Điểm bất động chung trong không gian tựa metric qua ánh xạ biến đổi khoảng cahcs và hàm siêu khoảng cánh

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ MINH HẬUĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC QUA ÁNH XẠ BIẾN ĐỔI  - KHOẢNG CÁCH VÀ HÀM SIÊU KHO

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ MINH HẬU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC

VÀ HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ MINH HẬU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC

VÀ HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH

Ngành: Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2023

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Thị Minh Hậu, học viên cao học chuyên ngành toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khóa 2021-

2023 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của

cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và

kết qủa trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chưa từng được ai công bố trước đây Tôi xin chịu trách nhiệm

về nghiên cứu của mình

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 06 năm 2023

Người viết luận văn

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Toán, trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai, Tỉnh Lào Cai đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để Tôi yên tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 06 năm 2023

Tác giả

3

1.3 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện

( , , )k L tựa co kiểu (I)

8

KHOẢNG CÁCH

13

2.1 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện

( , , )k L tựa co kiểu (II)

Đã có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau Do đó nguyên lý ánh xạ co Banach được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong các không gian kiểu metric

Việc tổng quát hóa không gian metric đã được đề xuất bởi một số nhà toán học, như Gahler [5] (không gian 2-metric), Dhage [4] (không gian D-metric), Mustafa và Sims [7] (không gian G-metric), Huang và Zhang [6] (không gian b-metric) Năm 1931, Wilson [11] đã giới thiệu không gian tựa metric là một mở rộng của không gian metric mà khoảng cách trên không gian này không thỏa mãn điều kiện đối xứng Từ đây đã

có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung trên loại không gian này như Abodayeh, Alegre, Marin, Bataihah, Qawasmeh, Tallafha, Shatanawi, Secelean, Mathew, Wardowski, …

Gần đây, Shatanawi [9] dựa trên khái niệm hàm siêu khoảng cách đã giới thiệu định nghĩa ( , , )k L tựa co kiểu (I) và kiểu (II), đồng thời sử dụng các định nghĩa đó để thiết lập một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung trong không gian tựa metric Qawasmeh, Tallafha và Shatanawi [8] đã giới thiệu khái niệm ( , , )k L m co dựa trên khái

2

niệm hàm siêu khoảng cách và sử dụng khái niệm co này để thiết lập một vài định lý về điểm bất động chung trong không gian tựa metric

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài “Điểm bất động chung

trong không gian tựa metric qua ánh xạ biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách ”

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric qua ánh xạ biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách ”

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục luận văn

Nội dung của đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8], [9] gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số kiến thức về không gian tựa metric, hàm biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách Trình bày kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện

( , , )k L tựa co kiểu (I)

Chương 2: Trình bày một số kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện ( , , )k L tựa co kiểu (II) Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện ( , , )k L m co

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

3

CHƯƠNG 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC DƯỚI ĐIỀU KIỆN CO

DỰA TRÊN HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH

1.1 Không gian tựa metric

Định nghĩa 1.1.1 ([11]) Cho X là tập không rỗng và q X X: [0, )

Chú ý 1.1.2 Mỗi không gian metric là không gian tựa metric, nhưng

ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 1.1.3 Lấy X [0,1] và định nghĩa hàm q X X: [0, ) xác định bởi

q x y( , ) x2 y nếu 2 x y,

q x y( , ) 1 trong các trường hợp còn lại

Điều kiện ( )i Nếu x y , thì q x y( , ) 0 Nếu q x y( , ) 0, thì

4

Trường hợp 3 Nếu y x, thì tương tự như trường hợp 2, ta có

q x y( , ) q y z( , ) 1 q y z( , ) q x z( , )

metric vì q x y( , ) q y x( , ) với mọi x y

Ví dụ 1.1.4 Cho X {0} Xét hàm q trên X như sau:

1(0, )

là một metric trên X , gọi là metric cảm sinh bởi tựa metric q

Định nghĩa 1.1.5 ([1]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric, {x n} là một

dãy trong X và x X Khi đó dãy { } x n hội tụ đến x nếu và chỉ nếu

lim ( , )n lim ( , )n 0

Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric, {x n} là một

q (tức là tồn tại z X sao cho ( , ) q x z n 0)

