Phép nghịch đảo và một số ứng dụng đẹp của nó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* KHUẤT PHƯƠNG ANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐẸP CỦA NÓ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* KHUẤT PHƯƠNG ANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐẸP CỦA NÓ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN THỊ TRÀ HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu phép biến hình 1.1.1 Khái niệm hình 1.1.2 Khái niệm phép biến hình 1.1.3 Tích hai phép biến hình 1.1.4 Phép biến hình đảo ngược 1.1.5 Phép biến hình có tính chất đối hợp 1.2 Điểm kép, hình kép 1.3 Định hướng 1.3.1 Định hướng mặt phẳng 1.3.2 Định hướng không gian 10 1.4 Phép vị tự 11 1.5 Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu 11 1.5.1 Phương tích điểm đường tròn 11 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh 1.5.2 Trục đẳng phương hai đường tròn 12 1.5.3 Hai đường tròn trực giao 12 1.5.4 Phương tích điểm mặt cầu 12 Phép nghịch đảo 14 2.1 Định nghĩa tính chất 14 2.2 Một số định lý 16 2.3 Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 20 2.4 Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch đảo 24 2.5 Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo 28 Một số ứng dụng đẹp phép nghịch đảo 31 Bài tập đề nghị 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 53 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ mơn Hình học thầy tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Trà, người tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ để tơi hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân nhiều hạn chế nên khố luận khơng thể tránh khỏi sai sót Vì tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội,ngày tháng năm 2018 Sinh viên Khuất Phương Anh Lời cam đoan Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn ThS.Nguyễn Thị Trà Trong khóa luận tơi có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học ngồi nước Tơi xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận khác Hà Nội,ngày tháng năm 2018 Sinh viên Khuất Phương Anh Lời mở đầu Trong chương trình THPT người ta đưa vào giảng dạy số phép biến phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng, Tuy nhiên phép biến hình đặc biệt phép nghịch đảo khơng đề cập đến đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên sâu phức tạp Khi lên đến bậc đại học với kiến thức tốt hơn, sinh viên giới thiệu nghiên cứu kĩ phép nghịch đảo Có nhiều tốn khó giải theo cách thơng thường sử dụng phép biến hình bình thường lời giải dài phức tạp, áp dụng phép nghịch đảo vào lời giải thu cách chứng minh đẹp dễ hiểu Ngoài rèn luyện toán liên quan đến phép nghịch đảo, người học phát triển tư logic khả quan sát trực quan tốt Với niềm yêu thích hình học, u thích phép nghịch đảo nét đẹp mà tơi chọn đề tài Phép nghịch đảo số ứng dụng đẹp làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Nhờ có mà tơi có điều kiện hội để làm quen, tìm hiểu nghiên cứu nhiều phép nghịch đảo Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Bố cục khóa luận gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép nghịch đảo Chương 3: Một số ứng dụng đẹp phép nghịch đảo Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình Khái niệm hình khái niệm có cách rõ rệt trình nhìn ngắm vật so sánh hình thù chúng Tuy nhiên, tốn học cần phải xác hóa khái niệm mở rộng để tiện cho việc diễn đạt ý kiến Ta gọi tập hợp điểm khác rỗng hình Ký hiệu: Muốn điểm A thuộc hình F , người ta dùng ký hiệu A ∈ F F A Giao hai hình A B A ∩ B Hợp hai hình A B A ∪ B Nếu điểm hình A, điểm hình B người ta nói A tập hợp hay phận B viết: A ⊂ B hay B ⊃ A Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 Khuất Phương Anh Khái niệm phép biến hình Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P Khi hình H mặt phẳng tập P ký hiệu H ⊂ P Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp P khác rỗng Một