Về một bất biến của đẳng cấu tôpô chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ QUANG THƯƠNG VỀ MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TƠPƠ CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ QUANG THƯƠNG VỀ MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TƠPƠ CHÍNH QUY Chun ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục 1 Kiến thức sở 1.1 Lý thuyết Knot cổ điển 1.2 Một số cách phân loại bất biến knot (link) công cụ đại số 11 Một bất biến đẳng cấu tơpơ quy 2.1 Phương pháp phân loại knot (link) Kauffman 2.2 Phân loại số bất biến knot (link) 24 24 33 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 MỞ ĐẦU Tơpơ theo quan điểm hình học ngành khoa học nghiên cứu bất biến tôpô, tức tính chất khơng thay đổi qua phép biến đổi liên tục Tôpô đại số nhánh lớn tơpơ mà người ta dùng cơng cụ đại số để khảo sát bất biến tôpô Lý thuyết Knot (Nút thắt) phận quan trọng tôpô học Theo tôpô học, lý thuyết Knot nghiên cứu knot toán học Các knot xuất biểu tượng, hình thức trang trí nhà thờ, cơng trình kiến trúc từ thời tiền sử biểu tượng tinh thần tâm linh Theo ngơn ngữ tốn học, K knot có phép đồng phơi đường trịn đơn vị C vào không gian 3-chiều mà ảnh K [2] Lý thuyết Knot phát triển vào năm 1771 nhà toán học Alexandre -Théophile Vandermonde, ghi nhận cách rõ ràng tầm quan trọng đặc tính tơpơ nghiên cứu thuộc tính knot liên hệ với hình học vị trí Nghiên cứu knot bắt đầu vào kỷ 19 công việc Gauss Trong năm 1860, Lord Kelvin đề xuất lý thuyết nguyên tử knot aether điều dẫn đến bảng phân loại hoàn toàn knot Peter Guthrie Tait Tait, vào năm 1885 công bố bảng phân loại knot lên đến mười điểm giao tiếp đưa số dự đoán phân loại knot Dự đoán thúc đẩy nhà toán học quan tâm nghiên cứu lý thuyết Knot Lý thuyết Knot có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác vật lý, toán học, sinh học Vào cuối năm 1970, William Thurston giới thiệu hình học hyperbolic vào nghiên cứu knot với định lý hyperbolic hóa Nhiều knot knot hyperbolic, knot có ý nghĩa việc sử dụng hình học để định nghĩa bất biến knot Năm 1984, Vaughan Jones [4] sử dụng đại số Hecke kiểu A để nghiên cứu đại số Von Neumann, từ phát cách phân loại bất biến knot mà ngày biết đến với tên gọi đa thức Jones Tiếp sau đóng góp từ Edward Witten, Maxim Kontsevich [8] nhà toán học khác kết nối sâu sắc lý thuyết Knot phương pháp toán học khí thống kê lý thuyết trường lượng tử Trong thập kỷ gần đây, nhà khoa học quan tâm việc nghiên cứu knot vật lý để hiểu giả thuyết nút thắt DNA polyme khác Ngoài lý thuyết Knot góp vai trị quan trọng việc xây dựng máy tính lượng tử thơng qua mơ hình tính tốn lượng tử tơpơ Một mục tiêu lý thuyết Knot cổ điển phân loại hoàn toàn bất biến knot Nhiệm vụ nhiều nhà toán học lĩnh vực khác quan tâm nghiên cứu Theo cách tiếp cận đại số, số nhà toán học đề xuất cách phân loại khác thông qua