Bổ đề 1.1.10 ([9]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric và { x n} là một dãy trong X sao cho

Khi đó { } x n là dãy Cauchy

Chứng minh Cho m n, và m n Xét các trường hợp sau

Trường hợp 1 n chẵn, m lẻ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có

q x x( ,n m) q x x( ,n n 1) q x( n 1,x m 1) q x( m 1,x m)

và

Từ các trường hợp trên, ta kết luận {x n} là dãy Cauchy

Định nghĩa 1.2.1 ([8]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric Một biến đổi

khoảng cách (hay gọn là m khoảng cách) trên X là một hàm

:

p X X [0, ) thỏa mãn:

(W1) p x y( , ) p x z( , ) p z y với mọi ( , ) x y z, , X;

(W2) p x( ,.) :X [0, ) là nửa liên tục dưới với mọi x X ;

(W3) Với mỗi 0 tồn tại 0 sao cho nếu p x y( , ) và

Chú ý 1.2.3 Mỗi tựa metric q trên X đều là m khoảng cách trên không gian tựa metric ( , )X q

Định nghĩa 1.2.4 ([8]) Hàm : [0, ) [0, ) được gọi là siêu khoảng cách nếu các tính chất sau được thỏa mãn:

2

Khi đó là hàm siêu khoảng cách

Bổ đề 1.2.7 ([8]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric được trang bị

m khoảng cách p Cho { x n} là một dãy trong X và { n},{ }n là các dãy trong [0, ) hội tụ đến 0 Khi đó:

( )i Nếu ( , p x x n m) n với mọi n m, với m n , thì { } x n là dãy

8

Cauchy phải trong ( , )X q

( )ii Nếu ( , p x x n m) n với mọi n m, với n m , thì { } x n là dãy Cauchy trái trong ( , )X q

Chú ý 1.2.8 Từ Bổ đề 1.2.7 suy ra rằng nếu

,lim ( ,n m) 0

n m p x x thì {x n}

là dãy Cauchy trong ( , )X q

1.3 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện ( , , )k L tựa co kiểu (I)

kiểu (I) nếu tồn tại một hàm siêu khoảng cách , k [0,1) và L 0 sao cho với mọi x y, X, ta có

( )ii Cặp ( , )F G là ( , , )k L tựa co kiểu (I);

( )iii (X q, ) là bị chặn đối với

Khi đóF và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Chứng minh Lấy tùy ý x0 X Ta định nghĩa dãy { } x n X bằng qui

nạp x2n 1 Fx và 2n x2n 2 Gx2n 1 Giả sử tồn tại r sao cho

x x Vì cặp ( , )F G là ( , , )k L tựa co kiểu (I), nên ta có

Bây giờ giả sử x n x n 1 với mọi n Vì cặp ( , )F G là ( , , )k L tựa

co kiểu (I), nên ta có

Từ đó, ( ( ,q u Gu)) 0 suy ra q u Gu( , ) 0 Vậy Gu u Ta kết luận u

là điểm bất động chung của F và G

Vậy u là điểm bất động chung duy nhất của F và G

Lấy L 0 trong Định lý 1.3.3, ta nhận được kết quả sau:

Hệ quả 1.3.4 ([9]) Cho (X q, ) là không gian tựa metric đầy đủ và

, :

( )i Tồn tại hàm siêu khoảng cách và số thực k [0,1) sao cho

(q x Gy(F , )) k q x y( ( , ))và ( (q Gx Fy, )) k q x( ( ,y))

( )ii F hoặc G là liên tục;

( )iii (X q, ) là bị chặn đối với

Khi đó F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Lấy G F trong Định lý 1.3.3, ta nhận được kết quả sau:

Hệ quả 1.3.5 ([9]) Cho (X q, ) là không gian tựa metric đầy đủ và

:

F X X là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:

