Chương II. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên và nhóm cộng các số hữu tỷ
2.2. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên
Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về nửa nhóm xyclic đã trình bày trong chương I, nhưng ở đây phép toán trên nửa nhóm S được ký hiệu theo lối cộng.
Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a S∈ sao cho S = a ={a a, 2 ,..,na,...} . Có hai trường hợp xảy ra:
Thứ nhất, với hai số nguyên ,m n khác nhau thì ma na≠ , khi đó S đẳng cấu với nửa nhóm cộng ¢+ tất cả các số nguyên dương, và S có cấp vô hạn.
Thứ hai, tồn tại m n≠ nhưng ma na= , ta nhận được kết quả sau:
2.2.1. Định lý. Giả thiết rằng S = a là một nửa nhóm xyclic sao cho ma na= với các số nguyên dương m n khác nhau nào đó. Giả sử k là số nguyên dương, nhỏ nhất sao cho ka ra= với r k< , và giả sử m k r= − .
(1) Đối với u v r≥ ≥ , đẳng thức ua va= đúng nếu và chỉ nếu m chia hết u v− .
(2) S ={a a, 2 ,..., (k −1)a} có lực lượng k−1.
(3) G={ra r, ( +1) ,..., (a k −1)a} là một nhóm con của S ; đơn vị của G là ha , trong đó h là số nguyên thỏa mãn r h m r< < + −1 và h chia hết cho m .
Phần tử a được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S= a ; r được gọi là chỉ số và m được gọi là chu kỳ của a (và cũng được gọi là chỉ số và chu kỳ của a = S); còn số nguyên r m+ −1 được gọi là cấp của a (và cũng được gọi là cấp của a =S).
Nếu a hữu hạn thì phần tử a được gọi là tuần hoàn. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm tuần hoàn nếu mọi phần tử của S tuần hoàn. Nếu a vô hạn thì phần tử a được gọi là không tuần hoàn. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm không tuần hoàn nếu mọi phần tử khác đơn vị (nếu có) của S không tuần hoàn.
Chỉ số và chu kỳ của một nửa nhóm xyclic xác định duy nhất sai khác đẳng cấu. Hơn nữa, đối với hai số nguyên dương r và m, tồn tại nửa nhóm xyclic
( , )
C r m chỉ số r và chu kỳ m. Một trong các nửa nhóm như vậy là nửa nhóm nhận được sinh bởi lớp X trong ¢[ ]X ( Xr m+ − Xr) . Chúng ta chú ý rằng C r m( , ) là một nhóm nếu và chỉ nếu r =1, hơn nữa C(1, )m là nhóm xyclic cấp m. Mặt khác, mỗi nửa nhóm xyclic C r m( , ) chứa một lũy đẳng duy nhất (chú ý rằng nếu S là một nửa nhóm được ký hiệu theo lối cộng thì phần tử e S∈ được gọi là phần tử lũy đẳng nếu thỏa mãn điều kiện e e e+ = ).
Nửa nhóm cộng ¢+ tất cả các số nguyên dương là nửa nhóm xyclic vô hạn và nửa nhóm cộng các số nguyên không âm ¥ là vị nhóm nhận được từ ¢+ bằng cách bổ sung thêm phần tử không. Mặt khác, Định lý cơ bản của Số học chứng tỏ rằng nửa nhóm nhân ¢+ là tổng trực tiếp yếu của một số đếm được các bản copy theo nghĩa sau đây:
2.2.2. Định nghĩa. Giả sử S là một vị nhóm cộng tính với phần tử không là 0.
Nếu { }Sα α∈I là một họ các vị nhóm con của S chứa 0 thỏa mãn điều kiện : mỗi phần tử của S biểu diễn được dưới dạng
1 i
n
i
sα
∑= với sαi∈Sαi đối với mỗi i (trong đó αi∈ ∀ =I, i 1, 2,...,n), và nếu mỗi đẳng thức
1 i 1 i
n n
i i
sα tα
= = =
∑ ∑ kéo theo sαi =tαi (với mỗi i=1, 2,...,n), thế thì S được gọi là tổng trực tiếp yếu (trong) của họ
{ }Sα α∈I.
Ký hiệu W
I
S Sα
=α∈∑ .
