Giáo án tự chọn toán 9 giúp HS củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức, kỹ năng; nâng cao kiến thức, kỹ năng môn toán và hoạt động giáo dục nhằm thực hiện mục tiêu giáo dục, góp phần hướng nghiệp cho học sinh THCS.
Tiết 19 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I Kiến thức cần nhớ Xét hệ phương trình Hệ phương trình trên: - Có nghiệm đường thẳng (1) cắt đường thẳng (2) hay - Vô nghiệm đường thẳng (1) song song với đường thẳng (2) hay - Vô số nghiệm đường thẳng (1) trùng với đường thẳng (2) hay Tổng quát hơn, trường hợp hệ số a, a’, b, b’ 0, ta có a) ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm b) ab’ – a’b 0: hệ vô nghiệm vô số nghiệm II Bài tập Bài 1: Vẽ hai đường thẳng (d1): x + y = (d2): 2x + 3y = Hỏi đường thẳng (d3): 3x + 2y = 10 có qua giao điểm (d1) (d2) không ? Bài 2: Giải hệ phương trình sau: a) b) c) d) Bài 3: Tìm giá trị a b: a) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; - 5) b) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; - 1) Bài 4: Tìm giá trị a b để hai đường thẳng (d1): (d2): cắt điểm M(2; - 5) Bài 5: Giải hệ phương trình sau: a) b) Bài 6: Giải hệ phương trình sau: III Hướng dẫn Bài 1: Đường thẳng (d3): 3x + 2y = 10 có qua giao điểm (d1) (d2) Bài 2: a) (x; y) = (2; - 1) b) ) = (1; 3) c) (x; y) = (6; 1) d) (x; y) = ) Bài 3: a) a = 1; b = 17 b) a = 2; b = - Bài 4: a = 8; b = - Bài 5: a)(x; y) = b) Bài 6: (I) (II) Giải (I) ta nghiệm (x; y) = (1; - 3) Giải (II) ta nghiệm (x; y) = (3; 1) Tiết 20 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I Kiến thức cần nhớ */ Góc tâm Số đo cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung lớn 3600 trừ số đo cung nhỏ - Số đo nửa đường tròn 1800 - Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung gọi chúng có số đo + Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn -Nếu C điểm cung AB thì: sđ AB = sđ AC+ sđ CB */ Liên hệ cung dây - Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung - Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng đơi góc xen khơng cạnh thứ ba khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn - Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng đôi cạnh thứ ba khơng góc xen hai cạnh khơng góc đối diện với cạnh lớn góc lớn II Bài tập Bài 1: Cho tam giác OAO’ vuông cân A Vẽ hai đường trịn bán kính OA O’A cắt điểm thứ hai I (Khác điểm A) a) Tứ giác OAO’I hình ? Vì ? b) Tính số đo cung nhỏ AI cung lớn AI đường trịn c) Có nhận xét cung nhỏ AI cung lớn AI đường tròn ? Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối tia BA lấy điểm D Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BCD a) So sánh số đo cung DB, BC DC b) Kẻ OI, OH, OK vng góc với DC, DB, BC So sánh đoạn OI, OH, OK Bài 3: Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC E D Chứng minh BD < CE Bài 4: Cho đường trịn (O) có hai dây AB, CD vng góc với Gọi M trung điểm BC Chứng minh OM = AD Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 10cm Một đường thẳng song song với AB cách AB 3cm, cắt nửa đường tròn C D (C thuộc AD ) a) Tứ giác ACDB hình ? b) Tính độ dài AC, CD, DB Bài 6: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB (C thuộc cung AD) Qua M điểm cung CD kẻ dây ME, MF cho ME // AC, MF // BD Chứng minh a) Tam giác MEF cân b) Tam giác MEF hình thang ABCD có diện tích III Hướng dẫn Bài 1: A a) Tứ giác OAO’I hình vng b) Tứ giác OAO’I hình