Phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình Hình học lớp Trung học phổ thơng có giới thiệu phương tích điểm đường trịn phép biến hình mặt phẳng, phép biến hình sử dụng phương tích (phép NGHỊCH ĐẢO) cơng cụ hữu hiệu giải tốn Nhiều tốn hay giải tốt cơng cụ Để tìm hiểu thêm “phép nghịch đảo” tơi chọn đề tài: “Phép nghịch đảo số ứng dụng tốn hình học phẳng” II NỘI DUNG § ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Cho điểm O cố định số k  Nếu ứng với điểm M mặt phẳng khác với điểm O ta tìm điểm M’ đường thẳng OM cho OM OM' = k phép biến hình f(M) = M’ gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo f(O, k) Phép nghịch đảo f hoàn toàn xác định biết cực O phương tích k Các tính chất a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp OM OM' = OM' OM = k nghĩa M’ = f(M) ta có M = f(M’) Do f o f(M) = M hay f2 phép đồng b) Nếu k > hai điểm M M’ = f(M) nằm phía điểm O Khi tập hợp điểm kép phép nghịch đảo f(O, k) đường trịn tâm O có bán kính k Ta gọi đường tròn đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo f(O, k) k Ta có OM OM' = ( k ) = k (H1) O M’ Cần lưu ý điểm M nằm miền đường trịn nghịch đảo M Hình điểm M’ = f(M) nằm ngồi đường tròn A nghịch đảo ngược lại c) Nếu k < hai điểm M M’ = f(M) nằm hai phía điểm O Khi ta khơng có điểm kép khơng có đường trịn nghịch đảo k < M' N' O M N B Hình Vì OM OM' = k không đổi nên điểm M tiến lại gần điểm O điểm M’ xa điểm O) Ta vẽ đường trịn đường kính MM’ từ O vẽ đường thẳng vng góc với MM’ cắt đường trịn A B Ta có OA OB = OM OM' = k Nếu N’ = f(N) qua phép nghịch đảo với k < cho ta có OA OB = ON ON' = OM OM' (H2) Khi ta có bốn điểm N, N’, A, B nằm đường trịn Các định lí Định lý Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > đường trịn qua hai điểm tương ứng M M’ = f(M) trực giao với đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo Chứng minh Theo giả thiết ta có OM OM' = k k Giả sử (C) đường trịn O qua M M’ = f(M) (H3) C M Khi P (O/(C) = OM OM' = ( k )2 M' (1) Hình Nếu đường trịn nghịch đảo tâm O có bán kính R = k hệ thức (1) chứng tỏ đường tròn (C) trực giao với đường tròn (O) Ta suy đường tròn qua M M’ (tạo nên chùm đường tròn) trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm O bán kính R = k Hệ Qua phép nghịch đảo với phương tích k > Mọi đường tròn trực giao với đường trịn nghịch đảo biến thành Định lí Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > Nếu có hai đường trịnn trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O cắt M, M’ hai điểm hai điểm tương ứng phép nghịch đảo f(O, k) cho Chứng minh Giả sử hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với đường tròn nghịch đảo (O) chúng cắt M M’ (H4) Trục đẳng phương MM’ hai đường tròn (C1) (C2) qua tâm O đường tròn nghịch đảo điểm O nằm C1 ngồi đoạn MM’ O phải nằm ngồi hai M O đường tròn (C1) (C2) Đường tròn (O) M' trực giao với (C1) (C2) nên ta có: C2 P (O/(C ) = P (O/(C ) = ( k )2 Do OM OM' = k đpcm Hình Định lí Đối với phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo, với ảnh chúng