( )i Tồn tại hàm siêu khoảng cách và số thực k [0,1) và L 0 sao cho với mọi x y, X , ta có

( )ii F là liên tục;

( )iii (X q, ) là bị chặn đối với

Khi đó F có điểm bất động duy nhất trong X

13

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN

kiểu (II) nếu tồn tại hàm siêu khoảng cách , k [0,1) và L 0 sao cho với mọi x y, X, ta có

(II) Nếu F hoặc G liên tục, thì F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Chứng minh Lấy tùy ý x0 X Ta định nghĩa dãy { } x n X bằng qui

nạp x2n 1 Fx , 2n x2n 2 Gx2n 1 với n 0 Chú ý rằng nếu tồn tại

r sao cho x2r x2r 1, thì x là điểm bất động của F Vì cặp 2r ( , )F G

14

k max { ( (q x x2r, 2r 1)), ( (q x2r 1,x2r 2))}

Lmin { (x x2r, 2r 2), (x2r 1,x2r 1), (x x2r, 2r 1)}

k q x( ( 2r 1,x2r 2)) Tóm lại ta có

Bây giờ giả sử x n x n 1 với mọi n Vì cặp ( , )F G là ( , , )k L tựa

co kiểu (II), nên ta có

( (q x2n 1,x2n 2)) k q x( ( 2n 1,x2n 2))

là mâu thuẫn Do đó

max { ( (q x2n,x2n 1)), ( (q x2n 1,x2n 2))}= ( (q x2n,x2n 1))

Vì thế, (2.1) trở thành

15

( (q x2n 1,x2n 2)) k q x( ( 2n,x2n 1)) (2.2) Cũng như vậy, ta có thể chỉ ra

( (q x2n,x2n 1)) k q x( ( 2n 1,x2n)) (2.3) Kết hợp (2.2) và (2.3), ta kết luận

( ( ,q x x n n 1)) k q x( ( n 1, ))x n (2.4)

Lặp lại lý luận tương tự như trên, ta được

Bây giờ ta chứng minh {x n} là dãy Cauchy Lấy n m, sao cho n lẻ,

m chẵn và m n Vì cặp ( , )F G là ( , , )k L tựa co kiểu (II), nên ta có

18

Vậy u là điểm bất động chung của F và G Để chứng minh tính duy nhất

của điểm bất động chung của F và G Ta giả sử u và v là các điểm bất

Do đó ( ( , ))q u v 0 Suy ra q u v( , ) 0 Như vậy u v Vậy F và G

có điểm bất động chung duy nhất

Lấy L 0 trong Định lý 2.1.2, ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.1.3 Cho ( , )X q là không gian tựa metric đầy đủ và

Khi đó F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Lấy G F trong Định lý 2.1.2, ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.1.4 ([9]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric đầy đủ và

:

F X X là một ánh xạ Giả sử:

( )i Tồn tại một hàm siêu khoảng cách và số thực k [0,1) và L 0

sao cho với mọi x y, X , ta có

Khi đó F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Chứng minh Suy ra từ Định lý 2.1.2, bởi chú ý rằng với mọi x y, X, ta

có

2.2 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện ( , , )k L m co

Định nghĩa 2.2.1 ([8]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric được trang bị

m khoảng cách p và F G X, : X là hai tự ánh xạ Khi đó cặp

cách và một hằng số k [0,1) sao cho với mọi x y, X, ta có

Định lý 2.2.2 ([8]) Cho ( , )X q là không gian tựa metric được trang bị

m khoảng cách p và F G X, : X là hai tự ánh xạ sao cho cặp

Khi đó F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Chứng minh Lấy x0 X Định nghĩa dãy { } x n trong X sao cho:

x Fx , x2n 2 Gx2n 1 với mọi n 0 Ta sẽ chỉ ra tồn tại

{0}

k sao cho p x x( ,k k 1) 0 hoặc p x( k 1, )x k 0 Khi đó x là k

điểm bất động chung của F và G

Trường hợp I: Nếu p x x( ,k k 1) 0 với k {0}

Lấy k chẵn, k 2t với t {0} Khi đó p x x( ,2t 2t 1) 0 Theo định nghĩa của , ta có ( ( ,p x x2t 2t 1)) 0 Vì cặp ( , )F G là ( , , )k L m