Từ định nghĩa suy ra rằng nếu W
I
S Sα
=α∈∑ thì
I
S Sα
α∈
= ∑ và Sα Sβ { }0
β α≠
∩ ∑ = đối với mỗi α ∈I, nhưng hai điều kiện trên không đảm bảo S là tổng trực tiếp yếu của họ { }Sα α∈I. Trong trường hợp I hữu hạn, I ={1, 2,...,n} thì ta viết
1 2 ... n
S S= ⊕ ⊕ ⊕S S hay S =
1 n
i i
S
⊕= . Trở về trường hợp ( , )¢+ • , giả sử p1 < p2 <...
là tập hợp các số nguyên tố và Si là vị nhóm con { } j 0
pij ∞
= của ¢+ đối với mỗi i. Thế thì ¢+ là tổng (hoặc tích) trực tiếp yếu của họ { }Si i∞=0.
2.2.3. Định nghĩa. Các vị nhóm con của vị nhóm cộng ¥ được gọi là các vị nhóm số (numberical monoids).
Nếu S là một vị nhóm số khác không, giả sử d là ước chung lớn nhất
( g c d. . ) của các phần tử thuộc S . Thế thì S =d T. trong đó T ≅S và . .g c d của các phần tử thuộc T bằng 1; chúng ta gọi vị nhóm số T như vậy là nguyên thủy. Để xác định tất cả các vị nhóm số, ta cần xác định các vị nhóm nguyên thủy.
Trước hết ta chứng minh các kết quả sau:
2.2.4. Định lý. Giả sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu ( 1) ( 1)
n≥ −a b− , thế thì tồn tại các số nguyên không âm x và y sao cho n xa yb= + .
Chứng minh. Trường hợp a hoặc b bằng 1 là tầm thường, vì vậy chúng ta có thể giả thiết rằng 1< <a b. Chúng ta viết ib q a r= i + i, trong đó 0≤ <r ai và 0≤ ≤ −i a 1. Vì b ≡1 (mod )a nên tập hợp { }ri ai=−01 là một tập đầy đủ các thặng dư moda.
Nếu n≥ −(a 1) (b−1), chúng ta viết n ta r= + , trong đó 0≤ <r a, và từ đó
{ } 01 a
r∈ ri i=− . Nếu r r= j, thế thì t q≥ j; đối với t q< j kéo theo
j j i
ta r+ = <n q a r+ = jb. Do đó jb n− chia hết cho a. Nhưng
( 1) ( 1) ( 1)
jb− −a b− ≤ a− ; mâu thuẫn.
Do đó t q≥ j và do đó n= −(t q a q a rj) + j + = −j (t q aj) + jb. □ Từ Định lý 2.2.4 suy ra rằng vị nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sẽ chứa một iđêan k + ¥ = {x∈ ¥ x k≥ } của ¥ , trong đó k là một số nguyên dương nào đó. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng mỗi vị nhóm số nguyên thủy khác không chứa một cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.
2.2.5. Định lý. Nếu S là một vị nhóm số nguyên thủy khác không, thế thì tồn tại các số nguyên dương a b S, ∈ sao cho gcd { }a b, =1.
Chứng minh. Tồn tại một tập con hữu hạn {a a1, 2,...,an} của S ∩¢+ với . .g c d bằng 1. Chọn các số nguyên x x1, ,...,2 xn sao cho 1= x a1 1+ +... x an n. Thế thì
[ 1 1 ] 1 1 1 1
1+ k a( + +... an− )−x an n =(x +ka an) + +... (xn− +ka an) n− đối với mỗi số nguyên k , và đối với k đủ lớn, mỗi xi +kxn là các số dương sao cho
( ) [ ]
1
1 1
1
1 ( ... )
n
i n i n n n
i
x ka a k a a x a S
−
= −
+ = + + + − ∈
∑ và nguyên tố cùng nhau với
an∈S. □ 2.2.6. Định lý. Giả sử S là một vị nhóm số khác không và giả sử d là ước chung lớn nhất (g c d ) của các phần tử thuộc . . S .
(1) Tồn tại một số nguyên dương k sao cho S chứa md đối với mỗi m k≥ . (2) S hữu hạn sinh. Từ đó, ¥ thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (a c c. . ) trên các vị nhóm con.
(3) Tồn tại một tập hợp hữu hạn B của các phần tử sinh vị nhóm S sao cho nếu C là một tập sinh tùy ý của S (xét như một vị nhóm) thế thì B⊆C.
Chứng minh. Khẳng định (1) suy ra trực tiếp từ các Định lý 2.2.4 và 2.2.5.
Để chứng minh (2), chúng ta chú ý rằng tập hợp { } 1 t
i i
s = các phần tử thuộc S mà bé hơn k d là hữu hạn, và S được sinh bởi:
{ }t 1 { , ( 1) ,..., (2 1) }
i k d k d k d
si = ∪ + − .