A’ = f(A), B’ A' = f(B) nằm đường tròn A Chứng minh Vì OA OA' = OB OB' = k nên bốn điểm A, A’, B’, B nằm o O B B' Hình đường trịn (H5) Định lí Tích hai phép nghịch đảo có cực O f(O, k) f’(O, k’) phép vị tự tâm O tỉ số k' k Chứng minh Nếu phép nghịch đảo f(O, k) biến M thành M’ phép nghịch đảo f’(O, k’) biến M’ thành M thì: OM OM' = k, OM' OM'' = k’ Do ta suy OM' ' k ' = k OM' Vậy tích hai phép nghịch đảo phép vị tự tâm O tỉ số k' k Nói chung tích hai phép nói khơng giao hốn trừ trường hợp | k | = | k’| Hệ Hình dạng ảnh hình H phép nghịch đảo khơng phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà phụ thuộc vào vị trí cực nghịch đảo Thật vậy, giả sử H1 ảnh hình H phép nghịch đảo f 1(O, k1) H2 ảnh hình H phép nghịch đảo f2(O, k2), đó: H1 = f1(H), H2 = f2(H)  H = f2-1(H2) = f2(H2) Do đó: H1 = f1[f2 (H2)] = f1 o f2(H2) = V(H2) Với V phép vị tự Do H1 H2 hai hình đồng dạng Định lí Cho hai điểm A B ảnh A’, B’ chúng phép nghịch đảo cực O, phương tích k Độ dài đoạn thẳng AB A’B’ liên hệ với hệ thức: A’B’ = | k || AB OA.OB Chứng minh: Ta xét hai trường hợp: a) Ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng (H6) A' Ta có OA.OA’ = OB.OB’ hay A OA OB'  OB OA' Vậy hai tam giác OAB OB’A’ đồng dạng O B' B Hình nên: A' B' OA' OA'.OA |k|    AB OB OA.OB OA.OB Do đó: A’B’ = | k | AB OA.OB b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng Khi ta có A' B' OB'  OA '  A' B' k k k  OB OA ( OA  OB)  AB k OA.OB OA.OB Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có: A’B’ = | k | AB OA.OB § SỰ BẢO TỒN GĨC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Cho hai đường cong (C1) (C2) cắt điểm A tạiđó chúng có tiếp tuyến Ta gọi góc hai tiếp tuyến góc hai đường cong cho điểm A Bổ đề Cho phép nghịch đảo f(O, k) biến đường cong (C ) thành đường cong (C’) Nếu A, A' hai điểm tương ứng (C ), (C ') chúng có tiếp tuyến tiếp tuyến đối xứng với qua đường trung trực đoàn thẳng AA' Định lí Phép nghịch đảo bảo tồn góc Chứng minh: Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong (C) (D) cắt điểm A biến thành đường cong (C') (D') cắt điểm A' = f(A) (H8) Theo bổ đề tiếp tuyến At A't' (C) (C') A đối xứng với d qua đường trung trực d đoạn AA' Tương tự tiếp tuyến Au A'u' (D) (D') A A' đối t' (C) t A (C') A' xứng với qua d Vậy hai góc (At, Au) (A't', Au') đối xứng với qua (D) u u' (D') d nên chúng có độ lớn hình học ngược hướng Hình Ta có (A't', A'u') = - (At, Au) §3 ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Từ định nghĩa, ta suy phép nghịch đảo biến đường thẳng qua cực nghịch đảo thành đường trịn Cịn đường thẳng khơng qua cực nghịch đảo ảnh xác định định lí sau Định lí Phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo O thành đường tròn qua cực nghịch đảo trừ điểm O Ngược lại đường tròn qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) có ảnh đường thẳng không qua cực nghịch đảo Hệ Nếu đường trịn tâm I biến thàng đường thẳng d tâm I biến thành điểm đối xứng I' cực nghịch đảo O qua d (H9) Định lí Một đường thẳng đường trịn coi ảnh hai phép nghịch đảo, đường thẳng không tiếp xúc với đường trịn 3.