song ánh từ P vào gọi phép biến hình tập P Như cho phép biến hình f : P −→ P cho quy tắc để điểm M thuộc P , ta tìm điểm M = f (M ) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây: Nếu M, N hai điểm phân biệt P f (M ), f (N ) hai điểm phân biệt P Với điểm M thuộc P có điểm M thuộc P cho f (M ) = M Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm M qua phép biến hình f nói Người ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm M ta có f (M ) = M 1.1.3 Tích hai phép biến hình Định nghĩa 1.2 Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta dùng phép biến hình f : P −→ P để biến điểm M P thành điểm M lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai g : P −→ P để biến M thành M Ta có: M = f (M ); M = g(M ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh đổi góc xét cặp tam giác đồng dạng, không dễ nghĩ Chúng ta tiếp tục xét toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài tốn 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính BC Một điểm A nằm ngồi đường tròn O Gọi M, N giao điểm AB, AC với (O) Gọi H giao điểm BM với CN Gọi E, F tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm A đến đường tròn (O) Chứng minh ba điểm H, E, F thẳng hàng Chứng minh Gọi P hình chiếu A lên BC Ta thấy H trực tâm ABC Xét phép nghịch đảo f (A, k), với k = AN AC = AM AB = AE = AF , ta có: E −→ E, F −→ F, H −→ P 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Mà OEA = OF A = OP A = 90o Nên P ∈ (AEF ) Từ suy ba điểm H, E, F thẳng hàng Tiếp theo tìm hiểu ứng dụng khác phép nghịch đảo qua đề nghị IMO Bulgaria năm 1995 Bài toán 6: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường tròn đường kính AC, BD cắt điểm I, J Đường thẳng IJ cắt BC H Cho M điểm đường thẳng IJ khác H Đường thẳng CM cắt đường tròn đường kính AC C N , đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính BD B P Chứng minh AN, DP, IJ đồng quy Chứng minh Gọi (O1 ) đường tròn đường kính AC, (O2 ) đường tròn đường kính BD 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Ta có điểm M nằm IJ trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) Do đó: PM/(O1 ) = PM/(O2 ) Hay M C.M N = M B.M P = k Xét phép nghịch đảo f (M, k), ta có: N −→ C, A −→ A Do AN −→ (M A C) Tương tự ta có: P D −→ (M BD ), với D = f (M, k)(D) Để chứng minh AN, DP, IJ đồng quy, ta chứng minh IJ trục đẳng phương (M A C) (M BD ) Ta có: M HC = M A C = 90o Suy H ∈ (M A C) Tương tự ta có H ∈ (M BD ) Do M H ≡ IJ trục đẳng phương (M A C) (M BD ) Từ ta suy ba đường thẳng AN, DP, IJ đồng quy Một lần phép nghịch đảo lại cho ta thấy lợi hại việc chứng minh đồng quy Phép nghịch đảo làm giảm tối thiểu lượng đường tròn xuất tốn mà thay vào đường thẳng Ngay sau thấy rõ ứng dụng phép nghịch đảo tốn tìm quỹ tích Với tốn khó 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế mà áp dụng phép nghịch đảo toán trở nên đơn giản, dễ hiểu Bài tốn 7: Cho ABC, gọi (O; R) đường tròn ngoại tiếp (I; r) đường tròn nội tiếp ABC ABC Giả sử G trọng tâm tam giác tạo điểm tiếp xúc (I) với cạnh OI 3R Chứng minh I ∈ OG = IG r ABC Lời giải Gọi M, N, P điểm tiếp xúc (I) với cạnh BC, CA, AB Giả sử D, E, F trung điểm cạnh N P, P M, M N Xét phép nghịch đảo f (I, k), với k = r2 , ta có: M −→ M, N −→ N, P −→ P, A −→ D, B −→ E, C −→ F Do (ABC) −→ (DEF ) Ta thấy (DEF ) đường tròn 9- điểm Euler 43 MNP Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Do vậy, gọi O tâm (DEF ) suy O , I, O thẳng hàng Mặt khác O nằm đường thẳng Euler IG MNP Vì ba điểm O, I, G thẳng hàng Vì (DEF ) ảnh (ABC) qua phép nghịch đảo f (I, k) Do (DEF ) ảnh (ABC) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k r2 r λ1 = = = PI/(O) 2Rr 2R IO r Suy = IO 2R Mặt khác, M N P , ta có M N P ảnh DEF qua phép vị tự tâm G, tỉ số λ2 = −2 Do N (G, λ2 ): O −→ I GI GI Suy = nên = GO IO IG r Từ ta = IO 3R Bài toán cho ta thấy mối liên hệ phép nghịch đảo phép vị tự Bài tốn có nhiều cách giải, song