ S phần tử khác không s ∈ S Chọn t ∈ S cho s t < Nhúm G ca Ô sinh bi { s, t} xyclic; giả thiết g phần tử sinh G Nếu s = mg t = ng , mn < g Như vậy, nửa nhóm s, t G nhóm ( Chúng ta sử dụng kết quả: G thừa nhận thứ tự toàn phần – g > − g > ) Từ − s ∈ s, t ⊆ S 29 KẾT LUẬN Khóa luận hồn thành cơng việc sau: Hệ thống hóa kết liên quan đến nửa nhóm xyclic hữu hạn vơ hạn: Sự tồn nửa nhóm xyclic, mơ tả tương đẳng nửa nhóm xyclic hữu hạn vơ hạn Mở rộng kết quen thuộc: Nửa nhóm cộng số ngun khơng âm nhúng vào nhóm cộng số ngun ¢ cho trường hợp nửa nhóm giao hốn giản ước (Định lý 2.1.4) Tìm hiểu tính chất vị nhóm nhóm cộng số ngun ¢ nhóm cộng s hu t Ô Chng minh chi tit kt liên quan đến điều kiện để vị nhóm ca  hoc Ô l mt nhúm (nh lý 2.2.9, Định lý 2.3.3) 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2008), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội [4] Hồng Xn Sính (1992), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [5] A.H.Cliford and G.B.Preston (1961-1967), The Algebraic Theory of Semiroups Vol I &II, Mathematical Surveuys of The Amer Math Soc.7 [6] P.M.Higgins (1992), Techniques of Semigroup Theory, Oxford Univesity Press [7] J.M.Howie (1995), Fundamntals of Semigroup Theory, Academi Prees [8] M Petrich (1984), Letures in Semigroups, Wiley [9] Robert Gilmer (1984), Commutative Semigrouprings, The University of Chicago Press ... CHƯƠNG II NỬA NHÓM CON CỦA NHÓM CỘNG CÁC SỐ NGUYÊN VÀ NHÓM CỘNG CÁC SỐ HỮU TỶ Chương dành cho việc khảo sát số tính chất nửa nhóm nhóm cộng số nguyên , nhóm cộng số hữu tỷ 2.1 Nửa nhóm giao hốn giản... chất (1) (2)) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Nếu S nửa nhóm giản ước S = C thì T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự cách xây dựng vành tất số nguyên ¢ từ tập hợp số nguyên... hạn nửa nhóm xyclic vơ hạn, chứng minh chi tiết kết mơ tả tương đẳng nửa nhóm Chương II Vị nhóm nhóm cộng số nguyên nhóm cộng số hữu tỷ Chương này, trình bày số ứng dụng dựa đặc trưng nửa nhóm