Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn ánh xạ không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ MỸ ANH PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHONG GIÃN CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình đựoc hồn thành : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: GS.TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 2: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn Bữớng TĂc giÊ xin by tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy và sỹ tên tẳnh hữợng dăn suốt thới gian tĂc giÊ lm luên vôn Trong quĂ trẳnh hồc têp v lm luên vôn, thổng qua cĂc bi giÊng v xảmina, tĂc giÊ thữớng xuyản nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v õng gõp nhỳng ỵ kián quỵ bĂu cừa PGS.TS Lả Th Thanh Nhn, TS Nguyạn Th Thu Thừy, Th.s Trữỡng Minh Tuyản v cĂc thƯy cĂc cổ trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tứ Ăy lỏng mẳnh, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cĂc thƯy cĂc cổ TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy, cĂc cổ, Ban giĂm hiằu nh trữớng, BCH on, cĂc ỗng nghiằp, nỡi tĂc giÊ cổng tĂc  luổn tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt giúp ï t¡c gi£ thíi gian håc tªp v  l m luên vôn cao hồc Xin chƠn thnh cÊm ỡn anh ch em hồc viản cao hồc ToĂn K2 v bÔn b ỗng nghiằp gƯn xa  trao ời, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v lm luên vôn Luên vôn s khổng hon thnh ữủc náu khổng cõ sỹ thổng cÊm, giúp ù cừa nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh tĂc giÊ Ơy l mõn qu tinh thƯn, tĂc giÊ xin kẵnh tng gia ẳnh thƠn yảu cừa mẳnh vợi tĐm lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lới nõi Ưu NhiÃu vĐn à khoa hồc, cổng nghằ, kinh tá, sinh thĂi, dăn án viằc giÊi c¡c b i to¡n m  nghi»m cõa chóng khỉng ên ành theo dỳ kiằn ban Ưu, nghắa l bi toĂn (khi dỳ kiằn thay ời nhọ) hoc khổng tỗn tÔi nghiằm ho°c nghi»m khỉng nh§t ho°c nghi»m khỉng phư thc liản tửc vo dỳ kiằn ban Ưu Do tẵnh khổng ên ành n y cõa b i to¡n °t khỉng ch¿nh n¶n viằc giÊi số cừa nõ gp khõ khôn Lỵ l  mët sai sè nhä dú ki»n cõa b i toĂn cõ th dăn án mởt sai số bĐt ký líi gi£i Ng÷íi ta nâi nhúng b i to¡n â °t khỉng ch¿nh ành ngh¾a b i to¡n °t ch¿nh theo Hadamard: Cho Ănh xÔ A : X Y , bi toĂn tẳm nghiằm x cừa phữỡng trẳnh Ax = y ữủc gồi l t chnh náu: i) Bi toĂn cõ nghiằm, tực l vợi mội y Y tỗn tÔi x X cho Ax = y ii) Nghiằm ữủc xĂc nh nhĐt, tực l náu Ax1 = Ax2 = y ⇒ x1 = x2 iii) Nghiằm phử thuởc liản tửc vo dỳ kiằn Ưu vo cừa bi toĂn Náu ẵt nhĐt mởt ba iÃu kiằn trản khổng thọa mÂn, thẳ ta nõi rơng b i to¡n â °t khỉng ch¿nh Hadamart cho r¬ng b i toĂn t khổng chnh khổng cõ ỵ nghắa Vêt lỵ v¼ nghi»m khỉng phư thc v o dú ki»n cõa b i toĂn Tuy nhiản