PHÉP NGHỊCH đảo và một số ỨNG DỤNG

Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Hoàng Cương Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định I. Mở đầu: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, phép vị tự và đồng dạng là các phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Chúng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn. Ngoài các phép dời hình, phép vị tự và đồng dạng, còn một phép biến hình khác với những tính chất rất thú vị. Đó là phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, nhưng có thể biến một đường thẳng thành một đường tròn, còn 1 đường tròn thành một đường thẳng. Đặc biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình. Phép nghịch đảo cũng có một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phẳng. II. Nội dung chuyên đề: A. Các khái niệm: 1. Định nghĩa: a) Cho trước một điểm O và một số thực k ≠ 0 , với mỗi điểm M khác O ta dựng một điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho OM .OM ' = k (1) Khi đó ta nói M’ là ảnh của điểm M qua phép nghịch đảo tâm O phương tích k (hoặc hệ số k ) ● O M M’ Khi M ≡ O thì M’ là điểm vô cực và kí hiệu ∞ và khi M là điểm vô cực ∞ thì M’ trùng với O Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là: f ( O, k ) : M → M ' b) Cho một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép nghịch đảo f ( O, k ) lập thành hình H’ được gọi là ảnh của hình H (hình nghịch đảo của H) và được kí hiệu: f ( O, k ) : H → H’ 1 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông 2. Các khái niệm khác liên quan: a) Xét phép nghịch đảo f ( O, k ) với k > 0. Đường tròn tâm O, bán kính R = k được gọi là đường tròn nghịch đảo thực. Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O bán kính R= k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối với phép nghịch đảo đó. b) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d1 và d2 lần lượt là các tiếp tuyến của hai đường tròn tại A. Góc tạo bởi d1 và d2 được gọi là góc tạo bởi hai đường tròn (O1) và (O2). Nếu góc đó vuông thì ta nói hai đường tròn (O1) và (O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) tại điểm A. Ta nhận thấy góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại B bằng góc đó tại A. Góc tạo bởi một đường thẳng và một đường tròn là góc tạo bởi đường thẳng đó với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chung của chúng. B. Các tính chất: Cho phép nghịch đảo f ( O, k ) với k ≠ 0 1. Tính chất 1: Phép nghịch đảo f ( O, k ) là phép biến đổi 1 - 1 2. Tính chất 2: Phép biến đổi f = f ( O, k )  f ( O, k ) là phép đồng nhất. 3. Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f ( O, k ) thì A' B' = k OA.OB AB 4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng d. 5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O. 6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C) tại O. 2 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông 7. Tính chất 7: Ảnh của đường tròn ( γ ) không đi qua tâm nghịch đảo O là một đường tròn ( γ ') . Đường tròn ( γ ') cũng là ảnh của đường tròn ( γ ) qua phép vị tự V( O , λ ) với λ= k , p là phương tích của O đối với đường tròn ( γ ) . p 8. Tính chất 8: Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn ( γ ) cùng đi qua tâm nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó. 9. Tính chất 9: Góc tạo bởi hai đường tròn ( γ ) và ( γ ') cùng đi qua tâm nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó. 10. Tính chất 10: Nếu đường thẳng d và đường tròn ( γ ) không đi qua tâm nghịch đảo O, thì góc tạo bởi d và ( γ ) có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó. 11. Tính chất 11: Góc tạo bởi hai đường tròn ( γ ) và ( γ ') không cùng đi qua tâm nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó. C. Các bài toán áp dụng: I. Dạng toán: Chứng minh các tính chất hình học Bài 1: Cho đa giác A1 A2 ... An nội tiếp đường tròn (C). M là một điểm bất kì trên cung A1 An (cung không chứa đỉnh nào của đa