Môc tiªu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trờng hợp đồng dạng của tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệ song song[r]
(1)Chuyên đề: Phơng pháp tam giác đồng dạng gi¶i to¸n h×nh häc ph¼ng Cấu trúc chuyên đề PhÇn I KiÕn thøc c¬ b¶n -1 §inh lý Talet tam gi¸c Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định trên cạnh đó đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ MN // BC AM AN AB AC AM AN MB NC A B Khái niệm tam giác đồng dạng M Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: N + A ' A ; B ' B; C ' C C A ' B ' B 'C ' A 'C ' AB BC AC Các trờng hợp đồng dạng tam giác: a) Trêng hîp thø nhÊt (ccc): Nếu cạnh tam giác này tỷ lệ với cạnh tam giác thì tam giác đó đồng dạng b) Trêng hîp thø 2(cgc): NÕu c¹nh cña tam gi¸c nµy tû lÖ víi c¹nh cña tam gi¸c vµ gãc t¹o bëi tạo các cặp cạnh đó thì hai tam đó giác đồng dạng c) Trêng hîp thø 3(gg): NÕu gãc cña tam gi¸c nµy lÇn lît b»ng gãc cña tam gi¸c th× hai tam gi¸c đó đồng dạng d) Các trờng hợp đồng dạng tam giác vuông + Tam gi¸c vu«ng nµy cã mét gãc nhän b»ng gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng thì hai tam giác đó đồng dạng + Tam gi¸c vu«ng nµy cã hai c¹nh gãc vu«ng tû lÑ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam giác vuông thì hai tam giác đó đồng dạng + NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh cña tam gi¸c vu«ng nµy tû lÖ víi c¹nh huyÒn vµ cạnh góc vuông tam giác vuông thì hai tam giác đó đồng dạng PhÇn II C¸c d¹ng to¸n cô thÓ -Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích Lo¹i 1: Tính độ dài đoạn thẳng - + VÝ dô minh häa: Bµi 36 – 79 – SGK (cã h×nh vÏ s½n) (2) A 12,5 B ABCD lµ h.thang (AB // CD) AB = 12,5cm; CD = 28,5cm GT DBA = DBC x KL D x =? Gi¶i C ABD vµ BDC cã : DAB = DBC (gt) 1 B = D1 ( so le AB // CD) ABD P BDC (g.g) AB = BD hay 12 ,5 x BD DC x 28 ,5 x2 = 12,5 28,5 x = √ 12, 28 , = 18,9(cm) Bµi 35 – 72 – SBT: ABC; AB = 12cm; AC = 15cm BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm MN = ? A 10 GT KL M N B Gi¶i C XÐt ABC vµ ANM ta cã : AM AC AN AB = 10 = = AM AC = AN 15 18 12 = AB MÆt kh¸c, cã A chung VËy ABC P ANM (c.g.c) Từ đó ta có : AB AN = BC hay 12 = 18 NM 18 MN 18 12 = 12(cm) Bµi tËp 3: a) Tam gi¸c ABC cã B = C ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài các cạnh ABC có B = C biÕt r»ng sè ®o c¸c c¹nh lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp A Gi¶i a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC ACD vµ ABC cã A chung; C = D = ACD P ABC (g.g) B AC AB D = AD AC C AC2 = AB AD = = 36 AC = 6(cm) (3) b) Gäi sè ®o cña c¹nh BC, AC, AB lÇn lît lµ a, b, c Theo c©u (a) ta cã AC2 = AB AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + hoÆc b= c + * NÕu b = c + th× tõ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + = ac c(a-2) = (lo¹i) v× c= ; a = 3; b = kh«ng lµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c * NÕu b = c + th× tõ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + = ac c(a – 4) = XÐt c = 1, 2, chØ cã