Khẳng định nói rằng mỗi vị nhóm con của ¥ hữu hạn sinh suy ra rằng a c c. . trên các vị nhóm con được thỏa mãn trong ¥ .
Để chứng minh (3), giả sử b1 là phần tử dương nhỏ nhất của S. Thế thì b1
thuộc vào mỗi tập sinh C của S. Nếu { }b1 sinh ra S như một vị nhóm, thế thì hãy lấy B={ }b1 . Ngược lại, giả sử b2 là phần tử nhỏ nhất của S không nằm trong vị
nhóm 0
b1 được sinh bởi b1. Thế thì {b b1, 2} ⊆C đối với tập sinh C bất kỳ của S. Tiếp tục quá trình này, ta nhận được b b1 2, ,...,bn 0=S đối với n nào đó vì ¥ thỏa mãn điều kiện . .a c c trên các vị nhóm con, và ta hãy lấy B={b b1, ,...,2 bn} . □
Chúng ta đã thấy rằng mỗi vị nhóm số đẳng cấu với một vị nhóm nguyên thủy. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng các vị nhóm số nguyên thủy khác nhau không đẳng cấu với nhau.
2.2.7. Định lý. Giả thiết rằng S và T là các vị nhóm số. Nếu ϕ:S →T là một đồng cấu, thế thì tồn tại số hữu tỷ q không âm sao cho h s( )=qs, với mỗi s S∈ . Như vậy, ϕ hoặc đơn ánh, hoặc ánh xạ tất cả các phần tử của S thành 0. Nếu S và T là các vị nhóm nguyên thủy và ϕ là một đẳng cấu từ S lên T thế thì S T= . Chứng minh. Giả sử s là một phần tử khác không của S và t=ϕ( )s , giả sử
q= ts . Lấy 's ∈S.
Nếu ' 0s = thế thì ϕ( ') 0s = =qs'.
Nếu ' 0s ≠ , thế thì ϕ( ')ss =sϕ( ')s =s' ( )ϕ s nên ϕ( ')s =qs'.
Như vậy ϕ hoặc là đơn ánh hoặc là ánh xạ không tùy theo q≠0 hay q =0. Nếu S và T là các vị nhóm nguyên thủy và ϕ là toàn ánh , thế thì tính nguyên
thủy của S và bao hàm thức qs⊆ ¥ kéo theo q là một số nguyên, và tính nguyên thủy của T cùng với đẳng thức T =qS chứng tỏ rằng q=1. Như vậy, đẳng cấu giữa S và T cùng với tính chất nguyên thủy của chúng kéo theo T =S. □ 2.2.8. Chú ý. Nếu S và B là các tập hợp đã nêu trong phần (3) của Định lý 2.2.6, thế thì lực lượng của B được gọi là hạng của S .
Vị nhóm con k k, +1,..., 2k−10 của ¥ có hạng bằng k đối với mỗi k∈¢+. Khác với ¥ , chúng ta chú ý rằng các vị nhóm con của ¥ × ¥ – tổng trực tiếp ngoài của ¥ với chính nó - không nhất thiết hữu hạn sinh.
Chẳng hạn, ( )1,k ∉ (1,0), (1,1),...,(1,1−k) 0 với k tùy ý.
2.2.9. Định lý. Nếu S là vị nhóm con của vị nhóm cộng ¢ chứa đồng thời các số nguyên dương và nguyên âm nào đó, thế thì S là một nhóm con của ¢.
Chứng minh. Giả sử S1 = ∩S ¥ và S2 = ∩S (- ¥). Nếu d1 và d2 là các ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc S1 và S2 tương ứng, thế thì do ¥ và – ¥ đẳng cấu nên từ Định lý 2.2.6 suy ra tồn tại các số nguyên dương k k1, 2 sao cho
1 1
md ∈S đối với mỗi m k≥ 1 và −nd2∈S2 đối với mỗi n k≥ 2.
Giả sử d =g c d d d. . .{ 1, 2} . Chúng ta chứng tỏ rằng S =d¢. Bao hàm thức S ⊆d¢ là rõ ràng. Tồn tại các số nguyên x và y sao cho
1 2
d x d= + y d , và vì
1 2 ( 2) 1 ( 1) 2
x d + y d = +x rd d + −y rd d đối với số nguyên tùy ý r, chúng ta có thể giả thiết rằng x k≥ 1 và − ≥y k2 (mà không mất tính tổng quát). Như vậy d S∈ và lập luận tương tự chứng tỏ được rằng − ∈d S. Do đó d¢ ⊆S và do đó S =d¢.□