công cụ đại số Reidemeister [12], Alexander [6], Vaughan Jones [10, 11], Kauffman [7] Birman-Murakami-Wenzl [1, 9] Trong đề tài này, chúng tơi trình bày lại phương pháp để phân loại bất biến knot (link) đề xuất nhà toán học L H Kauffman Đây cách phân loại bất biến knot sử dụng công cụ đại số đa thức Laurent thông qua đẳng cấu tơpơ quy biểu đồ knot mặt phẳng dựa vào tài liệu tham khảo báo [7] L H Kauffman số tài liệu khác liên quan đến phân loại bất biến knot link [5], [6] [12] Phương pháp phân loại rằng, bất biến knot (link) tương ứng với đa thức Laurent có hai biến độc lập giao hốn với Nghĩa tập hợp bất biến knot (link) tương ứng với tập hợp đa thức Laurent hai biến lấy giá trị mở rộng vành số nguyên Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở lý thuyết tôpô, lý thuyết Knot nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Trong chương này, hệ thống lại số phương pháp phân loại bất biến knot tiêu biểu công cụ đại số Chương 2: chúng tơi trình bày lại phương pháp phân loại bất biến knot (link) Kauffman Sử dụng phương pháp này, phân loại số bất biến knot (link) Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy (cô) giáo môn Đại số, thầy (cô) giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 22 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Nghệ An, tháng 07 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, dựa tài liệu [5, 6, 8] hệ thống lại số kiến thức sở Lý thuyết Knot cổ điển sau trình bày tổng quan số cách phân loại bất biến knot dựa cách tiếp cận đại số Những kiến sử dụng để trình bày nội dung Chương 1.1 1.1.1 Lý thuyết Knot cổ điển Các khái niệm Mục nhắc lại số khái niệm liên hệ đến lý thuyết Knot 1.1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X , họ τ tập X gọi Tôpô X thỏa mãn điều kiện sau (T1) φ, X ∈ τ ; (T2) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I ∪ Gi ∈ τ ; i∈I n (T3) Nếu Gi ∈ τ, i = 1, 2, , n; n ∈ N, ∩ Gi ∈ τ i=1 Tập hợp X với tôpô τ gọi khơng gian tơpơ ký hiệu (X, τ ) hay X 1.1.1.2 Định nghĩa Cho X Y hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x X tập mở V Y chứa f (x) có tập mở U X chứa x cho f (U ) chứa V Ta nói f liên tục X liên tục điểm X 1.1.1.3 Định nghĩa Ánh xạ f : X → Y hai không gian tôpô (X, τX ), (Y, τY ) gọi phép đồng phôi thỏa mãn tính chất (i) f song ánh; (ii) f : X → Y ánh xạ liên tục; (iii) Ánh xạ ngược f −1 liên tục (f ánh xạ mở) Nếu tồn ánh xạ f thỏa mãn tính chất X, Y gọi đồng phôi với Khi đó, X, Y gọi đẳng cấu tơpơ với 1.1.1.4 Định nghĩa Cho X, Y hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi phép nhúng X Y f phép đồng phôi X không gian f (X) Y 1.1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y hai không gian tôpô ánh xạ f, g : X → Y phép nhúng Hàm liên tục H : X × [0, 1] → Y gọi đẳng cấu tôpô từ f đến g thỏa mãn tính chất sau: (i) H(x, 0) = f (x), với ∀x ∈ X ; (ii) H(x, 