vng => O O' Trong đường trịn(O) có góc tâm Số đo cung nhỏ AI = sđ Số đo cung lớn AI = 3600 – 900 = 2700 I Trong đường tròn(O’) có góc tâm => số đo cung nhỏ AI = sđ Số đo cung lớn AI = 3600 – 900 = 2700 c) Hai đường tròn (O) (O’) có bán kính Do - Cung nhỏ AI đường tròn (O) = cung nhỏ AI đường tròn (O’) AI AI - Cung lớn đường tròn (O) = cung lớn đường tròn (O’) Bài 2: a) Tam giác cân ABC cân A nên _ B => nên tam giác BCD có BD < CD H K BC < CD DB < DC BC < DC I b) Do BD < CD nên OI < OH, BC < CD nên OI < OI Do đóD - Nếu DB = BC OH = OK > OI O - Nếu DB < BC OH < OK > OI - Nếu DB > BC OK < OH > OI Bài 3: A F Gọi I điểm đối xứng với B qua AC, F điểm đối xứng với C qua AB, ta có , E Vì AB < AC nên > > Tam giác BCF tam giác CBI có BF = BC = CI > nên CF > BI => CE > BD B O Bài 4: Kẻ đường kính CE OM đường trung bình tam giác BCE => OM = BE Ta có => AB // DE (cùng vng góc với CD) => AD = BE => AD = BE OM = AD Bài 5: a) ACDB hình thang cân b) Kẻ CH AB Đặt AH = x HB = AB – AH = 10 – x ACB vuông C => CH2 = AH.HB Do 32 = x.(10 – x) x = x = Do AH < HB nên AH = 1cm (cm) => BD = (cm) CD = AB – 2AH = 8(cm) Bài 6: a) ME // AC => MC = AE MF // DB => MD = FB Ta có MC = MD nên AE = BF Mặt khác CD // AB => AC = BD => => ME = MF => Tam giác MEF cân M ME = MF b) Kẻ đường kính MN cắt CD, FE I H => MN CD, MN EF Ta có sđ MD + sđ DB = => sđ sđ + =DB=> DO OF BF => (1) Và (2) A _ C I D C C M A B O D C A H E D O B M C I A D B O H F E N Từ (1) (2) => => OID = FHO => FH = OI; ID = OH (3) Mà SABDC = (OB + DI).OI SMEF = (MO + OH).FH Mà từ (3) ta có: FH = OI; ID = OH OB = OM = bán kính => SABDC = SMEF Tiết 21 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a) b) c) d) Bài 2: Giải hệ phương trình sau: a) b) c) d) Bài 3: Giải hệ phương trình sau theo cách: Cách 1: đưa hệ phương trình dạng Cách 2: đặt ẩn phụ (chẳng hạn: 3x – = a, 3y + = b) a) b) Bài 4: Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ: a) b) c) d) e) f) Bài 5: Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình nghiệm phương trình 3mx - 5y = 2m + Bài 6: Nghiệm chung ba phương trình cho gọi nghiệm hệ gồm ba phương trình Giải hệ phương trình tìm nghiệm chung tất phương trình hệ Giải hệ phương trình sau: a) b) II.Hướng dẫn Bài 1: a) b) c) (x; y) = d) (x; y) = Bài 2: a) (x; y) = b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình vơ nghiệm d) (s; t) = (3; 2) Bài 3: a) (x; y) = b) (x; y) = Bài 4: Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ: a) (x; y) = b) (x; y) = c) (x; y) = d) (x; y) = e) (x; y) = f) (x; y) = Bài 5: Giải hệ ta Thay giá trị x, y vào phương trình 3mx - 5y = 2m + tìm m = Bài 6: Chọn hai ba phương trình hệ để lập thành hệ có nghiệm Giải hệ ta tìm nghiệm (x0; y0) - Nếu (x0; y0) nghiệm phương trình cịn lại nghiệm hệ phương trình cho - Nếu (x0; y0) khơng phải nghiệm phương trình cịn lại hệ phương trình cho vơ nghiện a) (x; y) = (3; 5) b) Vô nghiệm Buổi 22 + 23 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Bài tập Dạng chuyển động Bài 1:Một ca nô dự định từ A đến B thời gian định Nếu vận tốc ca nô tăng km/h ca nơ đến nơi sớm Nếu vận tốc ca nơ giảm 3km/h ca nơ đến nơi chậm Tính chiều dài khúc sông AB Bài 2: Một ca nô chạy sông giờ, xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần khác, ca nơ chạy giờ, xi dịng 81km ngược dịng 84km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước (biết vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước hai lần nhau) Bài 3: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc vận tốc xuống dốc lúc nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Bài 4: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km ngược khúc sông hết rưỡi Biết thời gian ca nô xi 5km thời gian ca nơ ngược 4km Tính vận tốc dịng nước Dạng tốn phần trăm Bài 1: Hai trường A B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có học sinh lớp dự thi Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm 900 sản phẩm thời gian quy định Do tổ làm vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm 1130 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch Dạng tốn cơng việc, vịi nước (chung – riêng) Bài 1: Hai người làm chung cơng việc sau 16 xong việc Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm cơng việc Tính thời gian người làm xong tồn cơng việc Bài 2: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 30 phút đầy bể Nếu mở vịi 15 phút khố lại mở tiếp vịi 20 phút hai vịi chảy bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể Bài 3: Hai tổ làm chung cơng việc 12 xong Nhưng hai tổ làm tổ (I) làm việc khác, tổ (II) làm nốt 10 xong cơng việc Hỏi tổ làm riêng xong cơng việc ? Bài 4: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước Nếu cho vịi thứ chảy khố lại, sau cho vòi thứ hai chảy tiếp vào bể đầy bể Nếu vịi thứ chảy vào bể mở thêm vòi thứ hai chảy tiếp bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể Dạng tốn diện tích Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài thêm 2m giảm chiều rộng 1m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất Bài 2: Một miếng đất hình chữ nhật Nếu tăng chiều rộng thêm 2m chiều dài thêm 2m diện tích tăng thêm 60m2, giảm chiều rộng 3m chiều dài 5m diện tích giảm 85m2 Tính kích thước miếng đất II Hướng dẫn Dạng chuyển động Bài 1:Gọi vận tốc dự định ca nô x km/h, thời gia dự định khúc song AB y giờ, khúc sơng AB dài xy km (x > 3, y > 2) Theo đầu ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta x = 15, y = 12 (tmđk) => Khúc sông AB dài 15.12 = 180km Bài 2: Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước x km/h y km/h (x > y > 0) Vận tốc ca nơ xi dịng x + y km/h, vận tốc ca nô ngược dòng x - y km/h Theo đầu ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có x = 24, y = (tmđk x > y > 0) Bài 3: Gọi vận tốc lên dốc xuống dốc theo thứ tự x y km/h (x > 0, y > 0) Theo đầu ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có x = 12, y = 15 (tmđk x > y > 0) Bài 4: Gọi thời gian ca nơ xi dịng 1km x giờ, thời gian ca nơ ngược dịng 1km y (x > 0, y > 0) Theo đầu ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta có x = , y = (tmđk x > y > 0) Vậy vận tốc ca nơ xi dịng 20km/h, ngược dịng 16km/h Vận tốc dòng nước (20 – 16) : = 2km/h Dạng toán phần trăm Bài 1: Gọi số học sinh trường A trường B dự thi theo thứ tự x y Số học sinh hai trường 210 = 250 Theo đầu ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta có x = 150, y = 100 (tmđk) Bài 2: Gọi số sản phẩm tổ tổ phải làm theo kế hoạch x y (x, y; x, y < 900) Theo đầu ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta có x = 400; y = 500 (tmđk) Dạng tốn cơng việc, vịi nước (chung – riêng) Bài 1: Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (x > 16) thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y (y > 16) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 