Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ MINH HẬUĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC QUA ÁNH XẠ BIẾN ĐỔI - KHOẢNG CÁCH VÀ HÀM SIÊU KHO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ MINH HẬU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC QUA ÁNH XẠ BIẾN ĐỔI - KHOẢNG CÁCH VÀ HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ MINH HẬU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC QUA ÁNH XẠ BIẾN ĐỔI - KHOẢNG CÁCH VÀ HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH Ngành: Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là Nguyễn Thị Minh Hậu, học viên cao học chuyên ngành toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khóa 2021- 2023 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết qủa trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chưa từng được ai công bố trước đây Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình Thái Nguyên, ngày 19 tháng 06 năm 2023 Người viết luận văn Nguyễn Thị Minh Hậu i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Toán, trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai, Tỉnh Lào Cai đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để Tôi yên tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn này Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tháng 06 năm 2023 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Chương 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA 3 METRIC DƯỚI ĐIỀU KIỆN CO DỰA TRÊN HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH 1.1 Không gian tựa metric 3 1.2 Hàm biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách 6 1.3 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện 8 (k, ,L) tựa co kiểu (I) Chương 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA 13 METRIC QUA ÁNH XẠ BIẾN ĐỔI KHOẢNG CÁCH VÀ HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH 2.1 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện 13 (k, ,L) tựa co kiểu (II) 2.2 Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện 19 (k, ,L) m co 2.3 Các ví dụ 31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 iii MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Nguyên lí điểm bất động Banach [3] được nghiên cứu từ những năm đầu của thế kỉ 20, là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích phi tuyến, phương trình vi phân, phương trình tích phân…Ngoài ra, nó còn được sử dụng trong nhiều ngành khoa học như hóa học, sinh vật học, kinh tế, khoa học máy tính, kĩ thuật và nhiều lĩnh vực khác Đã có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau Do đó nguyên lý ánh xạ co Banach được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong các không gian kiểu metric Việc tổng quát hóa không gian metric đã được đề xuất bởi một số nhà toán học, như Gahler [5] (không gian 2-metric), Dhage [4] (không gian D-metric), Mustafa và Sims [7] (không gian G-metric), Huang và Zhang [6] (không gian b-metric) Năm 1931, Wilson [11] đã giới thiệu không gian tựa metric là một mở rộng của không gian metric mà khoảng cách trên không gian này không thỏa mãn điều kiện đối xứng Từ đây đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung trên loại không gian này như Abodayeh, Alegre, Marin, Bataihah, Qawasmeh, Tallafha, Shatanawi, Secelean, Mathew, Wardowski, … Gần đây, Shatanawi [9] dựa trên khái niệm hàm siêu khoảng cách đã giới thiệu định nghĩa (k, , L) tựa co kiểu (I) và kiểu (II), đồng thời sử dụng các định nghĩa đó để thiết lập một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung trong không gian tựa metric Qawasmeh, Tallafha và Shatanawi [8] đã giới thiệu khái niệm (k, , L) m co dựa trên khái 1 niệm hàm siêu khoảng cách và sử dụng khái niệm co này để thiết lập một vài định lý về điểm bất động chung trong không gian tựa metric Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài “Điểm bất động chung trong không gian tựa metric qua ánh xạ biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách ” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu 2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric