28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG Bài 1: (4,0 điểm)Cho đa thức: Phân tích đa thức Chứng minh Bài 2: (4,0 điểm) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNGHỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian làm bài:120 phút P x x x 11x P x thành nhân tử P x chia hết cho với x nguyên 1 1 9 x y z x y z Cho số dương x, y, z Chứng minh Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để: P a b c b c c a a b đạt giá trị nhỏ x y x y x2 y 2x2 y A : 1 xy xy x2 y (với xy 1 ) Bài 3:(5,0 điểm) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A x 1 1 2 Tính giá trị biểu thức A biết x số nguyên lớn thỏa mãn x x Tìm số nguyên khơng âm để A có giá trị số ngun Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình vng ABCD , gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Hai đường thẳng AD MC cắt E I giao điểm CM DN Chứng minh rằng: a) DEI vuông b) AIM ACM 45 Tính tỉ số diện tích tam giác CNI diện tích hình vuông ABCD a b 29 a b a b Chứng minh ab Bài 5:(1,0 điểm)Cho a, b số dương thỏa mãn = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG Bài 1: (4,0 điểm) Cho đa thức: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015 – 2016 P x x x 11x Phân tích đa thức P x thành nhân tử Chứng minh P x chia hết cho với x nguyên Câu Đáp án Ta có Câu (2,5 đ) P x x x 11x x3 x 5x x x 0,5 x x 1 x x 1 x 1 0,75 x 1 x x 0,5 x 1 x x 3 0,5 Vậy Câu (1,5 đ) Điểm 0,25 P x x 1 x x 3 + Chứng minh + Lập luận P x chia hết cho với số nguyên x 2, 3 1 P x 6 với 0,5 x số nguyên Bài 2: (4,0 điểm) 1 1 9 x y z x y z Cho số dương x, y, z Chứng minh Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để: P Câu Câu (2,0 đ) a b c b c c a a b đạt giá trị nhỏ Đáp án Điểm Biến đổi: 1 1 x y x z y z 3 x y z y x z x z y Do x, y, z , nên áp dụng bất đẳng thức Cô si với số dương ta được: x y z 0,75 0,75 x y x y 2 2 y x y x (dấu “=” xảy x y ) x z 2 z x (dấu “=” xảy x z ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com y z 2 z y (dấu “=” xảy y z ) 1 1 x y z 3 9 x y z Dấu “=” xảy x y z Vậy 0,5 1 1 9 x y z x y z Ta có: P a b c b c c a a b a b c P 1 1 1 b c c a a b 0,5 1 a b c b c c a a b Câu (2,0 đ) 1 P b c c a a b b c c a a b 0,5 Áp dụng câu 1, ta có: 0,5 1 b c c a a b 9 b c c a a b P 2 Dấu “=” xảy b c c a a b a b c 0,5 a b c b c c a a b đạt giá trị nhỏ tam giác Vậy tam giác P x y x y x2 y 2x2 y A : 1 xy xy x2 y (với xy 1 ) Bài 3:(5,0 điểm) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A x 1 1 2 Tính giá trị biểu thức A biết x số nguyên lớn thỏa mãn x Tìm số ngun khơng âm x để A có giá trị số nguyên Câu Câu (2,0 đ) Đáp án Điểm x y x y x2 y 2x2 y A : 1 x2 y xy xy (với xy 1 ) x xy x y x y A : x2 y2 x2 y2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 0,5 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com A Vậy 2x 1 y2 x2 y A 1,25 x2 y 2x 2 y x 1 x 1 0,25 2x x 1 2 x 1 1 + Giải bất phương trình x Câu (2,0 đ) 2 x x (do x x ) 0,5 x x 0 x 2 + Do x số nguyên lớn nên x 2 0,5 Thay x 2 vào biểu thức A ta được: A 0,5 0,25 2.2 2 1 x 1 1 A Vậy với x số nguyên lớn thỏa mãn x 2x A x 1 Ta có + Do x 0; x nên A 0 0,5 (1) x 1 x x 1 x 1 2x A 1 1 x 1 x2 1 x 1 + Ta có (2) Từ (1) (2) A 1 Câu (1,0 đ) 0,25 A 0; 1 Do A số nguyên nên + Với A 0 ; từ (1) ta x 0 (tmđk) + Với A 1 ; từ (2) ta x 1 (tmđk) 0,5 x 0; 1 A có giá trị số ngun Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD , gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Hai đường thẳng AD MC cắt E I giao điểm CM DN Chứng minh rằng: a) DEI vuông Vậy với b) AIM ACM 45 Tính tỉ số diện tích tam giác CNI diện tích hình vng ABCD Câu Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Đáp án Điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com A D E M I C B N - Chứng minh MBC NCD (c.g.c) Câu + Suy BMC DNC 1(a) (2,5 đ) Mà BMC MCN 90 INC ICN 90 + Từ suy CM DN DEI vuông Câu (2,0 đ) 0,5 0,5 0,5 - Chứng minh AI trung tuyến DEI vuông I - Chứng minh AEI cân E MIA + MIA MCA E MCA DAC (tính chất góc ngồi tam giác) + DAC 45 (tính chất hình vng) Từ suy đpcm - Chứng minh INC đồng dạng BMC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (1,5 đ) 0,5 SCNI NC S MC + Tính BMC SCNI 0,5 1 S BMC S ABCD + Chứng minh Từ suy S ABCD 20 a b 29 a b a b a , b Chứng minh ab Bài 5:(1,0 điểm)Cho số dương thỏa mãn Câu Đáp án 1 Với a, b , ta có a b a b 1 a b 5 nên a b Mà (1) Điểm 0,25 1 21 1 P a b a b a b 25a 25b 25 a b Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ si với hai số dương ta có: 0,25 a 4 2 a 25a 25a b 4 2 b 25b 25b Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 0,25 (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 4 21 29 P 5 25 Từ (1) (2) ta có: a b Dấu “=” xảy Vậy a b 0,25 a b 29 a b ab (Dấu “=” xảy 5) Lưu ý: - Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Nếu học sinh khơng vẽ hình sai hình khơng chấm điểm hình - Bài làm khơng chặt chẽ, khơng đủ sở phần trừ nửa số điểm phần = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC