Biến đổi fourier và hàm cực đại hardy littlewood

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ NHƯ BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CựC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định, năm 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ NHƯ BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CựC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 Người hướng dẫn: PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định, năm 2020 Muc luc Tài liệu tham khảo 53 Lời mở đầu Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề giải tích thực, cụ thể trình bày phép biến đổi Fourier, số tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi fourier ngược, hàm cực đại Hardy-Littlewood, phân hoạch Calderón-Zygmund số tính chất chúng Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng khoa học ví dụ vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, nhiều lĩnh vực khác Biến đổi Fourier thường nghĩ đến chuyển đổi tín hiệu thành thành phần biên độ tần số Sự ứng dụng rộng rãi biến đổi Fourier bắt nguồn từ tính chất hữu dụng tính tuyến tính, tồn nghịch đảo Hàm cực đại Hardy-Littlewood tốn tử Giải tích thực với nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Phân hoạch Calderón-Zygmund kết tiếng, đóng vai trị tảng Giải tích Fourier, Giải tích điều hịa tích phân kỳ dị Phân hoạch xem hệ tính bị chặn hàm cực đại Hardy-Littlewood Luận văn gồm có ba chương, cụ thể sau: Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm định nghĩa, tính chất khơng gian độ đo, khơng gian định chuẩn, tích phân Lebesgue nhắc lại số định lý biết định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, bổ đề phủ Vitali, định lý Fubini, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Holder, để bổ trợ cho trình chứng minh kết nêu đề tài Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày phép biến đổi Fourier không gian L (R ) mở rộng định nghĩa không gian hàm thuộc lớp Schwwartz S(R ), khơng gian L (R ) Các tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược trình bày nhằm cung cấp kiện toán tử Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất hàm cực đại Hardy-Littlewood phân hoạch Calderón-Zygmund Tơi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô Khoa n n n Toán, Trường Đại học Quy Nhơn dày công giảng dạy suốt năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng nỗ lực q trình hồn thành luận văn, chắn luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý Thầy, Cô bạn để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực Bùi Thị Như Một số ký hiệu N R C K R tập số tự nhiên tập số thực tập số phức R C tập số thực mở rộng {x} u R u {x}, khơng gian vectơ thực n-chiều diện tích bề mặt hình cầu đơn vi S thể tích hình cầu đơn vi R hàm đặc trưng tập A phần dương, phần âm hàm f hình cầu tâm x, bán kính r thể tích hình cầu B(x, r) thể tích khối lập phương Q gradient hàm f chuẩn L hầu khắp hầu khắp nơi giá hàm f khơng gian hàm khả vi liên tục có giá compact R khơng gian hàm khả tích Lebesgue tập bi chặn R hợp rời tập A1, A , , A n-1 Rn n p n ^n—1 Vn n tập hàm đo không âm không gian đo (X, A) XA f+ , fB ( x, r) | B(x,r)| |Q| Vf 11'llp h.k h.k.n supp f Cc°°(R ) Ll oc(R ) n Ai n n M (X,A) + n Chương Một số kiến thức chuẩn bị •• Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến Giải tích hàm khơng gian đinh chuẩn, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính khái niệm đinh lý Lý thuyết độ đo tích phân Một số tính chất không gian L đề cập chương nhằm cung cấp kiện làm tảng cho chương sau Tài liệu tham khảo chương [1, 3, 9] p 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X không gian tuyến tính trường K Một chuẩn X hàm x ||x|| từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau: với mọix, y G X, a E K (i) ||x|| > 0; ||x|| = x = (ii) ||ax|| = |a| ||x||; (iii) Ilx + y\\ < Ilx|| + \\y\\ Một khơng gian tuyến tính đinh chuẩn trường K khơng gian tuyến tính với chuẩn Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Khơng gian Banach không gian đinh chuẩn đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Dãy {x } không gian đinh chuẩn E gọi hổi tụ đến x G E lim ||x — x || = Ký hiệu x x lim x = x n n n n n Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho hai khơng gian tuyến tính E F Một ánh xạ A : E F gọi tốn tử tuyến tính hay ánh xạ tuyến tính (i) A(x + y) = Ax + Ay với x, y G E; (ii) A(ax) = aAx với x G E a G K n|| Suy (1.1) sup đề||Ax|| = sup A tử tuyến Ađó Định lý 1.1.5 ([3]) Cho A tốn tính mệnh sau = làIIA|| tương đương(1.2) A4xsup = limkhi Ax n xEM,||x||=1 x x xEE,||x|| xEM,||x||=1 (i) A liên tục E; =1 Đinh nghĩa phụ thuộc vào dãy đếnxx.ENhư xác{xđinh xạ Ax.: E Chứng minh Vì trù mật nên.hội vớitụmọi E tồnvậy tạitadãy } c M hộiánh tụ đến Ta (1.2) nhận A = EIIA|| (ii) A liên tụctaM x E E;trong F A hiển nhiên Ta chứng minh A tốn tử tuyến tính A = || cóTính (iii)A liên tục E E; A|| IIAX n - Axm| = ||A(Xn - Xm)|| < IIAH ||x„ - Xm|| (iv)3M > 0, Vx E E : ||Ax|| < M ||x|| = lim ||Ax || Từ đinh nghĩa hàm A ta có A tuyến II AII l|Ax Suy {Ax } dãy Cauchy F.tính Vì FA :khơng giangọi Banach nênGiả tồn lim đinh Định nghĩa 1.1.6 tuyến tính E F làchuẩn bị chặn nếusử tồn M >Ta gian lý 1.1.9 ([3])([3]) ChoTốn E tử khơng gian tuyến tính định M làAx khơng A| sup = sup ||Ax|| = sup IIAx II l = x| cho Vì Định A nghĩa Mặt Từ :ánh Ax (1.1), E||Ax|| tuyến khác nghĩa lý Fxạ 1.1.8 a}) da < —I \f (x)| dxda a J[xG.E:\Ị(x)|>a} < C í \f(x)| / max{1,|f(x)|} da |f(x)| log |f(x)| dx + — dx Định lý 3.2.11 (Định lý vi phân Lebesgue) Cho f G L (R ), p G [1, rc)], tổng quát hơn, f khả tích địa phương, tức f E Ll (R ) Khi đó, p n oc i m ì_ r ■" n ư?2 L f (y) dy = f (x) hk x G R (3 4) n (x,r) \B \ JB(x,r) ỉ f (y) dy Ea = I x G R : lim n [ r^ô — f (x) > 2a| B(x,r) \B(x,r)\ Chứng minh Trước tiên, ta xét trường hợp p =1 Với a > 0, đặt Cố đinh £ > bé tùy ý Bởi tính trù mật hàm liên tục có giá compact L (R ), tồn n hàm g thỏa mãn llf - g\\i= í \f (x) - g(x)\dx a} Ga = {x E R : \f(x) — g(x)\ > a} n n thìEa c Fa u Ga, suy m(Ea) < m(Fa) + m(Ga) Mặt khác, bất đẳng thức Tchebychev, m(G ) a < \\f — g\\i, a theo Đinh lý 3.2.8(ii), ta có 3n m(Fa) < 3a\\f — g\\i a Hơn nữa, \\f — g| < £ nên 3 +1 m(Ea) nên cho £ 0, ta ự(Ea) = Điều chứng tỏ, với p = | Í r r ,f(y) dy =f(x) So B( r-^o h± x G Rn ) |B(x,r)| JB(x,r) Trường hợp p G (1, rc>] Bởi bất đẳng thức Holder, với hình cầu B, í |f(x)| dx < || \\f ||LP(B)H ||LQ(B)< B 1/q \\fllp B Do đó, f E L (R ) kết luận cho p G (1, oo] n l oc Định lý 3.2.12 Cho f E L1 (R ) Khi oc n |f (x)| < Mf (x), h.k x E R n Chứng minh Đây hệ trực tiếp Đinh lý 3.2.11 Định lý 3.2.13 (Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev) Cho p G (1,n) Sobolev liên hợp p* Khi đó, với f E C^(R ), n llf llp.< C||Vf \\p, C phụ thuộc n p Chứng minh Vì f G CC"(R ) nên n d f(x) = —y f(x+rZ)drì z G S Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên tồn mặt cầu đơn vi S , ta n1 n- Wn-if (x) = í í’ =— Jsn-Í Jo =— f (x)dơ(z) = — I I f (x + rz)drdơ(z) d S 1 S J / Vf (x + rz) • zdrdơ(z) / Vf (x + rz) • zdơ(z)dr dr Sn-1 Đổi biến, đặt y = x + rz Khi đó, dơ(z) = r da(y), z = (y — x)/|y — x|, r = ly — x|, -(n-1) ■ (x) = — ỉ ỉ Jo JdB(x,r} = — L Vf (y) • Rn Điều dẫn đến A Vf ( ) y •y |y x| y-x ly -xl dy n |f(x)| < ìy—ệ-*>■ d " yd Xét biểu diễn J- ỉ WL dy = U"—1J n \y - x|" Khi đó, —1 V ^"—1JB(x,r) \ y x| x ’"—1 k=0 JB(x,2 r)\B(x,2 1r) \y -k -k- x| Khi đó, tồn phân hoạch R thỏa mãn n n n (i)F u Q = R , F n Q = 0, n (ii)If (x)| < a h.k x G F, (iii)Q hợp khối lập phương Q , tức Q = (J Q , mà điểm k k k chúng rời có biên song song với trục tọa độ, cho với Q a < [ k If(x) I dx < a (3.5) n |Q k| Q k IQ I thể tích khối lập phương Q k k í IQk JQ" 11 If(x) I dx < a, í Q J f G L (^), / a jR ^(x) dx = V({x G R : Mf (x) > a}) n a} If(x)|M^(x) dx n Ta giả sử f G L (R ) Thật vậy, lấy ft = If | If (x)IM^(x) dx XB(0/) n ft E L (R ), < ft(x) < ft+i(x) n với x G R l =1, 2, Hơn nữa, lim f (x) = If (x)I n e {x G R : Mf (x) > a} = u{x G R : Mft(x) > a} n n Bởi Nhận xét 3.2.2, tồn C > cho Mf(x) < C M'f(x) với x G Rn í T^ IV a J v Áp dụng Đinh lý 3.3.3 cho hàm f a' = -———, dãy {Q } khối lập (c 7n) phương thỏa mãn a' < —— [ If(x)I dx < a' n k n ta k n n IQ kI Q k Bởi Bổ đề 3.3.5 Nhận xét 3.2.2, ta có ' a}