c = 4; a = 5; = tháa m·n bµi to¸n VËy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vuông A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực BC cắt BC , BA, CA lần lợt M, E, D Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD + Bµi 2: H×nh thoi BEDF néi tiÕp ABC (E AB; D AC; F AC) a) TÝnh c¹nh h×nh thoi biÕt AB = 4cm; BC = 6cm Tæng qu¸t víi BC = a, BC = c b) Chøng minh r»ng BD < ac a+c víi AB = c; BC = a c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d Lo¹i 2: TÝnh gãc VÝ dô minh häa: + Bài 1: Cho ABH vuông H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lÊy ®iÓm C cho AC = AH TÝnh BAC A ABH; H = 900 ; AB = 20cm 20 GT BH = 12cm; AC = AH KL B 12 H C BAC =? Gi¶i: Ta cã AB =20 = =AC BH 12 AB BH = AC AH AH XÐt ABH vµ CAH cã : AHB = CHA = 900 AB BH = (chøng minh trªn) AC AH CAH ABH P CAH (CH c¹nh gv) = ABH L¹i cã BAH + ABH = 900 nªn BAH + CAH = 900 Do đó : BAC = 900 (4) Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 Một đờng thẳng qua C cắt tia đối các tia BA, DA tơng ứng M, N Gọi K là giao điểm BN và DM TÝnh BKD? M H×nh thoi ABCD; A = 600 ; B GT BN DM t¹i K KL K A TÝnh BKD =? C D Gi¶i: N MB MC = (1) AB NC MC AD = Do CD // AM (v× M AB) nªn ta cã : (2) NC DN MB AD = Tõ (1) vµ (2) AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và A = 600 nên là Do BC // AN (v× N AD) nªn ta cã : AB = BD = DA Tõ MB =AD (cm trªn) MB =BD AB DN MBD BD DN DBN MÆt kh¸c : = = 1200 MB BD XÐt 2MBD vµ BDN cã : BD =DN ; MBD = DBN MBD P BDN (c.g.c) M = B1 MBD vµ KBD cã M = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 1200 VËy BKD = 1200 Bài tập đề nghị: ABC cã AB: AC : CB = 2: 3: vµ chu vi b»ng 54cm; DEF cã DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chøng minh AEF P ABC b) BiÕt A = 1050; D = 450 TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña mçi Lo¹i 3: TÝnh tû sè ®o¹n th¼ng, tû sè chu vi, tû sè diÖn tÝch VÝ dô minh häa: + Bµi 1: Cho ABC, D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC cho BDC ABC BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm TÝnh tû sè BD BA B C Gi¶i: B GT ABC; D AC : BDC ABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL TÝnh A CAB vµ CDB cã C chung ; ABC = BDC (gt) BD BA (5) CB CA CAB P CDB (g.g) CD =CB đó ta có : CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nªn CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) MÆt kh¸c l¹i cã : DB = BA + Bµi 2: (Bµi 29 – 74SGK) A A’ ABC vµ A’B’C’: AB =6 ; GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = KL a) ABC P A’B’C’ B 12 C B’ 12 C’ b) TÝnh tØ sè chu vi cña A’B’C’ vµ ABC Gi¶i: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) V× A ' B ' = A ' C ' = B' C ' = AB b) AC P A’B’C’ BC A+B+C+ (c©u a) A ' B ' A ' C ' B' C ' = = AB AC BC = A ' B ' + A ' C ' +B ' C ' AB+AC+ BC = +6+8 18 = +9+12 27 VËy Chuvi ΔA ' B' C ' =18 Chuvi Δ ABC 27 + Bµi 3: Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi E vµ F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña Ab, BC, CE c¾t DF ë M TÝnh tû sè D SCMB ? S