1) = g(x),với ∀x ∈ X ; (iii) H(x, t) phép nhúng với ∀x ∈ X, ∀t ∈ [0; 1] 1.1.1.6 Định nghĩa Cho X, Y hai khơng gian tơpơ, giả sử Y compact Hausdorff Cho f, g : X → Y phép nhúng Ta nói f đẳng cấu bao đến g (ta viết f ∼ g ) có hàm liên tục F : Y × [0, 1] → Y mà hàm có dạng Ft : Y → Y, Ft (y) = F (y, t) với t ∈ [0, 1] thỏa mãn tính chất sau: (i) Ft phép đồng phôi với t ∈ [0, 1]; (ii) F0 = idY F1 ◦ f = g Ánh xạ F gọi đẳng cấu tôpô bao từ f đến g 1.1.1.7 Định nghĩa a Knot ảnh phép nhúng đường tròn S vào không gian Euclide R3 Một knot đường cong đóng khơng gian Euclide R3 knot K đồng phôi với R3 Vì ta ln xác định phép đồng phơi f : S → K Hình 1.1: Một số knot đồng phơi với Ví dụ 1.(i) Xét phép đồng id : S → S phép nhúng Do S knot Ta gọi S knot tầm thường (unknot) Hình 1.2: Knot tầm thường (ii) Một vài knot thường gặp Hình 1.3: Knot ba knot hình số 8 b Link phép nhúng tập hợp đường trịn vào khơng gian ba chiều R3 Số lượng đường tròn nhúng vào R3 để tạo thành link xem số thành phần link Mỗi knot link có thành phần Ví dụ Một số link R3 Hình 1.4: Một số link thường gặp 1.1.1.8 Định nghĩa Hai knot (hoặc link) K1 , K2 gọi tương đương có đẳng cấu bao h : R3 → R3 thỏa mãn h(K1 ) = K2 Ví dụ Những knot đẳng cấu tôpô bao theo định nghĩa 1.1.1.6 Hình 1.5: Các knot tương đương với 37 Theo định hướng ta xác định hệ số xoắn link Hopf ω(K) = +2 (theo cách xác định hình 2.3) Khi đó, sử dụng Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.6 ta có FK = a−ω(K) LK = a−2 LK = a−2 [−(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z] = −(a−1 + a−3 )z −1 + a−2 + (a−1 + a−3 )z Vậy FK = −(a−1 + a−3 )z −1 + a−2 + (a−1 + a−3 )z Ví dụ Xác định đa thức Laurent hai biến tương ứng cho knot ba (trefoil) bất biến Bước Ta biến đổi điểm giao bên link ba sử dụng phép S, E, e dẫn đến giá trị sau Bước Sử dụng giá trị, ta tính tốn đa thức Laurent LK cho biểu đồ knot ba (trefoil) dựa link K1 , K2 , K3 sau: 38 Áp dụng Định nghĩa 2.1.3 (3), ta có: LK + LK1 = z(LK2 + LK3 ) ⇒ LK = −LK1 + z(LK2 + LK3 ) (2.3) Trong đó, có đẳng cấu tơpơ quy nên LK1 = a (theo Ví dụ (d)); LK3 = a−2 (theo Ví dụ (f)) Do K2 lại link Hopf nên LK2 = −(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z (theo Ví dụ 3) Khi đó, từ (2.3) ta được: LK = −a + z[−(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z + a−2 ] = −a − (a + a−1 ) + z + (a + a−1 )z + a−2 z = (−2a − a−1 ) + (1 + a−2 )z + (a + a−1 )z Như vậy, ta thu đa thức Laurent cho biểu đồ link ba (trefoil) LK = (−2a − a−1 ) + (1 + a−2 )z + (a + a−1 )z Bước Xác định đa thức Laurent tương ứng cho knot ba (trefoil) định hướng Giả sử knot ba (trefoil) vơ hướng ta xác định hướng hình vẽ 39 Theo định hướng ta xác định hệ số xoắn link ba ω(K) = +3 (Xem hình 2.3) Khi đó, sử dụng Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.6 ta có: FK = a−ω(K) LK = a−3 LK = a−3 [(−2a − a−1 ) + (1 + a−2 )z + (a + a−1 )z ] = (a−2 + a−4 )z + (a−3 + a−5 )z + (−2a−2 − a−4 ) Vậy FK = (a−2 + a−4 )z + (a−3 + a−5 )z + (−2a−2 − a−4 ) Ví dụ Xác định đa thức Laurent hai biến tương ứng cho knot hình số bất biến Bước Ta biến đổi điểm giao bên knot hình số sử dụng phép S, E, e dẫn đến giá trị sau Bước Sử dụng giá trị, ta tính tốn đa thức Laurent LK cho biểu đồ knot hình số dựa link K1 , K2 , K3 , K4 , K5 , K6 sau: 40 Áp dụng Định nghĩa 2.1.3 (3), ta có: LK + LK1 = z(LK2 + LK3 ); LK3 + LK4 = z(LK5 + LK6 ) ⇒ LK = −LK1 + z[LK2 − LK4 + z(LK5 + LK6 )] (2.4) Trong đó, ta có đẳng cấu tơpơ bao, đẳng cấu tơpơ quy sau: nên LK1 = LK6 = a−2 (theo Ví dụ (f)); LK4 = LU = a (theo Ví dụ (a)); LK5 = −(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z (theo Ví dụ 3); LK2 = aLK5 = −(a2 + 1)z −1 + a + (a2 + 1)z (theo Định nghĩa 2.1.3 (4) Ví dụ 3) Khi đó, theo (2.4) ta có LK = −a−2 + z[−(a2 + 1)z −1 + a + (a2 + 1)z − a] + z [−(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z + a−2 ] = −a−2 − (a2 + 1) + az + (a2 + 1)z − az − (a + a−1 )z + z + (a + a−1 )z + a−2 z ) = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Như vậy, ta thu đa thức Laurent cho knot hình số LK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z 41 Bước Xác định đa thức Laurent tương ứng cho knot hình số định hướng Giả sử knot hình số vơ hướng ta xác định hướng sau Theo định hướng ta xác định hệ số xoắn knot hình số ω(K) = (theo hình 2.3) Khi Sử dụng Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.6 ta có FK = a−ω(K) LK = a0 LK = LK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Vậy FK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Như vậy, trường hợp bất biến tơpơ quy trùng với bất biến tơpơ bao cho knot hình số Ví dụ Xác định đa thức Laurent hai biến tương ứng cho knot K sau bất biến Bước Ta biến đổi điểm giao bên trái biểu đồ knot K sử dụng phép S, E, e dẫn đến giá trị sau 42 Bước Sử dụng giá trị, ta tính tốn đa thức Laurent LK cho biểu đồ knot K dựa link K1 , K2 , K3 , K4 , K5 , K6 sau: Áp dụng Định nghĩa 2.1.3 (3), ta có: LK + LK1 = z(LK2 + LK3 ); LK2 + LK4 = z(LK5 + LK6 ) ⇒ LK = −LK1 + z[−LK4 + z(LK5 + LK6 ) + LK3 ] Trong đó: Các đẳng cấu tơpơ bao, đẳng cấu tơpơ quy nên LK1 = LK5 = a−2 (theo Ví dụ (f)); (2.5) 43 LK4 = a (theo Ví dụ (d)); LK6 = −(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z (theo Ví dụ 3); LK3 = aLU = −(a2 + 1)z −1 + a + (a2 + 1)z (theo Định nghĩa 2.1.3 (4) Ví dụ 3) Khi đó, theo (2.5) ta có LK = −a−2 + z[−a + z(a−2 − (a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z)] − z[(a2 + 1)z −1 + a + (a2 + 1)z] = −a−2 − az + a−2 z − (a + a−1 )z + z + (a + a−1 )z − (a2 + 1) + az + (a2 + 1)z = (a−2 − a2 − 1) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Như vậy, ta thu đa thức Laurent cho knot K LK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Bước Xác định đa thức Laurent tương ứng cho