https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐỀ SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x x2 2 x x 3x A( ):( ) 2 x x 4 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z 0 1 1 Cho a b c x y z Chứng minh : a b c b) Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình gì? Hãy chứng minh điều đó? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : �2 x �0 �2 �x �0 � x �2 �۹� �x 3x �0 � � �2 x x �0 Điểm �x �0 � �x �x �3 � https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ A( x x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 x2 8x x(2 x ) (2 x)(2 x) x 0,5 x ( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x )(2 x)( x 3) x 0,25 4x A x3 Vậy với x �0, x ��2, x �3 0,25 b 1,0 Với x �0, x �3, x ��2 : A � 4x 0 x3 � x3 � x 3(TMDKXD ) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > A > c x7 � x7 � � x 4 � x 11(TMDKXD ) � �� x 3( KTMDKXD ) � 0,5 0,25 121 Với x = 11 A = 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1) �0;( y 3) �0;( z 1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 2 b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy 0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z � ( )2 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz � 2 1 a b c abc x2 y2 z2 � 1(dfcm) a b c � Bài 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 6,0 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ H C B 0,25 F O E A D a K Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b � � � � Ta có: ABC ADC � HBC KDC Chứng minh : CBH : CDK ( g g ) � b, CH CK � CH CD CK CB CB CD 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD : AKC ( g g ) AF AK � AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g g ) � � 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,25 0,25 CF AH CD AC 0,25 � CF AH � AB AH CF AC AB AC 0,5 Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 1 0 c Cho b c c a a b Chứng minh rằng: b c c a a b https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ �� 10 x2 � � x A �2 :� x 2 � x 2 x x 2� x � � � � Câu2 Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A, Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 1 �9 a b c a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 2000 2000 2001 2001 2002 b Cho a, b d¬ng vµ a +b =a +b =a + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Câu Câu (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)(x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6))(x2 + 7x + 16) b x 30x 31x 30 x2 x x 5 x 6 (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > x (*) (x - 5)(x + 6) = x 5 x5 � � �� � x 6 � x 6 � a b c 1 c Nhân vế của: b c c a a b với a + b + c; rút gọn � đpcm Điểm (2 điểm) (2 điểm) (2 điểm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP �� 10 x2 � � x A �2 :� x 2 � x 2 x x 2� x � � � � Biểu thức: 1 A x a Rút gọn kq: 1 1 x � x x Câu 2 b (6 điểm) 4 A c A � x 1 A �Z � �Z � x � 1;3 x d �A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) Câu 4: (2 điểm) AE FM DF a Chứng minh: � AED DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME MF a không đổi � SAEMF ME.MF lớn � ME MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD b c �1 �a a a � a c �1 � 1 b b �b a b �1 �c c c � a Từ: a + b + c = � (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 1 �a b � �a c � �b c � � � � � � � � a b c �b a � �c a � �c b � �3 Dấu xảy � a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ị SỐ a 4a a P= a 7a 14a Câu : (2 điểm) Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 ®iĨm) 1 1 x x 20 x 11 x 30 x 13 x 42 18 a) Giải phơng trình : b) Cho a, b, c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : a b c 3 A = b c a a c b a b c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : BC a) BD.CE= b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 ®) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a(a2 - 1) - 4(a2 - 1) =(a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =(a3 -8) - 7a(a-2) =(a -2)(a2 + 2a + 4) - 7a(a-2) =(a -2)(a - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a 4 0,25 a 1 Rót gän P= a 0,25 a 23 1 a ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, b) (0,5đ) P= a mà Ư(3)= 1;1; 3;3 0,25 Từ tìm đợc a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b, ta cã a+b chia hÕt cho Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = 0,25 =(a+b) (a b) 3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b) -3ab chia hÕt cho 3; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho 0,25 2 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x +5x-6)(x +5x+6)=(x +5x)2-36 0,5 2 2 Ta thÊy (x +5x) nªn P=(x +5x) -36 -36 0,25 2 Do ®ã Min P=-36 (x +5x) =0 Tõ ®ã ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5); x2+11x+30 =(x+6)(x+5); x2+13x+42 =(x+6)(x+7); 0,25 x ; x ; x ; x ĐKXĐ : 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ yz xz xy ;b ;c 2 ; Tõ ®ã suy a= 0,5 yz xz xy 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2y 2z 2 x y z x z y 0,25 Thay vµo ta ®ỵc A= x (2 2) Tõ ®ã suy A hay A 3 