ĐỀ - ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (3 điểm) a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x 3 + 13x 2 + 4x – 3. 6x 3 + 13x 2 + 4x – 3 = 6x 3 + 6x 2 + 4x 2 + 3x 2 + 4x – 3 0,25đ = 6x 2 (x + 1) + 4x(x + 1) + 3(x + 1)(x – 1) 0,25đ = (x + 1)(6x 2 + 4x + 3x – 3) = (x + 1)( 6x 2 – 2x + 9x – 3) 0,50đ = (x + 1)[2x(3x – 1) + 3(3x – 1)] = (x + 1)(3x – 1)(2x + 3) 0,50đ b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x 2 + 2x + 3. x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 0,25đ = (x + 1) 2 + 2 0,25đ Vì (x + 1) 2 > 0 với mọi x, nên: (x + 1) 2 + 2 > 2. 0,50đ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: 2 0,50đ Bài 2 : (4 điểm) a) Giải phương trình : x 2 + 2x + 2 1+x - 2 = 0 (1). - Với x > -1. ta có: 0,25đ (1) ⇔ x 2 + 2x + 2(x + 1) – 2 = 0 ⇔ x 2 + 2x + 2x + 2 - 2 = 0 0,25đ ⇔ x 2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 0,25đ ⇔ x = 0 hoặc x + 4 = 0 ⇒ x = -4 < -1 (loại) 0,25đ - Với x < -1. ta có: 0,25đ (1) ⇔ x 2 + 2x – 2(x + 1) – 2 = 0 ⇔ x 2 + 2x – 2x – 2 – 2 = 0 ⇔ x 2 – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 0,25đ ⇔ x + 2 = 0 ⇒ x = -2, hoặc x – 2 = 0 ⇒ x = 2 > -1 (loại) 0,25đ Vậy phương trình có tập nghiệm là: {-2; 0} 0,25đ b) Dùng phương pháp biến đổi biểu thức hãy so sánh hai số sau: 4019 1 A = và 22 22 20092010 20092010 B + − = Giải: Ta có: 20092010 1 4019 1 A + == = 2 )20092010( )20092010)(20092010( 20092010 20092010 + +− = + − 0,50đ 22 22 20092009.2010.22010 20092010 ++ − = 0,25đ Vì 2010 2 + 2.2010.2009 + 2009 2 > 2010 2 + 2009 2 0,25đ ĐỀ CHÍNH THỨC Nên: B 20092010 20092010 20092009.2010.22010 20092010 22 22 22 22 = + − < ++ − 0,50đ Vậy: A < B 0,50đ Bài 3: (4 điểm) a) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: xy – 3x – 5y + 15 = 0 (3). (3) ⇔ y(x – 5) – 3(x – 5) = 0 0,50đ ⇔ (x – 5)(y – 3) = 0 0,50đ ⇔ x – 5 = 0 ⇒ x = 5 hoặc y – 3 = 0 ⇒ y = 3 0,50đ Vậy các giá trị x, y cần tìm là:{x = 5, y ∈ R} hoặc {x ∈ R, y = 3} 0,50đ b) Chứng minh rằng: a 1 a + > 2, với mọi a > 0. Xét hiệu a 1 a + - 2 = a aa 21 2 −+ 0,50đ a a 2 )1( − = . vì (a – 1) 2 > 0 và a > 0 0,50đ Nên a a 2 )1( − > 0 0,50đ Hay a 1 a + - 2 > 0 ⇒ a 1 a + > 2 (đccm) 0,50đ Bài 4 (5 điểm): Cho ΔABC (AB < AC), phân giác của CB ˆ A cắt AC tại D, phân giác của BC ˆ A cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB tại K. Chứng minh rằng: a/ E nằm giữa B và K. b/ CD > DE > BE. Giải: a/ E nằm giữa B và K. Áp dụng định lý về đường phân giác của tam giác ta có: 0,50đ EB AE BC AC BC AB DC AD =<= (vì AB < AC) (1) Vì KD // BC, nên KB AK DC AD = (2) 0,50đ Từ (1) và (2) ⇒ EB EBAE KB KBAK EB AE KB AK + < + ⇒< 0,50đ Hay EB AB KB AB < ⇒ BK > BE 0,50đ Vậy E nằm giữa B và K. 0,50đ b/ CD > DE > BE A B C D E K M Ta có: CB ˆ DDB ˆ E = (gt); CB ˆ DBD ˆ K = (vì DK //BC) 0,50đ Vì tia DE nằm giữa 2 tia DK và DB nên: BD ˆ KBD ˆ E < 0,50đ ⇒ DB ˆ EBD ˆ E < ⇒ DE > BE (trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) 0,50đ Tương tự ta có: BC ˆ EEC ˆ DCE ˆ D => , nên CD > ED 0,50đ Vậy: CD > DE > BE. 0,50đ Bài 5: (2 điểm) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng 1680 Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: x – 1, x, x + 1, x + 2 (x ∈ N, x > 2) 0,25đ Ta có: (x – 1)x(x + 1)(x + 2) = 1680 ⇔ x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 1680 0,25đ ⇔ (x 2 + x)(x 2 – x + 2x – 2) = 1680 ⇔ x 4 + x 3 – 2x 2 + x 3 + x 2 – 2x = 1680 0,25đ ⇔ (x 2 + x) 2 – 2(x 2 + x) + 1 = 1680 + 1 0,25đ ⇔ (x 2 + x – 1) 2 = 1681 = 41 2 . vì x > 2, nên: x 2 + x – 1 = 41 0,50đ x(x + 1) = 42 = 6.7. suy ra x = 6. 0,25đ Vậy các số cần tìm là: 5, 6, 7, 8 0,25đ Bài 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: 3 4n+2 + 2.4 3n+1  17, với mọi n ∈ N. Giải: Ta có 3 4n+2 = 3 2 .(3 2 ) 2n = 9.9 n = 9.(17 – 8) 2n = 17t + 9.64 n (t ∈ Z) 0,75đ 2.4 3n+1 = 2.4.4 3n = 8.64 n 0,50đ 3 4n+2 + 2.4 3n+1 = 17t + 9.64 n + 8.64 n = 17t + 17.64 n 0,25đ = 17(t + 64 n )  17. vậy 3 4n+2 + 2.4 3n+1  17, với mọi n ∈ N. 0,50đ Hết UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x 3 + 13x 2 + 4x – 3. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x 2 + 2x + 3. Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình : x 2 + 2x + 2 1+x - 2 = 0. b) Dùng phương pháp biến đổi biểu thức hãy so sánh hai số sau: 4019 1 A = và 22 22 20092010 20092010 B + − = Bài 3: (4 điểm) a) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: xy – 3x – 5y + 15 = 0. b) Chứng minh rằng: a 1 a + > 2, với mọi a > 0. Bài 4: (5 điểm): Cho ΔABC (AB < AC), phân giác của góc ABC cắt AC tại D, phân giác của góc ACB cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB tại K. Chứng minh rằng: a/ E nằm giữa B và K. b/ CD > DE > BE. Bài 5: (2 điểm) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng 1680. Bài 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: 3 4n+2 + 2.4 3n+1  17, với mọi n ∈ N. Hết Họ và tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường: ĐỀ CHÍNH THỨC . THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 200 9-2 010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (3 điểm) a. Phân tích. 2 1+x - 2 = 0 (1). - Với x > -1 . ta có: 0,25đ (1) ⇔ x 2 + 2x + 2(x + 1) – 2 = 0 ⇔ x 2 + 2x + 2x + 2 - 2 = 0 0,25đ ⇔ x 2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 0,25đ ⇔ x = 0 hoặc x + 4 = 0 ⇒ x = -4 < -1 . HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 200 9-2 010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) a. Phân tích đa thức