Định lí Qua phép nghịch đảo, đường trịn khơng qua cực nghịch đảo O biến thành đường trịn khơng qua diểm O 10 §4 PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN Ta biết phép nghịch đảo f(O, k) đường trịn khơng qua cực nghịch đảo O có ảnh đường trịn cực nghịch đảo tâm vị tự hai đường trịn Ngược lại cho trước hai đường tròn C(I, R) C'(I',R'), ta xét xem chúng ảnh qua phép nghịch đảo hay khơng Ta xét trường hợp sau: Trường hợp tổng quát Trường hợp hai đường trịn (C) (C') khơng khơng tiếp R' R' xúc nhau, có hai phép vị tự VOR V'OR' biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') Các tâm vị tự O O' không nằm hai đường trịn Khi có hai phép nghịch đảo biến (C) thành (C') (H13) d R' R I O O' H I' B (C' ) Hình a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích k = lp = R' p p R phương tích điểm O đường trịn (C) b) Phép nghịch đảo tâm O' với phương tích k'= R' p' p' R phương tích điểm O' đường tròn (C) Các trường hợp đặc biệt a) Nếu hai đường tròn (C) (C') khơng tiếp xúc có phép vị tự O' biến đường tròn thành đường trịn (C') (C) I O' I' 11 Hình Do ta có phép nghịch đảo cực O' với phương tích k' = - R' p', R p' phương tích điểm O' đường trịn (C) (bằng phương tích O' đường tròn (C')) (H14) b) Nếu hai đường tròn (C) (C') tiếp xúc với điểm A khơng tiếp điểm tâm vị tự cực nghịch đảo có tâm vị tự cịn lại cực O phép nghịch đảo (H15) I' (C' ) O I A A (C) (C) O (C') Hình 10 c) Nếu hai đường tròn (C) (C') tiếp xúc với khơng có phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường tròn (H16) .I I' (C) (C') Hình 11 Chú ý: Giả sử phép nghịch đảo f(O, k) biến đường tròn (C) thành đường trịn (C') tâm I đường trịn (C) khơng biến thành tâm I' đường tròn (C') Gọi J = f(I), muốn tìm J ta vẽ qua I đường thẳng d d vuông góc với (C) Vì d khơng qua cực O nên d' = f(d) đường tròn qua O trực giao với đường trịn (C') = f(C) Đường kính AB đường tròn (C') qua O cắt đường trịn d' J O Ta có A, B, J, O hàng điểm điều hồ d' trực giao với đường trịn (C') Vậy ta có (ABJO) = -1 O, J hai điểm liên hợp đường trịn (C') (xem H12) 12 §5 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN Do phép nghịch đảo có khả biến đường trịn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, toán người ta thường chọn cực nghịch đảo giao điểm số đường trịn tính chất đề cập đến phải bất biến phép nghịch đảo độ lớn góc, tính trực giao đường, tiếp xúc đường Bài tốn Cho hai đường trịn (O1) (O2) trực giao với cắt A B Ta lấy điểm C D hai đường trịn cho đường thẳng CD không qua A B Chứng minh đường trịn (ACD) (BCD) lúc trực giao với (H17a) Giải a) Cách giải thứ 1: Dùng phép nghịch đảo f cực A biến đường tròn trực giao (O1) (O2) thành đường thẳng (O'1), (O'2) vng góc với điểm B' = f(B) Ta có C' = f(C), D' = f(D) điểm (O' 1) (O'2) (H17b) Khi đường trịn (BCD) biến thành đường trịn (B'C'D') B' D' C' A C O O2 (O'2) (O'1) D Hình 12b B (O ) Do B'C' vng góc với B'D' nên C'D' đường kính đường trịn Hình 12a (B'C'D'), có nghĩa C'D' trực giao với