qua ánh xạ biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách ” 3 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của giải tích hàm 4 Bố cục luận văn Nội dung của đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8], [9] gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày một số kiến thức về không gian tựa metric, hàm biến đổi khoảng cách và hàm siêu khoảng cách Trình bày kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện (k, ,L) tựa co kiểu (I) Chương 2: Trình bày một số kết quả về điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện (k, ,L) tựa co kiểu (II) Điểm bất động chung trong không gian tựa metric dưới điều kiện (k, ,L) m co Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được 2 CHƯƠNG 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC DƯỚI ĐIỀU KIỆN CO DỰA TRÊN HÀM SIÊU KHOẢNG CÁCH 1.1 Không gian tựa metric Định nghĩa 1.1.1 ([11]) Cho X là tập không rỗng và q : X X [0, ) là một hàm thỏa mãn: (i) q(x,y) 0 khi và chỉ khi x y ; (ii) q(x,y) q(x,z) q(z,y) với mọi x,y,z X Khi đó q được gọi là tựa metric trên X và cặp (X,q) được gọi là không gian tựa metric Chú ý 1.1.2 Mỗi không gian metric là không gian tựa metric, nhưng ngược lại nói chung không đúng Ví dụ 1.1.3 Lấy X [0,1] và định nghĩa hàm q : X X [0, ) xác định bởi q(x,y) x 2 y2 nếu x y , q(x,y) 1 trong các trường hợp còn lại Điều kiện (i) Nếu x y , thì q(x,y) 0 Nếu q(x,y) 0, thì 0 x 2 y2 (x y)(x y) Vì x,y [0,1], nên ta có x y Điều kiện (ii) Lấy x,y,z X , ta có ba trường hợp sau: Trường hợp 1 Nếu x y và y z , thì x z và ta có q(x,y) q(y, z) (x 2 y2) (y2 z 2) x 2 z 2 q(x,z) Trường hợp 2 Nếu x y và z y , thì ta có q(x,y) q(y, z) (x 2 y2) 1 q(x, z) vì q(z,y) 1 với mọi x,z [0,1] 3 Trường hợp 3 Nếu y x , thì tương tự như trường hợp 2, ta có q(x,y) q(y,z) 1 q(y,z) q(x,z) Vậy (X,q) là không gian tựa metric, nhưng nó không phải là không gian metric vì q(x,y) q(y,x) với mọi x y Ví dụ 1.1.4 Cho X {0} Xét hàm q trên X như sau: q(0,n) 1 với mọi n , q(n,x) n với n x , n n q(x,x) 0 với mọi x X Khi đó (X,q) là không gian tựa metric, nhưng không phải là không gian metric Mỗi tựa metric q trên X cảm sinh một T0 tôpô q trên X với cơ sở là một họ các hình cầu mở {Bq (x, ) : x X, 0}, trong đó Bq (x, ) {y X : q(x,y) } với mọi x X, 0 Cho tựa metric q trên X Hàm q 1 xác định bởi q 1(x,y) q(y,x) với mọi x,y X cũng là một tựa metric trên X , được gọi là tựa metric liên hợp và hàm xác định bởi (x,y) max {q(x,y),q(y, x)} với mọi x,y X là một metric trên X , gọi là metric cảm sinh bởi tựa metric q Định nghĩa 1.1.5 ([1]) Cho (X,q) là không gian tựa metric, {xn } là một dãy trong X và x X Khi đó dãy {xn } hội tụ đến x nếu và chỉ nếu nlim q(xn, x) lim q(x, xn ) 0 n Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Cho (X,q) là không gian tựa metric, {xn } là một 4 dãy trong X Ta nói rằng dãy {xn } là Cauchy trái nếu với mỗi 0, tồn tại số nguyên dương N( ) sao cho q(xn, xm ) với mọi n m N( ) Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Cho (X,q) là không gian tựa metric, {xn } là một dãy trong X Ta nói rằng dãy {xn } là Cauchy phải nếu với mỗi 0, tồn tại số nguyên dương N( ) sao cho q(xn, xm ) với mọi m n N( ) Định nghĩa 1.1.8 ([1]) Cho (X,q) là không gian tựa metric, {xn } là một dãy trong X Ta nói rằng dãy {xn } là Cauchy nếu với mỗi 0, tồn tại số nguyên dương N( ) sao cho q(xn, xm ) với mọi m,n N( ) Định nghĩa 1.1.9 ([1]) Không gian tựa metric (X,q) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy {xn} trong (X,q) đều hội tụ, hay tương đương với mỗi dãy Cauchy {xn} trong không gian metric (X, ) đều hội tụ đối với tôpô q 1 (tức là tồn tại z X sao cho q(xn, z) 0 ) Bổ đề 1.1.10 ([9]) Cho (X,q) là không gian tựa metric và {xn } là một dãy trong X sao cho nlim q(xn, xn 1) lim q(xn 1, xn ) 0 n Với m,n , trong đó n là số lẻ, m là số chẵn và m n , ta có n,mlim q(xn, xm ) lim q(xm, xn ) 0 n,m Khi đó {xn } là dãy Cauchy Chứng minh Cho m,n và m n Xét các trường hợp sau Trường hợp 1 n chẵn, m lẻ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có q(xn , xm ) q(xn, xn 1) q(xn 1, xm 1) q(xm 1, xm ) và 5