CHƯƠNG I MộT Số VấN Đề CHUNG Những lực cần thiết việc học tập môn toán 1.1 Năng lực: Phần lớn công trình tâm lí học giáo dục học thừa nhận ngời có lực khác nhau, lực đợc hình thành qua hoạt động, học tập, sống Dới số cách hiểu lực: Định nghĩa 1: (Theo từ điển tiếng Việt) Năng lực phẩm chất tâm lí tạo cho ngời khả hoàn thành loại hoạt động với chất lợng cao Định nghĩa 2: Năng lực tổ hợp đặc điểm tâm lí ngời đáp ứng đợc yêu cầu loại hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết số hoạt động Định nghĩa 3: Năng l đặc điểm tâm lí cá nhân ngời đáp ứng đợc yêu cầu loại hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc số loại hoạt động Nh ba định nghĩa có đặc điểm chung là: Năng lực nảy sinh quan sát đợc hoạt động giải quýết yêu cầu mẻ vá gắn liền với tính sáng tạo, t (tuy nhiên có khác mức độ) 1.2 Năng lực toán học : 1.3 Theo V.A Krutecxki: lực toán học đợc hiểu từ hai góc độ: Góc độ lĩnh hội toán học (quá trình học tập) Năng lực học toán việc nắm vững giáo trình môn toán trờng học, nắm vững cách nhanh tốt kiến thức, kỹ kỹ xảo tơng ứng Góc độ khoa học (tính sáng tạo): Năng lực sáng tạo, tạo kết mới, khách quan có giá trị lớn loài ngời Cũng theo Krutecxki:Những lực toán học đợc hiểu đặc điểm tâm lý cá nhân(trớc hết hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, điều kiện vững nh nguyên nhân thành công việc nắm vững cách sáng tạo toán họcvới t cách môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh,dễ dàng, sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh vực toán học Tất nhiên, ngời có khác mức độ lực toán học Do dạy học toán, vấn đề quan trọng chọn lựa nội dung, phơng pháp thích hợp để giúp cho đối tợng học sinh đợc nâng cao dần mặt lực toán học 1.4 Cấu trúc lực toán học: Dựa theo quan điểm lí thuyết thông tin, Krutecxki đà cấu trúc lực học sinh là: 1.3.1 Về mặt thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, lực nắm đợc cấu trúc hình thức toán 1.3.2 Về mặt chế biến thông tin toán học: 1.3.2.1 Năng lực t lô gic lĩnh vực quan hệ số lợng không gian, hệ thống kí hiệu số dấu, lực t kí hiệu toán học 1.3.2.2 Năng lực kết hóa nhanh chóng rộng rÃi đối tợng quan hệ toán học phép toán 1.3.2.3 Năng lực rút gọn trình suy luận toán học hệ thống phép toán tơng ứng, lực t cấu trúc đợc rút gọn 1.3.2.4 Tính linh hoạt trình t hoạt động toán học 1.3.2.5 Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lí lời giải 1.3.2.6 Năng lực nhanh chóng dễ dàng sửa lại phơng hớng trình t duy, lực chuyển từ tiến trình t thuận sang tiến trình t đảo (trong suy luận toán học) 1.3.3 Về mặt lu trữ thông tin toán học : Trí nhớ toán học (tức trí nhí kh¸i qu¸t vỊ c¸c quan hƯ to¸n häc, vỊ đặc điểm điển hình , sơ đồ suy luận chứng minh,về phơng pháp giải toán, nguên tắc đờng lối giải toán) 1.3.4 Về thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hớng toán học trí tuệ Các thành phần có liên quan chặt chẽ với có ảnh hởng lẫn nhau, tạo thành hệ thống, cấu trúc hoàn chỉnh Trong quan điểm Krutẽcki lực toán học, cho ta thấy điều kiện dạy- học toán nh có học sinh tiếp thu chậm hơn, vận dụng so với em khác Tuy nhiên khả đợc hình thành thông qua hoạt động giải toán chủ yếu Do cần nghiên cứu để nắm vững đợc chất lực đờng hình thành, phát triển hoàn thiện lực Kết học tập toán học sinh hiệu hoạt động lĩnh vực học tập nghiên cứu toán học, phụ thuộc vào số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm học tập, khuyến khích hỗ trợ giáo viên, gia đình xà hội Để bồi dỡng lực toán học cho học sinh, việc cần tìm hiểu chỗ mạnh, nhằm giúp em phát triển lực ấy, đồng thời cần tìm hiểu lực yếu học sinh để tìm cách giúp học sinh khắc phục Sau quan điểm lực toán học số nhà tâm lý học, giáo dục học, nhà toán học giới Theo A.N.Kôlmôgôrôv, thành phần lực toán học có: 1) Năng lực biến đổi khéo léo biểu thức chữ phức tạp, lực tìm đờng giải phơng trình không theo quy tắc chuẩn 2) Trí tởng tợng hình học 3) Nghệ thuật suy luận logic theo bớc đợc phân chia cách đắn Đặc biệt có kĩ vận dụng đắn nguyên lí quy nạp toán học Quan điểm Pelley nh sau: 1) Nhìn thấy quan hệ , điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả thiết kết luận) 2) Lu trữ dịch chuyển (qua đồ thị kí hiệu) 3) Năng lực theo dõi hớng suy luận 4) Năng lực hiểu toán 5) Năng lực theo dõi đờng giải toán 6) Khái quát hóa, mở rộng tơng tự tìm mô hình thích hợp (trong mô hình đà biết) 7) Xây dựng mô hình toán học giải toán 8) Xây dựng thuật toán để giải tập Quan điểm A.I Mrcuxevich phẩm chất trí tuệ cần đợc giáo dục với việc dạy học toán bao gồm: 1) Có kỹ tách chất vấn đề loại bỏ chi tiết không bản, chẳng hạn kỹ trừu tợng hóa 2) Có kỹ xây dựng sơ đồ tợng cho giữ lại vấn đề cần thiết cho việc giải thích vấn đề toán học Bao gồm quan hệ thuộc, thứ tự, lợng độ đo, phân bố không gian, kỹ đồ họa 3) Có kỹ rút hệ lôgic từ tiền đề đà cho 4) Có kỹ phân tích vấn đề đà cho thành trờng hợp riêng, kỹ phân biệt chúng ví dụ không bao quát hết khả 5) Có kỹ vận dụng kết luận rót tõ c¸c suy ln lý thut cho c¸c vấn đề cụ thể biết đối chiếu kết với vấn đề đà dự kiến, kỹ đánh giá ảnh hởng việc thay đổi điều kiện đến độ tin cậy kết 6) Khái quát hóa kết nhận đợc đặt vấn đề Quan điểm X.I.Svacbuôc yếu tố phát triển lực toán học: 1) Các biểu tợng không gian 2) T trừu tợng 3) Chuyển sang sơ đồ toán học 4) T suy diễn 5) Phân tích xem xét trờng hợp riêng 6) Vận dụng kết luận 7) Tính phê phán 8) Kiên trì giải toán Quan điểm A.Ia Khin-chin nét đọc đáo phong cách t toán học là: 1) Suy luận theo sơ đồ logic chiếm u 2) Khuynh hớng tìm đờng ngắn dẫn đến mục đích 3) Phân chia rành mạch bớc suy ln 4) Sư dơng chÝnh x¸c c¸c ký hiƯu (mỗi ký hiệu toán học có ý nghĩa xác định chặt chẽ) 5) Tính có lập luận, đặc biệt không chấp nhận khái quát suy luận , phép tơng tự sở Quan điểm B.V.Gonhedencô: 1) Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng suy luận , thấy đợc thiếu mắt xích cần thiết chứng minh 2) Có thói quen trình bày lời giải toán cách đày đủ 3) Phân chia rành mạch tiến trình suy luận 4) Sự cô ®äng 5) Sù chÝnh x¸c cđa suy ln Quan ®iĨm A.Ph.Lavuxki yếu tố đặc trng cho t nghiên cứu số học gồm yếu tố: 1) Tính hệ thống tính t 2) TÝnh râ rµng vµ khóc chiÕt cđa t 3) Năng lực khái quát hóa toán học 4) Sự nhanh trí 5) Năng lực thiết lập mối liên hệ tri thức toán học đà đợc lĩnh hội tợng sống 6) TrÝ nhí lÜnh vùc cđa c¸c sè Ci cïng xin nêu lên quan điểm tổ chức quốc tế đánh giá thành tích toán học (UNESCO), với 10 yếu tố nâng lực toán học là: 1) Năng lực phát biểu tái định nghĩa, ký hiệu phép toán khái niệm 2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận sử dụng ký hiệu 3) Năng lực dịch chuyển kiện ký hiệu 4) Năng lực biễu diễn kiện thành dạng kí hiệu 5) Năng lực theo dõi hớng suy luận hay chứng minh 6) Năng lực xây dựng chứng minh 7) Năng lực giải toán đà toán học hóa 8) Năng lực giải toán có lời văn (cha toán học hóa) 9) Năng lực phân tích toán xác định phép toán cos thể áp dụng để giải 10) Năng lực tìm cách khái quát hóa toán học CHƯƠNG V DạY HọC PHÂN MÔN Số HọC THựC TRạNG Và GIảI PHáP Đặc điểm nội dung chơng trình môn Số học: Số học môn học có nhiều ứng dụng thực tiễn việc trang bị thêm kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên s phạm Toán, phục vụ cho việc giảng dạy sau sinh viên Các kiến thức số sinh viên viên đà đợc làm quen từ năm đầu tiểu học, nhng đợc đa vào chơng trình CĐSP mức độ khái quát trừu tợng Chơng trình Số học Cao đẳng s phạm đợc chia làm hai phân môn: Lý thuyết số Cơ sở số học Phần Lý thuyết số đợc học từ năm đầu, trớc học Đại số đại cơng, phần Cơ sở