ABCD C GT M F A E B H×nh vu«ng ABCD; AE = EB ; BF = CF; CE DF t¹i M KL TÝnh SCMB ? S ABCD Gi¶i: XÐt DCF vµ CBE cã DC = BC (gt); C = B = 900; BE = CF C DCF = CBE (c.g.c) D = Mµ C + C = 1v C + D = 1v CMD vu«ng ë M DC CM C C CMD P FCD (v× D =M ) FD =FC = ; S CMD SFCD = CD2 CD2 SFCD FD SCMD = FD Mµ SFCD = CF.CD = BC.CD = 2 2 VËy SCMD = CD2 CD2 = CD2 4 FD FD CD2 (*) áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 4 (6) Thay DF2 = CD2 ta cã : SCMD = CD2 = SABCD SCMB S ABCD = 5 Bài tập đề nghị: Cho ABC, D lµ trung ®iÓm cña BC, M lµ trung ®iÓm cña AD a) BM cắt AC P, P’ là điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh PA = P’D TÝnh tû sè PA vµ AP PC AC b) Chøng minh AB c¾t Q, chøng minh r»ng PQ // BC TÝnh tû sè PQ BC vµ PM MB c) Chøng minh r»ng diÖn tÝch tam gi¸c BAM, BMD, CAM, CMD b»ng TÝnh tû sè diÖn tÝch MAP vµ ABC Lo¹i 4: TÝnh chu vi c¸c h×nh + Bµi 1(bµi 33 – 72 – SBT) ABC; O n»m ABC; GT P, Q, R lµ trung ®iÓm cña OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) TÝnh chu vi PQR BiÕt chu vi ABC 543cm Gi¶i: a) PQ, QR và RP lần lợt là đờng trung bình OAB , ACB và OCA Do đó ta cã : PQ = AB; QR = BC ; RP = CA 2 Từ đó ta có : PQ =QR =RP = AB BC CA A PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = b) Gäi P lµ chu vi cña PQR ta cã : P’ lµ chu vi cña PQR ta cã : P' =K = P P’ = P = P O Q R 543 = 271,5(cm) B C VËy chu vi cña PQR = 271,5(cm) + Bµi 2: Cho ABC, D lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB, E lµ ®iÓm trªn c¹nh AC cho DE // BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi ABE = chu vi ABC Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm A ABC; DE//BC; C.viADE= C.vi ABC GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm (7) D E TÝnh C.vi ABC vµ C.vi ADE KL B C Gi¶i: Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng K = AD = Ta cã AB Chuvi Δ ADE' = Chuvi Δ ABC Chuvi Δ ABC+Chuvi Δ ADE 63 = %+ Chuvi Δ ABC Chuvi Δ ADE = = =9 Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Bài tập đề nghị: + Bài 1: A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tamgiasc đó là 51dm + Bài 2: Tính chu vi ABC vuông A biết đờng cao ứng với cạnh huyền chia tam gi¸c thµnh tam gi¸c cã chu vi b»ng 18cm vµ 24cm Lo¹i 5: TÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh + Bµi 1(Bµi 10 – 63 – SGK): A B’ H’ C’ ABC; đờng caoAH, d// BC, d cắtAB,AC,AH GT theo thø tù t¹i B’, C’, H’ KL a) AH ' = B' C ' AH BC b) BiÕt AH’ = B H Gi¶i: a) V× d // BC AH ' C AH; SABC = 67,5cm2 TÝnh SA’B’C’ = B ' H ' = H ' C ' = B ' H ' + H ' C ' = B ' C ' (®pcm) AH BH HC BH+ HC BC S S Δ AB' C ' b) Tõ AH ' = B' C ' ( AH ' )2 = AH ' B ' C ' = = Δ AB 'C ' AH BC AH AH BC S Δ ABC S Δ ABC AH ' AH ' 2 Mµ AH’ = AH = ( ) =( ) = AH AH S Δ AB 'C ' VËy = vµ SABC = 67,5cm2 S Δ ABC S S Δ AB ' C ' Nªn ta cã : Δ AB ' C ' = = 9 S Δ ABC 67 , 67 , SAB’C’ = = 7,5(cm2) + Bµi 2(bµi 50 – 75 – SBT) ABC( A = 900); AH BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL TÝnh SAMH Gi¶i: A XÐt 2 vu«ng HBA vµ vu«ng HAC cã : (8) BAH + HAC = 