knot K định hướng Giả sử knot K vô hướng ta xác định hướng sau Theo định hướng ta xác định hệ số xoắn link K ω(K) = (xem hình 2.3) Khi đó, sử dụng Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.6 ta có FK = a−ω(K) LK = a0 LK = LK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z 44 Vậy FK = (−a2 − − a−2 ) + (−a − a−1 )z + (a2 + + a−2 )z + (a + a−1 )z Ví dụ knot hình số knot K thuộc lớp bất biến phù hợp với phân loại Kauffman (đẳng cấu tơpơ quy) Reidermeister (đẳng cấu tơ pơ bao) Ví dụ Xác định đa thức Laurent hai biến tương ứng cho knot K sau bất biến Bước Ta biến đổi điểm giao biểu đồ knot K sử dụng phép S, E, e dẫn đến giá trị sau 45 Bước Sử dụng giá trị, ta tính tốn đa thức Laurent LK cho biểu đồ knot K dựa link giá trị sau: Áp dụng Định nghĩa 2.1.3 (3), ta có: LK8 + LK10 = z(LK11 + LK12 ) ⇒ LK8 = −LK10 + z(LK11 + LK12 ) (2.6) LK1 + LK4 = z(LK5 + LK6 ) ⇒ LK1 = −LK4 + z(LK5 + LK6 ) (2.7) LK3 + LK7 = z(LK8 + LK9 ) ⇒ LK3 = −LK7 + z(LK8 + LK9 ) (2.8) LK + LK1 = z(LK2 + LK3 ) ⇒ LK = −LK1 + z(LK2 + LK3 ) (2.9) Trong đó: Các đẳng cấu tơpơ bao, đẳng cấu tơpơ quy sau: 46 nên LK2 = a−4 ; LK4 = a (theo Ví dụ (b)); LK5 = LK12 = a−2 (theo Ví dụ (f)); LK6 = LK7 = LK11 = −(a + a−1 )z −1 + + (a + a−1 )z (theo Ví dụ 3); LK9 = a−3 ;LK10 = a (theo Ví dụ 1(d)); Khi đó, từ (2.6) ta LK8 = −LK10 + z(LK11 + LK12 ) = (−2a − a−1 ) + (a−2 + 1)z + (a + a−1 )z ; Từ (2.7), ta LK1 = −LK4 + z(LK5 + LK6 ) = (−2a − a−1 ) + (a−2 + 1)z + (a + a−1 )z ; Từ (2.8), ta LK3 = −LK7 + z(LK8 + LK9 ) = (a + a−1 )z −1 − + (−3a − 2a−1 + a−3 )z + (1 + a−2 )z + (a + a−1 )z ; Từ (2.9), ta LK = −LK1 + z(LK2 + LK3 ) = (3a + 2a−1 ) + (−2 − a−2 + a−4 )z + (−4a − 3a−1 + a−3 )z + (1 + a−2 )z + (a + a−1 )z Như vậy, ta thu đa thức Laurent cho knot K LK = (3a+2a−1 )+(−2−a−2 +a−4 )z+(−4a−3a−1 +a−3 )z +(1+a−2 )z +(a+a−1 )z Bước Xác định đa thức Laurent tương ứng cho knot K định hướng Giả sử knot K vô hướng ta xác định hướng sau 47 Theo định hướng ta xác định hệ số xoắn link K ω(K) = (theo cách xác định dấu điểm giao xem hinh 2.3) Khi đó, sử dụng Định nghĩa 2.1.5 Định lý 2.1.6 ta có FK = a−ω(K) LK = a−5 LK = (3a−4 + 2a−6 ) + (−2a−5 − a−7 + a−9 )z + (−4a−4 − 3a−6 + a−8 )z + (a−5 + a−7 )z + (a−4 + a−6 )z Vậy FK = (3a−4 + 2a−6 ) + (−2a−5 − a−7 + a−9 )z + (−4a−4 − 3a−6 + a−8 )z + (a−5 + a−7 )z + (a−4 + a−6 )z Trên đây, chúng tơi sử dụng quy trình để tính đa thức Laurent cho knot(link) đơn giản 48 BẢNG TỔNG HỢP CÁC KNOT, LINK ĐÃ ĐƯỢC TÍNH TỐN knot.pdf T T Các knot (link) đại diện Link tầm thường (unlink) Các đa thức biểu diễn bất biến   LK  FK  a  a 1 z 1     a    LK   a  a 1 z 1   a  a 1 z FK Link Hopf 1    2a     a 3 z 1  a 2  a 1  a 3 z       a   a  a  z  a  a  z LK  2a  a 1   a 2 z  a  a 1 z FK 2 4 3 5 2 4 Knot hình ba (trefoil) LK  FK     a  a  z     a   a 2  a  a 1 z  a   a 2 z 1 Knot hình số       4a  3a  a  z  1  a  z  a  a  z F   3a  