b Tìm x để A = -1 c Tìm các giá trị của x để A < 0 Bài 4: 1,5 điểm Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kề hai cạnh kề và đường [r]
(1)Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho b +c c a a b 1 + + =0 b c a b c Tính giá trị biểu thức M = a Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là số chính phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M là điểm nằm B và C Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB) a) Xác định vị trí M nằm trên BC để DE ngắn b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600 - Hết - Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho b +c c a a b 1 + + =0 a b c a b c Tính giá trị biểu thức M = Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là số chính phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M là điểm nằm B và C Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB) (2) a) Xác định vị trí M nằm trên BC để DE ngắn b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600 - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II NĂM HỌC 2013 – 2014 x5 + x – Bài 1: (2,0điểm) (0,5 đ) x + x2 – x2 + x – = = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ) = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ) = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] (0,5 đ) = (x – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ) Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = (0,5 đ) (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = (0,5 đ) Do a, a b 2 c d ab cd b, c, (0,5 đ) d > nên a = b = c = d (0,5 đ) Bài 3: (1,5điểm) Ta có: M = b+c c +a a+b + + a b c M= ( b+ca + 1)+( c+b a + 1)+( a+bc +1) −3 M= a+b+ c a+b+ c a+b+ c + + −3 a b c (0,5 đ) (0,5 đ) (3) M ( a+b +c ) = ( 1a + b1 + 1c ) −3 (0,25 đ) M (0,25 đ) = –3 Bài 4: (2,0điểm) M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ) Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ) M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ) M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ) M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ) Bài 5: (2,5điểm) A D E B a) Tứ giác ADME có: C M = 900 (gt) AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và A ⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ) ⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ) DE ngắn AM ngắn Mà AM ngắn AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ) Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC ∆ ABC (0,25 đ) b) Xét ∆ ABM vuông M có ABM = 600 BC tức là AM (4) ⇒ ∆ ABM là nửa tam giác có cạnh AB (0,25 đ) ⇒ AB = = 2(cm) BM = ⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ) ⇒ AM = √ 12 cm Vậy AM ngắn √ 12 cm (0,5 đ) ⇒ DE ngắn √ 12 cm - Hết Ghi chú: Mọi cách giải khác, đúng cho điểm tối đa bài Điểm toàn bài là tổng điểm các bài ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1:( điểm) Cho biểu thức M = a) Rút gọn M [ x2 + + x − x − x x +2 ] ( 10− x : x − 2+ x +2 ) b)Tính giá trị M |x| = Bài 2:(4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 – 5x2 + 8x – 11 b) x x c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 d )(x2+x+1)(x2+x + ) –12 Baøi : (4ñieåm ) 3 a)Cho hai số thực x, y thoả mãn x xy 10 và y 3x y 30 2 Tính giá trị biểu thức P = x y 1 2 a b c b) Chứng minh :Nếu vaø a + b + c = abc thì 1 2 a b c Bài 5) (6 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC E và F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N là trung điểm (5) EF c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài 6) ( điểm) Chứng minh a2 b2 c a b c + + ≥ + + b2 c a2 c a b với số a, b, c khác Đáp án và biểu điểm Bài 1: a) Rút gọn M x2 + + M= x − x − x x +2 x +2 [ M= −6 x +2 ( x − 2)(x +2) ] ( : Với x = Với x = - ⇔ x= 2 )=[ x − + x (x − 2)(x +2) 3(x −2) x+2 2−x = b)Tính giá trị M |x| = |x| = 10− x x − 2+ x +2 ] : ( điểm) 2 x = 1 = = ta có : M = 2− 2 1 = = ta có : M = 2+ 2 ( điểm) Bài 2: a) ) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 ( điểm) 11 b) x x = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1) = x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1) =(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 c) Ta có : A = ( b + c - a ) - 4b c = ( b + c - a ) - (2bc) = ( b + c - a -2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm) 2 d) ñaët y= x +x +1 suy x + x+ 2= y+1 ta :M =y(y+1) – 12 =y2+y –12 =y2-3y +4y –12 =(y-3)(y +4) Thay y =x2 +x +1 Ta :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1ñiểm) Bài 3: x3 3xy 100 => x6 x y x y 100 a) Ta coù: x 3xy 10 => vaø y x y 30 => Suy ra: điểm ) y 3x2 y 900 4 => y x y x y 900 2 x x y x y y 1000 => x y 1000 x y 10 (2 (6) 1 ( ) 4 b) Ta coù : a b c 1 1 1 4 2.( ) a b c ab bc ca 1 a b c 4 a b c abc ù 1 2 b c Vì a+b+c = abc neân ta coù : a Bài : DF DC a : Lý luận : AM MC ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM ( Do AM // DE) (2) DE DF BD DC BC 2 AM BM BM Từ (1) và (2) ( MB = MC) DE + DF = AM b: AMDN là hình bành hành NE AE Ta có ND AB NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB NE NF ND ND => NE = NF c: AMC và FDC đồng dạng ( điểm) ( 2,25điểm) ( 2.25 điểm) F S AMC AM S FDC FD FNA và FDC đồng dạng S FNA NA S FDC FD E S AMC ND S FNA DM S FDC FD và S FDC DC 2 S AMC S FNA ND DM ND DM 16 FD DC S FDC S FDC FD DC S2FDC 16 SAMC.SFNA x y 16 x y với x 0; y 0) Bài 6: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: a2 b2 a b2 a 2a + ≥ 2 =2 ≥ c c b c b c 2 b c 2b c a2 c + ≥ + ≥ Tương tự: và c a2 a a2 b2 b √ || A N ( Do x y B D M C 0 x y 4 xy ( 1.5 điểm) (7) Cộng theo vế tương ứng các BĐT trên ta có đpcm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Câu Chứng minh rằng: a) Nếu tổng hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương chúng chia hết cho b) Tích số tự nhiên liên tiếp cộng luôn là số chính phương x3 x2 x : 1 x x x x với x khác -1 và Câu Cho biểu thức B = a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B x c) Tìm giá trị x để B < Câu a) Giải phương trình : (x2 - 5x + 6)3 + (1 - x2)3 = (7 - 5x)3 a b c x2 y2 z x y z 1 1 b c