1v (1) HCA + HAC = 1v (2) HCA BAH Tõ (1) vµ (2) = VËy HBA P HAC (g.g) HB HA = HA HC B H M C HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 HA = 6cm L¹i cã BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 SABM = SABC = 13 = 19,5(cm2) SAHM = SBAH = 19,5 - 4.6 = 7,5(cm2) VËy SAMH = 7,5(cm2) + Bµi 3: Cho ABC vµ h×nh b×nh hµnh AEDF cã E AB; D BC, F AC TÝnh diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh biÕt r»ng : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ABC h×nh b×nh hµnhAEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL TÝnh SAEDF Gi¶i: XÐt EBD vµ FDC cã B = D (đồng vị DF // AB) (1) E1 = D2 ( so le AB // DF) E D2 = E1 ( so le DE // AC) = F (2) Tõ (1) vµ (2) EBD P FDC (g.g) Mµ SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 EB ED = =¿ FD FC Do đó : FD = 2EB vµ ED = FC A AE = DF = 2BE ( v× AE = DF) AF = ED = EC ( v× AF = ED) VËy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) SADF = SFDC = 12 = 6(cm2) 2 F E 1 B D C SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự là trung ®iÓm cña AD, DC Gäi I, H theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AF víi BE, BD TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm 2, đó diện tích ABC là 11cm2 Qua B kẻ đờng thẳng // với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND + Bài 3: Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đờng cao AH = h Xét hình chữ nhËt MNPQ néi tiÕp tam gi¸c cã M AB; N AC; PQ BC a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt nÕu nã lµ h×nh vu«ng b) TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt a = h c) H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã vÞ trÝ nµo th× diÖn tÝch cña nã cã gi¸ trÞ lín nhÊt D¹ng II: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng I Các ví dụ và định hớng giải: (9) VÝ dô 1: Bµi 29(SGK – T79) – (H8 – TËp 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O là giao điểm 2đờng chéo AC và BD a) Chøng minh r»ng: OA OD = OB OC b) §êng th¼ng qua O vu«ng gãc víi AB vµ CD theo thø tù t¹i H vµ K CMR: OA OK = AB CD * T×m hiÓu bµi to¸n : Cho g×? Chøng minh g×? * Xác định dạng toán: ? §Ó chøng minh hÖ thøc trªn ta cÇn chøng minh ®iÒu g×? OA OC TL: = OB OD ? §Ó cã ®o¹n th¼ng trªn ta vËn dông kiÕn thøc nµo TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB.OC Sơ đồ : + A = C (SLT l AB // CD) + AOB H A = COD ( Đối đỉnh) OAB P OCD (g.g) OA OC O = OB D OD K OA.OD = OC.OC b) OH OK = AB CD Tû sè OH b»ng tû sè nµo? OK TL : OH = OA OK OC ? Vậy để chứng minh OH = AB OK CD TL: AB = OA CD OC ta cÇn chøng minh ®iÒu g× Sơ đồ : +H = K = 900 = C 1.