số học đợc trình bày sau sinh viên đà đơc học Đại số đại cơng Nhập môn Toán học cao cấp, nội dung chơng trình có đặc điểm sau: 1.1 Đặc điểm cấu trúc chơng trình Môn Lý thuyÕt sè gåm ch¬ng: Ch¬ng I: Lý thuyÕt chia hết Chia hết chia có d - Ước chung lín nhÊt Béi chung nhá nhÊt Sè nguyªn tè Định lý số học, phơng trình vô định ax+by=c Chơng II Lý thuyết đồng d Đồng d thức Các tính chất Vành lớp thặng d Hệ thặng d đầy đủ hệ thặng d thu gọn Định lý Ơ-le định lý Phecma Chơng III hàm số số học Hàm phần nguyên Hàm phần phân Hàm nhân Hàm Mơ-bius Hàm Ơ-le Hàm τ (n) , σ (n) Ch¬ng IV – Ph¬ng trình đồng d Các khái niệm Phơng trình đồng d bậc Hệ phơng trình đồng d bậc Định lý Trung Hoa thặng d Phơng trình đồng d bậc cao theo mô đun nguyên tố Môn sở số học gồm năm chơng: Chơng I: Số tự nhiên Tập hợp đẳng lực Tập hữu hạn tập vô hạn Số tự nhiên Số tự nhiên kề sau Các phép toán N Lực lợng N Tiên đề quy nạp Hệ tiên đề Pêanô Các hệ thống ghi số Thực hành phép toán hệ ghi số g-phân Các dấu hiệu chia hết Chơng II số nguyên Xây dựng vành số nguyên Ghi số nguyên Quan hệ thứ tự giá trị tuyệt đối Thực hành phép toán Z Lực lợng Z Chơng III Số hữu tỷ Xây dựng trờng số hữu tỷ Phân số Các phép toán phân số Quan hệ thứ tự Q Lực lợng Q Tập hợp Q10-Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuần hoàn Liên phân số hữu hạn Chơng IV Số thực Số thập phân vô hạn Quan hệ thứ tự R Các phép toán R Tính trù mật hữu tỷ Lực lợng continuum Chơng V Số phức Xây dựng trờng số phức Dạng đại số số phức Số phức liên hợp Dạng lợng giác số phức Công thức Moa vrơ Khai số phức 1.2 Đặc điểm nội dung chơng trình Số học môn học có nhiều ứng dụng thực tiễn việc trang bị thêm kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên s phạm Toán, phục vụ cho việc giảng dạy sau sinh viên Các kiến thức số học sinh viên đà đợc làm quen từ năm đầu tiểu học, nhng đợc đa vào chơng trình CĐSP với mức đọ kháI quát trừu tợng Chơng trình Số học CĐSP đợc chia làm hai phân môn: Lý thuyết số Cơ sở số học Phần Lý thuyết số đợc học từ năm đầu, trớc học đại số đại cơng, phần c sử số học đợc học sau ki sinh viên đà học Đại số đại cơng Nhập nôn toán học cao cấp, nội dung chơng trình có đặc điểm sau: PhÇn Lý thuyÕt sè: Lý thuyÕt sè cung cÊp cho sinh viên tính chất tập hợp số nguyên, giúp sinh viên nắm đợc phơng pháp nghiên cứu số học Một mặt lý thuyết số làm cho sinh viên biết vận dụng kiến thức đà học để soi sáng, nắm vững chơng trình sách giáo khoa Toán Trung học sở phần số học, mặt cung cấp ví dụ cần thiết cho sinh viên học đại số đại cơng sau Lý thuyết số đợc học trớc học đại số đại cơng vấn đề đa đợc trình bày cách hoàn toàn sơ cấp với đặc thù riêng số học theo lựa chọn phù hợp với khái niệm đại số đại mặt cho sinh viên dễ tiếp thu, dễ vận dụng, mặt khác giúp cho sinh viên thuận lợi nghiên cứu số khái niệm tổng quát đại số đại cơng Phần Cơ sở số học: Nội dung phần Cơ sở số học trình bày việc xây dựng mở rộng mét c¸ch cã hƯ thèng tõ nưa nhãm c¸c sè tự nhiên đến vành số nguyên, trờng số hữu tỷ, tròng số thực trờng số phức sở lý thuyết tập hợp cấu trúc đại số tổng quát mà sinh viên đà học Đại số đại cơng Cơ sở tính chất tập hợp giúp sinh viên giải đợc toán liên quan, đặc biệt nắm đợc kỹ thuật kỹ thực phép toán thuật toán quen thuộc chúng Chơng trình Số học trờng CĐSP đợc tách thành hai phần riêng biệt: Lý thuyết số Cơ sở số học nhng hai phần có liên quan chặt chẽ với Phần Lý thuyết số làm sở cho phần Cơ sở số học, đặc biệt việc nghiên cứu nửa nhóm số tự nhiên vành số nguyên, phần Cơ sở số học làm sáng tỏ vÊn ®Ị ®· häc ë Lý thut sè díi quan điểm đại số đại Chơng trình Số học CĐSP góp phần thiết thực việc đào tạo giáo viên Toán trờng trung học sở giúp sinh viên hệ thống lại nâng cao kiến thức số học chơng trình Toán trung