Một số bất biến của đẳng cấu symplectic

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh đỗ thị tuyết Một số bất biến của đẳng cấu symplectic Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh đỗ thị tuyết Một số bất biến của đẳng cấu symplectic Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn hữu quang Vinh - 2009 4 mục lục Trang Mở đầu .1 Chơng I. tính bất biến của đa tạp con Lagrang .3 I. Đa tạp symplectic 3 II. Đa tạp con Lagrang .8 Chơng II. tính bất biến của các cấu trúc tơng thích và ánh xạ Nijenhui .17 I. Các cấu trúc tơng thích trên đa tạp symplectic .17 II. ánh xạ Nijenhui trên đa tạp symplectic .27 Kết luận .31 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Nh chúng ta đã biết, hình học symplectic ra đời cách đây hơn hai thế kỷ và nó phát triển mạnh mẽ vào những năm 1970 với nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học nh:Weinrstein, Gromov, Taube, . và có nhiều ứng dụng trong hình học, vật lý học, cơ học, và hệ động lực. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất bất biến cơ bản trên đa tạp symplectic qua nhóm đẳng cấu symplectic. Luận văn đợc trình bày trong hai chơng. Chơng I. Tính bất biến của đa tạp con Lagrang Trong chơng này, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Các khái niệm cơ bản về đa tạp symplectic, đẳng cấu symplectic, đa tạp con Lagrang nhằm phục vụ cho việc trình bày chơng sau. Chơng này đợc chia làm hai phần. I. Đa tạp symplectic. II. Đa tạp con Lagrang. Chơng II. Tính bất biến của các cấu trúc tơng thích và ánh xạ Nijenhui I. Các cấu trúc tơng thích trên đa tạp symplectic. Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của các cấu trúc tơng thích. II. ánh xạ Nijenhui trên đa tạp symplectic. Trong phần này, chúng tôi trình bày các tính chất của ánh xạ Nijenhui trên đa tạp symplectic. 6 Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy giáo hớng dẫn PGS.TS. nguyễn hữu quang đã đặt bài toán và chỉ dẫn đề cơng nghiên cứu. Tác giả cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả 7 chơng I tính bất biến của đa tạp con lagrang Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của các đa tạp con Lagrang trong đa tạp symplectic và ánh xạ đẳng cấu giữa các đa tạp symplectic. I. đa tạp symplectic trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi n -chiều có cơ sở đếm đợc và M có tập bản đồ { } , i I U . Ta ký hiệu p T M và * p T M tơng ứng là các không gian tiếp xúc và đối tiếp xúc với M tại điểm p M. Nh ta đã biết (xem [ ] 5 ), một ánh xạ song tuyến tính, phản xứng : p p p T M T M ì Ă đợc gọi là dạng symplectic trên p T M nếu và chỉ nếu p % là song ánh, trong đó ánh xạ: p % : p p T M T M ; ( p % ( ))( )u v = ( ) , ; , p p u v u v T M . 1.1. Định nghĩa. Giả sử đa tạp M đã đợc trang bị 2-dạng vi phân , thỏa mãn: i) đóng ii) p là dạng symplectic trên ; p T M p M Khi đó M đợc gọi là đa tạp symplectic và ký hiệu ( ) ,M và đợc gọi là cấu trúc symplectic trên .M 1.2. Nhận xét. Giả sử 2 0 1 , n n i n i i M dx dx + = = = Ă . Khi đó ( ) 2 0 , n Ă là đa tạp symplectic. Chứng minh. Thật vậy, 0 1 n i n i i d d dx dx + = = ữ ( ) 1 1 0. n i n i i d dx dx + = = = 8 Vậy 0 đóng trong 2n Ă . ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 1 | , ; , , . n i n i n i i n p i u v u v u v u u u u + + = = ( ) 2 1 2 2 , , . n n p v v v v T Ă Hay ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 | ; n n i n i n i i p p i u v u v u v v T + + = = Ă Từ đó, ta có: ( ) ( ) 2 0 0 | | ; , n p p p u u u u u u T = = % % Ă . Hay 0 | p % là đơn ánh. Vậy p là dạng symplectic tại 2n p Ă . Nếu M là đa tạp symplectic thì dim M chẵn. Ta ký hiệu x x M T M T M = . Với mỗi bản đồ U của M và ( ) 1 2 , , . n x x x x U , khi đó { } 1 2 , , ., n x dx dx dx là cơ sở trong x T M . Mỗi phần tử x T M đều có sự biểu diễn: 1 | n i i x i dx = = . Mỗi phần tử ( ) ,x có dạng ( ) 1 1 , ., , , . n n x x , do đó T U là một bản đồ trong T M . Khi đó T M đ- ợc gọi là phân thớ đối tiếp xúc của M . Ta chú ý tới 1-dạng trên T M , 1 n i i i dx = = ; đợc gọi là dạng đúng trên T M . Khi đó 1 n i i i d dx d = = = là một cấu trúc symplectic trên T M ( đ- ợc gọi là 2-dạng chính tắc trên T M ). Vì vậy T M là một đa tạp symplectic. 1.3. Định nghĩa. Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 , , ,X X là hai đa tạp symplectic, ánh xạ 1 2 :f X X đợc gọi là đẳng cấu symplectic nếu f là vi phôi và 2 1 f = . Nếu có một đẳng cấu symplectic 1 2 :f X X thì ta nói 1 X đẳng cấu với 2 X và viết 1 2 : . Ví dụ: Ta xét 4 1 2 X X= = Ă 1 1 3 2 4 dx dx dx dx = + 2 1 4 2 3 dx dx dx dx = + 9 Khi đó, ( ) 1 1 ,X và ( ) 2 2 ,X là các đa tạp symplectic. Ta xét ánh xạ : f : 4 Ă 4 Ă ( ) 1 2 3 4 , , ,p x x x x a ( ) , 1 2 4 3 , , ,p x x x x . Ta thấy f là một đẳng cấu sympiectic. Thật vậy. Dễ thấy rằng f là một vi phôi giả sử f J là Jacobi của f và ,X Y tơng ứng có toạ độ là ( ) 1 2 3 4 , , ,X X X X X , ( ) 1 2 3 4 , , ,Y Y Y Y Y ta có: [ ] f J X = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 4 X X X X = ( ) 1 2 4 3 , , ,X X X X Tơng tự [ ] f J Y = ( ) 1 2 4 3 , , ,Y Y Y Y ( ) 2 ,f X Y = ( ) 2 ,f X f Y = ( ) 1 4 2 3 dx dx dx dx + ( ) , f f J X J Y = 1 4 dx dx ( ) , f f J X J Y + 2 3 dx dx ( ) , f f J X J Y = ( ) ( ) 1 4f f dx J X dx J Y ( ) ( ) 1 4f f dx J Y dx J X + ( ) ( ) 2 3f f dx J X dx J Y ( ) ( ) 2 3f f dx J Y dx J X = 1 3 1 3 2 4 2 4 X Y Y X X Y Y X + = ( ) ( ) 1 3 2 4 ,dx dx dx dx X Y + = ( ) 1 ,X Y ; 4 ,X Y Ă 2 1 f = . 10