nhữ  nõi trản, rĐt nhiÃu bi toĂn cừa thỹc tiạn, khoa hồc, cổng nghằ dăn tợi bi toĂn t khổng chnh Do tẵnh khổng ờn ành cõa b i to¡n °t khỉng ch¿nh n¶n vi»c gi£i sè Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cõa nâ g°p khâ kh«n cĂc số liằu (dỳ liằu) thu ữủc bơng cĂch o Ôc, quan sĂt, khổng th trĂnh khọi sai số Vẳ thá nÊy sinh vĐn à tẳm cĂc phữỡng ph¡p gi£i ên ành cho c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh, cho sai sè cõa dú ki»n ¦u vo cng nhọ thẳ nghiằm xĐp x tẳm ữủc cng gƯn vợi nghiằm úng cừa bi toĂn ban Ưu Nôm 1963, A.N.Tikhonov ữa phữỡng phĂp hiằu chnh nời tiáng v k tứ õ lỵ thuyát cĂc bi toĂn t khổng chnh ữủc phĂt trin hát sực sổi ởng v cõ mt hƯu hát cĂc bi toĂn thỹc tá Tuy nhiản khuổn khờ cừa luên vôn ny, chúng tổi ch cõ th trẳnh by mởt à ti "Phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn" Ơy l bi toĂn gp rĐt nhiÃu lắnh vỹc khoa hồc v ựng dửng  cõ rĐt nhiÃu cĂc nh khoa hồc nữợc v ngoi nữợc nghiản cựu và vĐn à ny nhữ: Martinet ữa  giÊi bĐt ng thực bián phƠn, sau õ ữủc Rockafellar m rởng  giÊi bao hm thực bián phƠn vợi toĂn tỷ ỡn iằu GƯn Ơy phữỡng phĂp im gƯn kà ữủc sỷ dửng  giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hộn hủp v bi toĂn cƠn bơng V mởt nhỳng kát quÊ àp và vĐn à ny  ữủc GS.TS Nguyạn Bữớng v Th.s Trữỡng Minh Tuyản ữa õ l "Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn" v "Hiằu chnh thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh cho bi toĂn chĐp nhên lỗi khổng gian Banach" Luên vôn ny tổi s trẳnh by chi tiát và kát quÊ õ Bố cửc cừa luên vôn gỗm cõ chữỡng: Chữỡng I: Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Chóng tỉi tr¼nh bƯy và : Khổng gian Hilbert, mởt số tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa khổng gian Banach, phữỡng phĂp im gƯn k· qu¡n t½nh khỉng gian Hilbert, b i to¡n °t khổng chnh, bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng II: Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn Trong õ bao gỗm c¡c thuªt to¡n: L°p xoay váng, hi»u ch¿nh Tikhonov, iºm gƯn kà quĂn tẵnh Do thới gian cõ hÔn nản luên vôn mợi ch dứng lÔi vảc tẳm hiu, têp hủp ti liằu, sưp xáp v trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu  cõ theo chừ à t Trong quĂ trẳnh viát luên vôn cụng nhữ quĂ trẳnh xỷ lỵ vôn bÊn chưc chưn khổng th trĂnh khọi sai sõt, rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp cừa ThƯy cổ v bÔn ồc TĂc gi£ L¶ Mÿ Anh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u Mưc lưc Mởt số kỵ hiằu v chỳ viát tưt Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 1.1 Khỉng gian Hilbert 1.2 Mởt số tẵnh chĐt hẳnh hồc cõa khæng gian Banach 14 1.3 Phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh khổng gian Hilbert 18 1.4 B i