https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐỀ SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2+ x x2 2− x x − 3x A=( − − ):( ) 2− x x −4 2+ x x − x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho Chứng minh : x y z + + =1 a b c a b c + + =0 x y z x2 y z + + =1 a b2 c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình gì? Hãy chứng minh điều đó? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 2 − x ≠ x ≠ x − ≠ ⇔ x ≠ ±2 2 + x ≠ x − 3x ≠ x ≠ x − x ≠ + x 4x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( 3) = = − x x − + x 2x − x (2 − x )(2 + x) x( x − 3) = Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 1,0 x2 + 8x x(2 − x) = (2 − x)(2 + x) x − 0,5 x ( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x )(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x A= x −3 0,25 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x −3 > ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x2 >0 x −3 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔ x − = −4 x = 11(TMDKXD ) ⇔ x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 ⇔ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5 ⇔ Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ayz + bxz + cxy = 0,25 ⇔ Ta có : x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a K 2,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : 0,5 ⊥ ⊥ ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: 0,5 ·ABC = ·ADC ⇒ HBC · · = KDC Chứng minh : 0,25 0,25 2,0 ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) CH CK ⇒ = ⇒ CH CD = CK CB CB CD b, 1,0 0,5 1,75 Chứng minh : ⇒ AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ⇒ 0,25 ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) 0,25 0,25 ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH = CD AC 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Mà : CD = AB ⇒ CF AH = ⇒ AB AH = CF AC AB AC 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) − 24 b Giải phương trình: x4 − 30x2 + 31x − 30 = c Cho Chứng minh rằng: 2 a b c a b c + + =1 + + =0 b + c c + a a+ b b + c c + a a+ b Câu2 Cho biểu thức: 10 − x2 x A = + + ÷: x − + x + ÷ x − 2− x x + 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A, Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, ⊥ MF AD ⊥ a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 Tinh: a2011 + b2011 Câu Câu (6 điểm) 1 + + ≥9 a b c = a2002 + b2002 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 Điểm (2 điểm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)(x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6))(x2 + 7x + 16) b x − 30x + 31x − 30 = (*) x − x + ( x − 5) ( x + 6) = ( ) Vì x2 - x + = (x - )2 + >0 ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x + = ⇔ c Nhân vế của: Câu (6 điểm) x = x = − a b c + + =1 b+ c c + a a+ b với a + b + c; rút gọn đpcm ⇒ Biểu thức: 10 − x2 x A = + + ÷ ÷: x − + x+ x − 2− x x + 2 a Rút gọn kq: −1 A= x− b 1 −1 x = ⇒ x= x= 2 ⇒A= c d A= (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) A < 0⇔ x > A∈Z⇔ (2 điểm) (1.5 điểm) −1 ∈ Z ⇒ x ∈ { 1;3} x− HV + GT + KL (1.5 điểm) (1 điểm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP a Chứng minh: Câu (6 điểm) Câu 4: (2 điểm) AE = FM = DF đpcm ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ b DE, BF, CM ba đường cao đpcm ∆EFC ⇒ c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi không đổi ⇒ ME + MF = a lớn (AEMF hình ⇔ ME = MF ⇒ SAEMF = ME.MF vuông) trung điểm BD ⇒M a Từ: a + b + c = ⇒ 1 b c = + + a a a a c 1 = 1+ + b b b a b 1 c = 1+ c + c (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c + + = 3+ + ÷+ + ÷+ + ÷ a b c b a c a c b ≥ 3+ + 2+ = Dấu xảy a=b=c= ⇔ ⇒ b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = §Ị SỐ (1 điểm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ C©u : (2 ®iÓm) Cho P= a − 4a − a + a − a + 