(SLT; AB // CD) OAH P OCK(gg) + A OH OK = OA OC B C©u a OAB P OCD AB CD = OA OC C (10) OH OK = AB CD VÝ dô 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB Gäi P lµ giao ®iÓm cña c¸c c¹nh AC vµ BD §êng th¼ng qua P vu«ng gãc víi AB t¹i I CMR : AB2 = AC AP + BP.PD O C P A I §Þnh híng: - Cho HS nhËn xÐt ®o¹n th¼ng AB (AB = AI + IB) AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) - ViÖc chøng minh bµi to¸n trªn ®a vÒ viÖc chøng minh c¸c hÖ thøc AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) Sơ đồ : + + + C = I = 900 + PAI chung ACB P AIP (gg) D = I = 900 PBI chung ADB P PIB AB PB B DB IB AB AP = AB.AI = PB.DB = AC AI AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP AB (IB + IA) = BP PD + AC AP AB = BP PD + AC AP VÝ dô 3: Trªn c¬ së vÝ dô ®a bµi to¸n sau: Cho nhọn ABC, các đờng cao BD và CE cắt H A CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D §Þnh híng: Trªn c¬ së bµi tËp E Häc sinh ®a híng gi¶i quyÕt bµi tËp nµy H VÏ h×nh phô (kÎ KH BC; K BC) Sö dông P chøng minh t¬ng tù vÝ dô B C Ví dụ 4: Cho ABC, I là giao điểm đờng phân giác, đờng thẳng vuông gãc víi CI t¹i I c¾t AC vµ BC lÇn lît ë M vµ N Chøng minh r»ng a) AM BI = AI IM A b) BN IA = BI NI M AM c) BN AI = BI I * §Þnh híng: a) ? §Ó chøng minh hÖ thøc AM BI = AI B N C (11) AM IM IM ta cÇn chøng minh ®iÒu g× AI BI b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì ( AMI P AIB) Sơ đồ: A1 = A2 1 I = B (gt) * CM: I = B1 C v MIC: IMC = 900 - ABC: A + B + C = 1800(t/c tæng ) AMI P AIB (gg) A B C + + = 900 A B IMC 2 AM AI IM BI = Do đó: = + (1) MÆt kh¸c: IMC = A1 + I1 (t/c gãc ngoµi ) A hay IMC = + I1 (2) B Tõ 91) vµ (2) = I1 hay B1 = I1 AM BI = AI IM AMI P AIB ( A1 = A2 ; I1 = B1 ) AM IM AI = BI AM BI = AI IM b) T¬ng tù ý a Chøng minh BNI P BIA (gg) BN BI = NI IA BN IA = BI IN c) (C©u a) (C©u b) AI AI - HS nhËn xÐt IA = BI AMI P AIB AI 2 TÝnh AI2 ; BI2 BI (TÝnh AI ; BI nhê P) 2 AM AI AI BNI P BIA IM = BI BI BN AB = BI = AM AB BI = BN AB AM AI 2 BI = BN (12) AI BI AM = BN II Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J CMR : a) OI = b) IJ = AB AB + CD + CD + Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) trên tia đối tia DA lấy điểm I cho ACI = BDA CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC D¹ng 3: Chøng minh quan hÖ song song I Môc tiªu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trờng hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải các bài toán chứng minh quan hệ song song - Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức tam giác đồng dạng, định lý Ta – lét đảo - RÌn kü n¨ng t duy, suy luËn l« gic, s¸ng t¹o gi¶i bµi tËp II KiÕn thøc ¸p dông - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trờng hợp đồng dạng tam giác - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song * VÝ dô minh häa: + VÝ dô 1: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) Gäi M lµ trung ®iÓm cña CD, E lµ giao ®iÓm cña MA vµ BD; F lµ giao ®iÓm cña MB vµ AC Chøng minh r»ng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt E MA DB = KL F MB AC = EF // AB D M C §Þnh híng gi¶i: - Sử dụng trờng hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt) (13) AB // DM MED P AEB ME EA GT MD AB ; = AB // MC MFC P BFA MF FB MD = MC ME EA MC AB = MF FB = EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + VÝ dô 2: Cho ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đờng cao Kẻ EM, FN là hai đờng cao cña AEF Chøng