24; y = 48 (tmđk) Bài 2: Gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (x > ) thời gian vịi chảy đầy bể (y > ) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 3,75 = 45 phút, y = 2,5 = 30 phút Bài 3: Gọi thời gian tổ (I) làm hồn thành cơng việc x (x > 12) thời gian tổ (II) làm hồn thành cơng việc y (y > 12) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 60; y = 15 (tmđk) Bài 4: Gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (x > ) thời gian vịi chảy đầy bể (y > ) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 9; y = 12 Dạng tốn diện tích Bài 1: Gọi chiều dài chiều rộng mảnh đất ban đầu x y (m) (x > 0, y > 1) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 8, y = Bài 2: Gọi chiều dài chiều rộng mảnh đất ban đầu x y (m) (x > 5, y > 3) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta x = 20, y = Tiết 24 + 25 GÓC NỘI TIẾP GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I Kiến thức cần nhớ: */ Góc nội tiếp - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn - Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn - Trong đường tròn: + Các góc nội tiếp chắn cung + Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung + Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng + Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung */ Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đường tròn cạnh tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đường trịn Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn */ Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung II Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc A cắt BC F, cắt đường tròn E Chứng minh: a) Tam giác BEC cân b) c) AB.AC = AE.AF d) AF2 = AB.AC – BF.CF Bài 2: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AC Đoạn thẳng MB cắt đường tròn K (khác B) Tia AK cắt đường tròn D (khác K) Chứng minh BD // AC Bài 3: Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn ( C (O), D (O’)) a) Chứng minh cát tuyến quay xung quanh điểm A có số đo khơng đổi b) Từ C D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh hai tiếp tuyến hợp với góc có số đo khơng đổi cắt tuyến CAD quay xung quanh điểm A Bài 4: Từ điểm M cố định bên ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB đường trịn a) Chứng minh ta ln có MT2 = MA.MB tích khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB b) Khi cát tuyến MAB qua tâm O, tính bán kính đường tròn MT = 20cm,MB = 50cm Bài 5: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD với đường tròn (O) Gọi I giao điểm AB CD Chứng minh rằng: Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc BAC cắt (O) D Đường tròn (D; DB) cắt AB, AC Q, P Chứng minh AO PQ Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c nội tiếp đường tròn (O; R) abc S ABC 4R Chứng minh: Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M tam giác, tia AM, BM, CM cắt đường tròn I, K, H Chứng minh: S IHK MI MK MH S ABC MA.MB.MC 10 Bài 5: Giải hệ phương trình: II Hướng dẫn: Bài a) Từ pt (1) ta có: y = 2x – 1, thay vào (2) ta x = 11 Với x = => y = 15 Với x = 11 => y = 11 b) Từ pt (1) ta có: y = – x, thay vào (2) ta => x = x = Với x = => y = Với x = => y = c) � � �1 ��2 � S � ;� ; � � � ; � �2 ��7 � � Làm tương tự phần a, b Hệ phương trình có tập nghiệm d) S 0;1 ; 1;0 Hệ phương trình có tập nghiệm Bài 2: Giải hệ phương trình a) Giải hệ phương