học sở, đồng thời nắm đợc chất hệ thống kiến thức chơng trình Toán học nói chung So với chơng trình Số học Đại học, chơng trình Số học CĐSP đợc trình bày mức độ nhẹ hơn, chẳng hạn thừa nhận số định lý tập hợp hữu hạn xây dựng tập hợp số tự nhiên, không trình bày chi tiết toán đối xứng hóa xây dựng tập số nguyên việc xây dựng trờng thơng miền nguyên Z xây dựng tập số hữu tỷ Các kiến thức số học CĐSP đợc trình bày với mục tiêu soi sáng sách giáo khoa Toán trung học sở, nhằm giúp cho sinh viên có nhìn tổng thể kiến thức số học phổ thông Nhiều tập liên quan đến Toán phổ thông có ý nghĩa thiÕt thùc viƯc cđng cè thªm cho sinh viªn s phạm Toán kiến thức hành trang nghề nghiệp Thực trạng dạy học môn Sè häc 2.1 Thùc tr¹ng vỊ viƯc häc tËp cđa sinh viên 2.1.1 Có nhiều lỗ hổng kiến thức, kỹ Từ năm đầu tiểu học trung học sở, sinh viên đà đợc làm quen với môn số học, kiến thức sở nhng đà tạo tiền đề cho việc sâu nghiên cứu môn Tuy nhiên, chơng trình Toán phổ thông trung học đề cập đến kiến thức số học mà chủ yếu đại số, hình học, giải tích nên sinh viên CĐSP, đặc biệt sinh viên dân tộc thiểu số quên nhiều khái niệm kỹ Lý thuyết số Chẳng hạn t×m íc sè chung lín nhÊt cđa hai sè tự nhiên, đa số sinh viên không nhớ thuật toán Ơclit phơng pháp phân tích số tự nhiên thành thừa số nguyên tố, hay khái niệm số nguyên tố, hợp số, tính chất chia hết số tự nhiên, dạng biểu diễn phÐp to¸n cđa sè phøc Trong c¸c líp sinh viên dân tộc thiểu số trờng CĐSP, phân hóa cao Điều chủ yếu đầu vào sinh viên khác nhau: số thi tun, mét sè cư tun Nh÷ng sinh viên trớc đợc học trờng PTTH dân tộc nội trú tỉnh đa số nắm vững kiến thức sách giáo khoa phổ thông, sinh viên huyện gửi đến hầu nh dạng đọc thông viết thạo Sinh viên cha giải đợc phơng trình bậc nhất, cha thực tốt phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số hay số âm nên việc học môn Toán cao cấp nói chung môn Số học nói riêng sinh viên hầu nh không tiếp thu nổi, dẫn đến tình trạng không chịu học bài, đến lớp không để ý đến giảng có nghe không hiểu Đặc biệt lớp sinh viên dân tộc thiểu số học chung với sinh viên ngời Kinh thi vào, phân hóa rõ nét lớp này, việc phát biểu, xây dựng bài, giải tập số sinh viên học lớp thực hiện, sinh viên khác biết ngồi nghe cách thụ đông 2.1.2 Khả tiếp thu chậm, kỹ vận dụng hạn chế Khi tiếp cận với môn Số học giáo trình CĐSP, hổng nhiều kiến thức nên kiến thức lại trở nên mẻ đòi hỏi phải t nhiều Đặc biệt khái niệm tổng quát định lí cần phải có t trừu tợng 10 3.4 Một số giáo án minh họa: Giáo án Lý thuyết số Đ2 Hàm số số học có tính chất nhân (2 tiết) I- Vị trí học: chơng III, Đ2 II- Mục tiêu: Giúp sinh viên nắm vững định nghĩa, tính chất hàm số số học có tính chất nhân, hàm Mơ-bi-us, nắm vững luật thuận nghịch Đê-Đê-Kin-Liu-Vin đồng thời đợc ví dụ minh họa III- Công việc chuẩn bị: 1) Sinh viên: Ôn tập định nghĩa ánh xạ, cho ví dụ ánh xạ Đọc trớc học Đ2 chơng III Chuẩn bị giấy trong, bút 2) Giáo viên: Chuẩn bị giảng, chuẩn bị máy vi tính, đèn chiếu Toàn định nghĩa, định lý, tính chÊt, … mét sè vÝ dô, mét sè chøng minh định lý giáo viên chuẩn bị máy vi tính Dạy đến đâu cho xuất đến bảng tổng hợp cho xuất cuối phần củng cố IV- Phơng pháp: thuyết trình, vấn đáp gợi mở, nêu vấn đề, dạy học hợp tác nhóm nhỏ V- Tiến trình giảng 1) Hỏi cũ: + hÃy nhắc lại định nghĩa ánh xạ, cho ví dụ minh họa (1 ví dụ cho ánh xạ từ tập số tự nhiên khác vào tập số thực R) HÃy kiểm tra ánh xạ f: N* IR đà nêu ví dụ có thỏa mÃn ®iỊu kiƯn f ≠ 0; f(m.n) = f(m).f(n) [víi m,n nguyên tố nhau] hay không? 