đường trịn (B'C'D') Vì C'D' ảnh đường tròn (ACD) nên ta suy đường tròn trực giao với đường tròn (BCD) phép nghịch đảo bảo tồn góc 13 Nếu chọn B làm cực nghịch đảo ta có cách giải tương tự b) Cách giải thứ hai: Dùng phép nghịch đảo j cực C biến đường tròn (O1) thành đường thẳng (O'1) biến đường tròn (O2) thành đường tròn (O'2), trực giao với đường thẳng (O'1) A' = j(A) B' = j(B) Còn điểm D biến thành điểm D' thuộc đường trịn (O'2) (H18) D' Vì A'B' đường kính đường trịn (O'2) nên A'D' vng góc với B'D' D' Từ ta suy trực B' A' (O'1) giao đường tròn(ACD) (BCD) Nếu chọn B làm cực nghịch đảo (O2) Hình 13 ta có cách giải tương tự Bài toán Cho tam giác ABC đường cao BH, CK Chứng minh đường thẳng HK song song với tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Vì BHC = BKC = 900 nên điểm H K nằm đường tròn đường kính BC Do ta có: AB.AK AC.AH Với phép nghịch đảo f tâm A phương tích k = AB.AK AC.AH , A điểm B biến thành điểm K, điểm C H biến thành điểm H Khi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường thẳng KH qua cực K B C nghịch đảo A Mặt khác qua phép nghịch đảo f tiếp tuyến đường Hình 14 trịn ngoại tiếp tam giác 14 ABC qua cực nghịch đảo A nên biến thành Do tiếp tuyến song song với KH phép nghịch đảo bảo tồn góc Bài tốn Cho đường trịn cố định tâm O dây cung cố định AB đường trịn Một điểm M di động đường tròn (O) Gọi M' giao điểm thứ hai đường tròn qua M, tiếp xúc với đường thẳng AB A B Hãy tìm tập hợp điểm M' Giải Gọi (C) (C') hai đường tròn qua M tiếp xúc với AB A B Đờng thẳng MM' trục đẳng phương (C) (C') phải qua trung điểm I đoạn AB Ta có (C) IM IM' = IA2 = IB2 (H20) M Điểm M' ảnh M phép nghịch đảo cực I phương tích k= O IA2 = IB2 Điểm M vạch nên đường tròn (O) A (C') M' I nên điểm M' vạch nên đường tròn (O') O' ảnh (O) phép nghịch đảo H Đờng trịn (O) qua hai điểm A, B hai Hình 15 B điểm bất biến phép nghịch đảo Vậy (O') đường tròn qua ba điểm A, B, M' Vẽ tam giác vng OAH Ta có: IO.IH = IA.IB hay IA2 = IO'.IH với O' điểm đối xứng O qua AB ta có IO'   IO Vậy: Tập hợp điểm M' đường tròn (O') đối xứng với đường tròn tâm O qua đường thẳng AB 15 Bài toán Định lí Ptolémée Điều kiện cần đủ để tứ giác lồi nội tiếp đợc tích hai đường chéo tích cạnh đối diện A' Chứng minh A Cho tứ giác lồi ABCD Gọi f phép nghịch đảo cực D B B' D phương tích k biến A, B, C lần lợt C thành A', B', C' Ta biết điều kiện cần đủ để bốn điểm A, B, C, D nằm đường Hình 16 C' trịn ba điểm A', B', C' thẳng hàng Điều kiện thẳng hàng ba điểm A', B', C' là: A'C' = A'B' + B'C' (H21) hay |k| AC AB BC = |k| + |k| DA.DC DA.DB DB.DC Nhân hai vế với DA.DB.DC | k | ta đợc: AC DB = AB CD + AD.BC đpcm Bài toán Hệ thức Euler Cho điểm A, B, C, D tuỳ ý nằm đường thẳng m Gọi ảnh A, B, C phép nghịch đảo cực D, phương tích k A', B', C' Ta ln ln có: B' C' + C' A' + A' B' = Do A' B' = k  AB  BC  CA , B' C' = k , C' A' = k DC.DA DB.DC' DC.DA Ta có: k k k - CA -  AB =0 DB.DC DC.DA DA.DB - BC Nhân vế với - DA.DB.DC k ta được: DA.BC  DB.CA  DC.AC = ta hệ thức Euler đpcm 16 Bài toán Chứng minh phép nghịch