to¡n °t khæng ch¿nh 23 1.5 Bi toĂn tẳm im bĐt ëng chung 26 Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn 29 2.1 Thuªt to¡n l°p xoay váng 30 2.2 Thuªt to¡n hi»u ch¿nh Tikhonov 32 2.3 Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Kát luên 42 Ti liằu tham kh£o 43 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a dt ω c |N |Kmax c0 ≤ , ω ð ¥y c0 l  mët hơng số dữỡng Ta chồn N v lợn tuý ỵ, N/ lÔi nhọ Khi õ, C[a,b] (0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N | s[a,b] cõ th lợn bĐt ký KhoÊng cĂch giúa hai nghi»m ϕ0 v  ϕ1 L2 [a, b] cụng cõ th lợn bĐt ký Thêt vêy, Z b 1/2 Z b 1/2 = |N | sin2 (ωs)ds |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds a a r b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)) = |N | 2 Dạ dng nhên thĐy hai số N v ω câ thº chån cho ρL2 [c,d] (f0 , f1 ) r§t ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = nhọ văn cho kát quÊ L2 [a,b] (0 , ) rĐt lợn 1.5 Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach E ữủc phĂt biu nhữ sau: tẳm Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 mët th nh ph¦n x∗ ∈ C := ∩N i=1 Ci , (1.16) â N ≥ l mởt số nguyản v mội Ci l têp c¡c iºm b§t ëng F (Ti ) cõa c¡c ¡nh xÔ khổng giÂn Ti : E E, i = 1, 2, , N Tr÷íng hđp ìn gi£n, N = v T1 = T l mởt Ănh xÔ khổng giÂn trản mởt têp õng lỗi C cừa khổng gian Hilbert H , tùc l  T : C → C v  kT x − T yk ≤ kx − yk x, y C,  tẳm im bĐt ởng cho Ănh xÔ khổng giÂn T , Ishikawa [15]  à xuĐt phữỡng phĂp vợi x0 C tũy ỵ, yk = αk xk + (1 − αk )T xk , (1.17) xk+1 = βk xk + (1 − βk )T yk , ð ¥y {αk } v  {βk } l  c¡c d¢y sè thuëc [0,1] Khi αk = vợi mội k 0, ta cõ phữỡng phĂp lp vợi x0 C tũy ỵ, xk+1 = k xk + (1 − βk )T xk , (1.18) ÷đc · xuĐt bi Mann [17] vo nôm 1953 CÊ hai phữỡng ph¡p (1.17) v  (1.18) ·u cho ta hëi tư y¸u (xem [11], [12]) Phữỡng phĂp (1.18) nhẳn ỡn giÊn hỡn ph÷ìng ph¡p (1.17) v  sü hëi tư cõa (1.18) câ th dăn án hởi tử cừa (1.17) náu {k } thọa mÂn iÃu kiằn phũ hủp Mc dũ vêy, cõ nhúng tr÷íng hđp (1.18) khỉng hëi tư m  (1.17) văn hởi tử, mc dũ Ơy l hởi tử yáu (xem [11], [12]) Nôm 1967, Halpern [14] à xuĐt phữỡng ph¡p xn+1 = βn u + (1 − βn )T xn , n ≥ 0, (1.19) ð ¥y u, x0 l  hai iºm b§t ký thuëc C v  {βn } (0, 1) Halpern  ch rơng lim n = v  n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∞ X βn = ∞ n=0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 l  i·u ki»n c¦n º cho php lp (1.19) hởi tử án mởt im bĐt ởng cừa T Phữỡng phĂp ny  ữủc nghiản cựu ti¸p bði Lions [16], Reich [21], Wittmann [28] v  Song [26] Mợi Ơy, Alber [4] à xuĐt phữỡng phĂp lp xn+1 = PC (xn − µn [xn − T xn ]), n 0, (1.20) v chựng minh rơng náu {µn } : µn → 0, n → ∞ v {xn } giợi nởi, thẳ: (i) Tỗn tÔi im tử yáu x C cừa têp {xn }; (ii) Måi