minh MN // BC Sơ đồ phân tích AMF P AFC (g.g); AFN P ABE AM AF AE = AC AF AB = AN AE AM AF AF AB M AE AE = AC AC A N F E AM AB AN AC = B C MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + VÝ dô 3: Cho ABC, c¸c ®iÓm D, E, F theo thø tù chia c¸c c¹nh AB, BC, CA theo tû sè : 2, c¸c ®iÓm I, K theo thø tù chia c¸c ®o¹n th¼ng ED, FE theo tØ sè : Chøng minh r»ng IK // BC Gäi M lµ trung ®iÓm cña AF Gäi N lµ giao ®iÓm cña DM vµ EF A XÐt ADM vµ ABC cã : D M N AD AB AM = AC = Gãc A chung ADM P ABC (c.gc) F I B K E ADM = ABC mà góc này vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mµ MF = FC nªn EF = FN EK EK EF 1 Ta cã : EN = EF EN = = (1) EI mµ ED = (gt) (2) C (14) EK Tõ 91) vµ (2) EN EI = ED Suy IK // DN (định lý Ta – lét đảo) VËy IK // BC * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD Đờng thẳng qua B vµ song song víi AD c¾t AC ë G Chøng mi9nh r»ng EG // DC D¹ng : Chứng minh tam giác đồng dạng I Các ví dụ và định hớng giải: + VÝ dô: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trªn AB lÊy ®iÓm D cho AD = 3,2cm, trªn AC F lÊy ®iÓm E cho AE = 2,4cm, kÐo dµi ED c¾t CB ë F a) CMR : ABC P AED B b) FBD P FEC D c) TÝnh ED ; FB? 3,6 Bµi to¸n cho g×? D¹ng to¸n g×? Để chứng minh đồng dạng có phơng C ph¸p nµo? Bài này sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT A chung E A 2,4 AB AC AE = AD = b) ABC P AED (c.g.c) ABC P AED (c©u a) C = D1 ; D = D2 C = D2 F chung FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB + VÝ dô 2: Cho ABC c©n t¹i A; BC = 2a; M lµ trung ®iÓm cña BC LÊy c¸c ®iÓm D vµ E trªn AB; AC cho DME = B A a) CMR : BDM P CME b) MDE P DBM c) BD CE không đổi D E 1 B C (15) ? §Ó chøng minh BDM P CME ta cÇn chøng minh ®iÒu g× ? Từ gt nghĩ đến 2 có thể P theo trờng hợp nào (g.g) ? Gt đã cho yếu tố nào góc (B = C) ? CÇn chøng minh thªm yÕu tè nµo ( D1 = M ) a) Hớng dẫn sơ đồ gt gãc ngoµi DBM ABC c©n B =C B = M1 ; DMC = M + M ; DMC = D1 + B1 ; D = M2 ❑ BDM P CME (gg) C©u a gt DM ME b) DM ME BD = BM ; CM = BM ❑ BD = BM B = M (gt) ; DM ME BD BM DME P DBM (c.g.c) c) Tõ c©u a : BDM P CME (gg) BD BM CM CE BD CE = Cm BM BC Mµ CM = BM = = a a2 BD CE = (không đổi) Lu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài đã cho BC = 2a không đổi Nªn ph¶i híng cho häc sinh tÝnh tÝch BD CE theo a + VÝ dô 3: Cho ABC cã c¸c trung ®iÓm A cña BC, CA, AB theo thø tù lµ D, E, F Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M vµ N cho BM = MN = NC Gäi P lµ E giao ®iÓm cña AM vµ BE; F Q lµ giao ®iÓm cña CF vµ AN Q CMR: a) F, P, D th¼ng hµng; D, Q, E th¼ng hµng P b) ABC P DQP B * Híng dÉn C N M D a) Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh chøng minh ®iÓm th¼ng hµng cã nhiÒu ph¬ng ph¸p Bµi nµy chän ph¬ng ph¸p nµo? (16) - Lu ý cho học sinh bài cho các trung điểm nghĩ tới đờng trung bình Từ đó nghĩ đến chọn phơng pháp: CM cho đờng thẳng PD và FP cùng // AC PD là đờng trung bình BEC PD // AC F, P, D th¼ng hµng FP là đờng trng bình ABE FP // AC T¬ng tù cho ®iÓm D, Q, E 1 AC AC b) PD = EC = = AC AC PD = BAC DEC (§¬n vÞ EF // AB) 4QD AB DEC EDP (so le PD // AC) QD = QD AC AB DP QD ; BAC EDP ABC P DQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng II Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác A ; AB < AC Trên tia đối DA lấy ®iÓm I cho ACI BDA Chøng minh r»ng a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC + Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trùc cña Gäi E, D theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC Chøng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH c) Ba ®iÓm O, G, H th¼ng hµng vµ GH = 2OG + Bµi 3: Cho ABC cã Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gäi M lµ trung điểm BC Qua M kẻ đờng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lợt D, E a) CMR : ABC P MDC b) TÝnh c¸c c¹nh MDC c) Tính độ dài BE, EC + Bµi 4: Cho ABC; O lµ trung ®iÓm c¹nh BC Gãc xoy = 600; c¹nh ox c¾t AB ë M; oy c¾t AC ë N a) Chøng minh: OBM P NCO b) Chøng minh : OBM P NOM c) Chøng minh : MO vµ NO lµ ph©n gi¸c cña BMN vµ CNM d) Chøng minh : BM CN = OB2 D¹ng 5: Chøng minh ®o¹n th¼ng b»ng nhau, gãc b»ng VÝ dô 1: Bµi 20 T 68 – SGK Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đờng chéo AC và BD cắt O Đờng thẳng a qua O và song song với đáy hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thø tù t¹i E vµ F Chøng minh r»ng : OE = O× (17) B A E §Þnh híng Sơ đồD giải H:Bài cho đờng thẳng EF // AB (và CD) TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn th¼ng tû lÖ H: EO vµ ®o¹n nµo trªn h×nh vÏ sÏ thêng lập đợc tỷ số? EO TL: DC H: VËy OF trªn ®o¹n nµo? (gîi ý) F C OE = OF OE DC = OF DC OE AO OF BO AO BO DC = AC ; DC = BD ; AC = BD BOF AOB P P P ADC BDC COD EF // DC AB // CD gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta đa chứng minh ®iÒu g×? OF TL: DC EO TL : DC AEC OF DC (1) = H: OE; DC lµ c¹nh cña nh÷ng tam gi¸c nµo? (AEO; ADC, c¸c tam gi¸c nµy đã đồng dạng cha? Vì dao? H: §Æt c©u hái t¬ng tù cho OF , DC EO OF H: lËp tû sè b»ng DC = DC EO AO OF BO DC = BD TL: DC = AC ; H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? AO BO AC = BD TL: H: Đây là tỷ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD H: Hãy chứng minh điều đó VÝ dô 2: Bµo 10 – T67 – SGK: Cho hình thang ABCD (AB // CD) đờng thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đờng chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự các điểm M, N, P, Q CMR: MN = PQ §Þnh híng gi¶i: §©y lµ bµi tËp më réng h¬n so víi vÝ dô Từ hệ định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh đợc: MN DM AB = DA E B A O M N (18) C D PQ AB DM DA CQ = CB CQ = CB (kÐo dµi AD c¾t BC t¹i E råi chøng minh MN CQ DA = CB MN = PQ VÝ dô 3: Bµi 32 – T77 – SGK Trên cạnh góc xoy ( xoy 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng b) Gäi giao ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ BC lµ I, CMR: Hai tam gi¸c IAB vµ IBC cã c¸c góc đôi x B A O 10 OC OA I D C OB = OD y OBC P ODA Gãc O chung c) IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không Do đó để chứng minh chúng có