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) ˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 120 M Vì M =600 nên ta cã ˆ ˆ : M 120 M ˆ ˆ Suy D1 M Chøng minh BMD ∾ CEM (1) y A x 0,5 E BD CM D Suy BM CE , tõ ®ã BD.CE=BM.CM B BC BC M Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= BD MD b) (1®) Tõ (1) suy CM EM mà BM=CM nên ta có BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED Dˆ Dˆ C 0,5 0,5 , DM tia phân giác góc BDE Từ suy Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác cđa gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 2 Tõ (2) suy z = (x+y) -2xy, thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2, suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x, y, z lµ : (x=5,y=12,z=13); (x=12,y=5,z=13); https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ (x=6,y=8,z=10); (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1(2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Câu 2(2 đ): Với giá trị a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3(1 đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x 3x3 ax b chia hết cho đa thức B( x) x 3x Câu 4(3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5(2 đ): Chứng minh P Câ u 2đ 1 1 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp aùn A a 1 a 3 a a 15 a a a 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a 2 a 6 a 2ñ 0,5 0,5 0,5 0,5 a 8a a 8a 15 15 2 8a 11 2 8a 10 � x a 10 x 10a x m n x mn ñ ñ đ đ 8a 10 Giả sử: x a x 10 x m x n ;(m, n �Z ) � điểm m n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta coù : mn = 10(m + n – 10) + � mn 10m 10n 100 � m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: n101 suy a = 12 hoaëc a =8 m 10 1 1 v mn 1010 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ đ 0,25 đ 1đ Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + (a – 3)x + b + Để A( x) MB( x) a 3 b 40 3 � ba 0,5 ñ 0,5 đ 3đ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông � Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác � � � góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc � � � AEH Hay DHE = 900 mặt khác ADH = 900 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật (1) � AHB 900 � AHD 450 2 � AHC 900 � AHE 450 2 �� AHD � AHE Do � Hay HA phân giác DHE (2) Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 2đ 1 1 2 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ P 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 10 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x 3x (km / h) 10 3 h (3h20’ = ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x km / h 10 0,25đ Theo đề ta có phơng trình: �3 x � x � 5� �10 � 0,5đ 0,5đ 0,25đ � x =150 Vậy khoảng cách A B 150 (km) 3.150 45 km / h Vận tốc dự định là: 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL D 0,5đ C P M F I E A O B e) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO � tứ giác AMDB hình thang 1đ f) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ g) MAF : DBA g g MF AD nên FA AB không đổi PD PB PD k � PD 9k , PB 16k 16 PB 16 h) Nếu 63 (1đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ CBD : DCP g g � CP PB PD CP Nếu CP BD CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + (20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2010 2011 - = (2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 1 � 2 x y xy b) 1đ 0,5d 0,5đ 0,5đ 1đ (1) �1 �� 1 � �� �� ��0 x xy y xy � �� � x y x y x y � �0 2 x xy y xy y x xy 1 x y xy ۳ 2 Vì x �1; y �1 => xy �1 => xy �0 => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm 120 phút 1đ x5 x Bài Cho biểu thức: A = x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2(a2 + b2) = 5ab 3a b Tính giá trị biểu thức: P = 2a b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 64 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 3: Giải phương trình: 2 x 1 x x 1 2008 2009 a) 2007 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = � � Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ABP ACP , kẻ PH AB, PK AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, AB AD AC cắt đường chéo AC G Chứng minh rằng: AM AK AG Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2 x 2008 x 2007 x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: x x x 2 � � � � 1� � � 1� �x � �x � �x � �x � x � x � � x � � x �� x � Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số ngun? Hãy tồn số Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2008 cho đa thức x 10 x 21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H �BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD Tia AM cắt BC G Chứng minh: BC AH HC Hết 65 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tỡm điều kiện x, y để giỏ trị A xỏc định b) Rỳt gọn A c) Nếu x; y cỏc số thực làm cho A xỏc định thoả món: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cỏc giỏ trị nguyờn dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2009 2009 2009 2010 x y z 3 Bài (3 điểm): Chứng minh với n �N thỡ n5 n luụn cú chữ số tận cựng giống Bài (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng A Lấy điểm M trờn cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E � � a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB b) Cho BMC 120 S AED 36cm Tớnh SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi � d) Kẻ DH BC H �BC Gọi P, Q trung điểm cỏc đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Bài (2 điểm): x y 2 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x (với x y cựng dấu) �x y � x y2 � � 2 �y x � b) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức P = y x (với x �0, y �0 ) 66 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 1: (4 1, Cho Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Mơn: Tốn – Lớp Năm học 2008 – 2009 Thời gian làm bài: 150 phút điểm) ba số a, b, c � a b c �2 2 4 thoả mãn �a b c 2009 , tính A a b c 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f x x2 px q với p�Z,q�Z Chứng minh tồn số nguyên k để Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 f k f 2008 f 2009 a 29 2009 2, Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) 2x m x 3 Cho phương trình x x , tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC � đồng dạng CAF , tính EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho � EAD � FAD Chứng minh rằng: BE BF AB2 CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến cịn số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi học sinh giỏi lớp Năm học 2008-2009 67 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Mơn tốn (150 phút khơng kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n 3n 2n 6n n2 b B= có giá trị số nguyên c D=n -n+2 số phương (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a b c 1 a) ab a bc b ac c biết abc=1 b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c) b c a b a c Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x 214 x 132 x 54 6 84 82 a) 86 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD),O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cát BC F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 b) Chứng minh : AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dường thẳng đI qua K chia đơi diện tích tam giác DEF hết Đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Mơn: tốn (120 phút khơng kể thời gian giao đề) 68 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) x 8x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố, có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, BAC CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x : 1 C= x x x x x a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM -Hết - Bà Hướng dẫn chấm mơn tốn Nội dung 69 Điể https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ i 1.1 � a b c �2 2 4 Cho ba số a, b, c thoả mãn �a b c 2009, tính A a b c a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca 0,50 Ta có m 2,00 �a2 b2 c2 � 20092 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2abc a b c � � � � 2 2009 A a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx 0,50 1,00 2,00 B xy z x y xy � x y � x y � � xy 3 x y x y x2 y2 xy 3x 3y 2 2 � y 3� 3y 6y � y 3� 3 � x � x y 1 �3 � � � � � � � y 1 � y3 � x 0� x y z � � �x y z Dấu = xảy � 1,25 0,50 0,25 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức nguyên k để f x x2 px q 2,00 với p�Z,q�Z Chứng minh tồn số f k f 2008 f 2009 ff� f x x� � x x� � � � � p f x x q f x 2.x.f x x2 p.f x p.x q 2 f x � f x 2x p� � � x px q f x � x2 px q 2x p 1� � � f x � f x f x 1 x 1 p x 1 q� � � k f 2008 2008�� 1,25 0,50 0,25 Với x = 2008 chọn Suy 3.1 Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 f k f 2008 f 2009 x, y nghuyêndương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 3xy x 15y 44 � x 3y 49 Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: 70 2,00 0,75 0,50 0,75 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x �x � �� � 3y � y � Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 3.2 a 29 Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d a 2009 2 2009 2 3.2009 c 4.9 41 23 1m � od9 a 2 6027 106027 d 1.9 13 b 9.6027 54243 1 b �� c dmod9 1mod9 mà a � d 1mod9 2 2,00 1,00 0,75 0,25 Từ (1) (2) suy d = 2x m x 3 Cho phương trình x x , tìm m để phương trình có nghiệm dương Điều kiện: x �2;x �2 0,25 0,75 0,25 0,50 2x m x � � x 1 m 2m 14 x x m = 1phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm m �1 phương trình trở thành x 2m 14 1 m �2m 14 � 1 m �2 � �2m 14 ۹� � m � �2m 14 � 1 m � Phương trình có nghiệm dương � m �4 � 1 m Vậy thoả mãn yêu cầu toán � 3,00 1,00 � m �4 � 1 m � 0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy 3,00 điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F Chứng minh AEC đồng � dạng CAF , tính EOF 71 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ AEB đồng dạng CBF (g-g) E A � AB2 AE.CF � AC2 AE.CF AE AC AC CF AEC đồng dạng CAF (c-g- O B D C � 1,00 c) AEC đồng dạng CAF 1,00 � CAF � � AEC mà � � � � EAO � EOF AEC EAO ACF F � � DB, DC lấy điểm E F cho EAD FAD Chứng minh BE BF AB2 rằng: CE CF AC A Kẻ EH AB H, FK AC K � CAF; � � CAE � � BAE BAF � HAE đồng dạng KAF (g-g) K B E D F AE EH AF FK SABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB � SACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB CE AE.AC Tương tự � C � � 1200 1800 DAC Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng H 1,00 BE BF AB2 CE CF AC2 (đpcm) 3,00 1,00 1,25 0,50 0,25 Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số 2,00 thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số 1,00 có bảng khơng đổi 1,00 2008. 