b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a Câu Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao? b) Gọi E và F là hình chiếu điểm M lên AB và AD Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số các cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 16 Tính độ dài các cạnh hình chữ d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, PB nhật ABCD Câu Tìm tất các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện : x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100 Hết -Lưu ý: Thí sinh thi môn Toán không sử dụng máy tính cầm tay PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH (8) HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán a (2,0) Câu 1: (4 điểm) Gọi số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 0,25 2 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b) (a 2ab b ) 3ab = = (a + b) (a b) 3ab 0,5 Vì a + b chia hết cho nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3; Do (a + b) (a b) 3ab chia hết cho Gọi số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) b Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 (2,0) = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số chính phương 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu ( 4,0 điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì: x3 x x2 (1 x)(1 x) : 1 x (1 x)(1 x x ) x(1 x) A= 0,5 (1 x)(1 x x x) (1 x)(1 x) (1 x ) : : 1 x (1 x)(1 x x ) (1 x) = 1,0 = (1 x )(1 x) 2 1 ( ) 1 ( ) = thỡ A = b, (1 điểm) Tại x = 25 34 272 (1 )(1 ) 10 27 27 = 0,5 0,25 0,75 0,25 c, (1 điểm) Với x khác -1 và thì B < và (1 x )(1 x) (1) Vì x với x nên (1) xảy và x x KL: B < và x > Câu 3: (4,0 điểm) Đặt x2 - 5x + = a, - x2 = b thì a + b = - 5x Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 a Biến đổi thành ab(a + b) = (2,0) <=> a = b = a + b = Từ đó tìm S = 2; 3; -1; 1; 1,2 Từ : b (2,0) 0,5 0,25 0,5 0,5 1,0 a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0,5 (9) x y z x y z 1 ( ) 1 a b c a b c Ta có : 0,5 x2 y z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y2 z 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 Câu (6,0 điểm): Vẽ hình, ghi GT, KL đúng D C 0,25 P M F I E O A B a) Gọi O là giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM ( ) AM//PO Tứ giác AMDB là hình thang b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, đó EF//AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh Δ MAF ~ MF AB = Δ DBA (g-g) nên => FA AD không đổi 1,0 1,75 1,0 PD PB PD k PD 9k , PB 16k 16 PB 16 d) Nếu thì CP PB Nếu CP BD thì Δ CBD ~ Δ DCP (g-g) => PD =CP đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = (cm) C/m BC2 = BP.BD = 16 đó BC = (cm); CD = (cm) 2,0 Câu (2,0 điểm) Ta có: 8x + 8y + 8z < 8x + 9y + 10z = 100 => x + y + z < 100 < 13 cùng với giả thiết, có 11 < x + y + z < 13, x + y + z Z => x + y + z = 12 Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2) Nhân vế (1) với trừ vế-vế (2) cho (1), được: y + 2z = (3) Từ (3) suy z = (vì z ≥ thì y ≥ => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn) Với z = 1, tìm y = và x = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 (10) Thử lại, thấy đúng Vậy có x = 9, y = và z = thoả mãn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ UÔNG BÍ ĐỀ CHÍNH THỨC 0,25 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN Ngày thi: 24/4/2013 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Chữ kí giám thị …………… Chữ kí giám thị …………… Bµi 1: (3,0 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn abc =2013 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 2013a bc ab c abc ab 2013 a 2013 bc b 2013 ac c P= Bµi 2: (3,0 ®iÓm): Cho hai ®a thøc: x 1 x 3 x 5 x a vµ Q(x) = x 8x P(x) = Tìm giá trị a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Bµi 3: (6,0 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: y 3 a 2x2 + 2xy + y2 + = 6x - b (2 x x 2013) 4( x x 2012)2 4(2 x x 2013)( x x 2012) Bµi 4: (6,0 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a, ®iÓm N thuéc c¹nh AB Tia CN c¾t tia DA t¹i E Tia Cx vu«ng gãc víi tia CE c¾t tia AB t¹i F Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF a Chøng minh CE = CF b Chøng minh ba ®iÓm M, B, D th¼ng hµng c §Æt BN = b TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ACFE theo a vµ b Bµi 5: (2,0 ®iÓm): Cho x, y tho¶ m·n x2 + y2 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x6 + y6 HÕt -Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: ………………… (11) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN BÀI LỜI GIẢI SƠ LƯỢC ĐIỂM 2 2013a bc ab c abc P = ab 2013a 2013 bc b 2013 ac c 2013a b c abc ab 2013a 2013 bc b 2013 ac c = Bµi (3 ®iÓm) 0,5 ®iÓm Thay abc = 2013 vµo P ta cã: P = abc 1,0 ®iÓm b c + + (abca ab+ abca+ abc bc+ b+abc ac+ c+1 ) abca b c + + ab (1+ ac+ c) b (c +1+ac) ac+ c+1 = abc [ = abc (acac +c +1 +ac+1c+ + ac+cc+1 ) 0,5 ®iÓm = abc ac+ c+1 ac+ c+1 0,5 ®iÓm ] = abc = 2013 Ta cã: P( x) x 1 x x x a 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm x x x x 15 a Bµi (3 ®iÓm) 2 §Æt x x t Khi đó P(x) = (t – 2)(t + 6) + a = t 4t a 12 = P(t) 1,0 ®iÓm 2 t t a 12 Chia t 4t a 12 cho t ta đợc t 4t a 12 = 0,5 ®iÓm P(x) chia hÕt cho Q(x) t 4t a 12 chia hÕt cho t a – 12 = a = 12 VËy víi a = 12 th× ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x) Bµi (6 ®iÓm) ⇔ 2x2+2xy+y2+9- 6x+ y =0 a 2x2+2xy+y2+9 = 6x- y ⇔ ⇔ (x2+2xy+y2) + (x2- 6x+9) + (x+y)2 + (x-3)2 + y 3 V× (x+y)2 ≥ 0, (x-3)2 ≥ 0, (x+y)2 + (x-3)2 + VËy (1) ⇔ KÕt luËn nghiÖm y 3 y 3 =0 ≥ víi mäi x, y nªn ≥ víi mäi x, y ¿ x + y =0 x − 3=0 y+ 3=0 ¿ {{ ¿ a 2 x x 2013 b x x 2012 b §Æt Phơng trình đã cho trở thành: ⇔ 0,25 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm = (1) y 3 0,75 ®iÓm ¿ x=3 y=− ¿{ ¿ 0,5 ®iÓm 0,75 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 1,25 ®iÓm (12) a 4b 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: x x 2013 2( x x 2012) x x 2013 2 x 10 x 4024 2011 11x 2011 x 11 KÕt luËn nghiÖm 1,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm E M A N F B D C a Chøng minh CDE CBF CE = CF b V× M lµ trung ®iÓm cña EF nªn Bµi (6 ®iÓm) EF ME = MF = MC = MA= 1,0 ®iÓm MA = MC M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AC Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực đoạn th¼ng AC M thuộc đờng thẳng BD hay điểm M, B, D thẳng hàng c Ta cã BN = b AN = a - b 1 CD AE CE 2 SACFE = SACE + SECF = AE AN AE a b a (a b ) AE AE AD a b TÝnh AE: Ta cã ED DC a4 Ta cã CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 + b a ( a b) Tính đợc SACFE = 2b Bµi (2 ®iÓm) ®iÓm 1,0 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm x y = Ta cã A = x + y = (x2+y2)(x4+y4- x2y2) = x4+y4- x2y2 (V× x2 + y2 = 1) = (x2+y2)2 - x2y2 = - 3x2y2 2 V× x y ≥ víi mäi x, y nªn 3x2y2 ≥ 1-3x2y2 ≤ víi mäi x, y Hay A ≤ x 0 max A = x2y2 = y 0 (1) x 0; y 1 Mµ x2 + y2 = nªn (1) y 0; x 1 VËy max Q = x = ; y = 1 hoÆc x = 1 ; y = 0,75 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,25 ®iÓm (13) Các chú ý chấm Hướng dẫn chấm này trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác cho điểm tối đa Với các cách giải đúng khác hướng dẫn chấm, tổ chấm trao đổi và thống điểm chi tiết không vượt quá số điểm dành cho câu phần đó Mọi vấn đề phát sinh quá trình chấm phải trao đổi tổ chấm và cho điểm theo thống tổ Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm SO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TINH YEN BAI NĂM HỌC 2013-2014 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) a) Tìm giá trị a để (21x2 - 9x3 + x + x4 + a) ( x2 - x - 2) b) Chứng minh n4 - 2n3 - n2 + 2n chia hết cho 24 với n Z Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc 1 0 x y z b) Cho , (với x 0, y 0, z 0) yz xz xy 2 2 x y z Tính giá trị biểu thức Bài 3: (2,5 điểm) 4x 8x2 x 2 : Cho biểu thức A = x x x x x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A = -1 c) Tìm các giá trị x để A < Bài 4: (1,5 điểm) Chứng minh hình bình hành, khoảng cách từ điểm trên đường chéo đến hai cạnh kề (hai cạnh kề và đường chéo cùng qua đỉnh hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh Bài 5: (2,0 điểm) Gọi M là điểm nằm xOy = m0 (0< m < 90) Gọi P, Q là hình chiếu M trên Ox , Oy Gọi H, K là trung điểm OM, PQ a) Chứng minh: HK PQ b) Tính số đo góc HPQ theo m (14) HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Câu a 0,75đ Bài 2,0đ Câu b 1,25đ Câu a 1,0đ Bài 2,0đ Câu b 1,0đ Bài 2,5đ Câu a 1,25đ Nội dung Điểm Thực phép chia tìm đúng thương: x – 8x + 15 và dư: a + 30 Phép chia hết nên a + 30 = suy a = -30 n4 - 2n3 - n2 + 2n = n(n3 -2n2 - n + 2) = n{n2(n – 2) - (n -2)} n(n2 – 1)(n – 2) = n(n – 1)(n +1)(n – 2) n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích số nguyên liên tiếp đó phải có số chia hết cho 2; số chia hết cho và số chia hết cho nên n(n – 1)(n +1)(n – 2) 2.3.4 = 24 Kết luận n4 - 2n3 - n2 + 2n 24 (a + b + c)3 = (a + b )3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 =(a+b)3 3(a+b)c.(a+b+c) + c2 = (a+b)3 + c2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b) a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) ( a + b + c = nên a + b = -c) a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = suy a3 + b3 + c3 = 3abc 1 Với a = x ; b = y ; c = z 1 3 3 y z xyz Áp dụng kết câu a ta có x 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ xyz xyz xyz 1 yz xz xy xyz 2 y z y z x y z = x x = xyz xyz = Điều kiện xác định x ; x 0,25đ 4x 8x x x x 8x x x : : x x2 x2 2x x x x x x 2 A= = 8x x 8x x x 8x x2 3 x : : x x x x 2 = x x x x 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ (15) = Câu b 0,75đ Câu c 0,50đ 4x x x x 2 x x x 0,25đ 4x2 = x 4x2 A =-1 x = -1 4x2 = -x+3 4x2 + x – = x2 + x + 3x2 -3 = (x+1)(4x-3) = x= -1 ; x = 3/4 4x2 A < x < x - < (do x nên 4x2 > ) Kết luận: Vậy x < ; x ; x thì A < A 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B H P M D C N K Kẻ PH AD; PK CD; PM // CD; PN // AD KNP (g-g) Chứng minh HMP PH PM PH DN PK PN PK PN (Do PMDN là hình bình hành) DN PN DCB (g-g) DC BC Chứng minh DNP DN DC PH DC PN BC PK BC PH.BC = PK.DC PH.AD = PK.DC Điều phải chứng minh Bài 1,5đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ y Q M Bài 2,0đ K H O Câu a 1,0đ Câu b 1,0đ P x MPO vuông P, đường trung tuyến PH = OM MQO vuông Q, đường trung tuyến QH = OM PH = QH HPQ cân H HK PQ MHQ = MOQ MHP = MOP 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (16) 0,25đ 0,25đ PHQ = POQ = 2.m0 PHK = m0 HPQ = 900- m0 Chú ý: -Trên đây là sơ lược hướng dẫn chấm quá trình chấm các nhóm thống chi tiết đáp án và chia nhỏ điểm đến 0,25đ - Học sinh có cách giải khác đáp án đúng cho điểm tối đa phần ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học : 2009 – 2010 Môn : Tóan Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( điểm ) Định a và b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + là bình phương đa thức khác Câu : ( điểm ) Cho biểu thức : 2 x 10 − x + + : x − 2+ P= x +2 x − x −3 x x+ a) Rút gọn p )( ( ) b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị nào x thì p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên Câu : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N là các điểm chuyển động trên hai cạnh BC và AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ - Hết ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học : 2008 – 2009 (17) Môn : Tóan Câu : ( điểm ) Ta có M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) (½đ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) (½đ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) (½đ) Câu : ( điểm ) Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + = ( x2 – 3x + k )2 = x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx = x4 – 6x3 + ( + 2k )x2 – 6kx + k2 Đồng vế ta có : a = + 2k (1) b = - 6k (2) 1=k (3) Từ (3) ta suy : k = ± Nếu k = - ; b = và a = Ta có : A = x4 – x3 + x2 + x + = ( x2 – x – )2 Nếu k = ; b = - ; a = 11 Ta có : A = x4 – x3 + 11 x2 – 6x + = ( x2 – 3x + )2 ( 1/2đ ) ( 1/2 đ ) ( 1/2đ ) ( 1/2 đ ) (½đ) (½đ) (½đ) (½đ) Câu : ( điểm ) a) p = ( ( x +2)(xx −2) − x −2 + x 1+2 ) : x 6+2 x −2(x +2)+ x −2 1 : =− = (½đ) (x −2)( x+2) x +2 x−2 2−x b) Với x ≠ ; x ≠ ± thì biểu thức p xác định ( 1/4 đ ) 3 /x/ = nên x = x = ( 1/4 đ ) 4 4 = 3 + Nếu x = thì p = (½đ) 2− 4 = 3 11 + Nếu x = thì p = (½đ) 2+ 4 13 =7 x = c) Với p = thì ( thỏa mãn điều kiện x ) (½đ) 2−x d) Để p có giá trị nguyên thì - x phải là ước (½đ) Từ đó ta có : x = ; x = ; (½đ) Vậy để p nguyên lúc đó x = ; x = ; (½đ) = Câu : ( điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = nên - ≤ a , b , c ≤ a+1≥0; b+1≥0 ; c+1 ≥ (¼đ) Do đó : ( a + ) ( b + ) ( c + ) ≥ (¼đ) + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1) ( 1/2 đ ) Cộng vế (1) cho + a + b +c + ab + bc + ca Ta có : abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 đ ) Ta biết : + a + b + c + ab + bc + ac = ( + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + ab + bc + ac ) = ( 1/2 đ ) (18) ( + a + b + c )2 ≥ ( vì a2 + b2 + c2 = ) Vậy abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ ( 1/2 đ ) ( 1/2 đ ) Câu : ( 3điểm ) A M K G B C N GK BG = ; = (¼đ) BK BK AM CN GK = = = Do MN // AC nên (¼đ) AB BC BK AM+NC = Mà (¼đ) AB+BC vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 đ ) 16 = Do đó : AC = 27 (cm) 75 − AC MN MN = ⇒ = ⇒ MN=18 (cm) Ta lại có : AC 27 ta có : Câu : ( điểm ) ( 3/4 đ ) ( 3/4đ ) A Q ( 1/2 đ ) H p N B M C Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB Ta có tam giác ANQ vuông Q có góc A = 600 ANQ = 300 ( 1/2 đ ) AQ = AN ( 1/2 đ ) Tương tự tam giác MpB ta có pB = BM ( 1/2 đ ) 1 1 AN + BM= AC Do đó : AQ + pB = (AN + NC ) = ( 1/2 đ ) 2 2 Kẻ MH QN Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 đ ) 1 AC= AB Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB ( 1/2 đ ) 2 Vậy đọan MN có độ dài nhỏ AB ( 1/4 đ ) Khi M,N là trung điểm BC và AC ( 1/2 đ ) Đề thi hsg lớp SỐ (19) MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 +1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC nào thì biểu thức ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿ (20) a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= ( x − y )(x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ abcd=k 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m abcd=k abcd +1353=m2 ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 với k, m (0,25điểm) N, 31<k <m<100 (0,25điểm) (0,25điểm) ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= abcd Kết luận đúng = 3136 ⇒ Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng a) HA ' BC S HBC HA ' = = ; S ABC AA ' AA ' BC (0,25điểm) S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (21) HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (0,25điểm) AB+ BC+CA ¿ ¿ ⇔ Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ Δ ABC (0,25điểm) ⇔ AB = AC =BC Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó Đề thi hsg lớp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = ( 1− x − x2 −x : 1−x 1− x −x +x ) với x khác -1 và a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x ¿ −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 a b b c c a Cho 4. a b c ab ac bc (22) Chứng minh a=b=c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a, Chứng minh OM = ON 1 b, Chứng minh AB + CD =MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác3 -1 và 21 thì : (1 − x )(1+ x) − x − x+ x : A= − x x + x(21+ x )(1 −(1 x+−xx )(1+ )− x (1+ (1−1x)(1+ − x) x) x) : = 1− x1 (1+ x )(1− x + x 2) = (1+x ): (1− x) = (1+ x 2)(1 − x) KL b, (1 điểm) Tại x = 25 −1 35 = − (1 )(1 ) = 34 272 ¿ = =10 27 27 thì A = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ − ¿2 1+¿ − −(− ) ¿ [ ] 0,25đ 0,25đ 0,5đ KL c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1+ x 2)(1 − x)< (1) Vì 1+ x 2> với x nên (1) xảy và 1− x< ⇔ x >1 KL Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ (23) 2 2 2 2 a +b −2 ab+ b +c − bc+ c + a + 2ac=4 a + b + c − ab −4 ac − bc 2 2 c ¿ =0 − 2ac )+(b + c −2 bc)+(a + c −2 ac)=0 Biến đổi để có a(a−2 +b Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) 2 a− b ¿2 +¿ Vì a −b¿¿ ≥ ; b − c¿¿¿ ≥ ; a − c¿¿ ≥ ; với a, b, c 2 nên (*) xảy và a −b¿¿ =0 ; b − c¿¿ =0 và a − c¿¿ =0 ; Từ đó suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số phân x số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x +15 (x khác -15) x x +15 Theo bài ta có phương trình x +11 = x − Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm phân số − KL 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A=2 a2 (a2+ 2)−2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿ +3 = 2 (a +2)(a −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿ a −1 ¿ ≥0 ∀ a ∀ a và a −1 ¿ ≥0 ∀ a nên Vìa −1a2¿+2>0 đó +3 ≥ ∀ a ¿ (a 2+2)¿ 0,5đ 0,5đ ( a +2)¿ Dấu = xảy và a −1=0 KL 0,25đ 0,25đ ⇔ a=1 Bài (3 điểm) B N M A D a,(1 điểm) I Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) √ cm ; BD = 2AD = Tính AD = 33 4√ cm AM = BD=¿ √3 cm C 0,5đ 0,5đ 0,5đ (24) √3 cm Tính NI = AM = √3 DC=¿ cm , MN = DC = BC = √3 cm Tính AI = 0,5đ 0,5đ 0,5đ √3 cm 3 Bài (5 điểm) B A O N M a, (1,5 điểm) D OM OD ON OC Lập luận để có AB = BD , AB = AC OD OC Lập luận để có DB =AC OM ON = ⇒ ⇒ OM = ON AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét Δ ABD để có AB = AD (1), xét Δ ADC để có DC = AD (2) 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, S(2AOB điểm) S BOC OB S AOB S BOC OB S AOB S DOC =S BOC S AOD = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC S AOD =S BOC Chứng minh S AOD ¿ ⇒ S AOB S DOC =¿ Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI CÂU 1: (2điểm) Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x - Bài 2: Chứng minh a4 + b4 + c4+ d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d CÂU 2: (2điểm) Bài 1: Tìm tập xác định phân thức 1 x − 1❑ x + x −1❑ Bài 2: Cho a + b + c =0 Tính giá trị biểu thức M = CÂU 3: (2điểm) b+c c +a a+b + + a b c 1 Bài 1: Rút gọn biểu thức A = ( ab+ bc+ ca ) a + b + c − abc Bài 2: Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 thì ( 1 1 + + + .