2) Đặt vấn đề: Những ánh xạ f: N* IR thỏa mÃn điều kiện đà nêu có tính chất gì? Nó có ứng dụng giải toán Bài học hôm giúp cho hiểu rõ điều 3) Bài 54 Phơng pháp Giáo viên: giới thiệu định nghĩa hàm số số học Hàm số số học cã tÝnh chÊt nh©n H·y chøng tá f: N* → IR f(n) = ns (víi s ∈ Z) lµ mét hàm số số học hoàn toàn nhân tính Cho f hàm số số học có tính chất nhân, h·y tÝnh f(1) = ? GV giíi thiƯu tÝnh chÊt a) Yêu cầu HS nhắc lại minh( HS yếu) chứng Cho f1: N* → IR lµ hµm sè cã tÝnh chất nhân f2: N* IR hàm số có tính chất nhân hàm số f = f1.f2 : N* IR xác định f(n)= Nội dung Đ2 Hàm số số học có tính chất nhân 2.1 Hàm số số học có tính chất nhân 2.1.1 Định nghĩa: a Hàm số số học ánh xạ f: N* → IR b Hµm sè sè häc cã tÝnh chất nhân hàm số số học thỏa mÃn: i) f nghĩa tồn số n0 thuéc N* cho f(n) ≠ ii) Víi mäi sè m, n thuéc N* ¦CLN(m;n) = ta cã f(mn) =f(m).f(n) Tính chất ii) đợc thỏa mÃn với m, n thuéc N* ta nãi f lµ hµm cã tính chất nhân hoàn toàn (hàm hoàn toàn nhân tính) VÝ dơ: f: N* → IR f(n) = ns; víi s số nguyên + f hàm sè + n0 = suy f(n0) = 1s =1 ≠ + f(mn) = (mn)s = ms.ns = f(m).f(n) víi mäi m, n ∈ N* 2.1.2 TÝnh chÊt a) f: N* → IR lµ hµm sè cã tÝnh chất nhân f(1) = chứng minh Vì f có tính chất nhân nên tồn n thuộc N* cho f(n0) Mà ƯCLN (n0, 1) = nªn f(n0) = f(1.n0) = f(1).f(n0) suy f(1) = b) Cho f1: N* → IR lµ hàm số có tính chất nhân f2: N* IR hàm số có tính chất nhân hàm số f = f1.f2: N* IR xác định f(n)= 55 f1(n).f2(n) có tính chất nhân hay không? Vì sao? (häc sinh kh¸) Mn kiĨm tra f cã tÝnh chÊt nhân hay không, ta cần kiểm tra điều kiện nào? HÃy kiểm tra tính chất hµm f H·y lÊy vÝ dơ minh häa tÝnh chÊt b) Có thể chọn f1 hàm số đà nêu ví dụ định nghĩa, chọn f2 hàm số số học có tính chất nhân ( HS khá) Nếu sinh viên cha đa đợc ví dụ GV hớng dẫn cho sinh viên, yêu cầu sinh viên chứng minh f2 có tính chất nhân kiĨm tra tÝnh chÊt b) GV giíi thiƯu tÝnh chÊt c) f1(n) f2(n) cịng lµm hµm sè cã tÝnh chÊt nhân Chứng minh: + f hàm số + f(1)=f1(1).f2(1)=1.1=1 nªn f + m,n ∈ N* cho ¦CLN(m,n)=1 th× f(m,n)=f1(m,n).f2(m,n)=f1(m).f1(n).f2(m ).f2(n) = f1(m).f2(m).f1(n).f2(n) = f(m).f(n) VËy f hàm có tính chất nhân Ví dụ: f1: N* → IR f 1(n) = ns; víi s lµ mét sè nguyªn f2: N* → IR f2(n) = n f: N* → IR f1, f2 cã tÝnh chÊt nh©n f= f1.f2 xác định f(n)= ns n f(n) có tính chất nhân vì: + Tồn n0=1 mà f(1)= 1s =1 vËy f(n0) ≠ + ∀ m, n∈ N*, ¦CLN(m.n)=1 ta cã f(m.n)= (m.n)s m.n = ms ns m n = (ms m ) (ns n )= f(m) f(n) α α α c)Cho n= p1 p2 pk dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên n >1 f hàm sè cã tÝnh chÊt nh©n Khi Êy ta cã HÃy triển khai vế phải công thức (SV trung bình) HÃy cho ví dụ minh họa? Giáo viên phân chia nhóm cho nhóm sinh viên trình bày ví dụ vào giấy trong, sau chiếu lên hình, cho nhóm nhận xét đánh k f (d ) = d |n Tæng ∏ (1 + f ( p ) + f ( p αi i )) i =1 ∑ f (d ) gäi lµ tổng trải d |n ớc n Ví dô: n = 22.3 = 12 f: N* → IR 56 k giá Cuối giáo viên nhận xét cho điểm Về nhà lấy thêm ví dụ để minh họa Đọc phần chứng minh tính chất c (SV giỏi) Hàm số có tính chất nhân có ứng dụng nh nào, ta xét hàm số Mơbi-us Giáo viên giới thiệu định nghĩa Yêu cầu sinh viên lấy ví dụ khác để minh họa Muốn tính f(n) với n N* cần phải làm gì? Giáo viên: ta cần biểu diễn n dới dạng phân tích tiêu chuẩn, sau xét xem n rơi vào trờng hợp để tính f(n) Hàm số ì(n) có tính chất nhân không? Vì sao? Muốn chứng minh f(n) hàm số có tính chất nhân ta cần chứng minh điều gì? (điều kiện hiển nhiên có; muốn chứng minh: f(m.n) = f(m) f(n) ta cần làm nh nào? HÃy xem lại định nghĩa hàm ì(n) HÃy xét trờng hợp m n xảy ra? f(n) = n2 f hàm sè cã tÝnh chÊt nh©n p1 = 2; p2 = 3; d = {1;2;3;4;6;12} ∑ f (d ) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(6)+ d |12 + f(12) = 1+4+9+16+36+144 = 210 VÕ ph¶i: (1+f(2)+f(22)).(1+f(3)) = = (1+4+16).(1+9) = 210 2.2 Hàm số Mơ-bi-us 2.2.1 Định nghĩa: Hàm Mơ-bi-us : N * Z đợc xác định công thức: f(n) = (−1) k nÕu n=1; nÕu n p2, víi p số nguyên tố n=p1.p2.pk tích k số nguyên tố khác Ví dụ: f(3) = -1 f(10) = 1; f(27) = 2.2.2 TÝnh chÊt a) Hàm Mơ-bi-us hàm có tính chất nhân Chứng minh f (định nghĩa f(n)) m = hc n = ta cã: f(1.n) = f(n) = f(1) f(n) f(1) = m = k2.p; n = k2.t (k ≠ 1) suy f(n) = suy f(m.n) = = f(m) f(n) m = p1.p2.pr n = q1.q2.qs đó: p1,p2,,pr.; q1,q2,.,qs số nguyên tố đôi phân biệt nên ta cã: 57 f(m.n) = (-1)r+s = (-1)r.(-1)s = f(m) f(n) b) f hàm có tính chất nhân α α α n= p1 p2 … pk lµ dạng phân tích tiêu chuẩn n N* Khi ta có Giáo viên giới thiệu tính chất hàm f(n) Yêu cầu sinh viên nhắc lại HÃy triển khai vế phải công thức: HÃy cho ví dụ minh họa (SV khá) (Nếu sinh viên không nêu đợc ví dụ giáo viên nêu ví dụ yêu cầu sinh viên tính kết quả) Về nhà đọc phần chứng minh định lý (SV giỏi) Nếu f(n) = với n N* tính chất đợc phát biểu nh nào? Vì sao? Nếu f(n) = víi ∀ n∈ N* th× tÝnh n chÊt đợc phát biểu nh nào? Vì sao? Cho f: N* → IR f(n) = n2 víi ∀ n∈ N* g(n) = ∑ f (d ) d |n f, g hàm số số học có tính n chất nhân HÃy tính (d ) g( ) d d |n víi n=12; tÝnh f(12) H·y so s¸nh giá trị f(12) với (d ) d |12 12 g( ) d Trong trờng hợp tổng quát Nếu f lµ mét hµm sè sè häc, g lµ hµm số số học xác định g(n) = k k ∑ µ (d ) f (d ) = ∏ (1 − f ( p )) i i =1 d |n VÝ dơ: cho f lµ hµm cã tÝnh chất nhân f(n) = n3; n = 24 (d ) f (d ) = -1.23 + (-1).33 + + + d |24 1.63 + + + = 182 (1-f(2)).(1-f(3)) = (1-23) (1-33) = 182 c) Hệ quả: i) n>1 (d ) = 1 nÕu n = α α k nÕu n= p1 p2 µ (d ) ∏ (1 − ) = i =1 pi ii) ∑ d d |n 1 nÕu n = d |n 2.2.3 LuËt thuËn nghÞch Đê-đê-kin Liu-vin Ví dụ: Cho f: N* IR f(n) = n2 víi ∀ n∈ N* g(n) = ∑ f (d ) d |n f, g hàm sè sè häc cã tÝnh chÊt nh©n Víi n=12 ta cã g(12) = 2 2 2 +2 +3 +4 +6 +12 = 210; g(6) = 50; g(4) = 21; g(3) = 10; g(2) = 5; g(1) = f(12) = 122 = 144 12 ∑ µ (d ) g( d ) = 210 – 50 – 21 +5 = d |12 210 – 66 = = 144 = f(12) 58 ∑ f (d ) th× f(n) đợc biểu diễn nh d |n n d qua hàm số à(d ) g( ) (SV giỏi) Giáo viên giới thiệu định lý Muốn chứng minh định lý ta biến đổi nh nào? HÃy tính tỉng: n µ (d ) g( )? ∑ d d |n Định lý: Giả sử f hàm số số học, g hàm số số học xác định bëi g(n) = ∑ f (d ) Ta cã: d |n f(n) = n ∑ µ (d ) g( d ) d |n Chøng minh: (Sinh viªn tù nghiªn cứu nhà) Chú ý dựa vào định nghĩa g(n) Giáo viên yêu cầu sinh viên nhà đọc phần chứng minh định lý, sau nêu tóm tắt bớc chứng minh (SV giỏi) SV trung bình, yếu nhà lấy thêm ví dụ minh họa Tại định lý lại gọi luật thuận nghịch Đê-đê-kin - Liu-vin (yêu cầu sinh viên giỏi nhà suy nghĩ thêm tìm hiểu để trả lời) 4) Củng cố: giáo viên nhắc lại vấn đề cần nắm vững học chiếu lên hình toàn định nghĩa, định lý, công thức (đà chuẩn bị sẵn nhà) 5) Hớng dẫn nhà: yêu cầu sinh viên nhà học kỹ định nghĩa, định lý, tính chất làm lại ví dụ, lấy tiếp thêm ví dụ khác; đọc phần chứng minh định lý, tính chất (SV giỏi) Ôn tập số ớc tổng ớc số tự nhiên, số hoàn chỉnh (sách giáo khoa Toán 6) Chuẩn bị giấy trong, bút phục vơ cho bµi häc tiÕp theo QUAN HƯ THø Tù TR£N Q 59 Mét sè lu ý chuÈn bÞ dạy Quan hệ thứ tự Q: Khi xây dựng khái niệm quan hệ Q, trớc hết nên thông qua ví dụ cụ thể, sau nêu lên định nghĩa tổng quát Các định nghĩa dựa vào quan hệ thứ tự Z định nghĩa bất đẳng thức nói chung mà sinh viên đà biết chơng trình đại số phổ thông Vì cần cho sinh viên ôn lại kiến thức liên quan kiểm tra cũ trớc dạy khái niệm định nghĩa cần nhấn mạnh quan hệ thứ tự Q phù hợp với quan hệ Z số đợc xét số nguyên để sinh viên thấy tính hệ thống chơng trình Định nghĩa định nghĩa cho sinh viên tự nêu khái niệm tơng tự nh phổ thông Khi dạy định lý quan hệ thứ tự Q việc cho sinh viên nắm đợc quan hệ thứ tự toàn phần khó đa số sinh viên dân tộc thiểu số cha nắm đợc điều kiện quan hệ thứ tự toàn phần, cần phải nhắc lại khái niệm trớc chứng minh Còn việc kiểm tra tính chất đặc trng quan hệ thứ tự, phép toán cộng nhân tơng đối dễ, cho sinh viên tự phát biểu mà không cần trình bày chứng minh lớp tính chất tơng tự nh tính chất quan hệ thứ tự Z mà sinh viên đợc học Việc cho sinh viên phát biểu tính chất lời cách tập dợt cho việc giảng dạy sau em Các tính chất trù mật tập hợp số hữu tỷ kiến thức sinh viên dân tộc thiểu số cần sử dụng phơng pháp mô tả để sinh viên thấy tính chất dày đặc số hữu tỷ trục số Tuy nhiên nói thêm Q không lấp đầy trục số, chẳng hạn Q, kết đà đợc học phổ thông cha đợc xây dựng lý thuyết chặt chẽ Ngoài cho sinh viên thấy tập hợp số N Z tính thứ tự trù mật để so sánh khác tập hợp số với tập hợp số hữu tỷ Q Khi dạy tính thứ tự Acsimet, để tăng thêm phần hứng thú cho sinh viên giải thích tính chất đợc gọi tính thứ tự Acsimet cách nhắc lại tiền đề Acsimet đà có hình học Ngoài phần lý thuyết hớng dẫn cho sinh viên số tập áp dụng, nh toán tìm phần nguyên số hữu tỷ 60 tập hữu ích cho việc dạy toán phổ thông sở sau sinh viên Khi tìm phần nguyên số âm, số sinh viên yếu thờng bị nhầm lẫn giáo viên cần lu ý giảng phần Giáo viên số câu hỏi cho sinh viên rèn luyện thêm hệ thống lại kết học NộI DUNG GIáO áN A Vị TRí CủA BàI ĐốI VớI CHƯƠNG Số HữU Tỷ Và CHƯƠNG TRìNH Bộ MÔN CƠ Sở Số HọC Bài Quan hệ thứ tự Q đợc học sau sinh viên đà học phần xây dựng trờng số hữu tỷ (xem nh trờng thơng Z) phép toán Q, mối liên hệ Q Z, khái niệm phân số phép toán Nó sở cho việc xây dựng lực lợng tập hợp số hữu tỷ Q, khái niệm số thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn tuần hoàn tiết sau Quan hệ thứ tự tập hợp số hữu tỷ Q đợc xây dựng quan hệ thứ tự Z chơng Số nguyên cở sở để xây dựng quan hệ thứ tự R chơng Số thực B MụC TIÊU - Sinh viên nắm đợc khái niệm Quan hệ thứ tự tập hợp số hữu tỷ Q - Sinh viên hiểu đợc tính chất quan hệ thứ tự Q, đặc biệt tính trù mật tính thứ tự Acsimet để so sánh với quan hệ thứ tự tập hợp số đà học nh N, Z - Bớc đầu vận dụng đợc kiến thức để giải tập liên quan, đồng thời tích lũy thêm kiến thức để giảng dạy tốt khái niệm số chơng trình Toán trung học sở C PHƯƠNG PHáP GIảNG DạY Sử dụng phơng pháp thuyết trình khái niệm mới, trừu tợng vấn đáp gợi mở cho sinh viên xây dựng khái niệm đơn giản chứng minh tính chất, đồng thời thông qua ví dụ để khắc sâu nội dung 61 D CHUẩN Bị Giáo viên cho sinh viên đọc trớc : - Bất đẳng thức SGK Đại số 10 - Quan hƯ thø tù Z, Ch¬ng II : Sè nguyên Giáo trình CSSH Các câu hỏi chuẩn bị trớc: - Định nghĩa quan hệ thứ tự Z? - Thế quan hệ thứ tự toàn phần? - Thế số nguyên dơng, số nguyên âm? - Bộ phận M bị chặn nào? - Các tính chất bất đẳng thức? E TIếN TRìNH DạY HọC Bài cũ Nhắc lại quan hệ thứ tự Z? Đặt vấn đề: Quan hệ thứ tự Z quan hệ hai toàn phần, nghĩa x,y Z có x y, y x Vậy quan hệ thứ tự Q, với phần tử thuộc Q đợc a ký hiệu , a, b Z, b đợc xác định nh ? b Bài Hoạt động giáo viên Nội dung giảng dạy - I Khái niệm So sánh phân số , 5 ? Nhận xét so sánh a phân sè vµ ? a b > a vµ b cïng dÊu b a < a b trái dấu b GV nêu định nghĩa Định nghÜa : Gi¶ sư x ∈ Q, x 62 a , a,b ∈ Z, b ≠ Ta nãi x lớn b viết x ≥ nÕu ab ≥ Chó ý : 1) Định nghĩa không phụ thuộc vào phân số a c đại diện, nghĩa = b d a c mà b d ( chøng minh : bµi tËp vỊ nhµ ) 2) NÕu x ∈ Z th× cã thĨ viÕt a x= , a x > ⇔ > ⇔ a.1 > ⇔ a > VËy lµ số nguyên khái niệm x Q phù hợp với khái niệm Z Định nghĩa : Giả sử x y hai số hữu tỷ Ta nói x nhỏ y, viÕt lµ x ≤ y, nÕu y – x Khi ta nói y lớn x vitế y x Nếu x ≤ y vµ x ≠ y ta viÕt x < y nói x nhỏ y Định nghĩa 3: Số hữu tỷ lớn gọi số hữu tỷ dơng Số hữu tỷ nhỏ gọi số hữu tỷ âm II - Định lý Quan hệ xác định theo định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần Q = ã Khi x số nguyên khái niệm x Q có phù hợp với khái niệm Z hây không ? Vì ã Khi x y? ã Phát biểu định nghĩa số hữu tỷ dơng, số hữu tỷ âm ( Định nghĩa định nghĩa