2008 1 S 1 2008 1004.2009 �0mod2 Mà bảng lại số 72 ; �1mod2 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 1 Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung Câ u Điể m 2,0 1.1 (0,75 điểm) x x x x x x x 1 x 1 0.5 x 1 x 1.2 0,5 (1,25 điểm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 2 2.1 x 3x x 0,25 0,25 0,25 2,0 (1) � x 1 � x + Nếu x �1 : (1) (thỏa mãn điều kiện x �1 ) x 1: + Nếu (1) � x x � x x x 1 � x 1 x � x 1; x (cả hai khơng bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x 2.2 2 0,5 0,5 � � � � 1� � � 1� �x � �x � �x � �x � x � x� � x � � x � � x� (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm: x �0 2 � �� 1� � � � � �� � �x � �x �� �x � �x �� x x � � x �� � x � � x �� � (2) � 2 � 1� � � �x � �x � x � x 16 � x� � x � � x hay x 8 x �0 Vậy phương trình cho có nghiệm 73 x 8 0,25 0,5 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Đáp án hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn Bài 1: (4 điỂm) a) ĐiỀu kiỆn: x ��y; y �0 (1 điỂm) b) A = 2x(x+y) (2 điỂm) c) CẦn chỈ giỏ trỊ lỚn nhẤt cỦa A, tỪ đú tỡm tẤt cẢ cỏc giỏ trỊ nguyờn dương cỦa A + TỪ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = � 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = � 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = � A + (x – y + 1)2 = � A = – (x – y + 1)2 �2 (do (x – y + 1) �0 (vỚi mỌi x; y) � A �2 (0,5đ) � x �x y 1 � � � � 2x x y � � y � + A = �x ��y;y �0 � � + A = � (x y 1)2 � 2x x y � � x ��y;y �0 � TỪ đú, chỈ cẦn chỈ mỘt cẶp giỏ trỊ cỦa x y, � 21 x � � � 23 � y � chẲng hẠn: � + VẬy A chỈ cú thỂ cú giỏ trỊ nguyờn dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điỂm) x 11 x 22 x 33 x 44 104 93 82 a) 115 �( � x 11 x 22 x 33 x 44 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 � 0 115 104 93 82 (0,5 điỂm) (1 điỂm) (0,5 điỂm) � � x 126 � x 126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx (0,5 điỂm) 74 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ � 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = � (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 điỂm) x y � � �� y z � z x � � x y z � x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điỂm) Thay vào điỀu kiỆn (2) ta cú 3.z2009 = 32010 � z2009 = 32009 � z =3 VẬy x = y = z = (0,5 điỂm) Bài (3 điỂm) CẦn chỨng minh: n5 – n M10 - ChỨng minh : n5 - n M2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n – 1) tớch cỦa hai sỐ nguyờn liờn tiẾp) (1 điỂm) - ChỨng minh: n5 – n M5 n5 - n = = n(n - 1)(n + 1)(n2 – + 5) = n(n – 1) (n + 1)(n – 2) (n + 2) + 5n(n – 1)(n + 1) lý luẬn dẪn đến tỔng trờn chia hẾt cho (1,25 điỂm) 5 - Vỡ (2; 5) = nờn n – n M2.5 tỨc n – n M10 Suy n5 n cú chỮ sỐ tẬn cŨng giỐng (0,75 điỂm) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) EB ED � EA.EB ED.EC - Từ suy EC EA 75 0,5 điểm 0,5 điểm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ � � * Chứng minh EAD ECB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với � � - Suy EAD ECB Câu b: 1,5 điểm ECB (cgc) 0,25 điểm � � � - Từ BMC = 120o � AMB = 60o � ABM = 30o - Xét 0,75 điểm 0,5 điểm � EDB vuông D có B = 30o ED � ED = EB � EB 0,5 điểm S EAD �ED � � � S - Lý luận cho ECB �EB � từ � SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị không đổi 0,5 điểm 2 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD � � � DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) � DCQ � � � BDP � �� CQ PD o � � ma`BDP PDC 90 � điểm Bài 5: (2 điỂm) x y �2 2 (*) � x y �2xy y x a) vỡ x, y cựng dẤu nờn xy > 0, đú � (x y)2 �0 (**) BẤt đẳng thỨc (**) luụn đỳng, suy bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) x y t y x b) Đặt x2 y2 � t 2 y x (0,25đ) BiỂu thỨc cho trỞ thành P = t – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) � � � - NẾu x; y cựng dẤu, theo c/m cõu a) suy t t – 0; t – > � t 2 t 1 �0 P 1 Đẳng thỨc xẢy chỈ t = � x = y (1) (0,25đ) x 0 y - NẾu x; y trỏi dẤu thỡ � t 2 t 1 >0 � P>1 y 0 � t < � t – < t – < x (2) 76 (0,25đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ - TỪ (1) (2) suy ra: VỚi mỌi x �0; y �0 thỡ luụn cú P �1 Đẳng thỨc xẢy chỈ x = y VẬy giỏ trỊ nhỎ nhẤt cỦa biỂu thỨc P Pm=1 x=y 77 ... https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8= 120k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=100k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2019-2020)=100k; 80 ... (0,25đ) BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN FILE WORD Zalo 09460951 98 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN... 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 0 (x-300) 86 84 82 x-300=0 x=300