iºm tư y¸u cõa {xn } ·u thc F (T ); v (iii) Náu têp F (T ) ch gỗm mởt im, tực l F (T ) = {˜ x}, th¼ {xn }, x¡c ành bði (1.20), hëi tử yáu án x Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ cĂc Ănh xÔ loÔi khổng giÂn xĂc nh trản mởt têp õng lỗi thuởc khổng gian Hilbert hay Banach l mởt vĐn à lợn v hiằn ữủc rĐt nhiÃu cĂc nh toĂn hồc trản thá giợi quan tƠm Trong luên vôn ny chúng tổi ch trẳnh by mởt khẵa cÔnh liản quan án phữỡng phĂp hiằu chnh kát hủp vợi thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh chữỡng tiáp theo S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chữỡng Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu sỹ kát hủp giỳa thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh v thuêt toĂn hiằu chnh Tikhonov  giÊi bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach Sỹ kát hủp õ cho ta mởt phữỡng phĂp mợi, thữớng ữủc gồi l thuêt toĂn hiằu chnh im gƯn kà quĂn tẵnh Chữỡng ny gỗm ba phƯn Trong phƯn mởt, chúng tổi giợi thiằu thuêt toĂn xoay vỏng Trong phƯn hai chúng tổi giợi thiằu thuêt toĂn hiằu chnh Tikhonov v phƯn ba, chúng tổi trẳnh by sỹ kát hủp hai thuêt toĂn trản cho ta thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh CĂc kát quÊ cừa chữỡng ny ữủc tham khÊo cĂc t i li»u [6], [10] Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 2.1 Thuªt to¡n l°p xoay váng Ta x²t b i to¡n t¼m mët ph¦n tû x∗ ∈ C := ∩N i=1 Ci , (2.1) â N ≥ l  mët sè nguy¶n v mội Ci l têp cĂc im bĐt ởng F (Ti ) = {x ∈ E : x = Ti (x)} cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti : E → E, i = 1, 2, , N º gi£i bi toĂn (2.1), [27]  à xuĐt phữỡng phĂp l°p xoay váng xn+1 = αn+1 f (xn ) + (1 − αn+1 )Tn+1 xn , (2.2) â x0 ∈ E l  iºm ban ¦u, f : K → K l Ănh xÔ co, Tn = Tn(mod)N , n l  mët d¢y [0, 1] v  P l  mët Sunny co rót khỉng gi¢n cõa E v o K Ta cõ kát quÊ sau nh lỵ 2.1 [10] Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ v j l mởt Ănh xÔ ối ngău chuân tưc liản tửc v liản tửc yáu theo dÂy tứ E E Cho K l mởt têp lỗi õng cừa E v  K l  Sunny co rót khỉng gi¢n cõa E vợi P l Ănh xÔ Sunny co rút khổng gi¢n tø E v o K Cho f : K K l mởt Ănh xÔ co vợi hơng số co l  < β < v  Ti : E → E, i = 1, 2, N, l  c¡c Ănh xÔ khổng giÂn thoÊ mÂn (i) N i=1 (F (Ti ) ∩ K) 6= ∅; (ii) ∩N i=1 (F (Ti = F (T1 TN T2 ) = = TN TN −1 T1 = F (S), â S = TN TN T1 ; (iii) Ănh xÔ S : K E thoÊ mÂn iÃu kiằn inward yáu Khi õ, vợi x0 K bĐt ký, {xn } l dÂy ữủc xĂc nh bi (2.1) cĂc iÃu kiằn sau Ơy ữủc thoÊ mÂn (a) lim n = 0; (b) n→∞ ∞ P αn = ∞ ; i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 ∞ P αn = 1, n→∞ n+1 i=0 hởi tử mÔnh tợi mởt im p ∩N i=1 (F (Ti ) ∩ K , l  nghi»m nhĐt cừa bĐt ng thực bián phƠn (c) | αn+1 − αn |< ∞ ho°c lim hp − f (p), j(p − u)i ≤ 0, ∀u ∈ ∩N i=1 (F (Ti ) ∩ K) N¸u E l  khỉng gian Hilbert v f (x) = u, thẳ (2.2 ) tữỡng ữỡng vợi: xn+1 = n+1 u + (1 n+1 )Tn+1 xn ,  ữủc nghiản cựu bi Bauschke [8] v o n«m 1996 Khi N = v  E l  khổng gian Banach trỡn Ãu hoc phÊn xÔ vợi tẵnh liản tửc yáu theo dÂy cừa Ănh xÔ j v K l mởt têp lỗi õng cừa E, T : E E l mởt Ănh xÔ khổng giÂn, f : K K l mởt Ănh xÔ co (2.2) tữỡng ữỡng vợi xn+1 = n+1 f (xn ) + (1 n+1 )T xn , (2.3) ữủc nghiản cựu bi Xu [29] Thuêt toĂn (2.3) l mởt kát qu£ mð rëng cõa Moudafi [18] khæng gian Hilbert Dạ thĐy náu T l Ănh xÔ -giÊ co cht thẳ Ănh xÔ A := I T l accretive v Lipschitz vợi hơng số Lipschitz L = 1/ Do õ, bi toĂn tẳm im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn tữỡng ữỡng vợi viằc xĂc nh khổng im cừa phữỡng trẳnh toĂn tỷ A(x) = 0, (2.4) vợi A l Ănh xÔ accretive Khi A l m-accretive khỉng gian Hilbert H , ngh¾a l  A ìn iằu cỹc Ôi, Rockafellar [22]  xt phữỡng phĂp lp cn A(xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ H, (2.5) vỵi cn > c0 > v  gåi l thuêt toĂn im gƯn kà Mởt cƠu họi t l thuêt toĂn (2.5) cõ luổn hởi tử mÔnh hay khổng? Gu ăler [12]  khng nh thuêt toĂn (2.5) khổng hởi tử mÔnh  thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh Solodov v Svater [25]  kát hủp thuêt toĂn im gƯn kà vợi php chiáu S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 ìn l¶n giao cõa hai nûa khỉng gian chùa têp nghiằm Hỡn nỳa, Attouch v Alvarez [5]  xt mởt m rởng cừa thuêt toĂn (2.5) dÔng cn A(un+1 ) + un+1 − un = γn (un − un−1 ), u0 , u1 ∈ H, (2.6) v  gåi l  thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh, Ơy {cn } v {n } l hai dÂy số khổng Ơm Moudafi [20],  Ăp dửng thuêt toĂn ny cho bĐt ng thực bián phƠn, Moudafi v Elisabeth [19]  nghiản cựu thuêt toĂn ny bơng cĂch sỷ dửng m rởng cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Ryazantseva [23]  m rởng thuêt toĂn im gƯn kà (2.5) cho trữớng hủp A l Ănh xÔ m-acretive khổng gian Banach E v  chựng minh sỹ hởi tử yáu cừa dÂy lp {xn } cừa (2.5) án mởt nghiằm cừa (2.4) vợi giÊ thiát nghiằm ny l nhĐt  thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh cừa thuêt toĂn (2.5), Ryazantseva [24]  kát hủp thuêt toĂn gƯn kà vợi hiằu chnh v gồi l hiằu chnh thuêt toĂn gƯn kà dÔng cn (A(xn+1 ) + n xn+1 ) + xn+1 − xn = 0, x0 ∈ E Trong ph¦n tiáp theo, chúng tổi à cêp án thuêt toĂn hiằu chnh Tikhonov tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach 2.2 Thuêt toĂn hiằu chnh Tikhonov  tẳm nghiằm xĐp x cừa (2.1) trữớng hủp tờng quĂt N > ta xt phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov dÔng N X Ai (x) + αn x = 0, Ai = I − Ti , (2.7) i=1 vỵi tham sè hi»u ch¿nh khỉng ¥m αn v  αn → 0, n Phữỡng trẳnh (2.7) cõ th viát dÔng tờng quĂt hỡn nhữ sau N X nài Ai (x) + αn x = 0, ≤ µi < i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.8) 33 Náu à0 = v  µi < µi+1 , i = 1, 2, , N thẳ thuêt toĂn (2.8)  ữủc nghiản cùu º x¡c ành mët nghi»m chung cõa h» c¡c Ănh xÔ Ai : E E hemi-liản tửc v  ìn i»u [7] v  iºm b§t ëng chung cõa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ giÊ co cht khổng gian Hilbert [8] Trong trữớng hủp ài = 0, i = 1, 2, , N, khæng câ c¡c iÃu kiằn (i), (ii) nh lỵ 2.1, cõ kát quÊ sau nh lỵ 2.2 [8] Náu Ănh xÔ ối ngău chuân tưc j liản tửc mÔnh v liản tửc yáu thẳ: (i) Vợi mội n > 0, b i to¡n (2.7) câ nh§t nghi»m xn (ii) Náu dÂy {n } chồn cho lim n = 0, th¼ ta câ n→+∞ lim xn = x∗ ∈ C n+ Chựng minh (i) Vẳ vợi mội n > Ănh xÔ PN i=1 Ai l liản tửc Lipschitz v  j -ìn i»u, cho n¶n nâ l  m − j -ỡn iằu (xem [9]) Do õ, phữỡng trẳnh (2.7) cõ nhĐt nghiằm xn vợi mội n > (ii) Tø (2.7) suy N X hAi (xn ), j(xn − y)i + αn hxn , j(xn − y)i = ∀y ∈ C (2.9) i=1 Do Ai (y) = 0, i = 1, , N, ta câ N X Ai (y) = i=1 Düa v o ¯ng thùc n y, (2.9) v  t½nh j -ìn i»u cõa Ai ta nhên ữủc hxn , j(xn y)i hoc hxn − y, j(xn − y)i ≤ h−y, j(xn − y)i ∀y ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.10) 34 Suy ra, kxn − yk ≤ kyk v  kxn k ≤ 2kyk, y ∈ C (2.11) Cho xn+p l  nghi»m cõa (2.7) n ữủc thay bơng n+p Khi õ, N X hAi (xn ) − Ai (xn+p ),j(xn − xn+p )i + αn hxn , j(xn − xn+p )i i=1 − αn+p hxn+p , j(xn − xn+p )i = Vẳ vêy, |n n+p | 2kyk n Tứ (2.11) suy dÂy {xn } giợi nởi Do E l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ, cho nản tỗn tÔi dÂy {xk } cừa dÂy {xn } hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ x no õ cừa E B¥y gií ta s³ chùng minh x∗ ∈ F (Tl ), l = 1, , N kxn − xn+p k Vợi bĐt ký y C tứ Bê · 1.1, (2.7), (2.10) v  t½nh j -ìn i»u cõa Ai suy  δE kAl (xn )k 8kyk  ≤ L(2kyk)−2 hAl (xn ), j(xn − y)i −2 ≤ L(2kyk) ≤ N X hAi (xn ), j(xn − y)i i=1 −2 1−µl L(2kyk) αn h−xn , j(xn − y)i ≤ L(2kyk)−2 αn1−µl h−y, j(xn − y)i ≤ L n Vẳ vêy, lim kAl (xn )k = n Dỹa vo nguyản lỵ nỷa õng (Bờ à 1.2) cõa Al ta câ Al (x∗ ) = 0, cõ nghắa l x F (Tl ) Cho nản x C Cụng tứ (2.10) v tẵnh liản tửc yáu cừa Ănh xÔ ối ngău j , ta cõ dÂy {xk } hởi tử manh án x Vẳ C l mởt têp õng lỗi khổng gian Banach lỗi cht cõ nhĐt mởt thnh phƯn cõ chuân nhọ nhĐt Cho nản, cÊ dÂy {xn } hởi tử ¸n x∗ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 B¥y gií xt bi toĂn xĐp x hỳu hÔn chiÃu cho bi to¡n (2.7) nh÷ sau N X Ani (z) + αn z = 0, z ∈ En , (2.12) i=1 ð ¥y Ani = Pn Ai P n , Pn l  mởt php chiáu tuyán tẵnh tứ E lản khổng gian En cho En ⊂ En+1 , Pn x → x, n → +∞, ∀x ∈ E Khæng l m mĐt tẵnh chĐt chung ta cõ th giÊ thiát kPn k = (xem [27]) °t γn (y) = k(I − Pn )yk, ð ¥y y ∈ C Ta cõ kát quÊ sau nh lỵ 2.3 [8] (i) Vợi méi αn > 0, b i to¡n (2.12) câ nh§t nghi»m zn ; (ii) N¸u γn (y) = o(αn ) vỵi méi y ∈ C , Ti , i = 1, , N l  kh£ vi Fr²chet vỵi kTi0 (x) − Ti0 (y)k ≤ Li kx − yk, Li > 0, (2.13) v  d¢y {αn } chån cho lim αn = 0, th¼ ta câ n→+∞ lim zn = z∗ ∈ C n→+∞ Chùng minh (i) B¬ng c¡ch chùng minh tữỡng tỹ nhữ chựng minh nh lỵ 2.2, ta cõ th khng nh rơng phữỡng trẳnh (2.12) cõ nhĐt nghiằm zn vợi mội n > (ii) Tứ (2.12) v tẵnh chĐt cừa j n , Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa En , suy Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 n αn kzn − yn k = −αn hyn , j (zn − yn i + N X h−Ani (zn ), j n (zn − yn )i i=1 n ≤ αn hyn , j (yn − zn )i + N X hAi (y) − Ai (yn ), j n (zn − yn )i, i=1 ð Ơy yn = Pn y, y C Vẳ Ti (yn ) = Ti (y) + Ti0 (y)(Pn y − y) + rin , krin k ≤ Li γ (y), i = 1, , N, n cho n¶n  X N L i + kTi0 (y)k + γn (y) /αn kzn − yn k ≤ kyn k + n (y) i=1 Do õ tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng R cho kzn k R vợi mội n Do õ, tỗn tÔi mởt dÂy {zk } cừa dÂy {zn } hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ z cừa E k → ∞ Ti¸p theo ta chùng minh z∗ ∈ F (Tl ), l = 1, , N Vỵi méi y ∈ C , tø Bê · 1.2, (2.12), (2.13), Pn2 = Pn , j n (u) = j(u) vợi u En tẵnh j -ỡn iằu cừa Ai suy −1 L R δE  kAl (zn )k 4R  ≤ hAl (zn ), j(zn − y)i ≤ N X hAi (zn ), j(zn − y)i i=1 ≤ ≤ N X i=1 N X hAi (zn ), j(zn − yn )i + N X hAi (zn ), j(zn − y) − j(zn − yn )i i=1 N X hAni (zn ), j n (zn − yn )i + i=1 hAi (zn ), j(zn − y) − j(zn − yn )i i=1 n ≤ −αn hyn , j (zn − yn )i + 2N kzn − ykγnν (y) ≤ αn kykkzn − yn k + 2N kzn − ykγnν (y) Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Vẳ vêy, lim kAl (zn )k = n+ Dỹa vo nguyản lỵ nỷa âng cõa Al ta câ Al (z∗ ) = 0, cõ nghắa l z F (Tl ) Cho nản z C Cụng tứ tẵnh liản tửc yáu cừa Ănh xÔ ối ngău j , ta cõ dÂy {zk } hởi tử manh án z Vẳ C l mởt têp õng lỗi khổng gian Banach lỗi cht cõ nhĐt mởt thnh phƯn cõ chuân nhọ nhĐt Cho nản, cÊ dÂy{zn } hởi tử án z 2.3 Thuêt toĂn im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn Trong phƯn ny ta xt d¢y {un } ⊂ E x¡c inh bði N X c˜n ( Ai (un+1 )+αn un+1 )+un+1 −un = γn (un −un−1 ), u0 , u1 ∈ E, (2.14) i=1 Vẳ PN i=1 Ai l mởt Ănh xÔ liản tửc Lipschitz j ìn i»u tr¶n E , cho n¶n nâ l m-j -ỡn iằu Vẳ vêy, phƯn tỷ un+1 (2.14) ữủc xĂc nh nhĐt nh lỵ 2.4 Cho E l mởt khổng gian Banach lỗi v trỡn Ãu cho E lỗi cht v Ănh xÔ ối ngău j tứ E vo E liản tửc v liản tửc yáu, cĂc tham số cn , n v αn ÷đc chån cho (i) < c0 < c˜n < C0 , ≤ γn < γ0 , αn & 0, ∞ P (ii) bn = +∞, bn = αn c˜n /(1 + αn c˜n ), n=1 P∞ −1 n=1 γn bn kun − un−1 k < +∞, αn − αn+1 = (iii) lim n→∞ αn b n Khi â, {un } x¡c ành bði (2.14) hëi tử án mởt phƯn tỷ cừa C S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Chựng minh Ta viát lÔi (2.14) v (2.7) dÔng tữỡng ữỡng khĂc nhữ sau N X dn ( Ai (un+1 ) + un+1 = βn un + βn γn (un − un−1 ), i=1 dn N X Ai (xn ) + xn = βn xn , i=1 dn = βn c˜n , βn = 1/(1 + αn c˜n ) Tứ õ, ta nhên ữủc dn h N X (Ai (un+1 ) − Ai (xn )), j(un+1 − xn )i + hun+1 − xn , j(un+1 − xn )i i=1 = βn hun − xn , j(un+1 − xn )i + βn γn hun − un−1 , j(un+1 − xn )i Mởt lƯn nỳa dỹa v tẵnh chĐt cừa Ai v j dng cõ ữủc bĐt ng thực kun+1 − xn k ≤ βn kun − xn k + n n kun un1 k Vẳ vêy, tứ chựng minh nh lỵ 2.2 ta cõ kun+1 xn+1 k ≤ kun+1 − xn k + kxn+1 − xn k ≤ βn kun − xn k + βn γn kun − un−1 k + 2kyk αn − αn+1 αn ≤ (1 − bn )kun − xn k + cn , ð ¥y cn = βn γn kun − un−1 k + 2kyk(αn − αn+1 )/αn V¼ chuéi (ii) hëi tư, cho n¶n γn b−1 n kun − un−1 k → 0, n → +∞ Bê · 2.1 £m b£o cho ta kun+1 − xn+1 k → n → +∞ M°t kh¡c, tø αn − αn+1 = 0, n→+∞ αn bn lim suy αn − αn+1 = n→+∞ αn lim Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Vẳ vêy, nh lỵ 2.2 cho ta lim xn = x∗ ∈ C n→∞ Do â, lim un = x∗ ∈ C n→∞ B¥y gií x²t b i to¡n xĐp x hỳu hÔn chiÃu cho bi toĂn trản nhữ sau c˜n X N  Ani (vn+1 ) + αn vn+1 +vn+1 − = γn (vn − vn−1 ), i=1 (2.15) v0 , v1 E1 Lữu ỵ rơng hai phƯn tỷ vn1 , En , nghiằm vn+1 cừa (2.15) tỗn tÔi vợi nguyản nhƠn tữỡng tü nh÷ cho un+1 v  cơng thc khỉng gian En Vẳ En En+1 , cho nản , vn+1 v  nghi»m vn+2 công thuëc v o En+2 Do õ, dÂy {vn } ữủc xĂc nh nh lỵ 2.5 Cho E l mởt khổng gian Banach lỗi v trỡn Ãu vợi E lỗi cht, Ănh xÔ ối ngău j tứ E vo E liản tửc v liản tửc yáu n (y) = o(n ) vợi mội y ∈ C , Ti , i = 1, , N, kh£ vi Fr²chet vỵi i·u ki»n (1.14), c¡c tham sè c˜n v  αn ÷đc chån cho (i) < c0 < c˜n < C0 , αn & 0, γn (y) = o(αn ), ∞ P (ii) bn = +∞, bn = αn c˜n /(1 + αn c˜n ), n=1 αn − αn+1 = n→∞ αn b n Khi õ, dÂy {vn } hởi tử án mởt phƯn tû thc C (iii) lim Chùng minh Chóng ta vi¸t lÔi (2.2) v (2.14) dữợi dÔng tữỡng ữỡng dn N X Ani (vn+1 ) + vn+1 = βn , i=1 dn N X Ani (zn ) + zn = βn zn i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Ta câ N X dn h (Ani (vn+1 ) − Ani (zn )), j n (vn+1 − zn )i + hvn+1 − zn , j n (vn+1 − zn )i i=1 = βn hvn − zn , j(zn+1 − zn )i Mët lƯn nỳa dỹa vo tẵnh chĐt cừa Ai v j ta câ kvn+1 − zn k ≤ βn kvn − zn k Khi â, tø (2.14) ta câ ¡nh gi¡ sau kvn+1 − zn+1 k ≤ kvn+1 − zn k + kvn+1 − zn k αn − αn+1 ≤ βn kvn − zn k + R αn ≤ (1 − bn )kvn − zn k + cn , ð ¥y cn = R(αn − αn+1 )/αn Bê · 1.3 cho ta kvn+1 − zn+1 k → n → +∞ Tø αn − αn+1 = 0, n→+∞ αn bn lim suy αn − αn+1 = n→+∞ n lim Bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh nh lỵ 2.2, ta cõ n n+p =0 n→+∞ αn bn lim vỵi méi p Sû dưng ành lỵ 2.3, ta nhên ữủc lim zn = z n+ Vẳ vêy, lim = z n+ Chú ỵ: DÂy số k = (1 + k) v  bk = b0 (1 + k)−b , + kzk − zk−1 k Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn