Tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ co chặt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Các kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa công bố công trình người khác Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cô: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Nguyễn Công Điều, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy bảo tận tình cho ý kiến đóng góp q báu suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Giáo dục Tiểu học Ban Chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, anh chị em nghiên cứu sinh trao đổi, giúp đỡ, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.2 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt 1.2.1 Một số phương pháp lặp 1.2.2 Một số phương pháp lặp khác 10 10 11 14 22 25 31 Chương Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt 37 2.1 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh dựa tổng vô hạn 37 2.2 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh dựa ánh xạ Wn 56 Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 3.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert 3.2 Phương pháp KM-HSD cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu iii http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 71 71 80 92 94 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập hợp số thực N tập hợp số tự nhiên G tập số H không gian Hilbert H E không gian Banach E E∗ không gian liên hợp E I ánh xạ đơn vị D(T ) miền xác định ánh xạ T hx, yi tích vơ hướng x y kxkX chuẩn x không gian X inf F (X) cận lớn tập {F (x) : x ∈ X} sup F (X) cận nhỏ tập {F (x) : x ∈ X} x∈X x∈X c0 không gian dãy số hội tụ tới với chuẩn sup X ∩Y X giao với Y xn * x dãy xn hội tụ yếu tới x xn → x dãy xn hội mạnh tới x PC phép chiếu mêtric lên C F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trong tốn học người ta thường gặp tốn tìm phần tử thuộc vào giao họ tập lồi đóng Ci khơng gian Hilbert hay Banach, với i ∈ G, G tập số, tập Ci cho dạng như: hình cầu, khơng gian nửa không gian dạng ẩn như: tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu Ai , hay tập nghiệm toán cân với song hàm Gi (u, v) Bài toán thường gọi toán Chấp nhận lồi có ứng dụng rộng rãi lĩnh vực xử lý ảnh phục chế lại tạo ảnh dựa vào liệu liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh (xem [6], [26], [35], [63]) Lĩnh vực cịn có nhiều ứng dụng y học, quân đội, công nghiệp đặc biệt thiên văn hay công nghệ sinh học Trong trường hợp cardG = C1 , C2 không gian H, toán Neumann J V [53] nghiên cứu vào năm 1949 Xuất ∞ phát từ điểm x bất kỳ, ông xây dựng hai dãy {xk }∞ k=1 {yk }k=1 sau: y0 = x, xk = PC1 (yk−1 ), yk = PC2 (xk ), k = 1, 2, , (0.1) chứng minh hai dãy hội tụ mạnh đến PC (x) k → ∞, C = C1 ∩ C2 PC phép chiếu mêtric từ H lên C Khi C1 , C2 tập lồi đóng H, năm 1965, Bregman L M [13] chứng minh hội tụ yếu dãy lặp xác định đến PC (x) Trong trường hợp cardG ≥ tập Ci cho dạng tập điểm Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ bất động ánh xạ khơng giãn Ti , tốn tốn tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ không giãn {Ti }i≥2 nhà toán học Ceng L C ([19], [20]), Maingé P E ([43], [44]), Marino G., Miao Y [46], Takahashi W ([64], [66]), Xu H K ([47], [48], [67], [72]), Wang L [69], Yao Y., Chen R., Yao J C [78] nghiên cứu Mục đích đề tài luận án nghiên cứu phương pháp giải để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ giả co chặt, chứa trường hợp riêng họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Đối với ánh xạ λ-giả co chặt T không gian Hilbert xác định k T (x) − T (y) k2 ≤k x − y k2 +λ k (I − T )(x) − (I − T )(y) k2 , (0.2) với ≤ λ < 1, Browder F E Petryshyn W.V [14], năm 1967, chứng minh hội tụ yếu phương pháp lặp Mann xn+1 = αxn + (1 − α)T (xn ) (0.3) tới điểm bất động T , λ < α < Năm 1979, Reich S [59] cải tiến kết cho lớp ánh xạ không giãn không gian Banach lồi dãy lặp {xn } xác định theo công thức: xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ) Với điều kiện dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn < αn < (0.4) P∞ n=0 αn (1−αn ) = ∞, tác giả chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (0.4) tới điểm bất động ánh xạ không giãn T Ta thấy kết cho hội tụ yếu, chí với ánh xạ khơng giãn Để nhận hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ không giãn T không gian Hilbert, Nakajo K Takahashi W [52] đề xuất phương pháp lai ghép sau: Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x0 ∈ C, yn = αxn + (1 − α)T (xn ), Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk}, (0.5) Qn = {z ∈ C : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), đây, dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0 αn < Năm 2007, Marino G Xu H K [48] mở rộng kết Nakajo K Takahashi W [52] cho ánh xạ giả co chặt thu kết hội tụ mạnh dãy lặp tới điểm bất động ánh xạ giả co chặt T không gian Hilbert Sau này, số tác giả khác mở rộng kết cho họ ánh xạ giả co chặt (xem [3], [16], [17], [21], [68]) Năm 2010, Cho Y J cộng [21] giới thiệu phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt không gian Banach sau: x0 ∈ C, xn = αn xn−1 + βn Tn (xn ) + γn un , ∀n ≥ 1, (0.6) đây, C tập lồi đóng khơng gian Banach E, {Tn }∞ n=1 : C → C họ vô hạn ánh xạ giả co chặt, {αn }, {βn } {γn } dãy số thực đoạn [0, 1] cho αn + βn + γn = 1, {un } dãy bị chặn C Với điều kiện thích hợp cho tham số tác giả chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (0.6) tới điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ giả co chặt {Tn }∞ n=1 Gần đây, toán Song Y L [62], Xu W Wang Y [76] nghiên cứu Trong luận án này, vận dụng phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh để giải tốn tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Phương pháp kết hợp nguyên lý toán phụ, đề xuất Cohen vào năm 1980 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [22] phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Phương pháp nguyên lý toán phụ đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm u∗ ∈ C cho hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ v ∈ C, (0.7) F : C → H ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H Khi ánh xạ F khơng có tính đơn điệu mạnh, năm 2000, Baasansuren J Khan A A [8] kết hợp nguyên lý toán phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để phương pháp Nguyên lý tốn phụ hiệu chỉnh Cho họ vơ hạn ánh xạ λi -giả co chặt {Ti }∞ i=1 từ tập lồi đóng T C khơng gian Hilbert H vào H Giả sử F = ∞ i=1 F ix(Ti ) 6= ∅, F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ Ti Ta xét tốn: tìm phần tử u∗ ∈ F (0.8) Để vận dụng phương pháp cho tốn (0.8), trước tiên chúng tơi xây dựng nghiệm hiệu chỉnh uα , nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: tìm uα ∈ C cho *∞ + X γi Ai (uα ) + αuα , v − uα ≥ ∀v ∈ C, (0.9) i=1 đây, Ai = I − Ti , α > tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến {γi } dãy số thực thỏa mãn điều kiện: γi > 0; ∞ X γi i=1 ei λ = γ < ∞, ei = − λi λ Thuật toán nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh thiết lập sau: Cho ϕ : H → R phiếm hàm lồi thường khả vi Gâteaux, ∞ với ϕ0 đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Cho {n }∞ n=0 {αn }n=0 hai Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ λk = ∞; lim βk+1 − βki = k→∞ (3.18) Dãy lặp (3.17) viết lại dạng sau: xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 T0k · TNk · · · T1k (xk ), (3.19) Tik = (1 − βki )I + βki Ti , với i = 1, 2, , N ánh xạ KrasnoselskijMann T0k = I − λk µF ánh xạ HSD Để trình bày kết mục này, chúng tơi cần nêu lại số kết bổ trợ sau Bổ đề 3.1 (xem [34]) Cho H không gian Hilbert Khi đó, với x, y ∈ H ta có: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 81 (i) kx + yk2 ≤ kxk2 + hy, x + yi; (ii) k(1 − t)x + tyk2 = (1 − t) kxk2 + t kyk2 − t(1 − t) kx − yk2 , với t ∈ [0, 1] Bổ đề 3.2 (xem [7]) T λ x − T λ y ≤ (1−λτ ) kx − yk, với λ ∈ (0, 1) µ ∈ p 2η
0, , τ = − − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) T λ x = (I − λµF )x, L ∀x ∈ H Bổ đề 3.3 (xem [48]) Cho {xk }k∈N {zk }k∈N dãy bị chặn không gian Banach E cho xk+1 = (1 − βk )xk + βk zk , với βk ∈ [0, 1], k ≥ thỏa mãn điều kiện < lim inf βk < lim sup βk < k→∞ k→∞ Giả sử lim sup (kzk+1 − zk k − kxk+1 − xk k) ≤ k→∞ Khi đó, lim kxk − zk k = k→∞ Bổ đề 3.4 (xem [74]) Cho {ak }k∈N dãy số thực không âm cho ak+1 ≤ (1 − bk )ak + bk ck , đó, {bk }k∈N {ck }k∈N dãy số thực thỏa mãn: bk ∈ [0, 1] ∞ X bk = ∞ lim sup ck ≤ k→∞ k=0 Khi đó, lim ak = k→∞ Bổ đề 3.5 (xem [28]) Cho T ánh xạ khơng giãn tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H Nếu T có điểm bất động I − T demi-đóng Ta có kết sau Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 82 Định lý 3.9 Cho H không gian Hilbert, F : H −→ H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η-đơn điệu mạnh Giả sử {Ti }N i=1 họ hữu TN hạn ánh xạ không giãn H cho F = i=1 F ix(Ti ) 6= ∅ Khi đó, dãy {xk }k∈N xác định (3.17) thỏa mãn điều kiện (3.18) hội tụ mạnh tới nghiệm p∗ bất đẳng thức biến phân hF (p∗ ), p − p∗ i ≥ ∀p ∈ F Chứng minh Trước hết chứng minh dãy {xk }k∈N bị chặn Thật vậy, theo (3.17), với p ∈ F k ≥ ta có: yk − p = (1 − βk1 )yk0 + βk1 T1 yk0 − p = (1 − βk1 )(yk0 − p) + βk1 (T1 yk0 − T1 p) ≤ (1 − βk1 ) yk0 − p + βk1 yk0 − p = yk0 − p = kxk − pk Do i yk − p = (1 − βki )(y i−1 − p) + βki (Ti y i−1 − Ti p) k k ≤ (1 − βki ) yki−1 − p + βki yki−1 − p = yki−1 − p ≤ · · · ≤ yk0 − p = kxk − pk , i = 1, 2, , N Theo Bổ đề 3.2 ta có: kxk+1 − pk = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk µF )ykN − p = (1 − βk0 )(xk − p) + βk0 [(I − λk µF )ykN − p]   = (1 − βk0 )(xk − p) + βk0 T λk ykN − T λk p + λk µF (p)   ≤ (1 − βk0 ) kxk − pk + βk0 (1 − λk τ ) ykN − p + λk µ kF (p)k Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 83   ≤ (1 − βk0 ) kxk − pk + βk0 (1 − λk τ ) kxk − pk + λk µ kF (p)k µ = (1 − βk0 λk τ ) kxk − pk + βk0 λk τ kF (p)k τ Đặt µ kF (p)k} τ ta có kx0 − pk ≤ Mp Do đó, kxk − pk ≤ Mp yki − p ≤ Mp với Mp = max{kx0 − pk , i = 1, 2, , N Vì vậy, kxk+1 − pk ≤ (1 − βk0 λk τ )Mp + βk0 λk τ Mp = Mp Điều chứng tỏ dãy {xk }k∈N bị chặn Từ suy dãy {F (ykN )}k∈N , {yki }k∈N {Ti yki−1 }k∈N bị chặn Vậy, tồn số dương M1 cho kxk k ≤ M1 ; F (y N ) ≤ M1 ; y i ≤ M1 Ti y i−1 ≤ M1 với k ≥ k k k i = 1, 2, , N Đặt zk = (I − λk µF )ykN Khi đó, từ (3.17) ta có xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 zk N kzk+1 − zk k = (I − λk+1 µF )yk+1 − (I − λk µF )ykN N N = (yk+1 − ykN ) + λk µF ykN − λk+1 µF yk+1 N ≤ yk+1 − ykN + M1 (λk + λk+1 )µ N N −1 N N −1 = [(1 − βk+1 )yk+1 + βk+1 TN yk+1 ] − [(1 − βkN )ykN −1 + βkN TN ykN −1 ] + M1 (λk + λk+1 )µ N −1 N N N −1 ≤(1 − βk+1 ) yk+1 − ykN −1 + βk+1 TN yk+1 − TN ykN −1 N + βk+1 − βkN M1 + M1 (λk + λk+1 )µ N −1 N ≤ yk+1 − ykN −1 + 2M1 βk+1 − βkN + M1 (λk + λk+1 )µ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 84 N X