+ < 2 ( n+1 ) ) ( a1 + b1 + c1 ) 2 C 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (25) CÂU 4: (2điểm) Bài 1: Chứng minh với số lẻ thì n4 – 10n2 + chia hết cho 384 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x2 - 3x + CÂU 5: (2điểm) Bài 1: Tìm giá trị x để phân thức : x + x❑ −2❑ x − 1❑ Bài 2: Chứng minh đẳng thức: a2 + b2 + c2 – ba – bc – ca )(a + b + c) = a(a2 – bc)+ b(b2 – ac)+ c(c2 – ab) CÂU 6: (2điểm) Bài 1: Thực phép tính 1 16 + + + + + − x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 Bài 2: Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là số chính phương CÂU 7: (2điểm) Bài 1: Tìm x biết (x2 + x)(x2 + x + 1) = Bài 2: Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x3 + y3 + z3 +kxyz chia hết cho x + y + z CÂU 8: (2điểm) Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: – 3x(x + 3) – Bài 2: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích là tích hai ba số đó thì 26 CÂU 9: (2điểm) Bài 1: xác định các hệ số a, b, c biết: (x2 – x + 1)(ax2 + bx + c) = 2x4 – x3 + 2x2 + với x x+7 x+ 10 x −7 + + x − x − x + x − x − x+ Bài 2: Tính CÂU 10: (2điểm) Bài 1: Thực phép tính 2 x +1 x +1 x − x +2 x+1 : : : x x −1 x + x x + x+1 Bài 2: Chứng minh rằng: A = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 – x2 – 31 Luôn luôn không âm với giá trị x CÂU 11: (2điểm) Cho biểu thức A = ( x 2+ )( a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết |2 x −1|=3 CÂU 12: (2điểm) 4x x +2 −3 x x −4 + x − x − x − x x −2 ) (26) Bài 1: Tìm x, y, z biết x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 + + = Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + x + 1).( x2 + x + 2) – 12 CÂU 13: (2điểm) Bài 1: Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị là nguyên số A= 2 x − x + x −8 x −3 Bài 2: Chứng minh p và p2 + là các số nguyên tố thì p2 + là số nguyên tố CÂU 14: (2điểm) y n −2 y n+ y n −3 y n+ y n −1 : y +2 y n+1 − y +2 y n −2 1 Bài 2: Chứng minh a + b + c = và a+b +c=abc 1 + + =2 Thì a b c Bài 1: Làm tính chia: CÂU 15: (2điểm) Bài 1: Tính giá trị biểu thức A= x − xy −18 x y+ y x y 2+ xy −6 x y −2 y Biết x ≠ 0; y ≠ ; x ≠ 2y và Bài 2: Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = x = y ( với x ≠ ; x ≠ ) CÂU 16: (2điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M là điểm nằm B và C Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB) a) Xác định vị trí M nằm trên BC để DE ngắn b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600 CÂU 17: (2điểm) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD M và N Vẽ hình chữ nhật MDNF Chứng minh rằng: a) DF song song AC b) E là trung điểm BF CÂU 18: (2điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Có hai đường chéo cắt O và tam giác ABO là tam giác Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng OA, OD và BC Chứng minh tam giác EFG là tam giác CÂU 19: (2điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm AH, K là trung điểm CD, N là trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành b) Tính BMK (27) CÂU 20: (2điểm) Cho hình vuông ABCD, M là điểm tuỳ ý trên đường chéo BD kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AD (E AB ; F AD) Chứng minh rằng: a) DE = CF ; DE CF b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI CÂU 1: (2điểm) Bài 1: x5 + x – = x5 + x2 – x2 + x – = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] = (x2 – x + 1) (x3 – x2 – 1) Bài 2: a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd ⇒ a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = ⇒ (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = a2 = b2 ⇒ c2 = d2 ab = cd Do đó a, b, c, d > nên a = b =c = d CÂU 2: (2điểm) x − 1❑ Bài 1: phân thức xác định x + x −1❑ ⇔ x + x ❑ − x❑ −1❑ ≠ ⇔ ( x+ )( x −1 ) ≠ ⇔ x ≠ –1 ; x ≠ Bài 2: Ta có: M = M= M= M= ⇔ b+c c +a a+b + + a b c b+c c+ a a+b +1 + +1 + +1 −3 a b c a+b+ c a+b+ c a+b+ c + + −3 a b c 1 ( a+b +c ) + + −3 a b c ( M = –3 CÂU 3: (2điểm) )( ( )( ) ) x + x❑ −1 ≠ 0❑ (28) Bài 1: ( a1 + b1 + c1 ) 1 Ta có: A = ( ab+ bc+ca ) a + b + c − abc ( ) 2 2 2 2 ab+ bc+ca abc ( a b +b c +c a ) − A= abc a2 b2 c ( ab+ bc+ca )2 abc ( a2 b2 +b c +c a2 ) A= − abc abc abc ( a+b+ c ) A= abc A = ( a+b+ c ) ( ab+ bc+ ca ) Bài 2: Ta có: 1 1 + + + .+ ( n+1 )2 1 1 + + + + −1 −1 − ( n+1 )2 − 1 1 + + .+ 24 46 n ( n+2 ) 1 1 1 − + − + .+ − 2 4 n n+2 1 1 − < 2 n+2 4 B= = ( ( = = Vậy B < ) ) CÂU 4: (2điểm) Bài 1: Gọi A = n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 –1) – 9(n2 –1) = (n2 –1) (n2 –9) =(n – 3)(n – 1)(n +1)(n+3) Đặt n = 2k +1 ( k nguyên, n là số lẻ) thì A = (2k – 2).2k.(2k + 2).(2k +4) = 16(k – 1).k.( k +1).(k + 2) Mà số tự nhiên liên tiếp có bội số 3, hai bội 2, đó có bội số Nên tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( với 3; là số nguyên tố cùng nhau) ⇒ A ⋮ 16.24 = 384 Bài 2: Gọi 11 B = x2 - 3x + = x2 - 2x + + 11 11 = (x - )2 + Vậy BMin = 11 ≥ CÂU 5: (2điểm) Bài 1: Ta có: x - = ⇔ x = x + x❑ −2❑ x − 1❑ =0 (29) ⇔ ⇔ (3 x −2 ) ( x+1 ) =0 x2 −1 x −2=0 x+ 1=0 ¿ x −1 ≠ ¿ x= x=−1 x ≠ ±1 ⇔ x= Bài 2: Rút gọn vế trái ta được: a3 + a2b + a2c + a b2 + b3 + b2c + ac2 + bc2 + c3 – a2b – a b2 – abc – abc – b2c – bc2 – a2c – abc – ac2 = a3 + b3 + c3 – 3abc Rút gọn vế phải ta được: a3 – abc + b3 – abc + c3 – abc = a3 + b3 + c3 – 3abc Vậy đẳng thức chứng minh CÂU 6: (2điểm) Bài 1: Ta có = = = = = 1 16 + + + + + − x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 2 16 + + + + 2 − x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 4 16 + + + 4 − x 1+ x 1+ x 1+ x16 8 16 + + 8 − x 1+ x 1+ x 16 16 16 + 16 1−x 1+ x 16 32 − x 32 Bài 2: M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 M = 4(x2 + xy + xz)( (x2 + xy + xz + yz) + x2y2 Đặt x2 + xy + xz = a M = 4a(a + yz) + x2y2 M = 4a2 - 4ayz + (yz)2 M = (2a + yz)2 là số chính phương CÂU 7: (2điểm) Bài 1: (x2 + x)(x2 + x + 1) = Đặt x2 + x = y y(y +1) = ⇔ ( y – 2)(y + 3) = ⇔ ( x – 1) (x + 2)(x2 + x + 3) = Vì x2 + x + = (x + )2 + 11 > với x (30) Do đó ( x – 1) (x + 2) = ⇒ x=1; x= –2 Bài 2: Thực phép tính A = x3 + y3 + z3 +kxyz : (x + y + z) ta A = (x + y + z) [ x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz – yz(k +2)] – yz(x +z) (k +3) Để phép chia không còn dư thì – yz(x +z) (k +3) = (với x, y, z) ⇒ k=–3 