ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI n¨m 2009 - 2010 MÔN : TOÁN Lớp : 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) *O* Bài 1 :( 1,5 điểm) a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x x y − − + = − − + Bài 3 : ( 2,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. b) Chứng minh rằng : 2 2 1 1 3 3 1 x x x x + + ≤ ≤ − + c) Cho a 2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = 4 2 2 1a a a + + Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M = 2 2 2 2008a a a − + với a ≠ o Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số BD DC Hết HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 : ( 1,5 điểm) a) ( 0,75đ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 -4x 2 + 4x – x 2 +4x – 4 ( 0,25 đ ) = x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) ( 0,25 đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,25 đ) b) (0,75đ) Xét 2 10 7 5 7 5 4 2 3 2 3 A x x x B x x − − = = + + − − ( 0,25 đ) Với x ∈ Z thì A M B khi 7 2 3x − ∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) ( 0,25 đ) Mà Ư(7) = { } 1;1; 7;7− − ⇒ x = 5; -2; 2 ; 1 thì A M B ( 0,25 đ) Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi 3 3 1 1 x y y x − − − = 4 4 3 3 ( 1)( 1) x x y y y x − − + − − = ( ) 4 4 2 2 ( ) ( 1)( 1) x y x y xy y y x x − − − + + + + ( do x+y=1 ⇒ y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x − + + − − + + + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 2 x y x y xy x y xy x y x y xy − + − + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y x x y y xy x y x y − − + − + + + = ( ) [ ] 2 2 ( 1) ( 1) ( 3) x y x x y y xy x y − − + − + (0,25đ) = ( ) [ ] 2 2 ( ) ( ) ( 3) x y x y y x xy x y − − + − + = ( ) 2 2 ( 2 ) ( 3) x y xy xy x y − − + (0,25đ) = 2 2 2( ) 3 x y x y − − + Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 3 : ( 2,5 điểm) a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n ∈ Z ) Ta có ( n-1) 3 +n 3 + ( n+1) 3 = 3n 3 +6n (0,25đ) = 3n 3 -3n +9n = 3n(n 2 -1) +9n = 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ) Vì 9 9 3 ( 1)( 1) 9 n n n n − + M M ⇒ 3n (n-1) (n+1) + 9n M 9 (0,25đ) b) (1đ) Ta có (x+1) 2 ≥ 0 ⇔ 2( x+1) 2 ≥ 0 ⇔ 2x 2 +4x+2 ≥ 0 ⇔ 3x 2 +3x+3 ≥ x 2 -x+1 ⇔ 3(x 2 +x+1) ≥ x 2 -x+1 (*) Tương tự, ta có từ (x-1) 2 ≥ 0 ⇔ 3(x 2 -x+1) ≥ x 2 +x+1 (**) (0,25đ ) Vì x 2 -x+1 = ( x- 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 (0,25đ) Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x 2 -x+1 ta có 2 2 1 1 3 1 x x x x + + ≤ − + (0,25đ) Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x 2 -x+1 ta có 2 2 1 3 1 x x x x + + ≤ − + suy ra đccm (0,25đ) c) (0,75đ) Ta có a 2 - 4a + 1 = 0 ⇒ a 2 – a + 1 = 3a ⇒ 2 1a a a − + =3 (0,25đ) P = 4 2 2 2 2 1 1 1 . a a a a a a a a a + + − + + + = = 3 . 2 a 1a a + + (0,25đ) Mà 2 2 a 1 1 2a a a a a a a + + − + = + = 3+2 = 5 Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ) Bài 4 : ( 1 đ) M = 2 2 2008( 2 2008) 2008 a a a − + = 2 2 2 2008 2. .2008 2008 2008 a a a − + (0,25đ) = 2 2 2 2 2007 2 .2008 2008 2008 a a a a + − + (0,25đ) = 2 2 2007 ( 2008) 2007 2008 2008 2008 a a − + ≥ (0,25đ) Dấu “=” xảy ra ⇔ a – 2008 = 0 ⇔ a = 2008 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007 2008 khi a = 2008 (0,25đ) Bài 5 :(2,5đ) Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF DC AM MC = ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM = ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ) Từ (1) và (2) ⇒ 2 DE DF BD DC BC AM BM B M + + = = = ( MB = MC) ( 0,25đ) ⇒ DE + DF = 2 AM ( 0,25đ) Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành Ta có NE AE ND AB = (0,25đ) NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB = = = = (0,5 đ) ⇒ NE NF ND ND = => NE = NF (0,25đ) Câu c : ( 0,75đ) ∆ AMC và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 AMC FDC S AM S FD = ÷ ∆ FNA và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 FNA FDC S NA S FD = ÷ ( 0,25đ) ⇒ 2 AMC FDC S ND S FD = ÷ và 2 FNA FDC S DM S DC = ÷ ⇒ . AMC FNA FDC FDC S S S S = 2 ND FD ÷ . 2 DM DC ÷ 4 1 16 ND DM FD DC ≤ + ÷ (0,25đ) ⇒ S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA (0,25đ) ( Do ( ) 2 0x y− ≥ ⇔ ( ) 2 4x y xy+ ≥ ⇔ ( ) 4 2 2 16x y x y+ ≥ với x ≥ 0; y ≥ 0) N E D M C A B F Bài 6 : ( 1 đ) Kẻ MI // BC ( I ∈ AD) ⇒ MI = 2 BD Ta có : MI MH DC HC = ( Do MI // BC) ⇒ 2 BD MH DC HC = ( 1) ( 0,25đ) ∆ MAH và ∆ ACH đồng dạng ( g-g) ⇒ 1 2 MH MA AH AC = = ( ∆ ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) ⇒ AH = 2 MH ( 0,25đ) ∆ AMC vuông , ta có AH 2 = MH . HC ⇒ 4MH 2 = MH.HC ⇒ HC = 4 MH ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có : 1 2 4 4 BD MH DC MH = = ⇒ 1 2 BD DC = ( 0,25đ) I M D H C B A • Ghi chú : - Học sinh có thể trình bày theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa từng phần, tuỳ theo cách giải mà giám khảo cho điểm phù hợp với hướng dẫn chấm. -Bài toán hình không cho điểm hình vẽ. Nếu học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình đó. Lª Hoµ (Su tÇm) Http://violet.vn/sonhienhoa1981 . = 2 2 20 08( 2 20 08) 20 08 a a a − + = 2 2 2 20 08 2. .20 08 20 08 20 08 a a a − + (0,25đ) = 2 2 2 2 2007 2 .20 08 20 08 20 08 a a a a + − + (0,25đ) = 2 2 2007 ( 20 08) 2007 20 08 20 08 20 08 a a − +. 2007 20 08 20 08 20 08 a a − + ≥ (0,25đ) Dấu “=” xảy ra ⇔ a – 20 08 = 0 ⇔ a = 20 08 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007 20 08 khi a = 20 08 (0,25đ) Bài 5 :(2,5đ) Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF. THI HỌC SINH GIỎI n¨m 2009 - 2010 MÔN : TOÁN Lớp : 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) *O* Bài 1 :( 1,5 điểm) a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của