cho sinh viên tự phát biĨu ) * Mn chøng minh quan hƯ ≤ lµ quan hệ toàn phần ta phải qua hai bớc : - Bíc : Chøng minh quan hƯ ≤ lµ quan hƯ thø tù - Bíc : Chøng minh quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự toàn phần ã Các điều kiện quan hệ 63 toàn phần ? ã Thế tính chất phản x¹ ? Chøng minh quan hƯ ≤ cã tÝnh chÊt phản xạ Tơng tự tính chất phản đối xứng, bắc cầu Chứng minh : * Tính phản x¹ : ∀ x ∈ Q, x – x = ⇒ x – x ≥ ⇒ x ≥ * Tính phản đối xứng : x y Giả sử x, y Q mà , y ≤ x a −a ®ã nÕu y - x = ⇒ x − y = b b ∈ ( a, b Z, b ≠ ) ab≥ ab≥ ⇒ ⇔ ⇔ ab= ( − a) b ≥ ab≥ 0 ) ⇔ a= ( b ≠ ⇔ y - x = 0⇔ y = x * Tính bắc cầu : giả sử x, y, z a y-x= x ≤ y b ∈ Q vµ vµ y ≤ z z - y = c d ( a,b,c,d ∈ Z, b ≠ 0, d ≠ ) • Muèn chøng minh quan hÖ ⇒ ab ≥ 0, cd ≥ ⇒ abd + cdb ≥ thø tự quan hệ thứ tự ( ad + bc ) bd ≥ ⇒ z – x = toàn phần ta phải chứng a c ad + bc ( ) ( ) = z y + y x = + = minh điều gì? b d bd ã Quan hệ thứ tự Q có tính chất tơng tự quan hệ thứ tự Z tính chất nào? * Quan hệ quan hệ hai toàn phần Q : a Giả sử y x = , a, b ∈ Z, b b ≠ a b ≥ ab ≥ y ≥ x ⇒ ⇔ ⇔ ab ≤ x ≥ y - a ≥ b 64 L ý : GV cã thĨ cho SV ph¸t biĨu c¸c tÝnh chÊt lời GV biểu diễn số hữu tỷ trục số ã Tìm số hữu tỷ 3? 5/2 ? III TÝnh chÊt TÝnh chÊt cđa thø tù vµ phÐp céng ∀ x, y, z ∈ Q, nÕu x ≤ y ⇒ x + y ≤ y + z HÖ qu¶ : x ≤ y + z ⇔ x – y ≤ z TÝnh chÊt cđa thø tù vµ phÐp nh©n ∀ x, y∈ Q, nÕu x ≥ 0, y xy Hệ : ∀x,y,z∈ Q, x ≤ y th× : xz ≤ y nÕu z > xz ≥ y nÕu z < IV-Tính trù mật tập hợp số hữu tỷ ã Giữa hai số có số hữu tỷ? ã Tính chất có tập hợp số nguyên Z tập hợp số tự nhiên N không? 5/2 11/4 §Þnh lý : Víi mäi x, y ∈ Q, x < y tồn số hữu tỷ z cho x < z < y Chøng minh : Tõ gi¶ thiÕt x < y ⇒ x + x < x + y vµ x + x < y + y hay 2x < x + y < 2y ⇒ x < x+ y tồn số tự nhiên n cho nx > y Chứng minh : Nếu y 0, đặt n=1: 1.x = x > y NÕu y > th× cã thÓ viÕt x = a c ,y = a,b,c,d b d số nguyên dơng 66 Đặt n = b(c+1) n N : c nx = a(c+1) ≥ c+1>c ≥ = y d VI áp dụng Phần nguyên số hữu tỷ x, ký hiệu [ x] số nguyên lớn nhá h¬n x 7 - 7 VÝ dơ : = 3; = −4 2 2 F – BµI TËP VỊ NHµ Ngoµi tập giáo trình, thêm cho sinh viên giỏi số tập nh sau : 1) Cho a < b, a, b ∈ Q a Chứng minh a b có vô số số hữu tỷ b Chứng minh tập M = (a;b) phần tử lớn nhất, nhỏ nhÊt 2) Trong chøng minh tÝnh s¾p thø tù Acsimet tập hợp số hữu tỷ Q, có nhiều cách chọn n HÃy tìm số cách chọn n nh Hớng dẫn: Có thể dựa vào biến đổi tơng đơng bất đẳng thức a c n > , (a,b,c,d N*) để tìm n b d 2) Quan hệ thø tù Z cã tÝnh s¾p thø tù Acsimet hay không? Vì sao? 67 Tài liệu tham khảo: Nguyễn Hữu Hoan Lý thuyết số Nhà xuất Đại học s phạm, 2004 (Dự án đào tạo giáo viên THCS) Nguyễn Tiến Tài Cơ sở số học Nhà xuất Đại học s phạm, 2005 (Dự án đào tạo giáo viên THCS) Nguyễn Bá Kim Phơng pháp dạy học môn toán Nhà xuất Đại học s phạm, 2004 Lâm Quang Thiệp Đo lờng đánh giá giáo dục Hà Nội, 2006 Phạm Minh Phơng Các chuyên đề số học Bồi dỡng Học sinh giỏi THCS Nhà xuất Giáo dục, 2005 Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển Toán 6, tập Nhà xuất Giáo dục, 2004 Vũ Dơng Thụy- Nguyễn Văn Nho- Trần Hữu Nam Lý thuyết số định lý Bài tập chọn lọc (dành cho học sinh khá, giỏi) Nhà xuất Giáo dục, 2004 68 ... dấu, lực t kí hiệu toán học 1.3.2.2 Năng lực kết hóa nhanh chóng rộng rÃi đối tợng quan hệ toán học phép toán 1.3.2.3 Năng lực rút gọn trình suy luận toán học hệ thống phép toán tơng ứng, lực. .. số đợc học môn Cơ sở số học Trong dạy môn Cơ sở số học, việc ôn tập kiến thức liên quan cần thiết Các kiến thức đà đợc học phổ thông, môn Toán cấp mà em đà đợc học hay khái niệm, kết học trớc... 4) Năng lực biễu diễn kiện thành dạng kí hiệu 5) Năng lùc theo dâi mét híng suy luËn hay chøng minh 6) Năng lực xây dựng chứng minh 7) Năng lực giải toán đà toán học hóa 8) Năng lực giải toán