qua việc vận dụng mối liên hệ cho ta cách nhìn tự nhiên tiếp cận vấn đề Bài tốn 8: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định thuộc (O) Gọi điểm I chuyển động (O), J giao điểm thứ hai hai đường tròn (C) (C ) qua I, tương ứng tiếp xúc với đường thẳng AB A B Tìm quỹ tích điểm J Chứng minh Đường thẳng IJ trục đẳng phương hai đường tròn (C) (C ) nên phải qua trung điểm M đoạn AB (Hình 2.7) Xét phép nghịch đảo f (M, k), với k = M I.M J = M A2 = M B , ta có: I −→ J Vậy điểm I chuyển động đường tròn (O) quỹ tích 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Hình 3.4: điểm J đường tròn (O ) ảnh đường tròn (O) qua phép nghịch đảo f (M, k) Đường tròn (O) khơng qua cực M , qua hai điểm A, B cố định nên đường tròn (O ) qua A B Giả sử EF đường kính đường tròn (O) qua điểm M , ta có: M E.M F = M A.M B = −(M A)2 = −k Lấy E đối xứng với E qua AB M E = −M E 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Do đó, ta có: M E M F = −M E.M F = (M A)2 = k Vậy E = f (M, k)(F ) quỹ tích điểm J đường tròn (O ) đối xứng với đường tròn (O) qua trục AB Bài tốn ta áp dụng tính chất biến đường tròn khơng qua cực nghịch đảo thành đường tròn khơng qua cực nghịch đảo qua f (M, k) từ tìm quỹ tích điểm J Bài tốn 9: Cho đường tròn (O; R) hai đường thẳng Ox, Oy vng góc với Lấy điểm M đường tròn (O), tiếp tuyến với đường tròn (O) điểm M cắt Ox, Oy A B Trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn (AOB) cắt Ox, Oy C D Tìm quỹ tích trung điểm I CD điểm M chuyển động (O) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Lời giải Gọi giao điểm (O) với (OAB) A , B Khi A B trục đẳng phương (O) (OAB), giao với Ox, Oy C, D Xét phép nghịch đảo f (O, k), với k = R2 , ta có: (OAB) −→ A B , A −→ C, B −→ D Suy OC.OA = OB.OD = R2 = OM Do M C⊥OA, M D⊥OB R Khi tứ giác ODM C hình chữ nhật OI = OM = 2 R Vậy quỹ tích điểm I đường tròn tâm O, bán kính Ở ta áp dụng thêm hệ thức lượng tam giác vuông để có kết tốn Trên thấy ứng dụng sử dụng phép nghịch đảo tốn chứng minh, tìm quỹ tích hình học phẳng Tiếp theo thấy ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình Bài tốn 10: Cho điểm I nằm trục đẳng phương hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Qua điểm I dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn Lời giải a) Phân tích: Điểm I nằm M N trục đẳng phương hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Nên ta có IP IQ = IP IQ 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Hình 3.5: Suy tứ giác P QQ P tứ giác nội tiếp Xét phép nghịch đảo f (I, k), với k = IM IN , ta có: (O1 ) −→ (O1 ), (O2 ) −→ (O2 ), P −→ Q, P −→ Q Vì qua phép nghịch đảo f (I, k) biến đường thẳng P P thành đường tròn ngoại tiếp IQQ tiếp xúc với hai đường tròn (O1 ) (O2 ) b) Cách dựng: (Hình 3.5) + Dựng tiếp tuyến chung P P với hai đường tròn (O1 ) (O2 ) + Xác định Q = IP ∩ (O1 ); Q = IP ∩ (O2 ) + Dựng đường tròn ngoại tiếp IQQ Đó đường tròn cần dựng c) Chứng minh: 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Theo cách dựng ta có: IP IQ = IP IQ = IM IN Suy qua phép nghịch đảo f (I, k) biến tiếp tuyến P P thành đường tròn ngoại tiếp IQQ Mặt khác phép nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao đường thẳng đường tròn Nên đường tròn ngoại tiếp IQQ tiếp xúc với hai đường tròn (O1 ) (O2 ) d) Biện luận: Bài toán có nhiều hai nghiệm hình 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A0 , B0 , C0 hình chiếu A, B, C lên BC, CA, AB Gọi H trực tâm ABC Giả sử A1 , B1 , C1 giao điểm HA, HB, HC với B0 C0 , C0 A0 , A0 B0 Gọi d1 , d2 , d3 đường thẳng qua A, B, C vng góc với B C , C A , A B Chứng minh d1 , d2 , d3 đồng quy tâm đường tròn Euler Bài 2: Cho ABC ABC có đường tròn ngoại tiếp nội tiếp (O) (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Chứng minh trực tâm H M N P thuộc đường thẳng OI Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O1 ) qua AC cắt AB AC