14a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng tr×nh : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11 x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a, b, c cạnh mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số ®o chu vi ®¸p ¸n ®Ị thi häc sinh giái Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a(a2 - 1) - 4(a2 - 1) =(a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =(a3 -8) - 7a(a-2) =(a -2)(a2 + 2a + 4) - 7a(a-2) =(a -2)(a - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ Rót gän P= 0,25 b) (0,5®) P= a +1 a−2 a−2+3 = 1+ a−2 a−2 ; ta thÊy P nguyªn a-2 ớc 3, https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ mà Ư(3)= { 1;1;3;3} 0,25 Từ tìm đợc a { 1;3;5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b, ta có a+b chia hÕt cho Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) = =(a+b) [(a [ ( a + b) − 3ab + 2ab + b ) − 3ab ] ] 0,25 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3; Do vËy (a+b) chia hÕt cho 0,25 [ ( a + b) − 3ab ] b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 2 2 Ta thÊy (x +5x) nªn P=(x +5x) -36 -36 0,25 ≥ ≥ Do ®ã Min P=-36 (x +5x) =0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5); x2+11x+30 =(x+6)(x+5); x2+13x+42 =(x+6)(x+7); §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 0,25 0,25 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Tõ ®ã suy a= ; y+z x+z x+ y ;b = ;c = 2 Thay vào ta đợc A= 0,25 0,25 0,5 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Tõ ®ã suy A hay A ≥ (2 + + 2) C©u : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Vì M Suy =600 nên ta có Dˆ = 120 − Mˆ : y A Mˆ = 120 − Mˆ x E Dˆ = Mˆ Chøng minh Suy 0,25 ≥3 ∆BMD BD CM = BM CE V× BM=CM= ∾ ∆CEM BC , nªn ta cã BD MD = CM EM BD MD = BM EM Tõ ®ã suy B ∆BMD ∾ Dˆ = Dˆ BD.CE= 0,5 , tõ ®ã BD.CE=BM.CM b) (1®) Tõ (1) suy Chøng minh D (1) BC M C 0,5 mà BM=CM nên ta có 0,5 MED , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 2 Tõ (2) suy z = (x+y) -2xy, thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2, suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Từ ta tìm đợc giá trị x, y, z lµ : (x=5,y=12,z=13); (x=12,y=5,z=13); (x=6,y=8,z=10); (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1(2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Câu 2(2 đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phaân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3(1 đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = chia hết cho đa x − x + ax + b thức B ( x ) = x − 3x + Câu 4(3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5(2 đ): Chứng minh P= Câ u 2đ 1 1 + + + + k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + (20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2010 2011 - = (2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm b) (1) 1 + ≥ + x2 + y + xy 73 1đ 0,5d 0,5đ 0,5đ 1đ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1 1 ⇔ − + − ÷ ÷≥ 2 + x + xy + y + xy x ( y − x) y ( x − y) ⇔ + ≥0 2 + x + xy + y + xy ( ) ( ) ( ) ( ) ( y − x ) ( xy − 1) ⇔ ( + x ) ( + y ) ( + xy ) Vì x ≥ 1; y ≥ => xy ≥ => ≥ ( 2) xy − ≥ => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm 120 phút 1đ x5 + x Bài Cho biểu thức: A = x − x + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2(a2 + b2) = 5ab 3a − b Tính giá trị biểu thức: P = 2a + b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: 2− x 1− x x −1 = − 2008 2009 a) 2007 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = · · Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ABP = ACP , kẻ PH ⊥ AB, PK ⊥ AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, AB AD AC + = cắt đường chéo AC G Chứng minh rằng: AM AK AG Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + 2 x + 2008 x + 2007 x + 2008 74 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: x2 − 3x + + x − = 2 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 = + Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? Hãy tồn số Tìm số dư phép chia biểu thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD = Tia AM cắt BC G Chứng minh: BC AH + HC Hết Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Môn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức A= 4xy y − x2 : + 2 y + xy + x y −x a) Tỡm điều kiện x, y để giỏ trị A xỏc định b) Rỳt gọn A c) Nếu x; y cỏc số thực làm cho A xỏc định thoả món: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cỏc giỏ trị nguyờn dương A? 75 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2009 2009 2009 2010 x + y + z = Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N thỡ n5 n luụn cú chữ số tận cựng giống Bài (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng A Lấy điểm M trờn cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB · b) Cho BMC = 120 S AED = 36cm Tớnh SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm cỏc đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD Bài (2 điểm): x y + ≥2 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x (với x y cựng dấu) x y x y2 + − + ÷+ y x b) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức P = y x (với x ≠ 0, y ≠ ) Bài 1: 1, (4 Cho Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Mơn: Tốn – Lớp Năm học 2008 – 2009 Thời gian làm bài: 150 phút điểm) ba số a, b, c a+ b + c = 2 4 thoả mãn a + b + c = 2009 , tính A = a + b + c 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x) = x2 + px + q với p∈ Z,q∈ Z Chứng minh tồn số nguyên k ( ) ( ) ( ) để Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy + x + 15y − 44 = f k = f 2008 f 2009 a = ( 29 ) d 2009 2, Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, tổng chữ số c Tính d 76 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 4: (3 điểm) 2x − m x − + =3 Cho phương trình x − x + , tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh ∆AEC · đồng dạng ∆CAF , tính EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chứng minh rằng: BE BF AB2 = CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến cịn số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi học sinh giỏi lớp Năm học 2008-2009 Mơn tốn (150 phút khơng kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − n2 + b B= có giá trị số nguyên c D=n -n+2 số phương (n ≥ 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a b c + + =1 a) ab + a + bc + b + ac + c + biết abc=1 b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + c) b c a b a c Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 84 82 a) 86 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương 77 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu 4: (5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD),O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cát BC F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 + = b) Chứng minh : AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dường thẳng đI qua K chia đơi diện tích tam giác DEF hết Đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Mơn: tốn (120 phút khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) − x + 8x − Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố, có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, ∠BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) 78 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x − : 1 − C= x − x + x − x − x + a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM -Hết - Bà i 1.1 Hướng dẫn chấm môn toán Nội dung a+ b + c = 2 4 Cho ba số a, b, c thoả mãn a + b + c = 2009 , tính A = a + b + c a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) − 2( ab + bc + ca) = −2( ab + bc + ca) 0,50 Ta có Điể m 2,00 a2 + b2 + c2 20092 a2b2 + b2c2 + c2a2 = ( ab + bc + ca) − 2abc( a + b + c) = ÷ = 2 2009 A = a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − 2( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx 0,50 1,00 2,00 B = xy + z( x + y) = xy + 3− ( x + y) ( x + y) = xy + 3( x + y) − ( x + y) = −x2 − y2 − xy + 3x + 3y 2 y − 3 −3y2 + 6y + y − 3 −3 = − x+ + = − x+ + ( y − 1) + ≤ ÷ ÷ 79 1,25 0,50 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ y − 1= y−3 = 0⇔ x = y = z = x + x+ y+ z = Dấu = xảy 0,25 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức nguyên k để f ( x) = x2 + px + q 2,00 với p∈ Z,q∈ Z Chứng minh tồn số f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) ff ( x) + x = f ( x) + x + p( f ( x) + x) + q = f ( x) + 2.x.f ( x) + x2 + p.f ( x) + p.x + q = f ( x) f ( x) + 2x + p + ( x2 + px + q) = f ( x) x2 + px + q + 2x + p + 1 1,25 0,50 0,25 = f ( x) ( x + 1) + p( x + 1) + q = f ( x) f ( x + 1) k = f ( 2008) + 2008∈ ¢ Với x = 2008 chọn ( ) ( ) Suy ( ) 3.1 Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy + x + 15y − 44 = f k = f 2008 f 2009 ( )( ) ♦ ♦ x, y nghuyêndương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 3xy + x + 15y − 44 = ⇔ x + 3y + = 49 ♦Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: x+ 5= x = ⇔ 3y + = y = 2,00 0,75 0,50 0,75 Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 3.2 a = ( 29 ) 2009 Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 < 106027 ⇒ b ≤ 9.6027 = 54243 ⇒ c ≤ + 4.9 = 41⇒ d ≤ + 1.9 = 13 ( 1) 23 ≡ −1mod9 ⇒ a ≡ −1mod9 mà a ≡ b ≡ c ≡ dmod9 ⇒ d ≡ −1mod9 ( 2) 2,00 1,00 0,75 0,25 Từ (1) (2) suy d = 2x − m x − + =3 Cho phương trình x − x + , tìm m để phương trình có nghiệm dương Điều kiện: x ≠ 2;x ≠ −2 2x − m x − + = ⇔ ⇔ x ( 1− m) = 2m− 14 x− x+ m = 1phương trình có dạng = -12 vô nghiệm 80 3,00 0,25 0,75 0,25 0,50 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ m ≠ phương trình trở thành x= 2m− 14 1− m 1,00 2m− 14 1− m ≠ m≠ 2m− 14 ⇔ ≠ −2 ⇔ 1< m< 1− m 2m− 14 1− m > Phương trình có nghiệm dương m≠ Vậy thoả mãn yêu cầu toán 1< m < 0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy 3,00 điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F Chứng minh ∆AEC đồng · dạng ∆CAF , tính EOF ♦ ∆AEB đồng dạng ∆CBF (g-g) E A ⇒ AB2 = AE.CF ⇒ AC2 = AE.CF AE AC ⇒ = AC CF ♦ ∆AEC đồng dạng ∆CAF (c-g- O B D c) ♦ ∆AEC đồng dạng ∆CAF C · · ⇒ AEC = CAF mà ·EOF = AEC · · · · + EAO = ACF + EAO 1,00 1,00 1,00 · = 1800 − DAC = 1200 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng 3,00 · · DB, DC lấy điểm E F cho EAD = FAD Chứng minh BE BF AB2 = rằng: CE CF AC ♦Kẻ EH ⊥ AB H, FK ⊥ AC K A H K B E D F C · · · · ⇒ BAE = CAF; BAF = CAE ⇒ ∆HAE đồng dạng ∆KAF (g-g) AE EH ⇒ = AF FK S∆ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB = = = ⇒ = S∆ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB = ♦Tương tự CE AE.AC BE BF AB2 ⇒ = CE CF AC2 (đpcm) ♦ 81 1,00 1,25 0,50 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số 2,00 thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số 1,00 có bảng khơng đổi 1,00 2008.( 2008+ 1) S = 1+ + 3+ + 2008 = = 1004.2009 ≡ 0mod2 Mà bảng khơng thể cịn lại số Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn Đáp án thang điểm: 82 ; ≡ 1mod2 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài Câ Nội dung u 1.1 (0,75 điểm) Điể m 2,0 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 1.2 0,5 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) 2 2 2 2.1 x − 3x + + x − = + Nếu + x ≥ 1: ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Nếu (thỏa mãn điều kiện x ≥ ) x < 1: (1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = ⇔ x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x = 2.2 0,25 0,25 2,0 (1) (1) 0,25 0,5 0,5 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ≠ 2 1 1 ⇔ x + ÷ + x + ÷ x + ÷− x + ÷ = ( x + ) x x x x (2) 1 2 ⇔ x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x ⇔ x = hay x = −8 x ≠ Vậy phương trình cho có nghiệm x = −8 Đáp án hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn 83 0,25 0,5 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 1: (4 điỂm) a) ĐiỀu kiỆn: x ≠ ± y; y ≠ (1 điỂm) b) A = 2x(x+y) (2 điỂm) c) CẦn chỈ giỏ trỊ lỚn nhẤt cỦa A, tỪ đú tỡm tẤt cẢ cỏc giỏ trỊ nguyờn dương cỦa A + TỪ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (vỚi mỌi x; y) ⇒ A ≤ (0,5đ) x − y + 1= x = 2x( x + y) = y = + A = x ≠ ± y;y ≠ ⇔ + A = (x − y + 1)2 = 2x( x + y) = x ≠ ± y;y ≠ TỪ đú, chỈ cẦn chỈ mỘt cẶp giỏ trỊ cỦa x y, 2−1 x = y = + chẲng hẠn: + VẬy A chỈ cú thỂ cú giỏ trỊ nguyờn dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điỂm) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 104 93 82 a) 115 ⇔( ⇔ x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (0,5 điỂm) (1 điỂm) (0,5 điỂm) ⇔ ⇔ x + 126 = ⇔ x = −126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,5 điỂm) (0,75 điỂm) 84 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x − y = ⇔ y − z = z − x = ⇔ x= y= z ⇔ x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điỂm) Thay vào điỀu kiỆn (2) ta cú 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z =3 VẬy x = y = z = (0,5 điỂm) Bài (3 điỂm) CẦn chỨng minh: n5 – n M10 - ChỨng minh : n5 - n M2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n – 1) tớch cỦa hai sỐ nguyờn liờn tiẾp) (1 điỂm) - ChỨng minh: n – n M5 n5 - n = = n(n - 1)(n + 1)(n2 – + 5) = n(n – 1) (n + 1)(n – 2) (n + 2) + 5n(n – 1)(n + 1) lý luẬn dẪn đến tỔng trờn chia hẾt cho (1,25 điỂm) 5 - Vỡ (2; 5) = nờn n – n M2.5 tỨc n – n M10 Suy n5 n cú chỮ sỐ tẬn cŨng giỐng (0,75 điỂm) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (gg) EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC - Từ suy EC EA · · * Chứng minh EAD = ECB - Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với 0,5 điểm 0,5 điểm (1 điểm) ∆ ECB (cgc) 85 0,75 điểm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ · · - Suy EAD = ECB Câu b: 1,5 điểm · · · - Từ BMC = 120o ⇒ AMB = 60o ⇒ ABM = 30o - Xét µ ∆ EDB vng D có B = 30o ED = ⇒ ED = EB ⇒ EB 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm S EAD ED = ÷ S EB từ ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 điểm ECB - Lý luận cho Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh ∆ BMI đồng dạng với ∆ BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị khơng đổi 0,5 điểm 2 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC Câu d: điểm - Chứng minh ∆ BHD đồng dạng với ∆ DHC (gg) 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD ⇒ = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh ∆ DPB đồng dạng với ∆ CQD (cgc) · · ⇒ BDP = DCQ ⇒ CQ ⊥ PD o · · ma`BDP + PDC = 90 điểm Bài 5: (2 điỂm) x y + ≥2 2 (*) ⇔ x + y ≥ 2xy y x a) vỡ x, y cựng dẤu nờn xy > 0, đú ⇔ (x − y)2 ≥ (**) BẤt đẳng thỨc (**) luụn đỳng, suy bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) x y + =t y x b) Đặt x2 y2 ⇒ + = t2 − y x (0,25đ) BiỂu thỨc cho trỞ thành P = t – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) ⇒ - NẾu x; y cựng dẤu, theo c/m cõu a) suy t ≥ t – ≥ 0; t – > ⇒ ( t − 2) ( t − 1) ≥ ⇒ P ≥ Đẳng thỨc xẢy chỈ t = ⇔ x = y (1) (0,25đ) x 1 (2) (0,25đ) - TỪ (1) (2) suy ra: VỚi mỌi x ≠ 0; y ≠ thỡ luụn cú P ≥ Đẳng thỨc xẢy chỈ x = y VẬy giỏ trỊ nhỎ nhẤt cỦa biỂu thỨc P Pm=1 x=y 86 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 87 ... + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 86 84 82 ⇔ 1 + =0 + 86 84 82 x-300=0 x=300 Vậy S = Câu b, (2điểm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9... 1002 Đáp án biểu điểm Đáp aùn A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 ( =(a =(a =(a )( ) ( ) + 8a + 22 a + 8a + 120 ) + 8a + 12 ) ( a = ( a + 2) ( a + 6) ( a 2ñ 0,5 0,5 0,5 0,5 ) = a + 8a +... https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = ⇔ (2x – 8) (2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x ? ?22) = ⇔