đảo bảo tồn hàng điểm điều hoà với cực nghịch đảo đường thẳng chứa hàng điểm Chứng minh Gọi I trung điểm AB Theo hệ A I C D B thức Newton ta có (ABCD) = -1  IA2 = IC.ID Hình 17  IB2 = IC.ID Chọn I làm cực nghịch đảo với phương tích k= IA = IB2 ta có đường trịn nghịch đảo đường trịn đường kính AB Qua phép nghịch đảo ta có: A  A, B  B, C  D, D  C (ABCD) = -1  (ABCD) = -1 Bài toán Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng d đường trung trực AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường tròn (O) D' E' Tìm tập hợp điểm D' E' Giải Ta có CD.CD' CE.CE ' CA.CB = k (k khơng đổi)  D', E' lần lợt ảnh D, E phép nghịch đảo cực C, phương tích k D' D' I A B C O E' E Hình 18  Tập hợp điểm D' E' đường tròn ảnh đường thẳng d qua phép nghịch đảo Đờng tròn qua điểm C, D', E' cắt AB I cho (ABIC) = -1 17 Bài toán Cho tam giác ABC Gọi O, I lần lợt tâm đường trịn ngoại tiếp nội tiếp có bán kính R r Gọi OI = d Chứng minh d = R2 - 2Rr (công A thức Euler) Chứng minh  Gọi M, N, P lần lợt tiếp điểm M đường tròn (I) với cạnh AB, AC, BC B' A', B', C' giao điểm AI, BI, CI với MN, MP, NP  A' B Ta có IA.IA' IB.IB' IC.IC' r N I C' P C Hình 19  A', B', C' ảnh A, B, C phép nghịch đảo tâm I, phương tích k = r2  đường tròn (A'B'C') ảnh đường tròn (ABC) phép nghịch đảo đó, mà đường trịn (A'B'C') đường trịn Euler tâm giác MNP có bán kính r Theo tính chất phép nghịch đảo, đường tròn (A'B'C') ảnh đường tròn (ABC) qua phép vị tự tâm I với tỷ số vị tự  = k với p = P (I)/(ABC) p r r Mặt khác || = hay  = p = P (I)/(ABC) = IO2 - R2 = d2 - R2 2R R Vì I nằm đường trịn (O) nên p = P (I)/(ABC) < O |k| r |k| r r2    Do || = hay | p | 2R | d  R | 2R R  d Suy d2 = R2 - 2Rr 18 III KẾT LUẬN Qua nội dung vừa trình bày tơi muốn đưa hệ thống lý thuyết tương đối đầy đủ số ứng dụng cụ thể nhiều khía cạnh khác Hình học phẳng phép biến hình nghịch đảo, sở phát triển, tìm tịi, chuyển hố thành cơng cụ học tập, giải tốn hình học Vinh, tháng 04 năm 2010 Nguyễn Đức Toàn 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Văn Như Cương, Hình học 10, NXB Giáo dục, Hà nội, 2001 2 V.V PRAXOLOV, Các tốn hình học phẳng, NXB Hải Phòng, 1994 3 Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 4 Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải Tốn hình học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005 5 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 6 Các đề thi vơ địch Tốn nước (19 nước), NXB Hải Phịng, 1993 20 ... H12) 12 §5 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN Do phép nghịch đảo có khả biến đường trịn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, toán người ta... O B B' Hình đường trịn (H5) Định lí Tích hai phép nghịch đảo có cực O f(O, k) f’(O, k’) phép vị tự tâm O tỉ số k' k Chứng minh Nếu phép nghịch đảo f(O, k) biến M thành M’ phép nghịch đảo f’(O,... hai phép nghịch đảo phép vị tự tâm O tỉ số k' k Nói chung tích hai phép nói khơng giao hốn trừ trường hợp | k | = | k’| Hệ Hình dạng ảnh hình H phép nghịch đảo khơng phụ thuộc vào phương tích nghịch