giác). Gọi d1 , d 2 , ..., d n lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , ..., An A1 . Chứng minh rằng: an n −1 ai = ∑ với ai là độ dài các cạnh Ai Ai +1 d n i =1 d i (A n +1 ≡ A1 ) Giải: d1 Gọi R là bán kính của đường M an tròn (C). An A1 a1 Xét phép nghịch đảo tâm M O A2 A4 phương tích k A3 d A'1 A'2 A'3 A'4 3 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông Khi đó phép nghịch đảo f ( M , k ) biến đường tròn (C) thành đường thẳng d không đi qua M ' ' ' ' ' ' ' ' ' Trên đường thẳng d ta gọi Ai = f ( Ai ) thì ta có: A1 An = A1 A2 + A2 A3 + ... + An −1 An (*) ' ' Do đó ta có ∀i = 1, n Ai Ai +1 = k =k 2 S MA A .sin ∠Ai MAi +1 i i +1 2 S MA A .d i i i +1 Thay vào (*) ta có: k =k Ai Ai +1 Ai Ai +1 .d i .sin ∠Ai MAi +1 =k MAi .MAi +1 MAi .MAi +1 .d i .sin ∠Ai MAi +1 sin ∠Ai MAi +1 sin ∠Ai MAi +1 ai =k =k di di 2 Rd i n −1 an ai a a =∑k ⇒ n = ∑ i (đpcm) 2 Rd n 2 Rd i d n i =1 d i Bài 2: Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi M, N, E lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng: B’C’ và BC; C’A’ và CA; A’B’ và AB. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, E thẳng hàng. Giải: Gọi (C1), (C2) lần lượt là đường tròn A đường kính AI và A1I Khi đó: B1C1 là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C1) và; BC là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C2) Mà BC ∩ B1C1 = M B' C' I P M B A' C nên PM / ( C ) = PM / ( C ) 1 2 Gọi M’ là giao điểm thứ hai (khác I) của E hai đường tròn (C1) và (C2) thì M∈ IM’ Ta có: IM’ ⊥ AM’ và IM’ ⊥ A1M’ nên 3 điểm A, A1, M’ thẳng hàng. N Theo định lý Ceva ta có 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P · ' P = 900 hay M’ thuộc đường tròn (C) đường kính IP Suy ra IM Tương tự nếu gọi 4 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông N’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính B1I E’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính C1I thì N’ và E’ cũng thuộc đường tròn (C) đường kính IP ⇒ IM.IM’ = IN.IN’ = IE.IE’ = R (với R là bán kính đường tròn đường kính IP) 2 Xét phép nghịch đảo cực I, phương trình R2 : f ( I , R ) ta có: f ( I , R 2 ) biến các điểm M’, N’, E’ thành các điểm tương ứng là M, N, E f ( I , R 2 ) biến đường tròn (C) đường kính IP thành đường thẳng d không qua I Do các điểm M’, N’, E’ thuộc đường tròn (C) nên các điểm M, N, E thuộc đường thẳng d hay M, N, E thẳng hàng. Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại điểm M bất kì trên đường tròn cắt (O’) tại B và C. Chứng minh rằng AM là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC. Giải: d' d A O' O M' C I B' H B M 2 Hạ AH ⊥ BC. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k = AH2 : f ( A, AH ) f ( A, AH 2 ) biến tiếp tuyến tại M với đường (O) thành tiếp tuyến với đường tròn (I) đường kính AH 5 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông f ( A, AH 2 ) : M → M’; B → B’; C → C’ sao cho M’, B’, C’ thuộc (I) f ( A, AH 2 ) : (O) → d là tiếp tuyến với (I) tại M’; d ⊥ OA (O’) → d’ qua B’, C’ và d’ ⊥ O’A ¼'B' = M ¼ 'C ' Vì d // d’ và M’ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (I) ⇒ M ¼ ' = NC ¼ ' Gọi N là điểm đối xứng với M’ qua I ⇒ N ∈ (I) ⇒ NB ⇒ AN là phân giác của góc BAC ⇒ AM là phân giác của góc BAC Vậy AM là phân giác của góc tạo bởi AB và AC. Bài 4: (Thi Olympic Bungari - vòng 4 - 1995) Cho tam giác ABC có chu vi 2p cho trước. Các điểm E, F nằm trên đường thẳng AB sao cho CE = CF = p. Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp (k1) ứng với cạnh AB của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn (k2) ngoại tiếp tam giác EFC. Giải: C Vì CP = CQ = CE = CF = p nên suy ra 4 điểm P, Q, E, F cùng thuộc đường tròn (C, p) Xét phép nghịch đảo cực C phương tích p2 ta có: f (C, p2 ) : P → P ; Q Q → Q P Do đó: f ( ( k1 ) ) = ( k1 ) Mặt khác: f ( E) = E f (F) = F F B A E O O'   ⇒ f ( ( k2 ) ) = EF  Mà ( k1 ) tiếp xúc với EF nên ( k1 ) tiếp xúc với ( k 2 ) k2 k1 Bài 5: Cho hai đường tròn (C1) có tâm O1 và bán kính R1, đường tròn (C2) có tâm O2 và bán kính R2. Điểm I không nằm trên cả hai đường tròn. Gọi f là phép nghịch đảo cực I phương tích k ≠ 0 , f ( C1 ) ; f ( C2 ) là các đường tròn ảnh d 2 − R12 − R22 của ( C1 ) ; ( C2 ) . Đặt: ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = với d = O1O2 . Chứng minh rằng: 2 R1 R2 1. Nếu I đồng thời nằm trong hoặc nằm ngoài cả hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) thì: 6 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) 2. Nếu I nằm trong một đường tròn và nằm ngoài một đường tròn thì ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = −ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Giải: Gọi f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) I1 I 2 − r12 − r22 Khi đó: ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) = 2r1r2 2 Vì f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; ⇒ II1 = k IO1 p1 f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) nên: I = V p ( O ) và I = V p ( O ) 1 I 1 2 I 2 và k k 1 II 2 = 2 k IO2 (với p1 = PI / ( C ) = IO12 − R12 và p2 = PI / ( C ) = IO2 2 − R22 ) p2 1 2 Khi đó ta có: 2 ( I1 I 2 = I1 I 2 = II 2 − II1 2 ) 2 2 2  IO22 2 k  k 2  IO1 IO1.IO2  =  IO1 − IO2  = k  2 + 2 − p2 p1 p2 p2  p1   p1   p1 + R12 p2 + R22 IO12 + IO22 − O1O2 2   + − = k  2 2 p p p p 1 2 1 2   2 2 1 1 R12 R22 p1 + p2 + R12 + R22 − O1O2   + 2+ 2− = k  + p1 p2  p1 p2 p1 p2  2  R12 R22 R12 + R22 − O1O2 2   = k  2 + 2 − p p p p 2 1 2  1  2 k k Vì I = V p ( O ) và I = V p ( O ) ; 1 I 1 2 I 2 1 nên ta có: r1 = 2 f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) k k R1 và r2 = R2 p1 p2 Do đó: 2 2 2  r12 r22 R12 + R22 − O1O2 2  2 2 2 2 O1O2 − R1 − R2  ⇒ I1 I 2 − r1 − r2 = k I1 I 2 = k  2 + 2 − k p1 p2 p1 p2 k  2 2 I1 I 2 − r12 − r22 k 2 O1O2 − R12 − R22 ⇒ ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) = = . r1r2 2r1r2 p1 p2 2 2 7 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông 1 = 2r1r2 ( ) 2 kk 1  r1 p1 .r2 p2 O1O2 − R12 − R22  2 2 2  O1O2 − R1 − R2  =    p p p1 p2  1 2  2r1r2  R1 R2  ( ) p1 p2 O1O2 2 − R12 − R22 p1 p2 . .ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = = p1 p2 p1 p2 R1 R2 Do đó: 1. Nếu I nằm đồng thời ở trong hoặc ở ngoài cả hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) thì p1 p2 > 0 nên ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) 2. Nếu I nằm trong một đường tròn và nằm ngoài một đường tròn thì p1 p2 < 0 nên ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = −ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Bài 6: Cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tiếp xúc với nhau tại A . Một đường thẳng l qua A cắt các đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tương ứng tại C1 , C2 khác A . Một đường tròn ( C ) qua C1 , C2 cắt lại hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tại B1 , B2 tương ứng. Gọi ( x ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1B2 . Đường tròn ( k ) tiếp xúc với đường tròn ( x ) tại A , cắt ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt tại D1 , D2 khác A . Chứng minh rằng: 1. Các điểm C1 , C2 , D1 , D2 hoặc cùng thuộc một đường tròn hoặc cùng thuộc một đường thẳng. 2. Các điểm B1 , B2 , D1 , D2 cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi AC1 , AC2 lần lượt là đường kính của đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tương ứng. Giải: (c) k'1 k2 (x') l (k) k'2 B'1 D2 B'2 C'1 C2 D1 k1 A C1 B1 C'2 B2 (x) Hình 1 D'2 (k') D'1 Hình 2 8 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông 1. Xét phép f là phép nghịch đảo cực A , phương tích k ≠ 0 thì +) f biến đường tròn ( k1 ) , ( k2 ) thành các đường thẳng k1' , k2' tương ứng và k1' / / k2' +) f biến đường tròn ( x ) , ( k ) thành các đường thẳng x '; k ' tương ứng và x '/ / k ' +) f biến đường thẳng ( l ) thành chính nó Suy ra f biến các điểm B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 tương ứng thành các điểm B1' = x '∩ k1' ; B2' = x '∩ k 2' ; C1' = l ∩ k1' ; C2' = l ∩ k 2' ; D1' = k '∩ k1' ; D2' = k '∩ k2' Do đó tứ giác B1' B2' D2' D1' là hình bình hành (Hình 2) · ' B' D' + B · ' D ' D ' = 1800 (1) ⇒B 2 1 1 1 1 2 Vì C1 , C2 , B1; B2 thuộc đường tròn ( C ) và A không thuộc đường tròn ( C ) ⇒ C1' , C2' , B1' ; B2' thuộc đường tròn ( C ') = f ( ( C ) ) ⇒ B· B D ' 2 ' 1 ' 1 · 'C ' D ' (2) =C 1 2 2 · ' D' D' + C · 'C ' D ' = 1800 Từ (1) và (2) suy ra C 1 1 2 1 2 2 ' ⇒ C1' , C2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn ( k3 ) ⇒ C1 , C2 , D1 , D2 hoặc cùng thuộc đường thẳng, hoặc cùng thuộc 1 đường tròn là tạo ảnh của ' đường tròn ( k3 ) qua phép nghịch đảo f . 2. Ta có: Các điểm B1 , B2 , D1 , D2 cùng thuộc một đường tròn ⇔ Các điểm B1' , B2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn ⇔ B1' B2' D2' D1' là hình chữ nhật · ' B ' B ' = 900 ⇔ C · 'C ' D ' = 900 ⇔ đường thẳng l và đường tròn ( C ' ) trực giao với nhau ⇔D 2 1 1 2 1 2 2 ⇔ đường thẳng l và đường tròn ( C2 ) trực giao với nhau ⇔ AC1 , AC2 lần lượt là đường kính của đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tương ứng. Bài 7: Cho đường tròn ( O ) có đường kính AB và một điểm C trên ( O ) , ( C ≠ A, C ≠ B ) . Tiếp tuyến với ( O ) tại A cắt đường thẳng BC tại M . Gọi N là giao điểm của các tiếp tuyến với ( O ) tại B và tại C . Đường thẳng AN cắt lại đường tròn ( O ) tại D khác A và cắt đường thẳng BC tại F . Đường thẳng qua M , song song với AB cắt đường thẳng 9 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông OC tại I . Đường thẳng qua N , song song với AB cắt đường thẳng OD tại J . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng MD, NC và E là giao điểm của hai đường thẳng MN , IJ . 1. Chứng minh rằng hai đường tròn ( MCE ) và ( NDE ) tiếp xúc với nhau. 2. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn đi qua các điểm C , D, E , F . Giải: A P M X I OC 2 = CP.CN = AP.BN = OB 2 C O F K E Y D J B 1. Gọi P là giao điểm của AM và NC thì PA = PM = PC . Ta có ∆OPN vuông tại O , đường cao OC nên suy ra N ⇒ 2OB.OC = BN .2 AP ⇒ OA. AB = BN . AM ⇒ ∆AOM : ∆BNA · ⇒ ·AMO = BAN = ·ADO Suy ra tứ giác AMDO nội tiếp · · đường tròn đường kính OM nên ODM = OAM = 900 Do đó MD là tiếp tuyến của ( O ) ⇒ KC = KD Vì ∆OBC : ∆ICM và ∆OAD : ∆JDN nên suy ra IC = IM và JD = JN Mặt khác ta có OM ⊥ AN tại X và ON ⊥ BM tại Y nên F là trực tâm của ∆OMN . Gọi E ' là giao điểm của OF và MN thì OE ' ⊥ MN . Ta chứng minh E ' ≡ E . Ta có MA2 = MD 2 = MX .MO = ME '.MN = MB.MC Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k = MA2 ta có: f biến các điểm B, N thành các điểm C , E ' tương ứng Suy ra f biến đường thẳng BN thành đường tròn ( MCE ') Vì BN tiếp xúc với ( O ) tại B và BN || AM nên đường tròn ( MCE ') tiếp xúc với ( O ) tại C và tiếp xúc với AM tại M . Do đó I là tâm đường tròn ( MCE ') Chứng minh tương tự ta có J là tâm đường tròn ( NDE ') . Khi đó ta suy ra hai đường tròn ( MCE ') và ( NDE ') tiếp xúc nhau tại E ' . ⇒ E ' là giao điểm của IJ và MN nên E ' ≡ E 10 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông Vậy hai đường tròn ( MCE ) và ( NDE ) tiếp xúc với nhau tại E. 2. Vì KC là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( I ) ; KD là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( J ) nên ta suy ra PK /( I ) = PK / ( O ) = PK /( J ) , do đó K là tâm đẳng phương của 3 đường tròn ( O) , ( I ) , ( J ) ⇒ KC = KD = KE . Suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CDE (1). Mặt khác ta có MA2 = MD 2 = MX .MO = ME.MN = MB.MC = MF .MY nên phép nghịch đảo f cực M , phương tích k = MA2 biến các điểm F , C , D, E tương ứng thành các điểm Y , B, D, N . Mà 4 điểm Y , B, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính BN nên 4 điểm F , C , D, E cùng thuộc một đường tròn (2) Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F , C , D, E . Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H , ba đường cao là . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB . Gọi ( ω ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Kí hiệu A ', B ', C ' lần lượt là các giao điểm thứ hai của MH , NH , PH và ( ω ) ,. Chứng minh rằng A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC . Giải: Ta kí hiệu đường tròn qua 3 điểm X , Y , Z là ( XYZ ) . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Ta biết rằng ( ω ) đi qua 9 điểm: M , N , P, A1 , B1 , C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH . 11 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông Giả sử là điểm đối xứng với M , N , P qua O . Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k = HM .HA ' = HN .HB ' = HP.HC ' Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1 B ', C1C ' tương ứng thành các đường tròn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , biến đường tròn ( ω ) thành chính nó và biến đường thẳng Euler của ∆ABC thành chính nó. Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ' ) là đường thẳng Euler của ∆ABC . Thật vậy: Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HNN ') là NN ' ; Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HPP ' ) là PP ' ; Suy ra trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') đi qua H và giao của NN ' và PP ' hay trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') là đường thẳng HO . Do đó trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') chính là đường thẳng Euler ∆ABC . Tương tự, trục đẳng phương của ( HPP ' ) và ( HMM ') , trục đẳng phương của ( HMM ') và ( HNN ') cũng là đường thẳng Euler của ∆ABC . Do đó ba đường tròn cùng đi qua một điểm trên đường thẳng Euler của ∆ABC . Từ đó suy ra A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC . Bài 9: Cho đường tròn ( O ) và dây cung UV . M là một điểm trên dây cung UV ; AC và BD là hai dây cung khác của đường tròn ( O ) cùng đi qua M . Gọi X là giao điểm của BC và UV ; Y là giao điểm của AD và UV . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . + = + MX MV MY MU B Giải: A E U X M I O1 J V Y N O F Đặt k = MA.MC = MB.MD = MU .MV Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k , ta có O2 C D 12 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông f biến các điểm A, D, U tương ứng thành các điểm C , B, V . Suy ra f biến các đường thẳng BC , AD tương ứng thành các đường tròn ( AMD ) , ( BMC ) và biến đường thẳng UV thành chính nó. Vì X là giao điểm của BC và UV và Y là giao điểm của AD và UV nên f biến các điểm X ,Y tương ứng thành các điểm F , E với F là giao điểm khác M của đường tròn ( AMD ) và UV ; E là giao điểm khác M của đường tròn ( BMC ) và UV Khi đó ta có: k = MU .MV = MX .MF = MY .ME ⇒ MU .MV = MX .MF = MY .ME = k Do đó 1 1 1 1 + = + ⇔ MF + MU = ME + MV ⇔ FU = EV ⇔ EU = FV MX MV MY MU Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm của các đường tròn ( BMC ) , ( AMD ) thì OO1 ⊥ BC (1) Mặt khác ta có góc giữa O2 M và BC bằng góc giữa O2 M và đường tròn ( AMD ) và bằng 900 (vì phép nghịch đảo f biến O2 M thành chính nó) nên O2 M ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OO1 || O2 M Chứng minh tương tự ta suy ra OO2 || O1M , do đó tứ giác MO2OO1 là hình bình hành có tâm N . Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O1O2 xuống UV thì tứ giác O1O2 JI là hình thanh vuông tại I , J Mà N là trung điểm của O1O2 nên suy ra NI = NJ Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng là hai đường trung bình nên suy ra OE = OF (3) Mặt khác OU = OV (4) Nên từ (3) và (4) suy ra EU = FV (đpcm) Một số bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với nhau và cắt nhau ở A, B. Lấy các điểm C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau. 13 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông Bài 2: Cho bốn đường tròn cùng đi qua một điểm P nhưng không có đường tròn nào chứa trong đường tròn nào. Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại P, hai đường tròn còn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) tại P. Các giao điểm khác P của 4 đường tròn là A, B, C, D. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau. Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Các nửa đường tròn đường kính AB, BC, CA nằm về cúng một nửa mặt phẳng bờ AC. Chứng minh rằng đường tròn (O) có đường kính bằng khoảng cách từ O đến BC với (O) là đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên. Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005) Cho đường tròn (O, R). Giả sử có 6 đường tròn thay đổi nằm bên trong (O;R) là (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng lần lượt tiếp xúc trong với (O, R) tại A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đường tròn (I1) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I2), đường tròn (I2) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I3), đường tròn (I3) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I4), đường tròn (I4) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I5), đường tròn (I5) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I6), đường tròn (I6) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I1). 1. Chứng minh rằng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1 2. Cho đường tròn (I , r) nằm bên trong (O; R) . Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn tại 6 đường tròn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất đã nêu ở đề bài và đồng thời 6 đường tròn này lại đều tiếp xúc ngoài với đường tròn (I , r) khi và chỉ khi ( R − r) 2 − d2 = 4 Rr . 3 Bài 5: (Đề thi VMO - 2003) Cho hai đường tròn cố định (k1), (k2) tiếp xúc trong tại P có tâm tương ứng là K1, K2 và bán kính lần lượt là R1, R2 (R1 < R2). Cho điểm K di động trên (k2) sao cho 3 điểm K, K1, K2 không thẳng hàng. Từ K kẻ các tiếp tuyến KB, KC tới (k1) (với B, C là các tiếp điểm). Các đường thẳng PB, PC cắt đường tròn (k2) tại D, E tương ứng. F là giao điểm 14 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông của DE với tiếp tuyến của đường tròn (k2) tại K. Chứng minh rằng F di động trên một đường thẳng cố định. II. Dạng toán: Tìm tập hợp điểm Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và một điểm O cố định sao cho OI = 2R. Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với đường tròn (C) và trực giao với nhau. Gọi M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2). Tìm quỹ tích điểm M. Giải: Phần thuận: Xét phép nghịch f ( O, k ) đảo c1 với P' k = PO / ( C ) = 3R . Khi đó: 2 P f ( O, k ) : (C) →(C) (C ) → d M' (C ) → d Vì ( C ) ; ( C ) trực giao với nhau và cùng tiếp xúc với ( C ) nên ta có d ⊥ d và lần lượt tiếp xúc với ( C ) tại P ' ; Q' thỏa mãn: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R ( C ); ( C ) với ( C ) . 1 J 1 1 2 2 M c2 Q Q' 2 1 1 O I 2 2 với P, Q là tiếp điểm của 2 Gọi M’ là giao điểm của hai đường thẳng d1 , d 2 thì khi đó M ' = f ( M ) vì M là giao điểm của hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) Mặt khác tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R ( ) ( γ ') = ( I , R 2 ) = f ( ( γ ) ) ( ⇒ IM ' = R 2 ⇒ M '∈ I , R 2 . Gọi ( γ ') là đường tròn I , R 2 ⇒ M ∈( γ ) với ) Vì M ' = f ( M ) ⇒ OM .OM ' = 3R 2 ⇒ M = f ( M ') ( ) Ta có: PO / ( γ ' ) = OI 2 − R 2 = 2 R 2 = ON .OM ' với N ∈ ( γ ) 2 3 3 3 3 ⇒ OM .OM ' = ON .OM ' ⇒ OM = ON ⇒ M = VO2 ( N ) ⇒ M ∈ ( γ ) = V 2 ( ( γ ') ) O 2 2 15 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông 3 3R 2 Gọi ( J , r ) là tâm của đường tròn ( γ ) ⇒ OJ = OI và r = hay J là giao điểm 2 2 của đường tròn ( C ) và đường thẳng OI. Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( γ ) = ( J , r ) . Gọi M ' = f ( M ) . Qua M’ kẻ các tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường tròn ( C ) . Khi đó f ( O, k ) : (C) →(C) ; M ' P ' → ( C1 ) ; M ' Q' → ( C2 ) Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C ) và trực giao với nhau. Thật vậy: vì f ( O, k ) : ( C ) → ( C ) ; M ' P' → ( C ) ; M ' Q' → ( C ) và M ' = f ( M ) nên hai đường tròn ( C ) ; ( C ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C ) 1 1 2 2 Ta có: M ' = f ( M ) nên M ' thuộc đường tròn ( C ) = V p ( ( γ ) ) 0 O k 2 Với p = PO / ( γ ) ⇒ OJ ' =  3R 2  9 R 2  = = OJ −  2 2   2 và k = 3R 2 , ( J ' , r ') là đường tròn ( C0 ) ( k 2 k OJ = OJ và r ' = r = R 2 ⇒ J ' ≡ I ⇒ ( C0 ) ≡ I , R 2 p 3 p ) ⇒ IM ' = R 2 nên tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R ⇒ M ' P' ⊥ M ' Q' Do đó hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) trực giao với nhau. Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn  3R 2   J ,  với J là giao điểm của đường tròn ( C ) 2   và đường thẳng OI. Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi d1 là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi (C) là đường tròn thay đổi và luôn tiếp xúc với (O) và d1 tại hai điểm phân biệt. Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn bất kì của (C). Biết rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M. Giải: c1 (D) d1 (d) M c2 A J B O H I c'1 M' c' 2 16 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông *) Phần thuận: Gọi f ( B, k ) là phép nghịch đảo cực B, phương tích k = −4R 2 . Do B ∈ d1 và B ∈( O ) nên: f ( B, k ) biến: d1 → d1 ( O ) → ( d ) với d ⊥ AB tại H = f ( A) ( C1 ) → ( C '1 ) ; ( C2 ) → ( C '2 ) Do ( C ) ; ( C ) tiếp xúc với (O ) và d ⇒ ( C ' ) , ( C ' ) tiếp xúc với d , ( d ) (1) Mặt khác ( C ) ; ( C ) tiếp xúc nhau tại M ⇒ ( C ' ) , ( C ' ) tiếp xúc nhau tại M’ (2) ⇒ M ' = f ( M ) Từ (1) và (2) suy ra M ' thuộc đường thẳng ( D ) vuông góc với AB tại trung điểm I của BH. Do M ' = f ( M ) ⇒ M thuộc đường tròn ( C ) đi qua B là ảnh của đường thẳng ( D ) qua phép f ( B, k ) trừ điểm B Gọi J = f ( I ) thì ( C ) là đường tròn đường kính BJ *) Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( C ) .Gọi M ' = f ( M ) , ( d ) = f ( ( O ) ) Vẽ hai đường tròn ( C ' ) , ( C ' ) cùng tiếp xúc với d , ( d ) và tiếp xúc với nhau. Gọi ( C ) = f ( ( C ' ) ) ; ( C ) = f ( ( C ' ) ) . Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C ); ( C ) tiếp xúc 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 2 với (O) , d1 và tiếp xúc với nhau tại M. (Điều này dễ dàng chứng minh được) *) Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn ( C0 ) đường kính BJ trừ điểm B. Một số bài tập đề nghị: Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn (O). Xét các đường tròn tâm O’ đi qua A và trực giao với đường tròn (O) 1. Tìm quỹ tích các tâm O’ 2. Gọi H là giao điểm của OO’ với dây cung chung của hai đường tròn. Tìm quỹ tích điểm H. Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai đường thẳng ∆, ∆ ' song song với nhau, không có điểm chung với đường tròn. ∆ ' và đường tròn (O) nằm về hai phía đối với đường thẳng ∆ . Dựng hai tiếp tuyến x, y của đường tròn (O) song song với nhau và cắt ∆, ∆ ' lần 17 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông lượt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Từ I kẻ các tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q là các tiếp điểm). Gọi K là giao điểm của PQ và OI. Tìm tập hợp điểm K khi các tiếp tuyến x, y thay đổi hướng. Bài 3: Cho đường tròn (O, R) và dây AB cố định. Với mỗi điểm M trên đường tròn (O), dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Tìm quỹ tích điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O). 18 Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông Tài liệu tham khảo: 1. Các phép biến hình trong mặt phẳng - Nguyễn Mộng Hy 2. Các phép biến hình trong mặt phẳng - Đỗ Thanh Sơn 3. Các bài toán về hình học phẳng – Tập 2 –V.V Praxolov. 4. INVERSION IN GEOMETRY – ARTHUR BARAGAR. 5. Diễn đàn toán học Mathscope. 6. Các tài liệu trên Internet. 19 [...]...Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Vy hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi nhau ti E 2 Vỡ KC l tip tuyn chung ca ( O ) v ( I ) ; KD l tip tuyn chung ca ( O ) v ( J ) nờn ta suy ra PK /( I ) = PK / ( O ) = PK /( J )... Gii: Ta kớ hiu ng trũn qua 3 im X , Y , Z l ( XYZ ) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP Ta bit rng ( ) i qua 9 im: M , N , P, A1 , B1 , C1 v trung im cỏc on AH , BH , CH 11 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Gi s l im i xng vi M , N , P qua O Xột phộp nghch o cc H phng tớch k = HM HA ' = HN HB ' = HP.HC ' Phộp nghch o ny bin cỏc ng thng A1 A ', B1 B ', C1C ' tng ng thnh cỏc ng trũn ( HMM... giao im ca AD v UV Chng minh rng: 1 1 1 1 + = + MX MV MY MU B Gii: A E U X M I O1 J V Y N O F t k = MA.MC = MB.MD = MU MV Xột phộp nghch o f cc M , phng tớch k , ta cú O2 C D 12 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng f bin cỏc im A, D, U tng ng thnh cỏc im C , B, V Suy ra f bin cỏc ng thng BC , AD tng ng thnh cỏc ng trũn ( AMD ) , ( BMC ) v bin ng thng UV thnh chớnh nú Vỡ X l giao im ca BC v UV v... (C2) trc giao vi nhau v ct nhau A, B Ly cỏc im C, D trờn hai ng trũn ú sao cho CD khụng i qua A, B Chng minh rng cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ACD v BCD trc giao vi nhau 13 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Bi 2: Cho bn ng trũn cựng i qua mt im P nhng khụng cú ng trũn no cha trong ng trũn no Hai ng trũn tip xỳc vi ng thng (d1) ti P, hai ng trũn cũn li tip xỳc vi ng thng (d2) ti P Cỏc giao... K di ng trờn (k2) sao cho 3 im K, K1, K2 khụng thng hng T K k cỏc tip tuyn KB, KC ti (k1) (vi B, C l cỏc tip im) Cỏc ng thng PB, PC ct ng trũn (k2) ti D, E tng ng F l giao im 14 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng ca DE vi tip tuyn ca ng trũn (k2) ti K Chng minh rng F di ng trờn mt ng thng c nh II Dng toỏn: Tỡm tp hp im Bi 1: Cho ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v mt im O c nh sao cho OI = 2R Gi (C1),... OM OM ' = 3R 2 M = f ( M ') ( ) Ta cú: PO / ( ' ) = OI 2 R 2 = 2 R 2 = ON OM ' vi N ( ) 2 3 3 3 3 OM OM ' = ON OM ' OM = ON M = VO2 ( N ) M ( ) = V 2 ( ( ') ) O 2 2 15 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng 3 3R 2 Gi ( J , r ) l tõm ca ng trũn ( ) OJ = OI v r = hay J l giao im 2 2 ca ng trũn ( C ) v ng thng OI Phn o: Ly im M bt kỡ trờn ng trũn ( ) = ( J , r ) Gi M ' = f ( M ) Qua M k... (O) v d1 ti hai im phõn bit Gi (C1), (C2) l hai ng trũn bt kỡ ca (C) Bit rng (C1) v (C2) tip xỳc vi nhau ti M Tỡm qu tớch im M Gii: c1 (D) d1 (d) M c2 A J B O H I c'1 M' c' 2 16 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng *) Phn thun: Gi f ( B, k ) l phộp nghch o cc B, phng tớch k = 4R 2 Do B d1 v B ( O ) nờn: f ( B, k ) bin: d1 d1 ( O ) ( d ) vi d AB ti H = f ( A) ( C1 ) ( C '1 ) ; ( C2 ) ( C '2... ng thng , ' song song vi nhau, khụng cú im chung vi ng trũn ' v ng trũn (O) nm v hai phớa i vi ng thng Dng hai tip tuyn x, y ca ng trũn (O) song song vi nhau v ct , ' ln 17 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng lt ti A, B, C, D Gi I l giao im hai ng chộo ca t giỏc ABCD T I k cỏc tip tuyn IP, IQ vi (O) (P, Q l cỏc tip im) Gi K l giao im ca PQ v OI Tỡm tp hp im K khi cỏc tip tuyn x, y thay i hng... ng trũn (O1) qua M v tip xỳc vi AB ti A, ng trũn (O2) qua M v tip xỳc vi AB ti B Gi M l giao im th hai ca hai ng trũn (O1) v (O2) Tỡm qu tớch im M khi M di ng trờn ng trũn (O) 18 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Ti liu tham kho: 1 Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Nguyn Mng Hy 2 Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Thanh Sn 3 Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp 2 V.V Praxolov 4 INVERSION IN GEOMETRY ...Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Cỏc khỏi nim khỏc liờn quan: a) Xột phộp nghch o f ( O, k ) vi k > ng trũn tõm O,... thng d khụng i qua tõm nghch o O v song song vi tip tuyn ca ng trũn (C) ti O Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Tớnh cht 7: nh ca ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o O l mt ng trũn ( ') ng trũn... (C) An A1 a1 Xột phộp nghch o tõm M O A2 A4 phng tớch k A3 d A'1 A'2 A'3 A'4 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Khi ú phộp nghch o f ( M , k ) bin ng trũn (C) thnh ng thng d khụng i qua M ' ' '