P, N Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp ABC P BN cắt hai điểm B, M Chứng minh O1 M B = 90o Bài 4: Cho đường tròn (I1 ), (I2 ), (I3 ), (I4 ), (I1 ) tiếp xúc với (I2 ) A, (I2 ) tiếp xúc với (I3 ) B, (I3 ) tiếp xúc với (I4 ) C, (I4 ) tiếp xúc với (I1 ) D Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R hai điểm cố định M, N đường tròn Một điểm P di động đường tròn cho trước Hãy tìm quỹ tích trực tâm H Bài 6: Cho ABC điểm I Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP IAB, IBC I, (O) cắt đường tròn ngoại tiếp IAC M, N (O) cắt IB, IC D, E Chứng 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh minh DN, EM AI đồng quy Bài 7: (Định lý Feurebach) Chứng minh tam giác đường tròn chín điểm Euler tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Bài 8: Cho ABC điểm I nằm tam giác Đường thẳng vng góc với IA, IB, IC I cắt BC, CA, AB điểm A , B , C Chứng minh rằng: A , B , C thẳng hàng Bài 9: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi A , B , C điểm tiếp xúc (I) với BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn (AIA ), (BIB ), (CIC ) thẳng hàng ABC điểm D nằm Bài 10: (China TST 2009) Cho cạnh BC thỏa mãn CAD = CBA Một đường tròn (O) qua B, C cắt cạnh AB, AD lần E, F Gọi G giao điểm BF DE Giả sử I trung điểm AG Chứng minh CI⊥AG Bài 11: Cho hai đường tròn trực giao (O) (O ) Hãy dựng qua điểm A cho trước đường tròn (C) tiếp xúc với đường tròn (O), trực giao với đường tròn (O ) Bài 12: Qua điểm M cho trước, dựng đường tròn trực giao với hai đường tròn cho trước Bài 13: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định cho OA = 2R Gọi (C), (C ) hai đường tròn thay đổi qua (A), tiếp xúc với (O) trực giao với Gọi điểm B giao điểm thứ hai (C) (C ) Tìm tập hợp điểm B 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài 14: Trong mặt phẳng, cho Khuất Phương Anh ABC nội tiếp đường tròn (O) Giả sử I điểm thuôc (O), đường thẳng IA, IB, IC cắt đường tròn (O) điểm A , B , C a) Chứng minh với I (O) ta có: SA B C IA IB IC = SABC IA.IB.IC b) Tìm tập hợp điểm I cho A B C vng Bài 15: Cho đường tròn (O; R) điểm M thuộc (O) Một góc vng thay đổi đỉnh M , hai cạnh cắt (O) A B Hai đường tròn (O1 ), (O2 ) qua M tiếp xúc với (O) theo thứ tự A, B Tìm quỹ tích I giao điểm thứ hai (O1 ), (O2 ) 52 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài Phép nghịch đảo số ứng dụng đẹp Trong khóa luận tốt nghiệp tơi trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng đặc trưng ứng dụng phép nghịch đảo Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu Thầy, Cơ giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cơ Khoa Tốn, đặc biệt ThS Nguyễn Thị Trà tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu, Thi vơ địch Tốn quốc tế- IMO từ năm 19742006, Nhà Xuất Bản Trẻ [2] Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [3] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [4] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình Hình học sơ cấp tập 1, 2, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [5] Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Cơng Quỳ, Hình học sơ cấp, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1963 [6] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, Giáo trình Hình học sơ cấp, Nhà Xuất Bản Giáo Dục 54 ... 20 2.4 Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch đảo 24 2.5 Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo 28 Một số ứng dụng đẹp phép nghịch đảo 31 Bài tập đề nghị 50 Kết luận 53 Tài liệu... quan đến phép nghịch đảo, người học phát triển tư logic khả quan sát trực quan tốt Với niềm u thích hình học, u thích phép nghịch đảo nét đẹp mà tơi chọn đề tài Phép nghịch đảo số ứng dụng đẹp làm... nhiều phép nghịch đảo Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khuất Phương Anh Bố cục khóa luận gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép nghịch đảo Chương 3: Một số ứng dụng đẹp phép nghịch đảo