2a    2a  a  a  z   4a  3a  a  z  a  a  z  a  a  z LK  3a  2a 1  2  a 2  a 4 z 1 3 4 2 6 5 1 7 9 K 4 4 Knot (51) 6 6 8 5 7 49 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu phương pháp phân loại bất biến đẳng cấu tơpơ quy phân loại số knot (link), dựa vào báo [7] của L.H Kauffman Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: Tổng quan hệ thống phương pháp phân loại bất biến knot, link: dịch chuyển Reidemeister 1.2.1, đa thức Alexander 1.2.2, đa thức Jones 1.2.4, đa thức Laurent hai biến Kauffman 2.1 Xây dựng quy trình tính tốn đa thức Laurent hai biến cho knot (link) vô hướng knot (link) định hướng 2.2.1 Đã xây dựng ví dụ chứng tỏ rằng, hai knot (link) có lớp bất biến dựa cách phân loại Kauffman Nếu hai knot (link) vô hướng đẳng cấu tơpơ quy chúng có đa thức Laurent LK hai knot (link) định hướng đẳng cấu tơpơ bao chúng có đa thức FK (Ví dụ 5, ví dụ 2.2.2) 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] J S Birman and H Wenzel (1989), Braids, link polynomials and a new algebra, Trans Amer Math Soc., 313(1), 249-273 [2] R H Crowell and R H Fox (1963), Introduction to Knot Theory, Blaisdell [3] P Freyd, D Yetter, J Hoste, W B R Lickorish, K.C Millett and A Ocneanu [HOMFLY] (1985), A new polynomial invariant of knots and links, Bull Amer Math Soc 12, 239-246 [4] V.F.R Jones (1985), A polynomial invariant for links via von Neumann algebra, Bull Amer Math Soc 12, 103-112 [5] L H Kauffman (1983), Formal Knot Theory, Princeton University Press [6] L H Kauffman (1987), On Knots, Princeton University Press [7] L H Kauffman (1990), An Invariant of Regular Isotopy, Trans Amer Math Soc., 318(2), 417-471 [8] L H Kauffman (1993), Knots and Physics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [9] J Murakami (1987), Kauffman polynomial of links and representation theory, Osaka J Math 24, 745-758 51 [10] K Murasugi (1987), Jones polynomials and classical conjectures in Knot theory, Topology 26, 187-194 [11] K Murasugi (1986), Jones polynomials and classical conjectures in Knot theory II, Math.Proc.Cambridge.Phil Soc., 102, 317-318 [12] K Reidemeister (1984), Knottheorie, Chelsea, Newyork [13] Martina Patone (2011), Knot theory and its Applications, Università degli Studi di Bologna ... bất biến đẳng cấu tơpơ bao, ω(K) kí hiệu hệ số xoắn K Chứng minh Bởi ω(K) bất biến đẳng cấu tơpơ quy nên 28 a−ω(K) bất biến đẳng cấu tơpơ quy Dẫn đến, S(K) (tích hai bất biến đẳng cấu tơpơ quy) ... để chuẩn hóa bất biến đẳng cấu tơpơ quy, dẫn đến hình thành bất biến tương ứng đẳng cấu tôpô bao 2.1.2 Bổ đề Cho R vành a phần tử khả nghịch R Giả sử R(K) ∈ R bất biến đẳng cấu tơpơ quy biểu đồ... t−3λ VK (t) 24 CHƯƠNG MỘT BẤT BIẾN CỦA ĐẲNG CẤU TƠPƠ CHÍNH QUY Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp phân loại bất biến knot (link) dựa khái niệm đẳng cấu tơpơ quy giới thiệu L H Kauffman