trình ta có tập nghiệm b) Từ phương trình (1) => S 1;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 � � �9 9� � � 3 S � ; ; 2;1 � � � 2� � � � Hệ phương trình có tập nghiệm c) Đặt a = x + y; b = xy ( Ta có hệ Giải hệ phương trình ta a = - a = Với a = - => b = 10, không thoả mãn điều kiện Với a = => b = Khi S 1;2 ; 2;1 Hệ phương trình có tập nghiệm 21 d) Từ phương trình (1) ta có (x – 1)(2x + y) = => x = y = - 2x S 1;2 ; 1; 2 ; 1;2 Lần lượt thay vào (2) ta có tập nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình a) Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x + y + 1) = => x = y x = - y – � � � �� � � � S � ; ; ; 1; 1 ; 2;2 ; � �� � � 2 �� 2 � � � � Hệ phương trình có tập nghiệm b) Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x2 + xy + y2 + 5) = (3) 2 � y � 3y x 50 � � 2 � � Mà x + xy + y + = với x, y Nên (3) � x y � x y Hệ phương trình có tập nghiệm c) S 0;0 ; 11; 11 ; 11; 11 Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) => S 0;0 ; 2;2 Hệ phương trình có tập nghiệm d) Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) => Với x + y = => Với x – y + = => Bài 4: Giải hệ phương trình: (*) Nhân vế với vế ba phương trình ta 1) = Kết hợp với (*) => 2) = - Kết hợp với (*) => Bài 5: Giải hệ phương trình: x y � x y4 � x y x y 4 � � 22 x y0 � x y20 � x y x y 2 � � Đk Ta có vé khơng âm, bình phương vế ta Trừ vế: = = x = y Thay vào hai phương trình ta có = 23 – x x = 11 Vậy hpt có nghiệm x = y = 11 Tiết 31 HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) I Kiến thức cần nhớ: Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Hàm số xác định với giá trị x thuộc R Tính chất biến thiên Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > Đồ thị hàm số đường parabol với đặc điểm: Đỉnh O(0; 0) Trục đối xứng Oy Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, nhận gốc toạ độ làm điểm thấp 23 Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, nhận gốc toạ độ làm điểm cao II Bài tập Bài 1: Cho hàm số y = x2 có đồ thị parabol(P) hàm số y = x + có đồ thị đường thẳng d a) Vẽ đồ thị hai hàm số cho hệ trục toạ độ b) Gọi A B giao điểm (d) với (P) Tính diện tích tam giác AOB x Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = a) Vẽ đồ thị hàm số � 9� 3; � � �có thuộc đồ thị hàm số hay không ? � b) Điểm A c) Khơng làm tính, vào tính đồng biến nghịch biến hàm số so sánh f(- 3) f �5 � � ; y0 � �thuộc đồ thị Dùng thước kẻ xác định điểm Q trục Oy biểu diễn Ước d) Điểm B �2 lượng giá trị gần y0 Tính y0 nhờ cơng thức hàm số cho So sánh hai kết Bài 3: Cho hàm số y = ax2 Điểm A(2; - 1) thuộc đồ thị a) Xác định hệ số a b) Đặt hàm số ứng với a vừa tìm y = f(x) Dùng tính đồng biến nghịch biến hàm số so sánh f(- 1) f c) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) 9� � �3; � �có thuộc đồ thị hay khơng ? Dùng tính chất đồ thị suy hoành độ d) Điểm M � điểm khác mà tung độ y x2 y x 1 hàm số Bài 4: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ Oxy b) Xác định toạ độ giao điểm hai hàm số cách tính tốn Bài 5: Cho hàm số y x có đồ thị (P) hàm số y x có đồ thị (D) a) Vẽ (P) (D) hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) III Hướng dẫn Bài 1: a) Hình vẽ b) Xét phương trình có – (- 1) + (- 2) = nêm có nghiệm x1 = - 1; x2 = suy d cắt (P) A(- 1; 1) B(2; 4) Gọi E, H hình chiếu A, B Ox E(- 1; 0); H(2; 4) nên OE = |- 1| = 1; AE = 1; OH = 2; HB = EH = EO + OH = + = 24 y x = x y x = x+2 4 B 22 A -2 E -1 H SAOB = SABHE –SOAE – SOBH = Bài 2: a) Đồ thị hàm số � 9� 3; � � �có thuộc đồ thị hàm số � b)Điểm A c) Vì hàm số cho nghịch biến x < – < nên f(-3) > f d) x theo công thức y = f(x) = y= x2 O �5 � 25 y0 � � �3,13 2 � � ta có: Bài 3: Cho hàm số y = ax2 Điểm A(2; - 1) thuộc đồ thị a) a = b) Vì hàm số cho đồng biến x < – > nên f(-1) > f -5 O c) Đồ thị hàm số y = x2 9� � �3; � �có thuộc đồ thị hàm số d) Điểm M � Điểm khác M M’ có hồnh độ -2 y= -1 x2 -4 x y x 1 hàm số Bài 4: Cho hàm số a) Đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ Oxy x x 1 x b) Xét phương trình x x � x 5x x Ta có Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = x1 � y1 ; x2 � y2 4 Với � 1� 1; � ; � � � Vậy toạ độ giao điểm đồ thị hai hàm số y y= y= -1 x2 O -5 25 4; -2 5 x Bài 5: Cho hàm số y x có đồ thị (P) hàm số y x có đồ thị (D) a) Đồ thị (P) (D) hệ trục toạ độ 2 b) Xét phương trình x x � x x 1 Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 1 x1 � y1 2; x2 � y2 2 Với 1 � 1; ; � � ; � �2 � Vậy toạ độ giao điểm (P) (D) y = x2 y=x+1 O Tiết 32 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP I Kiến thức cần nhớ */ Đường tròn qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn */ Đường tròn tiếp xúc với cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi ngoại tiếp đường trịn */ Định lí: Bất kì đa giác nội tiếp có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp II Bài tập 26 S S Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao AH tam giác ABC đường kính AD đường tròn (O) Chứng minh AB.AC = AH.AD Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O),các đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh tứ giác ADHE BDEC nội tiếp b) Chứng minh AE.AB = AD.AC c) Chứng minh OA vng góc với DE Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi H giao điểm ba đường cao AD, BE, CF tam giác ABC Gọi S diện tích tam giác ABC a) Chứng minh AEHF AEDB tứ giác nội tiếp đường trịn b) Vẽ đường kính AK đường tròn (O) Chứng minh ABD AKC AB.BC.CA S 4R Suy AB.AC = 2R.AD c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh EFDM tứ giác nội tiếp đường tròn d) Chứng minh OC DE (DE + EF + FD).R = 2S Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), tiếp tuyến B C với đường tròn cắt E, AE cắt đường tròn (O) D (khác điểm A) a) Chứng minh tứ giác OBEC nội tiếp đường tròn b) Từ E kẻ đường thằng d song song với tiếp tuyến A đường tròn (O), d cắt đường thẳng AB, AC P, Q Chứng minh AB.AP = AD.AE c) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh EP = EQ góc PAE góc MAC BC MA.MD d) Chứng minh A III Hướng dẫn Bài 1: ABH ADC (g.g) => AB.AC = AH.AD O x B Bài 2: b) Chứng minh ABH ADC => AE.AB = AD.AC c) Kẻ tiếp tuyến Ax => Ax AO � � � Chứng minh CAx ABC ADE => DE // Ax => DE AO A H C S D O D E H Bài 3: B S b) Chứng minh ABD AKC => AB.AC = 2R.AD AB.BC.CA R AD.BC AD.BC S R R => � DFH � c) Tứ giác BFHD nội tiếp => DBH C A x E O F � � Tứ giác BFEC nội tiếp => CBE CFE H 27 B C D K � � => EFD EBC � � Lại có EMC EBC � � => EMC EFD => EFDM tứ giác nội tiếp đường tròn d) Dựng tiếp tuyến Cx (O), chứng minh DE // Cx => OC DE tương tự OA FE, OB FD => AO.EF = 2SOEAF, OB.FD = 2SODBF, OC.DE = 2SODCE => AO.EF + OB.FD + OC.DE = 2S => (DE + EF + FD).R = 2S A S Bài 4: b) Chứng minh ADB APE (g.g) => AB.AP = AD.AE c) Chứng minh ABC AQP (g.g) AC BC MC � � AP PQ EC AMC APE (c.g.c) O M C S B N S D Q � � => MAC PAE d) Gọi N giao điểm tia AM với (O) E P S BC NMC (g.g) => MA.MN = MB.MC = BAM MBD = MCN (c.g.c) => MD = MN => MA.MD BC Tiết 33 + 34 CÁC CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN (CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.CƠNG THỨC NGHIỆM THU GỌN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG) I Kiến thức cần nhớ: Phương trình dạng ax2 + bx + c = - Nếu a = 0, b = 0, c = phương trình có vơ số nghiệm với 28 - Nếu - Nếu a = 0, b phương trình có nghiệm x = - Nếu, tính (hoặc với b’ =) + Nếu < ( < 0) phương trình vơ nghiệm + Nếu = ( = 0) phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu > ( > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x1 = Hệ thức Viet - Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0() có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 b c ; x1.x2 a a Ngược lại có hai số x, y thoả mãn x + y = S, xy = P x, y nghiệm phương trình X2 - SX + P = - Nhẩm nghiệm: Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1; x2 = II Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau a) b) c) ( d) e) f) Bài 2: Cho phương trình khơng giải phương trình a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tính Bài 3: Cho phương trình a) Giải phương trình với m = b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho (x1 – 1)( x2 – 1) = Bài 4: Cho phương trình (x ẩn) a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2 c) Gọi x , x hai nghiệm phương trình Tìm m để có x1 x2 13 Bài 5: Cho phương trình (x ẩn) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 6: Cho phương trình (x ẩn) a) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m b) Tìm m để có – 15 < x1 < x2 < 2011 Bài 7: Cho phương trình (x ẩn) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 29 3 2 c) Tìm m để x1 x2 x1 x2 Bài 8: Cho phương trình (x ẩn) a) Giải phương trình với m = b) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị m 2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x1 x2 x1 x2 Bài 9: Cho phương trình (x ẩn) a) Giải phương trình với m = b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 c) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 mà không phụ thuộc m Bài 10: Cho phương trình a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm c) Gọi x , x hai nghiệm phương trình Tìm m để có: x1 x2 �5 Bài 11: Cho phương trình a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Bài 12: : Cho phương trình a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m III Hướng dẫn Bài 1: Học sinh tự giải Bài 2: a) 57 => phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 b) theo phần a ta có phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 � x x (1) � � � �x x 7 (2) 2 Theo hệ thức Viet ta có � x1 x2 x12 x22 x1 x2 x1x2 (3) x x x x x x 1 2 Ta có 2 �1 � � � � � � 2.� �2 � � � 29 14 Thay (1), (2) vào (3) ta có: Bài 3: Cho phương trình (1) 30 a) với m = ta có x1 = 1; x2 = b) m = 11 Bài 4: Cho phương trình (x ẩn) a) với m = - ta có x1 = - 1; x2 = - b) phương trình có hai nghiệm phân biệt âm � � 0 m 6m � m �3 � � � � � �S � � 2m � � � m �P � � 6m � � � � c) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 � �0 � m 3 �0 � m �� Theo hệ thức Viet ta có �x1 x2 2m 2 � � �x1 x2 6m 3 Ta có x12 x22 13 � x1 x2 x1 x2 13 � 5� m �� ; � �2 Thay (2) (3) vào (4) tính Bài 5: Cho phương trình (1) (x ẩn) a) với m = ta có x = m2 m2 m m b) � � m 1 � m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 � � � 2 �x1 x2 2m � x1 x2 m m 3 � c) Khi m > Theo hệ thức Viet ta có Thay (2) (3) vào A ta có � 3� x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m m 2m m 3m � m � � � 2� A= 3 � m � m 1 2 Dấu “=” xảy (tmđk) Vậy m = minA = Bài 6: Cho phương trình (x ẩn) 2m 3 m 3m a) Ta có với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m b) Theo phần a ta có � 2 31 2m 2m m; x2 m3 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Do – 15 < m < m + < 2011 � 15 m 2008 Bài 7: Cho phương trình (x ẩn) b) – 1< m < c) m = Bài 8: Cho phương trình (x ẩn) � m �0m b) x1 � 1� m �� 0; � � c) Bài 9: Cho phương trình (x ẩn) m3 � � m2 � � m 3 � b) �x1 x2 m 1 � x x 2m 10 c) Với đk m > m < - Theo hệ thức Viet ta có: �1 Do x1 x2 x1 x2 2m 10 m 1 � x1 x2 x1 x2 Bài 10: Cho phương trình m b) Phương trình có hai nghiệm x = 2m + 6; x = m - Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2m � m 3 � � m30 �� � m �9 � � m � m � c) m �0 phương trình có nghiệm x = 2m + 6; x = m – với m x x �5 � 2m m 3 �5 � m �5 � 5 �m �5 � 14 �m �4 Do Bài 11: Cho phương trình m �1 � � m �0 � a �0 � � �� m 1 �� � �� � � 0 � m 1 m m 1 ��m � � �� b) Phương trình có nghiệm kép Nghiệm kép phương trình x1 x2 1 2 c) Bài 12: : Cho phương trình 0m 32 m �0 � � � m � � b) � � x1 x2 � m4 0�0m4 m c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Ta có m 1 4m 4 m4 x1 x2 � x1 x2 ; x1 x2 1 m m m m m � 4� � x1 x2 x1 x2 � �� x1 x2 x1 x2 m � m� Tiết 35 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Bài tập 2 Bài 1: Cho phương trình x 2mx m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x2 m 0 x x x Bài 2: Cho phương trình 33 a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x3 m x 1 Bài 3: Cho phương trình a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 4: Giải phương trình sau: a) x x3 x x b) x 1 x x 3 x c ) x x 3x x II Hướng dẫn 2 Bài 1: x 2mx m (1) a) Khi m = phương trình có dạng x x đặt ta có phương trình t 4t x α� 1; giải phương trình ta t = 3, t = => 2 b) Đặt x t �0 ta có phương trình t 2mt m (2) để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt � 0 � � �� t1 t2 � � m � t1.t2 � x2 m 0 x x x Bài 2: Cho phương trình (1) x 3 2 a) Khi m = phương trình có dạng x x x đkxđ x ��3 giải phương trình ta x = b) với đk x ��3 ta có phương trình (1) � x m 3 x 3m (3) để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt x1; x2 ��3 34 Bài 3: Cho phương trình x m x 1 (1) a) Khi m = ta có x = 1; x = - � x 0 2 � x 1 x x m � �2 x x m 3 � b) phương trình (1) (2) x = để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt x �1 � � 4m �m �� �� m �0 � � �m �3 Bài 4: Giải phương trình sau: 1� � ��1;2; � a) x � b) x� 0; 5 c) x� 1;3 35 ... có diện tích III Hướng dẫn Bài 1: A a) Tứ giác OAO’I hình vng b) Tứ giác OAO’I hình vng => O O' Trong đường trịn(O) có góc tâm Số đo cung nhỏ AI = sđ Số đo cung lớn AI = 3600 – 90 0 = 2700 I Trong... ngược dịng 16km/h Vận tốc dòng nước (20 – 16) : = 2km/h Dạng toán phần trăm Bài 1: Gọi số học sinh trường A trường B dự thi theo thứ tự x y Số học sinh hai trường 210 = 250 Theo đầu ta có hệ phương... giác ABC (AC < AB) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường phân giác ngồi góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự D, E AD = AE Hãy tính AB2 + AC2 theo bán kính R đường trịn tâm O Bài 3: Cho tứ giác