Do đó k +3 = CÂU 8: (2điểm) Bài 1: Gọi A = – 3x(x + 3) – = –3x2 – 3x – 9 = – 3[ x2 + 2x + − ] – 27 –7 ) – = – 3( x + )2 + = – 3( x + Vì ( x + )2 ≥ ∀ x nên – 3( x + ) ≤0 ∀ x – 3( x + )2 – ≤ – Do đó Vậy Amax = – x + = ⇔ x = – Bài 2: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: (x – 1) ; x ; (x + 1) Ta có: (x – 1) x + x(x+ 1) + (x – 1)( x + 1) = 26 ⇒ 3x2 – = 26 x2 = x=3 Vậy ba số tự nhiên đó là 2, 3, CÂU 9: (2điểm) Bài 1: Ta có: (x2 – x + 1)(ax2 + bx + c) = 2x4 – x3 + 2x2 + với x ⇒ ax + ( b – a) x + ( a – b + c) x + (b – c)x + c = 2x4 – x3 + 2x2 + a=2 b–a= –1 a=2 ⇒ a–b+c=2 ⇒ b=1 b–c=0 c=1 c=1 Bài 2: Ta có: = x+7 x+ 10 x −7 + + x − x − x + x − x − x+ x+7 x +10 x −7 + + ( x+ 2)(x −3) ( x −1)( x +2) ( x − 1)( x −3) (31) = = = = ( x+ 7)( x −1)+( x +10)( x − 3)+(x − 7)(x+ 2) (x − 3)( x −1)(x+ 2) x +8 x −51 ( x − 3)( x −1)(x +2) ( x −3)(3 x +17) ( x − 3)( x −1)(x +2) x +17 ( x − 1)(x +2) CÂU 10: (2điểm) Bài 1: Thực phép tính x +1 x2 +1 x − x +2 x+1 : : : x x −1 x + x x + x+1 x +1 x −1 x + x x + x+ : x x +1 x − x2 +2 x+1 x+1 ¿2 x(x +1)(x −1)( x + x+1)¿ ( x 2+1).( x −1) x (x +1)( x + x +1) ¿ (x+1) = = = Bài 2: Đặt A= A= A= x2 + = y ta y4 + 9y3 + 21y2 – y – 30 (y – 1)(y + 2)( y + 3)(y + 5) thay y = x2 + x2(x2 + 3)(x2 + 4) (x2 + 6) ≥ CÂU 11: (2điểm) A= ( x 2+ x2 x +2 −3 x x −4 + x − x − x − x x −2 )( ) a) TXĐ x ≠ ; x ≠ ± A= A= A= A= (2 −3 x)(x −2)(x+ 2) x − x 2+ x x +2 + (x −2)( x+2) 2( x −2) x ( x +2)(x −2)(x − 2) x x + x + −6 x ( x − 2)(x +2) x( x −2) x −2 ¿ ¿ x −2 ¿2 2(x +2)¿ x ¿ ¿ x3 2( x+2) [ ][ ] (32) |2 x −1|=3 ⇔ x −1=3 ¿ x − 1=− ¿ x =2 ¿ b) Ta có: x=− ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ Với x=2 không thuộc TXĐ A Với x=−1 −1 ¿ ¿ ⇒ A= ¿ ¿ CÂU 12: (2điểm) x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 + + = 2 2 2 x x y y z z − + − + − 5 2 2 x+ y + z = 10 15 20 x= y=z =0 Bài 1: Ta có: ⇒ ⇒ ⇒ ( )( )( ) =0 Bài 2: Ta có: A = (x2 + x + 1).( x2 + x + 2) – 17 Đặt x2 + x + = y ta A = y(y+1) – 12 = y2 + y – 12 A = y2 – + y – = (y + 3)(y – 3) + (y – 3) A = (y – 3) (y + 4) (1) Thay x + x + = y vào ( 1) ta A = ( x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)( x + 1) + (x – 1)] ( x2 + x + 5) A = (x – 1)( x + 2)( x2 + x + 5) CÂU 13: (2điểm) Bài 1: x − x2 + x −8 = x −3 ⇒ x − là ước Nếu x − 3=−5 ⇒ x =−2 Nếu x − 3=−1 ⇒ x=2 Nếu x − 3=1 ⇒ x=4 Nếu x − 3=5 ⇒ x=8 x=−2 ; x=2 ; A= x +1 − x −3 ( x ≠ 3) ⇒ (5) = { -5; -1; 1; 5} x=4 ; x=8 Vậy Bài 2: Chứng minh p và p + là các số nguyên tố thì p2 + là số nguyên tố (33) Xét P = 3k + ( k z) ⇒ p2 + = 9k2 + k + ⋮ là hợp số Xét P = 3k + ( k z) ⇒ p2 + = 9k2 + 12 k + 12 ⋮ là hợp số Xét P = 3k mà P là số nguyên tố ⇒ p2 + = 17 là số nguyên tố Khi đó p2 + = 11 là số nguyên tố CÂU 14: (2điểm) Bài 1: y n −2 y n+ y n −3 y n+ y n −1 : y +2 y n+1 − y +2 y n −2 2n n ( y − y +1)( y +2) n+ ( y − y +2 y n −2)( y n − y n +3 y n −1) y n −1 ¿2 ( y +2) ¿ y n −1 ¿3 ( y n − 1)( y+ 2) ¿ ¿ ¿ y n − 1¿ ¿ ¿ Ta có: = = = Bài 2: Ta có ⇒ ⇒ ⇒ 1 + + = ( bình phương vế) a b c 1 a+b+ c + + +2 =4 abc a b c 1 + + +2 = a2 b2 c2 1 + 2+ = 2 a b c CÂU 15: (2điểm) Bài 1: Ta có x − xy −18 x y+ y =x(9 x − y )− y (9 x − y ) ¿( x −2 y)(3 x + y 2)(3 x ' − y 2) x2 y 2+ xy −6 x y −2 y 5=xy (3 x 2+ y )− y (3 x − y 2) ¿ y ( x − y )−(3 x 2+ y 2) Do x ≠ 0; y ≠ ; x ≠ 2y nên giá trị phân thức A xác định Với x = y A = A = thì gúa trị A ( x − y )(3 x 2+ y 2)(3 x − y2 ) (3 x − y ) = y (x −2 y )(3 x2 + y ) y2 x 2 −1 = −1 = y () = 3x −1 y () Bài 2: Ta có x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – = ( với x ≠ ; x ≠ ) (34) (3x – 1)4 = 54 ⇔ 3x – = 3x – = –5 x=2 x= Vậy x = ; x= −4 −4 CÂU 16: (2điểm) A D E B M C a) Tứ giác ADME có: AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và A = 900 (gt) ⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật ⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) Mà AM ngắn AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC ∆ ABC b) Xét ∆ ABM vuông M có ABM = 600 ⇒ ∆ ABM là tam giác có cạnh AB ⇒ BM = AB = 2 = 2(cm) AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pi-ta-go) AM = √ 12 cm Vậy AM ngắn √ 12 cm ⇒ DE ngắn √ 12 cm ⇒ ⇒ CÂU 17: (2điểm) A B E F J M I N D C a) Gọi I, J là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật DMFN và ABCD ⇒ các tam giác IND và JDC là các tam giác cân (t/c hai đường chéo hình chữ nhật) N1 = D1 và C = D2 Mặt khác N1 = D2 (cặp góc đồng vị) ⇒ C1 = D1 (cặp góc vị trí đồng vị) ⇒ DF // AC b)Tứ giác EIDJ có EJ // ID , EI // JD( chứng minh trên và gt) ⇒ EIDJ là hình bình hành ⇒ ⇒ EJ = ID (t/c hình bình hành) Mà IF = ID (t/c đường chéo hình bình hành) (35) EJ = IF và EJ // IF Tứ giác EJIF là hình bình hành EF // IJ (1) Mặt khác ∆FBD có IJ là đường trung bình ⇒ FB // IJ (2) Từ (1) và (2) ⇒ điểm F, E, B thẳng hàng ⇒ ⇒ ⇒ Do EF = IJ ; IJ = EB = ⇒ FB EF = EB ⇒ E là trung điểm BF CÂU 18: (2điểm) A B E O G F D C + Vì AOB là tam giác (gt) ⇒ tam giác COD là tam giác (có các góc tương ứng nhau) ⇒ AC = BD ⇒ hình thang ABCD là hình thang cân Nên AD = BC (t/c hình thang cân) + Trong COD có: EF là đường trung bình ⇒ EF = AD BC = 2 (t/c đường trung bình) (1) + Vì AOB là tam giác có BE là trung tuyến ⇒ BE là đường cao ⇒ BE AC Trong BEC vuông E có EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ⇒ EG = BC (t/c đường trung tuyến tam giác vuông) (2) + vì COD là tam giác có CF là đường trung tuyến ⇒ CF là đường cao ⇒ CF BD Trong CFB vuông F có FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ⇒ FG = BC (t/c đường trung tuyến tam giác vuông) Từ (1), (2), (3) ⇒ E F = EG = FG = (3) BC Vậy EFG là tam giác CÂU 19: (2điểm) B A M N H (36) K a) Ta có : MN là đường trung bình cùa AHB ⇒ AB MN // AB và MN = Mà CK = CD = AB và CK // AB (K CD) ⇒ MN = CK và MN // CK ⇒ tứ giác MNCK là hình bình hành b) Trong BMC có BH CM ⇒ BH là đường cao MN // AB (CM trên) mà AB BC (gt) ⇒ MN BC ⇒ MN là đường cao thứ hai và có N là trực tâm ⇒ CN là đường cao thứ ba BMC ⇒ CN MB và mà CN // KM (MNCK là hình bình hành) ⇒ MB MK hay BMK = 90o CÂU 20: (2điểm) A E B I F H N M D C a) Tứ giác AEMF có A = E = F = 90 (gt) ⇒ AEMF là hình chữ nhật ⇒ AE = FM (1) Mà DFM cân F ( vì D =M = 450) ⇒ DF = FM (2) ⇒ Từ (1) và (2) AE = DF Xét AED và DFC Có A = D = 900 (gt); AE = DF (CM trên); AD = DC (gt); ⇒ AED = DFC (c.g.c) ⇒ DE = CF và D1 = C1 ⇒ C1 + D2 = 900 Mà D1 + C2 = 90 (gt) Gọi N là giao điểm DE và CF ⇒ DNC vuông N ⇒ DE CF (3) b) Xét ABF và BCE có A = B = 900 (gt); AF = BE (vì AE = DF); AB = BC (gt) ⇒ ABF = BCE (c.g.c) ⇒ BF = CE và B1 = C2 Mà B1+ B2 = 900 (gt) ⇒ B2 + C2 = 900 Gọi I là giao điểm BF và CE (37) ⇒ BIC vuông I ⇒ BF CE (4) Ta lại có MA = MC, MA = EF ⇒ MC = EF Xét EFD và CMF Có FD = FM (CM trên); ED = CF (CM trên); EF = CM (CM trên) ⇒ EFD = CMF (c.c.c) ⇒ FED = MCF mà FED + MFC = 900 ( EFN vuông) ⇒ MCF + EFC = 900 Gọi H là giao điểm EF và CM ⇒ FHC vuông H ⇒ CH EF Từ (3), (4), và (5) ⇒ EN; FI, CH là đường cao EFC ⇒ DE; BF; CM đồng quy PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 §Ò chÝnh thøc ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề C©u 1: (3 ®iÓm) Cho biểu thức A = 15n2 - 16n - 15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là số nguyên tố C©u 2: (5 ®iÓm) A a 16 a 4a 8a 16a 16 Cho biÓu thøc: a Rót gän biÓu thøc A b Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A có giá trị nguyên C©u 3: (3 ®iÓm) 4x 3x 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x x x 10 x C©u 4: (7 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a, ®iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh BC cho EAF 45 Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến EF Gọi G, I theo thứ tự lµ giao ®iÓm cña BD víi AF, AE Chøng minh r»ng: a ED = EH, FB = FH b BG2 + DI2 = GI2 Gäi M lµ giao ®iÓm cña AH vµ BD KÎ MP DC, MQ BC (P CD, Q BC) Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ C©u 5: (2 ®iÓm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: (38) x4 y y z z x4 1 x3 y y z z x3 HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (§Ò chÝnh thøc, ngµy thi 03 th¸ng 05 n¨m 2013) I Mét sè chó ý chÊm: - Híng dÉn chÊm díi ®©y chØ dùa vµo lêi gi¶i s¬ lîc cña mét c¸ch, chÊm gi¸m kh¶o cần bám sát yêu cầu đề bài, lời giải chi tiết học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thøc bé m«n - Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống cho ®iÓm t¬ng øng víi biÓu ®iÓm cña Híng dÉn chÊm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: §¸p ¸n §iÓm C©u 1: (3 ®iÓm) Cho biểu thức A = 15n2 - 16n - 15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là số nguyên tố Ta có: A = 15n2 - 16n - 15 = 15n2 - 25n + 9n - 15 = 5n(3n - 5) + 3(3n - 5) = (5n +3)(3n - 5) Do n N, 15n2 - 16n - 15 là số nguyên tố và 5n + > nên 3n - > Vì n đó 3n - < 5n + Do để 15n - 16n - 15 là số nguyên tố thì số nhỏ phải Hay 3n - = n = Với n = suy ra: A = 15n2 - 16n - 15 = 15.22 - 16.2 -15 = 13 là số nguyên tố 0.5 0.5 C©u 2: (5 ®iÓm) A a 16 a 4a 8a 16a 16 Cho biÓu thøc: a Rót gän biÓu thøc A b Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A có giá trị nguyên a Ta có: a 16 (a ) 42 (a 4)( a 2)( a 2) 1.5 (39) a 4a 8a 16a 16 (a 4a ) (4a 16a) (4a 16) ( a 4)( a 4a 4) Điều kiện: a (a 4)(a 2)(a 2) a (a 4)(a 2)2 a Khi đó A a2 A 1 a a b Ta có Để A là số nguyên thì a - phải là ước 4, tức là a 4; 2; 1;1; 2; 4 2.5 2; 0;1;3; 4; 6 Suy a C©u 3: (3 ®iÓm) 4x 3x 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x x x 10 x Do x = không phải là nghiệm phương trình nên chia tử và mẫu phân thức vế trái phương trình cho x ta được: 4x Đặt x x 10 y 4 x x 0.5 1 (1) x Thay vào phương trình (1) ta phương trình: 1 y y 10 (2) 0.75 Giải phương trình (2) ta nghiệm y = 9; y = 16 + Với y = thì 4x 9 ( x 0) Quy đồng và khử mẫu ta phương trình: x 31 x x x 16 x x 0 Vì Suy phương trình vô 0.75 nghiệm + Với y = 16 thì trình: 4x 16 ( x 0) Quy đồng và khử mẫu ta phương x x 16 x 0 (4 x x) (14 x 7) 0 (2 x 1)(2 x 7) 0 x 0 x 0 x 2 x 7 1 7 , Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2 C©u 4: (7 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a, ®iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh BC cho EAF 45 Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến EF Gọi G, I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña BD víi AF, AE Chøng minh r»ng: (40) a ED = EH, FB = FH b BG2 + DI2 = GI2 Gäi M lµ giao ®iÓm cña AH vµ BD KÎ MP DC, MQ BC (P CD, Q BC) Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ B A G F M I Q 0.25 H K D E P C a Trên tia đối tia DC, lấy điểm K cho DK = BF ADK ABF (c.g.c) nên AK AF , A5 A1 = 450 =EAF Do đó EAK = A + A = A + A = E Suy A = A Δ EAK = Δ EAF (c.g.c) nª n E 0.75 Suy AE là tia phân giác góc DÂH nên ED = EH (1) Ta có A + A1 = A + A = 45 mà A = A nên A1 = A Suy AF là phân giác góc BAH nên FB = FH b EA là tia phân giác góc DEH nên AD = AH (2) Từ (1) và (2) suy AE là đường trung trực HD, tức là H đối xứng với D 1 qua AE Suy HI = DI và H1 = D1 = 45 (3) Chứng minh tương tự, ta có HG = BG và H = B1 = 45 (4) Từ (3) và (4) suy ra: GHI vuông H và GI2 = HG2 + HI2 = BG2 + DI2 (đpcm) c - Theo giả thiết MQC C PCM 90 Tứ giác MPCQ là hình chữ nhật - MBQ có MQB 90 , MBQ 45 MBQ vuông cân Q MQ = QB PC + CQ = BQ + QC = BC = a S S MBQ ; SAMP S DMP Vì MQ //AB; MP//AD nên AQM S APQ S AMQ S AMP S MPQ S MQB S DMP S MPQ S DPQB S BDC S PCQ Hay S APQ 1 a PC.CQ 2 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta có ( PC CQ) 0 PC CQ PC.CQ 0 PC.CQ PC CQ PC.CQ ( PC CQ) a2 PC.CQ PC.CQ 4 2 a a S APQ a 2 (không đổi) Suy ra: 0.5 0.5 (41) a Vậy Min SAPQ = và PC = CQ M là trung điểm DC C©u 5: (2 ®iÓm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x4 y y z z x4 1 x3 y y z z x3 3 3 Vì vai trò x, y, z là nhau, giả sử x y x y ( y x)( y x ) 0 x y xy x3 y 0.5 0.5 2( x y ) ( x y )( x3 y ) x4 y x y x3 y (1) 0.25 y4 z4 y z z x4 z x 3 (2) ; z x (3) Chứng minh tương tự ta có: y z 4 4 x y y z z x4 1 3 3 3 x y y z z x Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: 0.25 0.5 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 2013 Đề chính thức Bài (4 điểm): P a 2013 2013 a a) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức: 2 b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x + x y – 2y = và x + 2y – 4y + = Tính giá trị biểu thức Q = x2 + y2 Bài (5 điểm): a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: 2x = 5y – 624 b) Tìm tất các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < Bài (4 điểm): a) Tìm số tự nhiên n cho số A = n2 + n + là số chính phương b) Trong thi “Đố vui để học”, học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng thì cộng điểm; ngược lại, câu trả lời sai thì bị trừ điểm Qua thi, học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì thưởng Hỏi: Một học sinh thưởng thì phải trả lời đúng ít bao nhiêu câu hỏi ? (42) Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A có AM là phân giác (M BC) Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh MN = MC Bài (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vuông góc với BM M cắt AD N a) Cho MC = 15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M trên cạnh CD để ND có độ dài lớn Ghi chú: Thí sinh không phép sử dụng các loại máy tính cầm tay HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài điểm Đáp án Điểm 2,0đ a) Tính giá trị P: a) Từ a a 0 với a 1 , ta có: a 1 a a 1 0 a3 0 a3 1 1,0đ Ta lại có: a 2013 a 3.671 a P a 2013 a 2013 671 a 0,5đ 671 671 a 0,5đ 1 2 Do đó: Lưu ý: HS có thể giải sau ghi điểm tối đa 1 a a a 2 Ta có với a R không tồn giá trị a R thỏa mãn a a 0 Với a R , giá trị biểu thức b Tính giá trị Q: x2 Từ x2 + x2y2 – 2y = P a 2013 a 2013 không xác định 2,0đ 2y 1 x 1 y 1 (1) 0,5đ x y 1 x x + 2y – 4y + = Từ (1) và (2) x x 1 (2) 0,5đ 0,5đ (43) x 1 y y 0 y 1 y 1 Vậy Q = x2 + y2 = + = a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x; y) x y Ta có: 2x = 5y – 624 624 5 (*) + Xét x = 0, ta có: 5y = 625 5y = 54 y = + Xét x N và x > 0, ta có: VT (*) là số chẵn, còn vế phải (*) là số lẻ, vô lý Vậy cặp số tự nhiên (x; y) cần tìm là (0; 4) b) Tìm tất các cặp số nguyên (x; y) 0,25đ 0,25đ 2,0đ 1,0đ 1,0đ 3,0đ Ta có: 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 < x 42 xy 49 y x 14 x 49 y y 2 2 2 x y x y 3 điểm 2,0đ x y x y 3 3x y 0 x 0 2 2 3x y x y 3 0 y 3 0 x ; y Vì: và nên: 3x y x 2 x y 3 0 y 3 a) Tìm số tự nhiên n: + Giả sử A là số chính phương, suy tồn số k cho: n + n + = k n + n + = 4k điểm điểm 2k - 2n + 1 1,0đ = 23 2k + 2n + 1 2k - 2n - 1 2,0đ 0,5đ = 23 (*) + Do k, n nên dễ thấy 2k – n – và 2k + 2n + là các số nguyên Ngoài 23 > và 2k + 2n + 1 ; 2k – 2n – < 2k + 2n + Suy 2k - 2n - < 2k + 2n + + Căn các lập luận trên và 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra: 2k - 2n - = 4n + = 22 n = 2k + 2n + = 23 + Với n = thì A = 36 = 62, là số chính phương Vậy n = là số tự nhiên cần tìm b) Tìm số câu hỏi trả lời đúng: Gọi x là số câu trả lời đúng (x nguyên và x 10) Số câu trả lời sai là: 10 – x Số điểm cộng là 5.x Số điểm bị trừ là: 2.(10 – x) Nếu thưởng thì phải đạt từ 30 điểm trở lên, nên ta có: 5x – 2.(10 – x) 30 Giải bất phương trình trên được: x (thỏa ĐK) Vậy: Để thưởng, học sinh phải trả lời đúng ít câu hỏi Chứng minh: MN = MC Kẽ MH AB H, MK AC K AHMK là hình vuông MH = MK (1) ˆ ˆ Ta có: MCA MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3,0đ (44) a) Tính diện tích tam giác BMN: + Hai tam giác vuông BCM và MDN có: ˆ DMN ˆ ˆ CBM (cùng phụ với BMC ) ND MD BCM MC BC (*) MDN MC.MD 15 20 15 ND 3, 75 BC 20 (cm) AN = AD – ND = 20 – 3,75 = 16,25 (cm) điểm + Ta có: 2,0đ 1,0đ SBMN S ABCD SBCM S DMN SABN 1 20.15 5.3, 75 20.16, 25 78,125 2 (cm2) b) Xác định vị trí M: Đặt MC = x (với x 20 ) MC.MD x 20 x ND BC 20 Từ (*) 202 1,0đ 2,0đ 0,5đ x 10 5 20 x x 5 20 20 Độ dài ND lớn là ND = 5cm x = 10, hay M là trung điểm CD Vậy: Để độ dài ND lớn thì vị trí M là trung điểm CD Ghi chú: Mọi cách giải mà đúng và phù hợp ghi điểm tối đa ĐỀ BÀI ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể thời gian giao đề) Bµi 1( ®iÓm) Cho biÓu thøc : P x2 y2 x2 y2 x y y x y x x 1 y 1.Rót gän P 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) Z cho gi¸ trÞ cña P = Bµi 2(2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11 x 30 Bµi 3( ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: 0,5đ 0,5đ 0,5đ (45) M 2x 1 x2 Bµi (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a Gäi E; F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF 2.Chøng minh MAD c©n 3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a Bµi 5(1 ®iÓm) Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = a2 + b2 + c2 Chøng minh r»ng : Híng dÉn gi¶i *************** Bµi (2 ®iÓm - mçi c©u ®iÓm) MTC : P x y x 1 y x2 x y2 1 y x y2 x y x y x 1 y x y x y x y xy x y 1 x 1 y P x y xy Với x 1; x y; y 1 thì giá trị biểu thức đợc xác định x y xy 3 x y xy 2 §Ó P =3 x 1 y 2 C¸c íc nguyªn cña lµ : 1; 2 Suy ra: (46) x x 0 y y x 1 x 2 y 2 y 1 (lo¹i) x 2 y 1 x 3 y 0 x y x y (lo¹i) VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ta cã : x x x x 3 x x 12 x x x x 20 x x x 11 x 30 x x Phơng trình đã cho tơng đơng với : 1 x x 3 x 3 x x x 1 x 5 x 1 1 1 1 x x x x x x x x 1 1 x x 8 x x x x 20 0 x 10 x 0 x 10 x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2 Bµi 3.(2®iÓm) 2 2x 1 x2 x2 x x 2x 1 M x2 x2 x M x 1 x2 2 1 x 1 x2 (47) x 1 2 M lín nhÊt x x 1 V× nhá nhÊt x vµ x 1 2 x 1 = nªn x nhá nhÊt DÊu “=” x¶y x-1 = x 1 VËy Mmax = x = Bµi (3iÓm) a BEC CFD (c.g c ) C1 D1 0 CDF vu«ng t¹i C F1 D1 90 F1 C1 90 CMF vu«ng t¹i M Hay CE DF 0x 0x b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE Ta cã : AEK BEC ( g.c.g ) BC AK AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M AM KD AD AMD c©n t¹i A c CMD FCD( g.g ) CD CM FD FC 2 SCMD CD CD SCMD SFCD S FD FD Do đó : FCD 1 SFCD CF CD CD 2 Mµ : VËy : SCMD CD CD FD 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 2 SMCD Do đó : d Trong DCF theo Pitago ta cã : a k e m CD 1 CD CD a 5 CD 4 Bµi (1®iÓm) 1 1 2 a 0 a a 0 a a Ta cã: T¬ng tù ta còng cã: b2 b c Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc: c2 b f c (48) a2 b2 c2 3 a b c a b c nªn: V× a2 b2 c ( §iÒu ph¶i chøng minh) DÊu “=” x¶y a = b = c = Lu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình không chÊm ®iÓm (49)