các góc đôi ta chứng minh đồng dạng V× OBC P ODA nªn OBC = ODA (1) Mặt khác ta có AIB CID (đối đỉnh) BAI P DCI (g.g) BAI DCI VÝ dô 4: Bµi 36 – T72 – SGK H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = 4cm, CD = 16cm vµ BD = 8cm Chøng minh : Ta chØ xÐt chøng minh BAD DBC Xét BAD và DBC có AB // CD đó : ABD BDC (so le ) AB BD BD DC 16 AB BD BD DC ( cïng b»ng ) BAD P DBC (c.g.c) BAD DBC A D B C (19) VÝ dô 4: Bµi 60 – T77 – SBT Tam gi¸c ABC cã hai trung tuyÕn AK vµ CL c¾t t¹i O Tõ mét ®iÓm P bÊt kú trên cạnh AC, vẽ các đờng thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuéc AB) c¸c trung tuyÕn Ak, CL c¾t ®o¹n th¼ng EF theo thø tù t¹i M, N Chøng minh r»ng c¸c ®o¹n th¼ng FM, MN, NE b»ng §Þnh híng gi¶i: B Tõ gi¶ thiÕt cho song song ta suy các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng Ta cã : FM FQ L FE = FP (1) K O FQ FP AF M N E LO = CL (cïng AL ) FQ LO LO 1A P FP = CL (2) ( ta cã trung tuyÕn CL ) FM 1 Tõ (1) vµ (2) suy : FE = FM = FE 1 Tơng tự ta có EN = EF và đó suy MN = EF C VËy FM = MN = NE Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc thì các phơng pháp thờng dùng ë ®©y lµ : * §a ®o¹n th¼ng cÇn quy b»ng vÒ lµ tö cña tû sè cã cïng mÉu * Chứng minh các đoạn thẳng cùng độ dài nào đó * Đa góc cần chứng minh là góc tơng ứng tam giác đồng d¹ng * Chứng minh tỷ số sau đó chứng minh tử suy đoạn th¼ng ë mÉu b»ng D¹ng : to¸n øng dông thùc tÕ I Môc tiªu chung: - Học sinh biết vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để xác định đợc các chiÒu cao, c¸c kho¶ng c¸ch mµ kh«ng cÇn ®o trùc tiÕp - Rèn kỹ nhận biết hình (đọc hình) kỹ vẽ hình, kỹ t và óc tởng tợng III C¸c kiÕn thøc ¸p dông: - Các trờng hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng * VÝ dô minh häa: M + VÝ dô 1: §Ó ®o kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm A vµ M, đó M không tới đợc, ngời ta tiến hành ®o vµ tÝnh kho¶ng c¸ch (nh h×nh vÏ) AB BM; BH AM BiÕt Ah = 15m; AB = 35m B H Gi¶i : XÐt AMB vµ ABH cã ; ABM = AHB = 900 (gt) ; AMB P ABH (gg) A chung A (20) AM AB AB = AH AB 352 = 81,7(m) AM = VËy kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm A vµ M gÇn b»ng 81,7 mÐt + VÝ dô 2: Một đèn đặt trên cao vị trí A, hình chiếu vuông góc nó trên mặt đất là H Ngời ta đặt cọc dài 1,6m, thẳng đứng vị trí B và C thẳng hàng với H B’ Khi đó bóng cọc dài 0,4m và 0,6m Biết BC = 1,4m Hãy tính độ cao AH Gi¶i DbB Gi¶i A C’ I H d C c E Gọi BD, CE là bóng cọc và B’ ; C’ là tơng ứng đỉnh cao Đặt BB’ = CC’ = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x Gäi I lµ giao ®iÓm cña AH vµ B’C’ AI B 'C ' x a d bd c AH DE a (x – a) (b + d + c) = x.d ab ad ac d b c x= = a(1+ b c ) 1, Thay số ta đợc AH = 1,6 (1 + 0, 0, ) = 3,84(m) Vậy độ cao AH 3,84 mét Bài tập đề nghị: Một giếng nớc có đờng kính DE = 0,8m (nh hình vẽ) Để xác định độ sâu BD giếng, ngời ta đặt mét chiÕc gËy ë vÞ trÝ AC, A ch¹m miÖng giÕng, AC nhìn thẳng tới vị trí E góc đáy giếng Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m Tính độ sâu BD giếng A B C D E (21)