( (p x t ,x t )) ( (p Gx t ,Fx t))

p x x( ,2t 2t 2) 0 (2.16) Kết hợp (2.15), (2.16) và ( W3)m , ta nhận được

q x x( ,2t 2t 2)) 0 (2.19)

Do đó, ta có

q x( 2t 1,x2t 2) q x( 2t 1,x2t) q x x( ,2t 2t 2) 0 Như vậy, x2t x2t 2 x2t 2 và do đó x k x k 1 x k 2 Vậy x là điểm k

bất động chung của F và G

22

Trường hợp II: Nếu k lẻ, k 2t 1 với t {0}, thì

p x( 2t 1,x2t 2) 0 (2.20) Theo định nghĩa của , ta có

23

p x( 2t 3,x2t 2) 0 (2.22) Theo (W1) ta có

q x( 2t 1,x2t 3) 0 (2.24)

Sử dụng (2.20), (2.21) và ( W3)m , ta nhận được

q x( 2t 1,x2t 3) 0 (2.25) Như vậy, x2t x2t 2 x2t 2 và do đó x k x k 1 x k 2 Vậy x là điểm k

Suy ra ( (p x2n 1,x2n 2) 0, điều này là mâu thuẫn Do đó

max{ ( (p x n,x n )), ( (p x n ,x n ))}= ( (p x n,x n ))

24

Như vậy,

( (p x2n 1,x2n 2) k p x( ( 2n,x2n 1) Tương tự, ta có thể chỉ ra rằng

( (p x2n,x2n !) k p x( ( 2n 1,x2n)

Từ đó

( ( ,p x x n n 1) k p x( ( n 1, )x với mọi n n {0} (2.26) Bây giờ, ta có

(2.32) ta có

,lim ( ,n m) 0

n m p x x Trường hợp (iii): Nếu n m, sao cho cả ,n m đều chẵn, m n , thì ta

điểm bất động chung của F và G

Để chứng minh tính duy nhất của u , trước tiên ta chỉ ra rằng nếu z X

là điểm bất động chung của F và G , thì p z z( , ) 0 Thật vậy, ta có

Cho L 0 trong Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả sau:

Hệ quả 2.2.3 ([8]) Cho ( , )X d là không gian tựa metric đầy đủ được trang bị ánh xạ m khoảng cách p và F G X, : X là hai ánh xạ Giả sử:

(1) Nếu tồn tại một hàm siêu khoảng cách và k [0,1) sao cho với mọi

,

x y X , ta có

( ( ,p Fx Gy)) kmax { ( ( ,p x Fx)), ( ( ,p y Gy))}

và

Khi đó F và G có điểm bất động chung duy nhất trong X

Hệ quả 2.2.4 ([8]) Cho ( , )X d là không gian tựa metric đầy đủ được trang bị ánh xạ m khoảng cách p và F G X, : X là hai ánh xạ Giả sử:

(1) Nếu tồn tại hàm siêu khoảng cách và hai số , 0 với

1 và L 0 sao cho với mọi x y, X , ta có

nên suy ra điều phải chứng minh

Lấy G I trong Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả sau:

30

Hệ quả 2.2.5 ([8]) Cho ( , )X d là không gian tựa metric đầy đủ được trang bị ánh xạ m khoảng cách p và F X: X là một ánh xạ Giả sử:

(1) Nếu tồn tại một hàm siêu khoảng cách , k [0,1) và L 0 sao cho với mọi x y, X , ta có

Khi đó F có điểm bất động duy nhất trong X

Lấy F G trong Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả sau:

Hệ quả 2.2.6 ([8]) Cho ( , )X d là không gian tựa metric đầy đủ được trang bị ánh xạ m khoảng cách p và F X: X là một ánh xạ Giả sử:

(1) Nếu tồn tại một hàm siêu khoảng cách , k [0,1) và L 0 sao cho với mọi x y, X , ta có